الماء اللذى أتى من الفضاء

من اجمل المشاهد الطبيعية اللتى شاهدتها فى حياتى وربما يكون اجملها على الاطلاق هو مشهد غروب الشمس فى مياه البحر عند شاطئ المنتزه فى مدينة الاسكندرية حيث تعانق مياه البحر على مدى البصر قرص الشمس النارى فى مشهد مهيب. وطبعا هذا المشهد ليس قاصرا على مدينة الاسكندرية وحدها ولكن يمكن ملاحظته فى اى مكان يتمتع بجو صحو ومياه بحر هادئة ومناخ لطيف. وبعد الانبهار بهذا المشهد ربما تتسلل الى عقلنا بعض الاسئلة اللتى قد يكون من بينها: من اين اتت كل كميات الماء الهائلة هذه حيث ان اكثر من 71% من سطح الارض عبارة عن مسطحات مائية؟ وكيف تشكلت البحار والمحيطات وهى ظواهر جيولوجية حديثة؟ وكيف تكونت هذه الشواطئ بسواحلها الرملية الممتدة؟

وعنوان موضوع اليوم هو اجابة سؤال: من اين اتى الماء؟ فالماء أتى من الفضاء وتشكل منه!! بل ان كرتنا الارضية أتت كلها من الفضاء وتشكلت منه! وهذه المعلومة لا ينبغى ان تفاجائنا لأننا اذا اخذنا مكانا خارج الكرة الارضية نراقبها منه فسنراها وكأنها سفينة فضائية تمخر عباب الكون و الفضاء!!

فى الحقيقة أن مياه البحر اللتى نراها امامنا ترتبط نشأتها بنشأة الأرض بل وبنشأة المجموعة الشمسية بأسرها. يقول الفيزيائيون ان اصل مجموعتنا الشمسية يعود الى سحابة غازية دوارة هائلة. وكانت هذه السحابة مكونة بصورة اساسية من غاز الهيدروجين. كما احتوت هذه السحابة على ذرات كل العناصر اللتى نراها حولنا: من حديد و نحاس و كربون و اكسجين و ذهب وفضة الى اخره. وقبل 5 مليارات سنة ابتدأت هذه السحابة تحت تأثير كتلتها وقوة الجاذبية بالانهيار باتجاه مركزها. فازدادت الكثافة وارتفع الضغط ودرجة الحرارة عند مركز السحابة. وأدت المؤثرات السابقة الى دمج ذرات الهيدروجين مع بعضها لنحصل على ذرات هيليوم فى تفاعل نووى يشابه القنبلة الهيدروجينية. ونتج عن ذلك التفاعل النووى ضوء وحرارة و طاقة هائلة أوقفت انهيار السحابة الغازية باتجاه مركزها وكانت هذه لحظة ميلاد شمسنا. فشمسنا هى عبارة عن قنبلة هيدروجينية بطيئة!

لكن كيف نشأت الكواكب؟ ولماذا لم تنجذب كل مادة السحابة الغازية نحو الشمس فحصلنا على شمس اكبر من شمسنا الحالية لكن بلا كواكب؟

planetesimals

للمفارقة فأن تفسير نشأة الكواكب اصعب بكثير من تفسير نشأة الشمس والنجوم. وسبب تكوين الكواكب بالأضافة الى الشمس ان بعض اجزاء هذه السحابة كانت تدور بسرعة كبيرة وهذا حماها من السقوط الى المركز حيث توجد الشمس. تماما كما ان سرعة دوران القمر تحميه من السقوط فوق الارض. ولذلك بقيت بعض اجزاء هذه السحابة على مدارات متباينة من  الشمس. وتماما عند هذه المدارات تكونت كواكب المجموعة الشمسية اللتى نعرفها. وتكونت الكواكب من المادة الفضائية الموجودة عند المدارات بطريقة مشابهة للطريقة اللتى تكونت بها الشمس. فعند موضع ما فى مدار الارض اقتربت ذرتان من بعضهما بشكل اكثر من اللازم فعملت قوة الجاذبية بينهما على التصاقهما وجعلتهما مركزا لجذب ذرات جديدة.  وهكذا استمر انجذاب الذرات حتى نشأ كوكب الارض اللذى نعيش عليه!

لكن فى الثلاثين سنة الاخيرة توصل الفيزيائيون الى تفاصيل اضافية فى غاية الاثارة لنشأة الارض. فلقد اوضحت الدراسات ان الارض لم تتكون من مركز واحد. ولكن من مراكز مختلفة. ففى البداية نشأت عند مدار الارض كويكبات متعددة planetesimals وليس كوكب ارضى كبير. وكانت كتلة الكويكب تكافئ فى المتوسط 1/500 من كتلة الارض الحالية. ثم التحمت لاحقا هذه الكويكبات لينشأ كوكب الارض فقد كانت كل هذه الكويكبات تدور على نفس المدار حول الشمس فكانت احيانا تصطدم مع بعضها اصطداما غير مرن كما تصطدم كرتان من العجين  مقذوفتان بسرعة عالية مع بعضهما فتتحدان احيانا. وهذه العملية كان لها نتائج مبهرة فدعونا نتعرف عليها بشئ من التفصيل.

فى البداية عندما كانت الكويكبات تصطدم مع بعضها كان التصادم مروعا وكانت درجة الحرارة عالية جدا. فحين التحمت هذه الكويكبات مع بعضها  كانت فى صورة لدنة شبه منصهرة  وهذا جعل الذرات الثقيلة تنزلق الى مركز  الارض وهذا يفسر لنا لماذا للارض قلب حديدى الان. ثم فى مرحلة متقدمة نسبيا عندما نمت كتلة الارض  كان اصطدام الكويكبات بها كارتطام النيازك فكان يحدث انفجار مدوى وتتطاير اجزاء من الارض الى الفضاء مرة اخرى. وطبعا الذرات الخفيقة كالسيليكون والجزيئات الخفيفة كالماء هى المرشح الاول لان تتطاير مرة اخرى الى مدار الارض. ثم فى مرحلة لاحقة حين كبرت كتلة الارض ووصلت تقريبا الى كتلتها الحالية بدأت فى كنس هذه الأغبرة و المواد الخفيفة من مدارها وتنظيفه. ويشبه البروفيسور الاميريكى جيمس تريفل هذه العملية بسيارة تلقف بزجاجها الامامى حشرات الصيف فى وقت الغروب!! وانه لامر رائع ويدعو للتدبر ان نتذكر عندما نرى كل قطرة ماء او اى حبة رمل حيث يدخل السيليكون بشكل اساسى فى تركيبها انها كانت موجودة عبر تاريخ حياتها ولاكثر من مرة فى الفضاء الخارجى!

لكن هذه ليست نهاية القصة. فلو كانت هذه هى قصة نشأة المسطحات المائية لكانت نهاية حزينة. ففى هذه الاثناء ابتدأت التفاعلات النووية بداخل الشمس و بدأت حياتها كنجم سماوى. ولم تكن بداية التفاعلات النووية عملية سلسة سهلة. بل يمكن تشبيه ذلك بسيارة ذات بطارية ضعيفة لا تقوى على تدوير الموتور من اول مرة! وفى كل مرة كانت تقوم الشمس فيها بعملية تدوير فاشلة للموتور كانت تصنع عاصفة شمسية تنفخ من خلالها الغبار و الذرات الخفيفة العالقة فى المجموعة الشمسية. ولهذا السبب فان مجموعتنا الشمسية اليوم رائقة وخالية من الاغبرة  والسحب الغازية بشكل كبير. فلو كان للارض فى ذلك الوقت غلاف جوى نافع كما هو الحال اليوم لضاع وتبدد الى الابد ولنفخته احد العواصف الشمسية الى اعماق الكون!   ولكن من اين أتى الغلاف الجوى الحالى والمسطحات المائية الهائلة اللتى نراها اليوم؟ الاجابة اللتى ربما تكون مفاجاءة انها اتت من قلب الارض!!

ففى هذه المرحلة المبكرة من عمر الارض كانت الارض سطحا ساخنا ويعج بالزلازل والبراكين. وكانت البركاين تقذف بحممها اللتى تتكون فى معظمها من بخار ماء الى السماء. ولذلك بعدما كفت الشمس عن ارسال زعابيبها استمر قلب الارض فى صناعة غلاف جوى محمل ببخار الماء بالاضافة الى غازات اخرى كالميثان وثانى اكسيد الكربون.

ثم بعد فترة برد سطح الارض الى مادون 100 درجة مئوية. بل وربما كانت درجة حرارة سطح الارض دائما ومنذ البداية دون 100 درجة مئوية فتكثف بخار الماء و صار سائلا فكانت هذه المسطحات المائية اللتى نشاهدها امامنا.

اذن فعندما تعانق الشمس البحر عند المغيب كل يوم فعلينا ان نتذكر قصتهما و كيف انهما كانا متحدين منذ البداية!

نزهة على شاطئ البحر

يتمثل سحر الفيزياء فى انها تفسر لنا كل ما بيدو حولنا من الظواهر الكونية تقريبا. ومن المهم ان نلاحظ ان الفيزياء توضح لنا كيف تتصرف الطبيعة؟ و لكنها لا تحاول ان تجيب على سؤال لماذا تتصرف الطبيعة بالطريقة اللتى تتصرف بها. فالبحث عن جوهر السبب خلف تصرف الطبيعة هو موضوع من الدرجة الثانية لايضيع فيه الفيزيائيون وقتا كثيرا. فمن المهم فى ظل سباق علمى محموم ان يعرف العلماء كيف تتصرف قوة الجاذبية وكيف نستطيع ان نبنى صاروخا نتغلب به على قوة الجاذبية وان نصل بواسطته الى ابعد الاجرام السماوية الممكنة. اما سؤال لماذا تتصرف قوة الجاذبية بهذه الصورة فهو سؤال جانبى وغير اساسى. كما ان قوانين الفيزياء تسمح لنا بعمل توقعات وتنبؤات دقيقة للظواهر الطبيعية المركبة.

ويتمثل جمال الفيزياء فى انها بأستخدام عدد قليل من المبادئ و القوانين بامكانها تفسير عدد هائل من الظواهر الكونية المخلتفة. وقد كانت البداية من قوانين نيوتن الثلاثة اللتى استطاعت ان تصف كل قوانين الحركة وكل ظواهر الميكانيكيا. ثم بعد نيوتن بفترة بسيطة ظهرت قوانين الحرارة الثلاثة اللتى  استطاعت بدورها ان  تعبر عن كل الظواهر الحرارية. ثم كان مكسويل وباستخدام 4 قوانين استطاع ان يبين كل الظواهر المغناطيسية والكهربية. ثم أتى اينشتاين ومعه ظهر قانونان يصفان قوة الجاذبية و يجسدان مبادئ النسبية. ثم كذلك كان الحال فى نظرية الكم حيث بدلالة 4 او 5 قوانين يمكن وصف كل الظواهر الذرية الدقيقة وما يترتب عليها.

اى ان 20 قانونا فيزيائيا او اقل يوضحون تماما كل ما يحدث حولنا من ظواهر فيزيائية. و ان هناك فى النهاية 20 خيطا فقط او اقل يحركون مسرح العرائس المتحركة اللذى نشهده اماما. وحيث ان هناك عدد هائل من الظواهر الطبيعية المختلفة ولكن هناك عدد محدود من القوانين الاساسية اللتى تصف هذه الظواهر فلابد وان كثير من الظواهر اللتى تبدو ظاهريا متباينة ومختلفة و لا يوجد جامع بينها تشترك فى نفس الخيوط المحركة. و لابد ان نستنتج ان القوة الكامنة خلف هذه الظواهر المختلفة فى كثير من الاحيان هى فى النهاية ذات قوة.

واذا اردنا رصد هذه الظواهر فليس علينا الذهاب بعيدا وليس علينا ان نقضى عمرنا بين جدران مختبر. فقوانيين الفيزياء موجودة الان امام اعيننا! وعلينا فقط ان نفتح اعيننا ونرى الاشياء على حقيقتها!. ويمككننا ان نبدأ دراسة الفيزياء من المكان اللذى نجلس فيه الان!!

وهناك كتب علمية عديدة تخصصت فى هذه الامر وهدفها هو فتح اعيننا على التطبيقات الفيزيائية فيما يحدث حولنا فى حياتنا اليومية. واحد الكتب فى هذا المجال واللذي قرأته من فترة ولكنه اسرنى ببساطته وجماله هو كتاب للبروفيسور جيمس تريفل وهو استاذ فى جامعة جورج ميسون الاميريكية. وعنوان هذا الكتاب هو الفيزياء من على كرسى البحر. و فى هذه الكتاب سنذهب الى شاطئ البحر لنراقب الظواهر الفيزيائية اللتى تجرى هناك ونحاول ان نتعرف على الخيوط اللتى تحركها. فخلف الاشياء الناعمة اللتى قد نلاحظها او لا نلاحظها تكمن كل قوانين الفيزياء و نرى ترابط الكون كله أمامنا. وخلف المشهد الرومانسى لشاطئ البحر يقبع معرض عالمي للفيزياء و الكيمياء و الجيولوجيا و الهندسة!!

وفى المرات القادمة سنحاول ان نتعرف على بعض هذه المظاهر وان نزور بعض اجنحة هذا المعرض!!

تأسيس ميتافيزيقا الاخلاق

“شيئان يملئان وجدانى بالرهبة والأعجاب كلما تأملت فيهما: السماء الملأى بالنجوم فوقي والقانون الاخلاقي بداخلي. فهما ليسا شيئان مستتران فى غياهب الظلمات ابحث عنهما او اظنهما خارج مجال مداركى. بل انى اراهم امامى! وحقيقة وجودهم مرتبطة فى وعيي ارتباطا مباشرا بحقيقة وجودي!” بهذه الكلمات الجميلة لخص كانت موقفه من القانون الاخلاقى. وفيما يلى سنحاول ان نتعرف على هذا القانون عن طريق مراجعة احد اهم اعمال كانت وهو كتاب “تأسيس ميتافيزيقا الاخلاق”.

هل هناك صفة يمكننا ان نعتبرها خيرا مطلقا وانها نبيلة فى حد ذاتها؟ الشجاعة ؟ الذكاء؟ هل هاتان الصفتان السابقتان صفات خيرة فى حد ذاتها؟ الاجابة هى لا. كانت يطرح هذه الاسئلة ويقدم اجابات عليها.  صحيح ان الشجاعة والذكاء هى صفات حميدة لكن ليس فى حد ذاتها.انظروا مثلا الى مجرم شجاع! فهنا الشجاعة فى الاجرام لا تمثل اى قيمة ايجابية بل تزيد الطين بلة. وكذلك الحال بالنسبة للذكاء . فالذكاء اللذى يتمتع به شرير لا يجعله افضل بل اسوأ! وهنا نعود الى السؤال الاساس مرة اخرى: هل هناك صفة ما يمكننا ان نعتبرها خيرا فى حد ذاتها؟ اعنى بذلك انها خير مطلق وليست خيرا مشروطا كما فى حالتي الذكاء و الشجاعة.  اجابة كانت هى نعم. فكانت يقول ان الاعمال بالنيات!. والمعيار الاخلاقى بالنسبة لاى عمل تحدده فقط نية صاحب العمل. اما نتيجة العمل او شخصية الفاعل فلا يلعبان اى دور فى ذلك. وبالتالى فالصفة اللتى هى خير مطلق فى حد ذاتها هى النية الحسنة. فالنية الحسنة هى خير دائما بغض النظر عن اى تفاصيل او ملابسات اخرى! ويضيف كانت ان نتيجة عمل معين لا تفيدنا فى الحكم على مدى اخلاقيته لأن نتيجة اى عمل تعتمد ايضا على ظروف خارجية قد تكون مواتية او معاكسة. ولكن حتى لو كلل سعينا بالفشل وحتى لو تحالفت  ضدنا كل القوى الخارجية لا فساد ماننتوى عمله. وحتى لو لم يشأ القدر وكانت  محصلة مجهوداتنا صفر فتبقى النية الحسنة جوهرة لامعة.

ويقول كانت اذا اردنا ان نقيم مدي اخلاقية عمل فينبغى علينا ان نعرف الدافع خلف هذه العمل و لا نكتفى بالحكم من الخارج فقط . فهناك مبدأ ما يلتزمه الانسان خلف اى تصرف. وعلى الرغم من ان ذلك المبدأ قد يكون غير واضح حتى بالنسبة للفاعل نفسه الا انه هو الفيصل فى الحكم على اخلاقية العمل. واطلق كانت كلمة maxim على المبادئ اللتى تقبع خلف تصرفات الانسان. على سبيل المثال اذا افترضنا شخصين يقولان الحقيقة. لكن مبدأ الشخص الاول قول الحقيقة دائما بينما شعار الشخص الثانى ان يقول الحقيقة دائما باستثناء اذا كان متأكدا ان احدا لن يستطيع ان يفضح كذبه. فقط المبدأ الاول هو الاخلاقى اما المبدأ الثانى غير اخلاقى كما سنرى بعد قليل.

ولكن كانت قال شيئا مفاجئا وهو ان اخلاقية الفعل لا علاقة لها بالبناء العاطفى و النفسى للفاعل ولكنها تنبع فقط من شعوره بالواجب الاخلاقى. مثلا اذا افترضنا تاجرا امينا فى تعامله مع زبائنه فيكون تصرفه اخلاقى فقط اذا كانت امانته ناتجة من شعوره بالواجب الاخلاقى. اما اذا كان التاجر ذكيا فيقدر انه يجب ان يكون امينا حتى لا يخسر زبائنه ويكسب ثقتهم. فى هذه الحالة فان تصرف التاجر لا يمكن وصفه بالاخلاقى فهو مبنى على حسابات المكسب والخسارة. بل ويقول كانت شيئا عجيبا فبعض الناس مجبولين  على العطف فهم يشعرون بالام الفقير و المحتاج ويتفاعلون معهم ويساعدوهم. لكن كانت  يقول ان هؤلاء لا نستطيع ان نصف تصرفهم بأنه اخلاقى. فكون الانسان عطوف او قاسى القلب فهذا قدر الانسان ولا دخل له بذلك. لكن تكون تصرفات الانسان اخلاقية  حينما تكون نابعة من التزامه بالقانون الاخلاقى. وهو قانون موضوعى  ثابت بالنسبة لكل الناس بغض النظر عن تعليمهم أوثقافتهم أو درجة تحضرهم او اصلهم ومعتقداتهم.! فأي انسان عاقل يصل تماما الى نفس النتيجة اللتى يتوصل اليها انسان  عاقل اخر عندما يعمل هذا القانون الاخلاقى.

وقبل ان نتعرف على هذا القانون الاخلاقى ينبغى علينا ان نرى لماذا اطلق عليه كانت اسم قانون. فهو كان يهدف الى شئ يشبه قانون فيزيائى او رياضى ولكن بالنسبة للاخلاق! فهو قانون موضوعى  لايخضع للاهواء او للتأويل. فالصينى والبرازيلى يفهمون القانون بنفس الطريقة ونتائج القانون تكون بالنسبة لهم واحدة. واطلق كانت على قانونه اسم “الامر المطلق” او Categorical imperative وهذه هى ايضا صورة القانون اللغوية. فهناك امر مشروط. مثلا : ذاكر لكى تنجح. فهذا امر ولكنه له غاية وهدف وهى النجاح. اما الامر المطلق فهو امر  لا يوجد فى منطوقه غاية او تبرير له. و القانون الاخلاقى اللذي هو عماد  الميتافيزيقا الاخلاقية معناه تقريبا: عامل الناس بما تحب ان يعاملوك به. لكن هذه الصياغة تقريبية وليست هى فعلا ما قاله كانت. فكانت عبر عن قانونه الاخلاقى بخمس صياغات مختلفة. ولكنها كلها تعبر عن نفس المحتوى. وفيما يلى سنتعرف على صياغتين لهذا القانون.

الصياغة الاولى: تصرف فقط وفقا للمبادئ اللتى يمكنك ان تريدها ان تصير قانونا عاما! وينبغى ان نلاحظ ان مفهوم الارادة يختلف عن التمنى. فالارادة عند كانت حكيمة عقلانية وليست مربتطة بالعواطف والشهوات. مثلا دعونا نرى المبدأ التالى: اعط وعدا كاذبا لتنقذ نفسك من موقف محرج! هل هذا مبدأ اخلاقى ام غير اخلاقى؟ دعونا نطبق الصياغة السابقة هلى يمكننا ان نريد بصورة موضوعية ان نبيح لكل انسان ان يعطى وعد كاذبا اذا كان ذلك ينقذه من موقف محرج؟ الاجابة هى لا. لان فى هذه الحالة ستفقد فلسفة الوعد اجمالا معناها. وسيخسر كل البشر وستفقد  الانسانية كلها هذه القيمة. فمن سوف يصدق الان اى وعد يتلقاه ولن يظن انها حيلة للتملص من مأزق معين؟ وهنا يقول كانت ان اى انسان عاقل لابد ان تكون اجابته على السؤال السابق متطابقة بغض النظر عن انتماءه وجنسه!!

الصياغة الثانية: تصرف دائما مراعيا ان تجعل الانسانية ممثلة فى شخصك وشخوص الاخرين غاية وليست وسيلة تستغلها! فكل انسان فى الحياة له قصة وله اهداف يسعى لتحقيقها . وواجب كل انسان فى الحياة هى الوصول الى غاياته. فاذا استغليت انا اى انسان لتحقيق اهدافى وبطريقة تؤخره عن تحقيق اهدافه فهذه شهادة منى باننى لا اعترف بانسانيته. فمثلا اذا اقترضت مبلغا من المال من انسان وانا عازم على الا ارد له ماله لاحقا. فهذا تصرف غير اخلاقى لاننى لا ارى سوى غاياتى و انا بهذا اكون معاد للانسانية لانى اعيق احد عناصرها عن تحقيق اهدافه

واذا قارنا فلسفة كانت الاخلاقية باعمال بارسطو او جون ستيوارت ميل لوجدنا اختلافات هامة.  فعند ميل تقاس قيمة العمل الاخلاقى بنتائجه و العمل ذو النتائج الاهم يكون اكثر اخلاقية من العمل ذو  النتائج الاقل اهمية. اما بالنسبة لكانت وكما رأينا فان نتيجة العمل لا تلعب اى دور. كما ان فلسفة كانت لاتفرق بين عمل اكثر اخلاقية و عمل اقل اخلاقية. فالعمل اما اخلاقى او غير اخلاقى.  وتختلف فلسفة كانت عن فلسفة ارسطو حيث تهدف فلسفة ارسطو الى جعل الخصال الحميدة طبعا لدي الانسان. اما كانت فيرفض اى دور  للطباع ويرى ان الاخلاق تنبع فقط من الحكمة وليس من الطبع او التطبع.
وبعض النقاد يوجهون نقد الى فلسفة كانت الاخلاقية بانها خالية ولا تعطى وصفا محددا للكيفية العملية اللتى من المفترض ان يتصرف بها الناس. ولكنها تقدم فقط مجرد صياغة مجردة. ولكن كانت كان يرى فى هذا اشادة بعمله. فهو لم يأت ليخترع الاخلاق كأنها لم تكن موجودة من قبله وان البشرية فى تاريخها لم تعرف الاخلاق حتى ياتى فيلسوف ما مهما كان اسمه ليبين للناس الاخلاق! وكان كانت يرى وظيفة فلسفته فقط فى اجلاء الحقيقة الخاصة بالاخلاق و الدفاع عنها امام السفسطائية

وهناك نقد اخر يوجه الى فلسفة  كانت الاخلاقية بانها خالية من المشاعر. حيث كما رأينا كان كانت يرى ان الاخلاق تنبع من العقل فقط. ولذلك كان الشاعر الالمانى شيلر والكاتب الالمانى هنريش هاينه من اقسى مهاجميه.

نقد العقل الخالص

كتاب “نقد العقل الخالص” هو علامة مضيئة وانجاز فريد فى تاريخ الفلسفة. والمؤلف هو الفيلسوف الالمانى ايمانويل كانت وقد استغرق 11 سنة فى كتابته ويعد من اصعب ماكتبه على الاطلاق. وقد كان استقبال القراء للطبعة الاولى من الكتاب سلبيا جدا. حتى أن احد زملاء كانت وهو موسيس مندلسون وصفه بانه عمل موتر للاعصاب. وشعر كانت بخيبة أمل كبيرة ولكنه كتب كتابا اخرا اسمه Prologomena حاول ان يجيب فيه على الاسئلة والانتقادات المتعلقة بكتابه السابق ثم اعاد طباعته مرة ثانية بعد تبسيط اسلوبه. وكان استقبال الطبعة الثانية هذه المرة هائلا. واصبح الكتاب مثار النقاش فى كل الصالونات الثقافية.

والكتاب يتناول ميدانين اساسيين من ميادين الفلسفة وهما ميدانا: الميتافيزيقا او ما وراء الطبيعة ونظرية المعرفة. اما الميتافيزيقا فهى ذلك الميدان من الفلسفة المختص بالبحث خلف الوجود. وهناك سوء فهم يتعلق بداية بهذا الفرع من الفلسفة. وحتى اسمه لم ينج من سوء الفهم.  فقد كان لارسطو عمل  موسوعى كبير تطرق فيه الى كل ميادين الفلسفة. وكان هذا العمل يتكون من 14 كتابا. واطلق النساخ اسم ماوراء الطبيعة على الاعمال التالية لكتاب الفيزياء وكان قصدهم الكتب اللتى تقع وراء كتاب الفيزياء فوق رف الكتب ولم يقصدوا ان يشيروا بهذا الاسم الى محتوى معين!  اما من حيث المحتوى فالميتافيزيقا تحاول ان تستنبط الشروط الكامنة خلف اى وجود. مثلا نحن نعلم ان الاجسام تسقط على الارض بفعل الجاذبية الارضية وأن كل الظواهر الحياتية لها قوانين تفسرها. فاذا رأينا شجرة عالية فاننا نعرف ان لها جذورا ضاربة فى الارض. واذا رأينا منزلا عاليا نكون متيقنين ان له اساس عميق. واذا رأينا جبلا سامقا فاننا ندرك ان ما تحت الارض مازال اعظم مما هو فوق الارض. فماذا بالنسبة للموجودات امامنا؟. هل يوجد لها قانون اعمق يفسر وجودها؟. فالميتافيزيقا تبحث فى شروط الوجود.

اما الميدان الثانى فهو ميدان نظرية المعرفة. وهو ذلك الميدان اللذي يهتم بدارسة  حدود المعرفة وكيف تنشأ وباقى الاسئلة من هذا النوع. فهدف الكتاب هو باختصار اجابة هذا السؤال: هل الميتافيزيقا علم؟  اذن فنحن اليوم سننطلق كالسهم. وسوف تكون قاعدة انطلاقنا هى نظرية المعرفة ثم تنتهى رحلتنا بان ننغمس فى قلب الميتافيزيقا ثم نرى فى النهاية هل كان مسارنا سليما؟ وهل حافظنا على كل القواعد الاساسية اثناء رحلتنا حتى وصلنا الى هدفنا؟

بداية دعونا نستوضح عنوان الكتاب. فكلمة نقد ليس المقصود بها معنا سلبيا. فمعنى النقد هو التقييم. وقد يكون التقييم فى النهاية ايجابيا كما قد يكون سلبيا. فكانت هنا يقيم العقل الخالص. ثم تأتى الكلمة الثانية العقل. والعقل ليس المقصود به ذلك العضو البشري او المخ. ولكن المقصود هو عملية عقل الاشياء اى ربطها ببعضها وفهمها.  والكلمة الاصلية الالمانية اللتى استخدمها كانت هى Vernunft وهى تعنى ايضا الحكمة. وفي بعض الاحيان ستكون كلمة الحكمة هى التعبير الادق. اما كلمة الخالص فالمقصود بها خالصا من اى تجربة حسية ودون الاستناد الى الخبرة الحياتية العملية. بل سنحكم على الاشياء بقوة العقل النظري فقط. وهنا تكمن مشكلة العقل.  فالعقل ينظر دائما الى الواقع ليستنبط اسباب هذا الواقع. ثم ينظر الى الاسباب بدورها ويحاول ان يستنبط اسبابها. وهكذا دواليك!!.  فالعقل دائما يتم قصفه باسئلة هو صانعها و لايمكنه ان يهرب منها و لا حتى ان يجيب عليها احيانا. وفى هذا الكتاب يصنع كانت محاكمة للعقل. يكون العقل فيها شاكيا ومتهما. ولكنه سوف يكون القاضى ايضا فى نفس الوقت!!

اختلف الفلاسفة فيما بينهم فى تحديد وسائل المعرفة. فهناك جماعة العقلانيين اللذين قالوا ان اكتساب المعرفة يكون عن طريق التأمل النظري فقط. اما التجربة العملية ومراقبة الواقع فلا قيمة لهما لان الظواهر خادعة. واقوى حجج هؤلاء هى صدق الرياضيات وعلو كعبها على سائر العلوم الاخرى من ناحية الثقة فى نتائجها. فالرياضيات تعتمد على العقل فقط ولا توجد فيها اى تجارب. ويرون ان باقى العلوم لابد ان تكون على نسق الرياضيات. واشهر المنتمين الى هذا الرأي افلاطون وهو رأس هذه المجموعة . اما المجموعة الاخرى فهم التجريبيون و هم على نقيض العقلانيين تماما. فقالوا ان طلب المعرفة يكون عن طريق التجربة العملية فقط. اما التأملات النظرية فلا وزن لها مالم تدعمها المشاهدة. و الا فهى احلام و شطحات لاقيمة لها. واشهر المنتمين لهذه المدرسة هم هيوم ولوك. اما كانت فقد اخذ مسارا وسطيا بين الاثنين وقال ان المعرفة تتم بالاثنين معا. بل لايمكن للمعرفة ان تتم الا بالاثنين معا!

وقسم كانت المعرفة الى 3 أنواع: النوع الاول هو معرفة تحليلية مستغنية عن التجربة او “a priori” والترجمة الحرفية لهذه الكلمة اللاتينية هو قبل التجربة. ومثال لهذا النوع من المعرفة الجملة التالية: للمربع 4 اضلاع. فهذه معلومة صحيحة من التعريف. واذا قال لى انسان ان هناك مربع ذو 5 اضلاع فلن احتاج لعمل تجربة لتبيان صحة كلامه من خطأه. واذا شكلنا المعلومة فى صورة جملة اسمية فسيكون الخبر هو المبتدأ نفسه او دال عليه او جزء منه بالضرورة.  اما النوع الثانى من المعرفة فهى المعرفة المركبة المعتمدة على الخبرة او a posteriori و الترجمة الحرفية لهذه الكلمة هى بعد التجربة. ومثال لهذا النوع  من المعرفة العبارة التالية: كل الاطباء يرتدون نظارات طبية. فهذه ليست معلومة اولية. فارتداء النظارة الطبية ليس هو تعريف الطبيب و لا ان النظارة جزء من الطبيب. ولكنها معلومة مستقاة من الخبرة. و لاختبار صحة هذه العبارة لابد من المراقبة و المشاهدة. مثال اخر الوز ابيض  اللون. وهذه المعلومة مصدرها الخبرة ولكنها تعتمد على الصدفة ايضا ولا يمكن ان تصل الثقة فى صحتها الى درجة اليقين. فمثلا قد اشاهد مليون وزة بيضاء ولكن مع ذلك فليس هناك يقين ان الوزة  المليون وواحد ستكون بيضاء ايضا. ولو كنت اعيش فى استراليا فسأري وزا اسود اللون! اذن هذا النوع من المعرفة يعتمد على الصدفة وليس برهانا يقينيا.  ثم يأتى القسم الثالت من المعرفة وقد انفرد به كانت وقال ان هناك معرفة تركيبية مستغنية عن التجربة! مثال على ذلك التعبير التالى
5+7 = 12

فهذه معلومة مركبة او تركيبية لان مفهوم العدد 12 ليست داخلا فى مفاهيم 5 او 7 .وبرهان هذه المعلومة لا يأتى من التجربة ولكن من العقل. اى انها معرفة خالصة. وهذا النوع من المعرفة هو الاهم بالنسبة لنا اليوم . ويجب على الميتافيزيقا ان تكون من هذا النوع لان مادتها كلها تقع خارج مجال المشاهدة والمراقبة. كما يجب لكى تكون للميتافيزيقا فائدة ولكى يكون من ورائها قيمة مضافة فيجب ان تحتوى على معلومات مركبة وليست مجرد تعريفات اولية تفسر  الماء بالماء.

وبالرغم من اسلوب كانت المعقد فى الكتابة فكان له عقل منظم جدا وانعكس ذلك فى تقسيمه لفصول الكتاب. فما اخذه كانت على الميتافزيقيين فى زمانه هو انهم اطلقوا العنان لخيالهم فى امور خارج نطاق المشاهدة وذلك بدون ان يقدوما اى براهين لصحة كلامهم او حتى بدون ان يقدموا اى منهجية على الاطلاق. وذلك كمن يقفز من طائرة محلقة ثم  يفتح مظلة المطر معتقدا ان ذلك كافيا وسوف يعصمه من الهلاك! ولذلك فقد قسم كانت كتابه الى قسمين: القسم الاول هو الاكبر والاشهر حلل فيه كانت كل المعطيات الموجودة  ثم كان القسم الثانى اللذى اعطى فيه وصفة  لميتافيزيقا جديدة خالية من امراض الميتافيزيقا الموجودة فى زمانه. و قدم كانت اول كتاب حقيقى فى الميتافيزيقا فى التاريخ من وجهة نظره. وحيث ان القسم الاول من كتابه هو الاكبر فدعونا نرى بناءه بشئ من التفصيل.

ملخص ما سبق ان عمودي المعرفة هما: الادراك الحسى و التفكير. ولكانت عبارة شهيرة تقول : الافكار بدون محتويات خاوية وحواسنا بدون مفاهيم عمياء!! . فاذا قلت لك كلمة kniga فانك فى الغالب لن تفهم شيئا: فهذا المصطلح خاوى ولا يعنى شيئا بالنسبة لك. اما اذا قلت لك ان هذه الكلمة تعنى كتابا بالروسية فستقفز فى ذهنك فورا صورة واضحة عن المعنى. اما كيف ان الحواس تحتاج الى العقل؟ فلو تخيلنا ان انسانا اتى من المستقبل ومعه الة غريبة من زمانه وعرضها امامى فلن افهم ما اشاهده. لان كنهها ومفهومها ليس عندي. لذلك كان من الطبيعى ان يقسم كانت القسم الاول من كتابه الى قسمين حول: الادراك الحسى المتسامى و التفكير او المنطق  المتسامى! ومعنى كلمة متسامى اننى انطلق من شئ معين واحاول ان اصل الى اسباب وجوده و اساسه اللذى يقوم عليه. ويمكننا تشبيه ذلك بما فعله اينشتاين  حيث وجد  ان سرعة الضوء فى الفراغ ثابتة لاتتغير. فلم يجادل فى ذلك. بل استنبط النتائج المترتبة على ذلك ووضع النظرية النسبية الخاصة. ولم يحاول اينشتاين ان يبحث فى سبب ثبوت سرعة الضوء فى الفراغ. اما فى الميتافيزيقا فنحن سنفعل العكس. فانطلاقا من واقع معين سنحاول ان نتسامى فوقه ونرى ما هى اسباب وجوده بهذا الشكل و على هذه الهيئة! وفى نهاية الفصل الخاص بالادراك الحسى المتسامى عرض كانت تصوه لاسباب صحة الرياضيات.

أما قسم مبادئ التفكير او المنطق المتسامى وهو الجزء الاكبر من  الكتاب ويمثل قلبه ويشغل اكثر من 400 صفحة فيه فقد قسمه بدوره الى قسمين: مبادئ الفهم المتسامى وفى نهاية هذا القسم سيوضح كانت لماذا الفيزياء صحيحة. والقسم الاخير هو مبادئ الحكمة المتسامية وفى هذا الجزء يجيب كانت على السؤال الرئيس : هل الميتافزيقا علم؟

والشكل التالى يوضح هيكل الكتاب

 

كتاب نقد العقل الخالص

اولا بالنسبة للادراك الحسى المتسامى: نعلم مما سبق ان اي معرفة يلزمها ادراك حسى و لا يمكن ان تتم  الا به. لكن من ناحية اخرى علينا الاننسى هدفنا. وهو الميتافيزيقا. بمعنى اننا نريد ان نصل الى امور غيبية بثقة يقينية كما فى الرياضيات. ولكن حيث ان الميتافيزيقا تقع كلها خارج مجال المشاهدة والحواس فاننا سنكون هنا مهتمون بالادراك الحسى الخالص فقط. لكن هذا التعبير  غريب حقا! فما  هو ذلك الادراك الحسى الخالي من تأثير الحواس ذاتها؟!  انه كما فى قصيدة نزار قبانى كلمات ليست كالكلمات!  فاننا هنا نبحث  عن صور من الادراكات الحاسية الخاصة! ادراكات ليست كالادراكات!  فنحن نبحث عن ادراكات a periori عمومية و حتمية. انا ارى السماء. انت تسمع نغما رائقا. كانت يتذوق طعما لاذعا. هو يلمس سطحا خشنا. هى تشم رائحة جميلة! ماهو الشئ المشترك  بين كل هذه المدركات الحسية السابقة؟ الاجابة: انها كلها تقع فى اطار من الزمان و المكان.  ونحن لا يمكننا ان نلاحظ اي شئ بدون الزمان والمكان. فبامكاننا تخيل مكان فارغ لا يحتوى على اي شئ.ولكننا لا يمكننا تصور شيئ و لامكان! فالزمان والمكان هم قوالب للادراك خالصة و عمومية وضرورية  و مطلقة . ولكن كانت استطرد صحيح انها موجودة بداخلنا كلنا بنفس الهيئة لكنها غير موجودة فى العالم الحقيقى الخارجى وفى الاشياء نفسها اللتى ندركها.! فالزمان والمكان هما النظارة اللتى نرتديها لكى نرى بها الاشياء. وبدونها لا نرى شئ. لكن فى نفس الوقت فان هذه النظارة تغير من صورة الواقع. تماما كمن يرتدي نظارة زرقاء فيرى كل ما حوله ازرق. وهذه النظارة ليست النظارة الوحيدة اللتى نرتديها للحصول على المعرفة  لكنها احد النظارات المختلفة كما سنرى بعد ذلك.  و قال كانت كما افلاطون بأن هناك عالمان مختلفان وهما عالم الاشياء الحقيقية او الاشياء فى حد ذاتها واطلق على هذا العالم اسم  Noumena وهناك عالم الظواهر اللذي يبدو لنا  او ال Phenomena . وعالم الظواهر هو صورة مشوهة من عالم الاشياء فى حد ذاتها. ولكن خالف كانت افلاطون فى امكانية وصولنا الى عالم الاشياء الحقيقية Noumena . حيث قال افلاطون ان ذلك ممكن بالعقل و التأمل النظري فقط. اما كانت فقال ان ذلك غير ممكن ابدا لا بالعقل او بغيره!

ثم اوضح كانت لماذا ان الرياضيات ممكنة وصحيحة. فالرياضيات كلها مبرهنة من بعضها. ولكن هناك مسلمات اولية لايمكن برهنتها ويتم فقط افتراض صحتها. وهنا يبرهن كانت صحة هذه المسلمات الاولية اللتى لا تستطيع الرياضيات نفسها ان تبرهنها بالميتافيزيقا. ففى حقيقة الامر ان المسلمات الرياضية الاولية صحيحة لاننها تتعلق بالزمان والمكان وهى اشياء خالصة استطيع ان اري صحتها بان اردها الى مرأة وعيي الداخلية. فالهندسة تدرس المكان الخالص. و عندما اريد ان أري لماذا ان الخط المستقيم هو اقصر مسافة بين نقطتين فعلى ان ارد ذلك الى داخل نفسى. و البرهان هو الصورة التلقائية الداخلية الخالصة اللتى تتولد بداخلى. وعندما نتحدث عن شكل هندسى كالمثلث مثلا فنحن لا نتحدث عى ذلك الشئ اللذى قد يخطه مساح على الارض ولكننا نتحدث عن صفات لشيئ خالص  وهوالمكان!

ثانيا التحليل المتسامى: بعد الحواس يبدأ العقل فى العمل. فعندما اشاهد شجرة تقوم حواسى بنقل صور معينة وبعدها يقوم عقلى بعمليات معينة يسقط بعدها حكم بان الشئ الموجود امامى هو شجرة. ثم يكون عقلى هذه الكلمة لغويا فى ضميرى حتى وان لم انطق بها.لكن كيف اسقط العقل حكمه؟ وكيف توصل الى مفهوم الشجرة؟  مرة اخرى ما نسعى اليه هو مفاهيم متسامية. مفاهيم ليست كالمفاهيم!. انها مفاهيم حول المفاهيم نفسها! او انها المفاهيم الاساسية اللتى منها تتكون كل احكامنا! وقال كانت كما ارسطو ان كل مفاهيمنا يمكن ردها الى 12 مفهوم اساسي categories. والترجمة العربية الرسمية هى مقولات ولكنى غير راض عن هذه الترجمة وسأتجنب استخدامها. ومن امثلة مبادئ المفاهيم الاساسية المتسامية : الاحادية و التعددية و الكلية و السببية الى اخره. مثلا عندما اشاهد الشمس ساطعة و شباك ساخن. فاقول ان الشباك ساخن لان الشمس ساطعة. وهنا نرى مثالا لاسقاط مفهوم او حكم السببية على ادراكين متوازيين! ثم يأتى اعقد جزء فى كتاب كانت المعروف بالبرهان المتسامى. و اللذى يوضح فيه الجسر اللذي يربط بين هذه المفاهيم الاساسية المتسامية categories وعالم الاشياء فى حد ذاتها. وفى هذا الجزء يوضح لماذا ان الفيزياء صحيحة. وطبعا المقصود بالفيزياء هنا هى النظريات العامة الكبيرة كنظرية نيوتن. حيث قلبها هو تصور نظرى بحت نتجت عنه نتائج هائلة. وليس المقصود هنا هي الاكتشافات المحدودة اللتى قد يكتشفها عالم  بالصدفة فى المعمل.!

فى الحقيقة ان مايقوله كانت يحتاج الى شئ من التركيز. يقول كانت اننا فى حقيقة الامر بامكاننا اكتشاف قوانين الفيزيائية العامة ليس لان الكون فعلا هكذا. بل لان عقلنا هو اللذى يغرس هذه القوانين فى الطبيعة من البداية. وبالتالى فانه يجدها مرة ثانية عندما يبحث عنها!  فالعقل يغرس اولا ال  categories فى الطبيعة  ويتعرف عليها لاحقا عن طريق نمط متسامى معين. تماما مثلما يفعل النمل حين يخرج الجيل الاول  باحثا عن الغذاء وفى طريقه يفرز افرازات معينة على طوال الطريق. ثم يأتى الجيل الثانى من النمل ويتعرف عن طريق هذه الافرازات على مكان الغذاء. او فى حالة جهاز الكمبيوتر. فجهاز الكمببيوتر يستخدم اساسا للحساب. ولكننا كما نعلم نستطيع ان نستخدم جهاز الكمبيوتر فى استخدامات اخرى ربما لم تكن موجودة فى الزمن اللذى صنع فيه هذا الجهاز. فقد نستخدم الكمبيوتر كطابعة او مشغل لافلام DVD او للموسيقى او كاميرا فيديو او غير ذلك. ومن الممكن حتى استخدام جهاز الكمبيوتر كمكواة كهربائية! لكن كيف يتم ذلك وكيف يتعامل الكمبيوتر مع اجهزة ظهرت لاحقا ولم يكن يعلم بها وقت صناعته؟ الاجابة تتلخص فى النظرة المعكوسة للامر. فالكمبيوتر ليس هو اللذى يكيف نفسه مع الاجهزة الاخرى بل ان الاجهزة الاخرى هى اللتى تكيف نفسها مع الكمبيوتر. فكل جهاز خارجى يحتاج الى driver حتى يتأقلم مع الكمبيوتر الموجود. وقال كانت ان الخطأ اللذى وقع فيه الفلاسفة من قبله هو انهم اعتبروا ان الانسان يحاول ان يصل بفهمه الى حقيقة الاشياء حوله. ولكن العكس هو  الصحيح. فالاشياء بما هو مغروس فيها من cateogries هى اللتى تدور حول فهم الانسان وتحاول ان تقترب منه بقدر تهيئة عقل الانسان لذلك. وهذه كأنها ثورة  كوبريكانية جديدة.  فقد فاجأ كوبرنيكوس العالم و قال اننا نستطيع ان نفسر الظواهر الكونية حولنا بشكل افضل عندما نفترض اننا لسنا مركز الكون و ليست  النجوم هى اللتى تدور حولنا  بل نحن اللذين ندور حول النجوم! اذن الزمان والمكان والمفاهيم الاساسية الاولية او ال categories والنمط المتسامى هى كلها نظارات نضعها فوق بعضها لكى نصل الى المعرفة!

ثالثا الجدال المتسامى: بعد ان خطونا الخطوة الاولى مع كانت دعونا نستمر فى رحلتنا مع التسامى حتى نصل الى اعلى الافاق الممكنة. دعونا نبحث عن الشروط المطلوبة خلف وجود المفاهيم الاساسية المتسامية الاثنى عشر او ال categories وبعد ان نصل الى هذه الشروط دعونا نحدد شروط هذه الشروط حتى نصل  الى الشرط الاول المطلق الغير مشروط!  فى الحقيقة ان كل المفاهيم اللتى تظهر فى عقلنا تحمل رسالة واضحة اننا موجودون وان لنا ذوات واننا نفكر. تماما كما قال ديكارت من قبل . cogito ergo sum ولكن هنا على عكس ديكارت يرى كانت ان مجرد اثبات ذواتنا لا يكفى لانشاء ميتافيزيقا  يقينية كاملة منه. اذن بشكل مجرد فان المطلق اللذي نبحث عنه هو ذات الانسان او روح الانسان.او كما اطلق عليها كانت بصورة عامة: ألانسان. والمطلق اللذى يقع خارج ذواتنا ولكنه يؤثر فينا هو العالم واحيانا يسميه كانت الحرية. و اطلق كانت على الانسان والعالم مصطلح الافكار المتسامية ideas . اذن فلدينا فكرتان مطلقتان حتى الان هما الانسان والعالم ووخلف هاتين الفكرتين توجد الفكرة النهائية وهى الله. اذن مواضيع الميتافيزيقا عند كانت كما هى فى الميتافيزيقا الكلاسيكية تماما: الانسان العالم الله.

لكن مااللذى يمكن ان نعلمه عن هذه الافكار الثلاثة؟ يقول كانت لاشئ الا الظنون. لان الافكار المتسامية على خلاف المفاهيم فى التحليل المتسامى لاتجد لها ادراكات حسية تقابلها. وعندما يحاول العقل ان يبحث عن المطلق فانه يدخل فى دوامة عنيفة وسيصل الى الشئ وعكسه. وادخل كانت تعبيرا جديدا و هو المتناقضات او Antinomy وهذه افكار ممكن اثباتها و اثبات عكسها فى نفس الوقت. وقال كانت انه من المستحيل ان يثبت الانسان بالعقل والمنطق وجود الله. كما انه من المستحيل ان يثبت الانسان بالعقل والمنطق عدم وجود الله! كما انه من المستحيل تحديد ان كان للكون بداية فى الزمان والمكان او ان الكون لانهائى و ابدي وازلى. كما انه من غير الممكن الجزم بان قانون السببية يحسم كل شئ فى الكون و لا يوجد ما يمكن ان نطلق عليه الارادة الحرة. او ان الارادة الحرة موجودة فى الكون وتعمل بجوار السببية!

اذن اثبت كانت ان الميتافيزيقا الظنية ممكنة فقط فى الرياضيات و الفيزياء لطبيعتهم الخاصة. فالرياضيات تتعلق بخواص الزمان والمكان و الفيزياء هى مفاهيم تقابلها اداركات حسية. اما فى الافكار المطلقة المتسامية او فى الالهيات فلا مجل هناك للميتافيزيقا التأملية!! ولكنه فتح باقة امل للارادة الحرة وقال صحيح ان الميتافيزيقا لا تستطيع ان تثبتها ولكنها لا تستطيع ان تنفيها ايضا. فلو كان كل انسان مجبر على كل شئ يفعله بسبب قانون السببية لما كان هناك اى معنى للاخلاق الفردية.

توصل كانت فى النهاية ان الميتافيزيقا اللتى يجب ان يشغل الفلاسفة بها انفسهم ليست الميتافيزيقا التأملية لان فرصهم فى النجاج هناك صفر. ولكن عليهم ان يشغلوا انفسهم بالميتافيزيقا العملية. بالميتافيزيقا الاخلاقية اللتى تهدف الى الوصول الى السعادة القصوى. وهذا ممكن عن طريق واحد فقط  هو الايمان بان هناك اله موجود و ان هناك حياة ثانية بعد الموت!! ولكن هذا نتوصل اليه ليس عن طريق العقل الخالص و الميتافيزيقا التأملية ولكن عن طريق العقل العملى و الميتافيزيقا العملية!! والغريب بعد كل هذا ان الكنيسة الكاثولكية وضعت كتاب نقد العقل الخالص فى قائمة الاعمال المحرمة عام 1827 ميلادية.

نقد كتاب نقد العقل الخالص :

1 اسلوب كانت معقد جدا . وهناك اجزاء كبيرة من الكتاب لا يفهم منها اى انسان طبيعى اى شئ

2 قال البعض ان كانت حطم صورة الميتافيزيقا التأملية تماما و استبدلها بالميتافيزيقا الاخلاقية او الميتافيزيقا العملية. ولكن كانت استخدم فى برهانه الميتافيزيقا التأملية دون ان ينتبه. فهو لم يقدم اى برهان على عالم الاشياء الحقييقة او ال Noumena

3 المفاهيم الاساسية الاثنى عشر او categories يرى البعض ان كانت تكلفها تكلفا. ويرى شوبنهاور ان هناك مفهوم اساسى واحد فقط وليس اثنى عشر وهو السببية

4 قال كانت ان الرياضيات تنتمى الى المعرفة مركبة المستغينة عن الخبرة. لكن كثيرون يعترضون على تصنيف الرياضيات على انها مركبة

5 تتعارض تصوراته مع الفيزياء الحديثة وبخاصة نسبية اينشتاين فهو يفرض ان الزمان والمكان اشياء مطلقة وهى خارج عالم الاشياء ولكنها تقطن فى نفوسنا فقط. بينما النظرية النسبة تقول ان الزمان والمكان نسبيين ويرتبطان بالاشياء الخارجية.

 

 

 

 

ايمانويل كانت Immanuel Kant

سنحاول اليوم ان نتعرف على نبذة من حياة احد اهم الفلاسفة  وهو الالمانى ايمانويل كانت. وقد كان لايمانويل كانت كما  كان للفلاسفة والمفكرين العظام على مر التاريخ تأثير كبير على تطور العلم وعلى مسار حياتنا المعاصرة اليوم. بل الغريب انهم يؤثرون حتى في حياة اللذين لم يقرأوا لهم يوما او حتى سمعوا باسمائهم فى يوم من الايام. فهم يؤثرون فى وعى الملوك و اصحاب القرار و العلماء والنخبة و الجماهير وهذا كله يوجة دفة التاريخ حتى يصل التأثير الينا شئنا ام ابينا.

فارسطو كان معلم الاسكندر الاكبر. واينشتاين فى طريقه للنظرية النسبية تأثر بفلسفة النمساوى ماخ. ولفسفات فاير ابند و كارل بوبر تأثيرها البالغ على مفهوم  العلم اليوم. وليس صحيحا ان العلوم الطبيعية و الفلسفة هى ميادين لا تربطها ببعض علاقة. بل ان كل منها يؤثر فى الاخر. وبعض كبار العلماء الطبيعيين كانوا ايضا فلاسفة هامين. على سبيل المثال ارسطو اللذي كان اهم عالم فى عصره. وكذلك كان الحال مع ابن سينا وديكارت و جاليليو و لايبنتز وماخ وبيركلى واينشتاين وفيتجنشتاين

عاش كانت فى الفترة مابين 1724 حتى 1804 ميلادية ولكنه كان سابقا لعصره بسنوات طويلة. فأراؤه فى الكرامة الانسانية ورفضه للحروب ودعوته لاحلال السلام ولان تحترم الدول سيادة بعضها البعض ونداءه بانشاء الامم المتحدة وذلك فى القرن الثامن عشر وقبل نشوب الحربين العالميتين بزمن طويل فكل هذه الاشياء  تشهد له بذلك!.

ولكن على الرغم من افكار كانت المتطورة فان حياته الخاصة كانت على عكس ذلك. بل يمكننا ان نصفها بالصرامة والملل. فهو لم يتزوج  ولم يغادر محل ولادته تقريبا طوال عمره. ولا اقول انه لم يزر اى دولة اخرى. بل انه لم يذهب الى اي مدينة اخرى بخلاف كونيحزبيرج Königsberg اللتى كانت محل اقامته. والطريف انه قد عمل فى فترة من حياته مدرسا للجغرافيا وكان يعطى دروسا بمنتهى الحماسة عن الدول المختلفة حتى يخاله المرء قد جاب كل اركان الارض.

فى عام 1740 التحق كانت بجامعة كونيجزبيرج ليدرس الفيزياء والرياضيات والفلسفة. ودرس ميكانيكا نيوتن وتأثر بها جدا. وكان يراها بعد ذلك هي المثال المحتذى اللذي يجب ان تكون عليه اى نظرية علمية. ولكنه نظرا لوفاة والده اضطر الى ان يقطع دراسته ويعمل مدرسا خصوصيا فى اماكن مختلفة. وكانت تلك هى الفترة الوحيدة فى حياته اللتى  غادر فيها كانت كونيجزبيرج ولكنه بقى فى محيط 150 كم منها. ثم عاد كانت مرة اخرى بعد ذلك الى كونيجزبرج ليكمل دراسته ويحصل على درجة الدكتوراة. وكانت لكانت ابحاثه فى مجالات الفيزياء و الفلك وكانت هناك نظرية تحمل اسمه فى نشأة الكواكب. وكانت هذه النظرية معترفا ومعمولا بها لدى الفلكيين فى زمانه. وعمل كانت محاضرا خاصا فى جامعة كونيجزبيرج. ثم تقدم للحصول على وظيفة الاستاذية فى نفس الجامعة. ولكن طلبه الاول رفض بينما حصل على عروض من جامعات اخرى. فقرر كانت رفض العروض الاخرى لانه كان لا يريد ان يغادر مدينته وكان فقط مهتما بموافقة جامعة كونيجزبيرج.

ولم تكن صحة كانت العامة جيدة ولذلك فعندما بلغ الاربعين من عمره قرر ان يوفر طاقته وينظمها فاتبع برنامجا روتينا يوميا صارما لم يشذ عنه يوما ما. فكان يستيقظ فى الخامسة صباحا ويعمل حتى تحين ميعاد محاضرته. وبعد المحاضرة يعود الى غرفة المعلمين. ثم فى الواحدة بعد الظهر يذهب الى الغذاء برفقة اصدقاءه وفى تمام الساعة الثالثة والنصف يقوم برياضة التريض فى شارع ليندن الصغير اللذي تغير اسمه الان الى طريق الفلاسفة. وكان اهالى مدينة كونيحزبيرج يضبطون ساعاتهم عندما يرون الفيلسوف الشهير فى نفس الوقت بغض النظر عن حالة الجو وان كانت الشمس ساطعة فى الصيف او ان الثلوج تنهمر فى الشتاء. وفى العاشرة مساء يخلد الى النوم. وقد اكتسب كانت عادة احترام الوقت من صديقه التاجر الانجليزى الثري جوزيف جرين. ففى احد المرات اتفقا على ان يمر كانت علي جرين  ثم يخرجان سويا بعربة الحنطور الخاصة بجرين. وتأخر كانت دقائق قليلة ولكن طبعا  الصديق الانجليزى لم ينتظر وخرج  فى اللحظة المحددة تماما وعندما رأى كانت قادما فى الطريق  لم يتوقف ليلتقطه لانه لم يحترم موعده وتأخر عنه!!

وكانت محاضرات كانت ممتعة جدا وكانت قاعة المحاضرات تكون ممتلئة عن اخرها فى وقت محاضرته. ويقول يوهان هردر وهو شاعر و فيلسوف المانى عن محاضرات كانت وقد كان احد طلابه: “كلما اتذكر محاضرات كانت ادرك اننى لم اسمع فى حياتى ارقى او اكثر تأثيرا من هذه المحاضرات” ولكن العكس من ذلك كانت كتاباته جافة وصعبة ويحار الكانتيون المتخصصون انفسهم احيانا فى فهم ماذا يقصد ويرون ما يكتبه الغازا وطلاسما.

ويعد كانت فيلسوف الاخلاق. فهو كان فيلسوفا تنويريا وفى حياته تفجرت الثورة الصناعية واتخذت الحياة منحا ماديا صعبا. وكان السؤال المطروح وقتها هل للانسان ارادة حرة؟ وهل الانسان مخير او مسير؟ . والجبر هنا يأتى من حتمية القوانين المادية. حيث شكلت الاكتشافات العلمية المختلفة كل نواحى الحياة. وابتدأت اسألة محيرة تظهر حول الانسان والعالم والله. وهذه المواضيع كانت تتناولها الميتافيزيقا. ولكن كانت الميتافيزيقا فى زمان كانت تتمتع بسمعة سيئة. فهى ظنون واحلام وخوض فى المجهول بدون تقديم دليل او برهان. وهنا حاول كانت كمفكر اصلاحى تنويري ان يدلو بدلوه فى هذا الموضوع. فهذه المواضيع الاساسية للميتافيزيقا: الانسان والعالم والله لا تهم الفلاسفة الميتافزيقيين وحدهم. ولكنها اسألة تهم كل انسان. ولذلك قرر ان يكتب اول كتاب فى التاريخ من وجهة نظره عن الميتافزيقا. وهذا الكتاب هو “نقد العقل الخالص”. وفى هذا الكتاب سينقى كانت الميتافيزيقا من امراضها. فهو لن ينطلق فى فى تخمينات عن امور غيبية هكذا. بل سيقدم أولا طريقة او منهجية علمية سليمة لبحث قضايا المعرفة عموما. وبعد ان يصل الى هذه المنهجية سيقوم بتطبيقها على الميتافيزيقا بدون ان يعلم النتيجة مسبقا. ثم يحاول ان يجيب على سؤال اساسى: هل الميتافزيقا علم؟ واذا لم تكن كذلك فما اللذى يمكن ان يصنعه الانسان للوصول الى اجابات مطمئنة للاسئلة اللتى تجول فى خاطره؟ واذا توصل الانسان الى نتيجة مرضية فسوف فيمكنه ان يتعامل مع باقى الاسئلة المفتوحة بنفس الروح وبنفس المنهجية. ومن ضمن هذه المشاكل الهامة طبعا مشكلة الاخلاق.

وقد كتب كانت 3 كتب عنوانها يبدأ بكلمة نقد. واهم هذه الكتب هو الكتاب اللذى اشرنا له سابقا وهو “نقد العقل الخالص” اللذى يعد مفتاح فلسفة كانت ولكنه يعتبر ايضا من اصعب اعمالها واعسرها على الفهم. ونظرا لضيق المكان سنشير اليه فى مرة قادمة.

تأملات ديكارت

ديكارت هو رياضى و فيزيائى وفيلسوف فرنسى مرموق عاش فى الفترة من عام 1596 حتى عام  1650 ميلادية. وقد خلد ديكارت اسمه فى ميدان الرياضيات باكتشافه الاحداثيات الكارتيزية اللتى لا غني لاي تلميذ فى المدرسة عنها ناهيك عن الرياضيين والفيزيائيين. وكتاب ديكارت “تأملات فى الفلسفة الاولية” يعد من الاعمال الكلاسيكية الخالدة وهو ينتمى الى ميدان نظرية المعرفة. ذلك الميدان اللذى يهتم بدراسة مالذي يمكن للأنسان ان يعرفه وماهى حدود تلك المعرفة. وكان هدف ديكارت من هذا الكتاب ان يصنع أساسا صلبا يمكن ان تقوم فوقه العلوم المختلفة. حيث لاحظ ديكارت ان كل العلوم  تعتمد فى جوهرها على الفلسفة. لكن الفلسفة فى حد ذاتها متنازع فى شأنها. وهناك فلسفات بعدد الفلاسفة. فاراد ديكارت ان يحل هذا التناقض وان يختبر كل شئ فى معارفنا من البداية الى النهاية حتى يتأكد من سلامة كل شئ. وقد شبه ديكارت ذلك بان تفاحة فاسدة واحدة بامكانها افساد سلة كاملة من التفاح. وافضل طريقة للتخلص من التفاحة الفاسدة هو اخراج كل التفاح من السلة وفحصه تفاحة تلو الاخرى. و لا نعيد تفاحة مرة اخرى الى السلة حتى نتيقن من سلامتها تماما!.

وكتاب التأملات هو عمل ادبى رائع. وقد صاغه ديكارت بصيغة ضمير المتكلم انا مما يحفز القارئ على التفاعل مع افكار الكتاب و لا يكتفى بتلقيها بصورة سلبية. بل هو يتخيل نفسه فى مكان الكاتب ويعيش تجربته و يعايش افكاره. وهذا الكتاب مكون من 6 اجزاء وفيما يلى سنري تلخيصا لافكار الكتاب. وطبعا هى ليست ترجمة حرفية. ولابقاء روح الكتاب سابقى الصياغة بصورة ضمير المتكلم انا. ثم بعد الملخص يأتى التعقيب والنقد.

التأمل الاول:  فى صغرى تعلمت كثيرا من الاشياء  ولكنى عندما كبرت ادركت ان بعض ما تعلمته لم يكن صحيحا بل تيقنت انه كان خاطئا تماما. وهذه الحقيقة كانت تزعجنى. فهناك ما تسلل الى افكارى ومازال ربما قابعا هناك وهو غير صحيح. وراودتنى دائما رغبة ملحة فى مراجعة كل ما تعملته فى حياتى وان انظر اليه نظرة نقدية موضوعية لا غاية لها الا الوصول الى الحقيقة. و كنت دوما اؤجل هذا الامر لاعتقادي انني لست ناضجا بما فيه الكفاية واننى غير مؤهل لذلك. ولكننى اليوم بعد ان وصلت الى هذه المرحلة  اللتى لا استطيع ان اشكو فيها من قلة النضج وبعد ان حققت فى حياتي مكسبا ماديا يعصمنى من العوز والفقر فى الايام الباقية من عمري اشعر انه بامكانى القيام بهذه المهمة الان. بل علي العكس اشعر اننى لايمكننى تأجيل هذا الامر لوقت لاحق. لانه ربما تكون اللحظة المناسبة قد ضاعت حينئذ. وفى مسعاي لن اترك حجرا قائما فى مكانه. سأختبر كل شئ ولن اقبل اى شئ  مسلما به هكذا بدون  ان اتأكد بشكل حاسم من صحته. سأشكك فى كل شئ وسأنظر الى كل شئ بنظرة  نقدية. فالمتهم عندي مذنب حتى تثبت براءته. واذا كلل مسعاى بالنجاح ساصل الى  الحقائق الاساسية فى حياتنا اللتى لا سبيل الى التشكيك فيها. واللتى يمكن اعتبارها اساسا مستقرا يمكننا البناء عليه وتطوير باقى العلوم منه. اما اذا كلل مسعاى بالفشل فسادرك وقتها انه لاشئ مضمون فى هذه الحياة و لاشئ فى الدنيا يعلو فوق مستوى الشك والشبهات.

المنطق السليم يقول الا تثق ثقة مطلقة بمن خدعك ولو مرة واحدة من قبل. وانا اعلم ان حواسى قد خدعتنى مرات من قبل. فاحيانا تصور لى حواسى الاشياء على غير حقيقتها. فربما رأيت من على بعد برجا عاليا مستديرا وعندما اقتربت منه وجدته مربعا! اذن فانا لن اثق بحواسى لانها غير معصومة من الخطأ. لكن من ناحية اخرى فان حواسى احيانا تقدم لى  تصورات واضحة بثقة من الصعب ان اشكك فيها. فكيف يمكننى ان اتشكك مثلا فى اننى الان اقرأ مقالة فى ميدان فلسفى؟ وانا اشعر بجسمى ووزنى وواقعى الموجود حولى! الاجابة على هذا الاعتراض سهلة. فقبل مرة حلمت ايضا اننى اقرأ مقالة فى ميدان فلسفى!! وبالرغم من اننى كنت احلم كنت اشعر بالموقف كما لوكان حقيقيا ولم يتوان الى خاطري مطلقا اننى كنت احلم. اذن فما اللذي يضمن لى الان اننى لا احلم ايضا؟ واننى لست جالسا اقرأ مقالة بل ان هذا مجرد حلم؟!

لكن حتى فى الاحلام هناك امور تبقى ثابتة لا تتغير. فهى حقائق اذن. فانا ارى رؤوسا و اعينا واذانا فى الحلم كما فى الحقيقة. وسواء كنت احلم او لا فان مجموع 2 زائد 3 يعطى دائما 5 . الا يمكن ان نعتبر هذا حقيقة مطلقة؟ الاجابة هى ايضا لا. فمازال بامكانى التشكك فى صدق هذه النتائج. ماذا لو تخيلنا ان هناك شيطانا خبيثا لاهم له الا تضليلى وتصوير الاشياء لى على غير حقيقتها. فمثلا كلما طرأ على بالى مجمود 2 زائد 3 قذف فى خاطرى 5. مع انه فى حقيقة الامر النتيجة ينبغى ان تكون غير ذلك!! قد تظن ان فى اعتراضى الاخير مبالغة وتطرف شديدين. لابأس . فانا اريد ان اصل الى الحقيقة المطلقة اللتى لا شك فيها. واذا وصلت الى هذه المرحلة سأكون حققت انجازا عظيما. ويمكننا اعتبار فكرة هذا الشيطان الخبيث هو اختبار الصلابة النهائي لاى حقيقة تلوح لنا. اذن وكما نرى حتى الان فانه لاشئ مضمون وان حياتنا ما هى الا كذبة كبيرة!

التأمل الثانى: فى محيط عدم اليقين اللانهائى وفى وسط دوامات الشك اللتى تشدنا الى الاسفل نحو قيعان لا قرار لها وفى وسط ضباب الحيرة فى مناخ مشبع باليأس الكامل يظهر لنا سؤال بل قل رجاء ساذج:هل هناك من مخرج من هذه المتاهة؟ وهل توجد حقيقة واحدة تسمو فوق مستوى الشكوك فنتعلق فيها تعلق الغريق بالقشة؟ فى حقيقة الامر اذا دققنا البحث جيدا فسيبدو لنا شيئا من اليابسة! جزيرة صغيرة ولكنها قد تكون جزيرة النجاة. فهناك امر لا يمكن التشكيك فيه. ومهما حاول ذلك العفريت المخادع ان يغشنا فلن يخدعنا بشأنه. وهذا الامر هو حقيقة وجودنا. فكلما طرأت فكرة على بالنا او خطرت فى مخيلتنا صورة فهذا دليل على اننا موجودون. ومهما حاول العفريت المضلل ان يضللنا ببث افكار مشوشة فى رؤوسنا فهذا لا يتعارض مع وجودنا. فاللامر يتعلق فقط باننا نفكر. فلو تخيلت اننى فى هذه اللحظة اجلس القرفصاء فوق سور الصين العظيم وهذا امر غير صحيح جملة وتفصيلا. ولكن مجرد تفكيرى فى الامر يعنى وجودي. فانا اكون انا موجود طالما فكرت فى شئ او خطر على بالى تصور ما. cogito ergo sum . انا افكر اذن انا موجود! وعليكم التأمل فى هذه النقطة مليا كى ترون ان كنتم مقتنعين بها قبل ان تواصلوا القراءة.

لكن ما يجب ان ننتبه اليه أن حقيقة وجودنا لا تعنى اننا موجودون بنفس الصورة اللتى نتخيل أنفسنا عليها. نعم نحن موجودون ولكن ليس بالضرورة ان تكون لنا اذرع وارجل ورؤوس ودم وقلب. فهذا الامر لم نتأكد منه بعد. ربما يكون كل هذا مجردا اوهام وخداع. ولكننا موجودون لاننا نفكر. ويمكننا التعميم ونقول الانسان كائن مفكر. وفى الحقيقة فان عالم الافكار اقوى من عالم الحواس. ولتوضيح ذلك دعونا نرى المثال التالى:

لو تخيلنا قرصا من شمع العسل اخذناه لتوه من خلية للنحل. فهذا القرص ماتزال رائحة خلية النحل فيه وله مذاق العسل كما انه له شكل معين وملمس بارد الى اخره. والان نقرب هذا القرص من النار فماذا سوف يحدث؟ سوف يتغير قوامه ورائحته ومذاقه وشكله. ومع ذلك فاننا لن نبرح عن وصفه بانه شمع العسل!! وسوف نكون محقين. اذن اقرارنا بان هذا شمع العسل لم يكن نتيجة بناء على صفات خارجية لانها تغيرت تماما فى الحالة الاولى عنها فى الحالة الثانية. ولكننا بقوة حكم العقل انزلنا قرارنا بغض النظر عن المظاهر الخارجية. اذن بالفعل عالم الافكار اقوى واعم من عالم الحواس الخارجية.

التأمل الثالث:  بالرغم من بصيص النور اللذى ظهر لنا وبعد تأكدنا من حقيقة وجود ذواتنا فان الصورة مازالت مبهمة. فكيف يمكنناتعديل ذلك؟ فما وصلنا اليه مازال قليلا.  لكن دعونا نتأمل فى حقيقة وجودنا لعلنا نستخلص منها مبادئ جديدة تساعدنا فى الوصول الى حقائق اعظم. ما يلفت نظرنا ان شعورنا بذواتنا هو شعور جلى واضح صافى يأتى من داخلنا ولا تشوبه اى شائبة. فهل من الممكن ان نعمم الحكم ونقول ان اى شعور مشابه يظهر لنا بنفس الجلاء والصفاء والوضوح هو ايضا حقيقة حقة؟ وماذا لو كان هذا الاحساس الواضح خادعا فكان ذلك العفريت المضلل مسئول عنه؟ لكن هناك ايضا فى نفسى خاطر اخر. فمنذ نعومة اظافرى اجد فى وجدانى فكرة وتصور عن اله كامل الصفات لانهائى منزه عن النقص والخبائث. فمن اين اتت هذه الفكرة؟ نحن نعلم ان لكل نتيجة سبب يكون مسئولا عنها. ويكون هذا السبب حقيقيا تماما كما نتيجته بل يزيد عنها فى اصالة حقيقته. اذن ففكرة الله الكامل الموجودة فى اعماقى ما هو سببها؟ السبب لا يمكن ان يكون شيئا من الاشياء الموجودة حولى لانها كلها غير كاملة ليست منزهة بل ناقصة. و لا يمكن ان يكون ذلك الشيطان المضلل هو الله لان الله لا يمكن ان يكون محتالا مخادعا. هذا يتعارض مع صفات الكمال. اذن فلابد ان يكون هناك الها موجودا وهو سبب هذه الفكرة فى داخلي. فتصورى عن الله هو ظل الله فى نفسى. كما انه لايمكن ان يوجد اكثر من اله. لان الله هو لانهائى فلو تواجد الهان لاختلطا وتداخلا!!

اذن الله موجود وهو لا يمكن ان يكون محتالا مخادعا يرضى لمخلوقاته ان تكون مضللة تائهة. ولا يقبل بان يصور لها الاشياء بصورة واضحة جلية ثم تكون الحقيقة عكس ذلك.

اذن فهناك مبدأن يمكننا ان نقر بصحتهما. المبدأ الاول ان اى فكرة تظهر فى ضمائرنا بصورة صافية جلية واضحة لا التباس فيها لابد وان تكون حقيقية. و المبدأ الثانى ان هناك اله كامل منزه عن النقصان  ليس مخادعا يضمن لنا ان كل الافكار الواضحة الجلية اللتى تتجلى لنا هى حقيقة.

التأمل الرابع: لماذا يرضى الله بان تخدعنا حواسنا احيانا؟ ولماذا يدعنا نصل الى اقتناعات خاطئة ونتائج غير صحيحة؟ اجابة هذه الاسئلة سهلة . المصدر الاساسى للخطأ ياتى من سوء استخدامنا لحريتنا. فنحن نصل الى نتائج صحيحة كما يقول المبدأ الاول اذا كانت التصورات اللتى تراودنا جلية واضحة صافية لا التباس حولها. لكننا سريعا نتسرع الامر ربما لهوى فى انفسنا فنطلق احكاما متسرعة وفتاوى لا تهاون فيها حول امور مازالت ملتبسة ولكننا نخدع ذواتنا ونقول بل هى واضحة وجلية. فهذا التسرع فى اصدار الاحكام النهائية هو المصدر الاول للخطأ.

ولكن احيانا تخدعنا حواسنا بدون هوى فى نفوسنا او تسرع فى اصدار الاحكام. لكن علينا ان ندرك ان الحواس ليست الوسيلة الوحيدة للوصول الى الحقيقة. فحتى لو خدعتنا حواسنا احيانا فأن الله قد خلق ايضا  وسائل اخرى تنبهنا الى خطأ حواسنا وتساعدنا فى الوصول الى الحقيقة. وربما تكون الرياضيات والهندسة هي خير معين لنا لتحقيق هذه الغاية. اما الحالة الاخيرة اللتى قد نتعرض فيها للخداع بينما لا توجد وسيلة لكشف ذلك فربما يكون سبب ذلك ان هذا افضل لنا. فالله العادل  لا يرضى بان نكون مخدوعين  احيانا الا اذا كان ذلك افضل لنا من معرفة الحقيقة كاملة.

ومن هنا نرى انه بامكاننا ان نثق فى حواسنا فى الامور شديد البيان. لان الله لا يرضى ان تصور لنا حواسنا امرا بوضوح شديد ثم نكون مضللين فى النهاية. ومن هنا نستنتج بان صورتنا اللتى نتخيلها عن أنفسنا حقيقية. واننا فعلا على نفس الهيئة اللتى نبدوا عليها. فنحن فعلا لنا اذان و ايدي وارجل وعيون وهكذا.

التأمل الخامس: حتى لو خدعتنا حواسنا احيانا  فهناك صفات تبدو وكأنها حقائق مطلقة. ولكن تخطئ حواسنا فقط فى تحديد قيمة هذه الصفة بدقة  لكن الصفة فى حد ذاتها حقيقية.  هذه الصفات هى: الامتداد والحجم والشكل والموقع وتغير الموقع والزمن. اى هى تلك الصفات اللتى تتعامل معها الرياضيات والهندسة. ومرة اخرى فالضامن لكل شئ هو الله. و اذا تأملنا قليلا فى فكرة الله لوجدنا ان الله لابد ان يكون موجودا من مجرد التعريف. فمن تعريف الله نعلم انه لابد ان يكون كاملا. ولو كان الله غير موجود لكان غير كاملا وهذا يناقض التعريف. اذن فتعريف مفهوم الله هو نفسه اثبات لوجود الله.

التأمل السادس: يمكن لثقتنا ان تزداد و نقول ان العالم الخارجى موجود وأنه ليس وهما لنفس الاسباب السابقة. كما ان هناك دائما وسائل تحمينا من التضليل والخداع. وحتى بامكاننا ان نكتشف اذا كنا نحلم او لا. فعالم الاحلام يبدو قريبا من الواقع ولكنه يختلف عنه على الاقل فى امرين. الامر الاول ان ذاكرتنا فى الحقيقة تختلف عنها فى الحلم. فتجاربنا الحقيقية تتماشى مع ماضينا وتتلائم مع ذاكرتنا بشكل افضل. بينما فى الحلم يكون الامر مختلفا نوعا ما ولا يلتئم ماضينا مع حاضرنا فى ذاكرتنا بنفس السلاسة. و الامر الثانى انه فى عالم الاحلام قد تظهر بعض الظواهر اللتى لا تظهر فى الواقع. فلو رأيت شخصا يتبخر امامى فى الهواء ويختفى فهذا سوف يكون دليلا على اننى احلم. وفى النهاية يمكننا ان نصل الى الخلاصة التالية: بامكاننا ان نثق في معارفنا  وان نتقدم فى كسب العلوم والمعارف وذلك بضمانة شرطين. الشرط الاول ان نكون فعلا مخلصين دقيقين فى سعينا غير منحازين او اصحاب هوى ونختبر كل شئ بدقة شديدة. والضمان الثانى هو وجود الله الكامل الصادق الامين العادل اللذى لا يضل مخلوقاته بل  يهديهم سبل الرشاد!

هنا يكون العمل قد انتهى وسنحاول ان نتعرض له بشئ من النقد والتعقيب.

الامر الاول تنتشر فى لغتنا العربية المقولة المشهورة و المنبثقة من هذا العمل: انا اشك اذن انا موجود. وانا لا ادري من اين اتت هذه الترجمة. فالمقولة فى اللغات الاخرى هى انا افكر اذن انا موجود.
الامر الثانى البعض يرى ان ديكارت لم يكن امينا فى عمله. فقد اقتبس افكاره من الامام الغزالى الكبير . ونفس تجربة الشك وصفها الغزالى ونفس النتيجة تقرييا توصل اليها. لكن ديكارت أغفل ذكر الغزالى تماما  مع انه قد تأثر به ونقل عنه.

الامر الثالث البعض يرى ان ديكارت لم يكن شكاكا بما فيه الكفاية. فهو مثلا لم يتشكك فى ذاكرته. وما الذى يضمن له انه قد حلم فعلا. ومالذى يضمن له ان معنى الكلمات والمفاهيم لم يتغير عن اخر امرة استعملت فيها نفس تلك الكلمات والمفاهيم؟! لكن البعض يرد . بان هذا الاعتراض ليس مهما. لان لو ان ديكارت تشكك فعلا فى كل شئ لفقد كل الية  للتفلسف.

الامر الرابع براهين وجود الله الموجودة فى التاملين الثالث والخامس والمعروفة بالبرهان الكونى والبرهان الاونتولوجي يجدها البعض ضعيفة. وخصوصا البرهان فى التأمل الخامس. فهومجرد تلاعب بالالفاظ. فمثلا بامكانى ان اعرف العالم الكامل او الفيلسوف الكامل ثم اقل ان الفيلسوف الكامل لابد ان يكون موجود لانه لو لم يكن موجودا لما كان كاملا وهذا يناقض التعريف.

الامر الخامس وهو الاعتراض الاقوي. فى التأمل الثالث دار ديكار فى حلقة مفرغة حين توصل الى المبدأين اللذين يقوم عليهما عمله بعد ذلك. فالفكرة الواضحة الصافية هى حقيقية لان الضامن لها هو الله. ثم يبرهن بعد ذلك على وجود الله بان يقول ان الفكرة صافية وواضحة فلابد وان تكون حقيقية!

الامر السادس تورط ديكارت فى بعض الاخطاء الطبية خصوصا فى التأمل السادس عندما تحدث عن الروح والجسد وقال انه توصل الى مكان فى المخ هو المسئول عن اختلاط الروح مع الجسد وجعل الروح تتولى مسئولية قيادة الجسد.

الصفر والفصل الاخير

نصل اليوم الى المحطة الاخيرة في رحلتنا مع قصة الصفر. وهى رحلة قد استمرت ما يزيد عن العام. وقصة الصفر هى موضوع ذو شجون فلها جوانب مختلفة: تاريخية و فلسفية ودينية وفنية ورياضية وفيزيائية. ولعل اجدر خاتمة تصلح لان تكون نهاية لهذه السلسلة هي مقالة عن النهاية  ذاتها!: نهاية الفيزياء. نهاية الزمن. نهاية الزمكان. او ببساطة نهاية كوننا.

اول نظرية فيزيائية قالت بان كوننا لايمكن ان يكون ثابت بل هو متغير كانت النظرية النسبية العامة. ولقد ايقن اينشتاين صاحب النظرية هذا الامر ولكنه لم يرق له. فادخل اينشتاين ثابتا على معادلاته اسماه الثابت الكونى. وكان هدفه من وراء هذا الثابت ان يجعل الكون ثابتا غير متغير. لكن اينشتاين اقر بعد ذلك بخطأه ووصفه بانه كان اكبر استحمارا او حماقة ارتكبها فى حياته. ودعونا نحاول تقريب ماتوصلت اليه النظرية النسبية العامة من نتائج حول هذا الموضوع بالمثال التالى.

لو القينا حجرا الى اعلى فان هناك 3 احتمالات لما سوف يحدث بعد ذلك. الاحتمال الاول  ان يرتفع الحجر الى اعلى نقطة ثم يهوي الى الارض بفعل الجاذبية الارضية. و الاحتمال الثانى هو اننا اذا قذفنا الحجر بسرعة اعلى من 11 كيلومتر فى الثانية  فان الحجر سيتغلب على الجاذبية الارضية بشكل نهائى وسيغادر الغلاف الجوي بغير رجعة. وهذه السرعة  تسمى سرعة الهروب وهى السرعة اللتى تستخدمها وكالة ناسا عندما ترسل رحلات استكشافية للفضاء الخارجى. اما الاحتمال الثالث فهو ان نقذف الحجر بسرعة حرجة بين الحالتين السابقتين  وهى سرعة لا تجعل الحجر يسقط على الارض مرة اخرى ولكنها لاتمكنه من مغادرة غلافها الجوي فييقى كقمر صناعى معلق حول الارض.

وبالمثل فى كوننا. فالقوة الطاغية فيه هى قوة الجاذبية الموجودة فى ارجائه واللتى تعمل على جذب اطرافه نحو مركزه. ولكن وفى نفس الوقت فان كوننا يتمدد  كما تقول نظرية الانفجار العظيم. و بالتالى من وجهة نظر النظرية النسبية العامة فان هناك 3 احتمالات لكوننا: الاول الا تسمح سرعة تمدده له بالهروب من تأثير الجاذبية فيتمدد الكون الى اقصى نقطة ثم يبدأ فى الانكماش مرة اخرى بفعل جاذبيته حتى يعود الى نقطة البداية! والاحتمال الثانى ان تكون سرعة تمدده الحالية عالية جدا فتفوق تأثير جاذبيته فيستمر الكون فى التمدد الى مالانهاية. والاحتمال الثالث ان تكون سرعة تمدد الكون تساوي تماما تلك السرعة الحرجة فلن يعود الكون الى نقطة البداية ولكن تزداد المسافات بين المجرات ببطء حتى تصل الى قيمة ثابتة.!

و الان يظهر لنا سؤالان: السؤال الاول ماذا تقول المشاهدات الفلكية عن توافق حال كوننا مع احد هذه الصور الثلاثة؟ والسؤال الثانى فماذا تقول النظريات الفيزيائية الاخرى بخلاف النظرية النسبية العامة؟

بالنسبة للسؤال الاول. وبمراعاة ان النتيجة تعتمد على شيئين: وهما السرعة اللتي يتمدد بها الكون و كثافة الكون فى المتوسط. لاننا كما نعلم انه كلما زادت الكثافة فلا بد وان تصاحبها زيادة فى سرعة الهروب. فمثلا سرعة الهروب من مجال الشمس اكبر بكثير منها فى مجال الارض. وسرعة الهروب من مجال القمر اقل منها فى حالة مجال الارض. لكن نتيجة القياسات كانت عجيبة. فاولا بالنسبة لتحديد لكثافة الكون. وهذه مبدئيا عملية صعبة وغير دقيقة تماما. وجد العلماء ان كتلة الارض والنجوم وكل المجرات الموجودة فى الكون والسحب الغازية الموجودة بين المجرات غير كافية للتناسب مع عملية الفرملة او تباطؤ الكون اللذى اثبتته  القياسات. بل هى تشكل بالكاد 10% من المادة اللازمة لذلك. وقال العلماء بان هناك مادة مجهولة اسمها المادة السوداء. لا نستطيع ان نراها بواسطة التليسكوبات لانها غير مضيئة. ولكنها تشكل غالبية المادة الموجودة فى كوننا. واما بالنسبة لسرعة تمدد الكون. فهى عملية يمكن قياسها بدقة اعلى. ويستغل العلماء ظاهرة دوبلر فى ذلك. وهى نفس الظاهرة اللتى  استغلها هبل فى استنتاج ان المجرات تتباعد عن بعضها. ولكن هنا لا يرصد الفلكيون النجوم النابضة  cepheids اللتى استغلها هبل ولكنهم يستغلون نوع اخر من النجوم ذي ضوء اقوي وهي نجوم السوبرنوفا او نجوم المستعر الاعظم. وهى نجوم لها ضوء يشع عبر نصف الكون. ويمكن بقياس انزياح الطيف عندها ان نحدد سرعة الكون في الماضى. فنجم يبعد عنا بمائة مليون سنة ضوئية ما نراه الان لا يعبر عن حالته الان. ولكنه يعبر عن حالته قبل مليون سنة !! وهنا وجد العلماء امرين غريبين اولهما ان الكون يتمدد بسرعة حرجة جدا. فلو ان سرعة تمدد الكون كانت بعد ثانية واحدة من الانفجار العظيم اقل حتى بواحد على المليار  لانكمش الكون بعد ولادته ولم نكن لنصل الى هذه المرحلة اليوم. و الامر الثانى ان الكون الان يبدو وكانه يتحرك بسرعة اعلى من اللتى تتفق مع الحسابات ويبدو كما لو ان هناك قوة خفية تسبب تمدد الكون. وهى قوة تشبه قوة الجاذبية تماما ولكنها قوة تعمل فى الاتجاه المعاكس. ويطلق العلماء على هذه الظاهرة اسم الطاقة السوداء. ويجب ان نلاحظ انها تختلف تماما عن المادة السوداء السابق ذكرها. ويبدو ان اينشتاين عندما ادخل الثابت الكونى فى معادلاته لم يكن مخطئا تماما. فهذه الطاقة السوداء تتصرف تماما وفقا للثابت الكونى اللذى افترضه اينشتاين ثم تراجع عنه.صحيح انه لم يقصد هذا تماما ولكن تبدو ان فكرة الثابت الكونى صحيحة.  ويبدو ان اينشتاين حتى عندما سقط فى هذه النقطة فقد سقط واقفا!!

لكن ماذا تقول النظريات الاخرى؟ بالطبع توجد بجانب النظرية النسبية العامة نظرية الكم وهى العمود الثانى للفيزياء الحديثة. وهناك حاجة ملحة لان تتوافق النظريتان معا او حتى استحداث نظرية فيزيائية جديدة توحد بين هاتين النظريتين. وافضل النظريات المرشحة للعب هذا الدور هو نظرية الاوتار الفائقة. فما هى السيناريوهات المختلفة لتطور الكون حسب رأى الفيزيائيين من المدارس المختلفة؟  هناك 7 سيناريوهات  بديعة تبدو وانها اقتبست من عالم الف ليلة وليلة او كليلة ودمنة. وهى كلها سيناريوهات يحمل اسمها كلمة العظيم على وزن اسم نظرية الانفجار العظيم اللتى ترسم صورة بداية الكون.

السيناريو الاول هو الانسحاق العظيم او big crunch. وهذا السيناريو كان هو السيناريو المفضل فى الماضى ولم يعد كذلك اليوم. وفى هذا السيناريو فان سرعة تمدد الكون بطيئة لن تسمح له بان يفلت من قبضة الجاذبية وسينكمش الكون مرة اخرى بعد ان يصل الى اوسع مدي له. وفى النهاية سينكمش كل الكون فى نقطة واحدة كما ينهار نجم ويتحول الى ثقب اسود. وهذه النقطة حجمها صفر وتشبه تماما نقطة بداية الانفجار العظيم. وفى هذه النقطة تكون درجة الحرارة هائلة لا يمكن تخيلها وتكون الكثافة لانهائية. ونصل الى حالة singularity او تفرد. وفى هذا السيناريو ينتهى الزمن تماما. فالزمن وفق هذا السيناريو له بداية ونهاية.

السيناريو الثانى هو النحيب العظيم او big whimper . وان كنت افضل ترجمته بالتحلل او الفوران العظيم. وهذا السيناريو ممل مقارنة بالسيناريو السابق. ففيه  يموت الكون ويمضى منتحبا فى هدوء. وهذا هو السيناريو اللذى يؤمن به معظم الفيزيائيين اليوم. وفى هذا السيناريو تكون سرعة تمدد الكون عالية فلا تسمح له بالانكماش مرة اخرى. اذن تستمر النجوم فى حياتها العادية ثم تموت بعد ذلك موتا طبيعيا وتتحول الى ثقوب سوداء. وتتحول الثقوب السوداء فى النهاية الى مقابر كونية لكل الكون. لكن ما اكتشفه الفيزيائى المرموق ستيفن هوكنج. ان الثقوب السوداء لا تبقى دوما. فهى ايضا تتحلل ببطء. كما يتحلل قرص دواء فوار عندما نضعه فى الماء. فالثقوب السوداء تتحول بعد مرور احقاب طويلة الى اشعاعات. وسيتحول كل الكون بكل مادته فى النهاية بعد ذوبان الثقوب السوداء الى فوتونات وبعض الالكترونات البسيطة. وفى هذا السيناريو لا ينتهى الزمن ولكنه يفقد معناه. حيث يفقد اتجاهه. ولن يصبح لمفهوم المدة الزمنية معنى لانعدام وجود ما يمكن ان نصنع منه ساعة صالحة. كل ما سيتبقى من الكون سيكون عبارة عن فوتونات وجسيمات اولية عديمة الكتلة. ولبناء ساعة ما فاننا نحتاج الى ذرة واحد بحد ادني.

السيناريو الثالث هو الارتداد العظيم او big bounce . وفى هذا السيناريو بعد ان ينكمش الكون كما فى سيناريو الانسحاق العظيم ستكون هذا بداية لانفجار عظيم جديد وتكون هذه دورة حياة جديدة. ومن المنتمين لهذه المدرسة الرياضى والفيزيائى اللانجليزى الشهير بنروز.

السيناريو الرابع هو التجمد العظيم او big freeze . وهذا السيناريو ينبع من نظرية الاوتار الفائقة: ويقول ان كوننا عبارة عن غشاء رقيق. ولكنه غشاء رباعى الابعاد فى كون ذى ابعاد اكثر. وفى الحالة العادية ينساب هذا الغشاء فى الكون المتعدد الابعاد بانسيابية. لكن قبل النهاية فان هذا الغشاء يتحرك بسرعة تقارب سرعة الضوء او تتكون فيه انحناءات ضخمة فى الابعاد الاعلى مما يجعل الحركة فيه مستحيلة.وسيتوقف الزمن تماما كما يتوقف الزمن بالنسبة لجسم يتحرك بسرعة الضوء. وهنا  سينتهى الزمن تماما كما ينتهى الزمن فى قلب ثقب اسود. ومن نبوءات هذا السيناريو ان كون ينتهى وفق هذا السيناريو سوف يلاحظ ان المجرات البعيدة عنه تبتعد عنه بسرعة غير مفهومة و اعلى من السرعة المحسوبة رياضيا. و الغريب ان هذا هو مانلاحظه الان. ولذلك يفترض العلماء وجود الطاقة السوداء!.

السيناريو الخامس هو التمزق العظيم او big rip . وهذا السيناريو يعتمد على الطاقة السوداء ويفترض انها لن تبقى ثابتة فى المستقبل ولكنها ستزداد قوة. ولذلك فى المستقبل ستتباعد المجرات عن بعضها بسرعات عالية. وتصبح كما لو انها تنتمى الى اكوان مختلفة فلن يصل الضوء فيما بينها. بل ستتفتت المجرة الواحده عن نفسها. بل ستتفتت مجموعتنا الشمسية وينطلق كل كوكب فى اتجاه مختلف. بل ستتمزق الارض نفسها الى اجزاء متناثرة بل حتى الذرات نفسها لن تسلم من ازدياد نشاط الطاقة السوداء  فستنقسم وتنفصل عن بعضها

السيناريو السادس الفرملة العظيمة او big brake . وهذا السيناريو يعتمد ايضا على الطاقة السوداء ولكنه عكس السيناريو السابق ففى المستقبل  سيحدث العكس. ستعمل فجأة هذه الطاقة فى الاتجاه العكسى وتعمل على فرملة الكون فورا. تنشأ عجلة تسارع قيمتها سالب مالانهاية

السيناريو السابع هو الارتجاج العظيم او big lurch. وهو يشبه السيناريو السابق وهو ظهر معه فى نفس العام 2004 . ولكن هذا السيناريو لا يعتمد على الطاقة السوداء ويقول ان المادة من تلقاء نفسها ستصل الى هذه الحالة.

وفى كل السيناريوهات السابعة نستطيع ان نلمح الصفر. فاما سينكمش الكون الى نقطة واحدة لا ابعاد لها وذلك تجسيد للصفر بشكل صريح. او انها تعتمد على الطاقة السوداء اللتى يقول العلماء ان مصدرها هو طاقة الصفر. او كما فى السيناريو الرابع المبنى على نظرية الاوتار الفائقة اللتى تتحاشى الصفر بشكل صريح وتقصيه من ميدان الفيزياء وتحل مكانه ثوابت صغيرة وهى ثوابت بلانك.!

 

ظاهرة دوبلر

تصف قوانين الفيزياء عالمنا و حوادثه بمنتهى الدقة.  او على الاقل فهى تحاول ذلك. ولذلك اذا اردنا البحث عن تطيبقات قوانين الفيزياء فليس علينا الذهاب الى المختبر او الغوص فى اعماق مئات من صفحات كتب الفيزياء. لا. بل علينا فقط ان نفتح اعيننا جيدا وننظر حولنا. فكل ما يحدث حولنا هو تطبيق مباشر لقوانين الفيزياء. لا عب كرة قدم يسدد ضربة جزاء او طفل يلهو بفقاعات الصابون. كل هذا تصفه قوانين الفيزياء. و الامر الرائع ان الفيزياء تعامل كل الامور بنفس المعيار. تافهة كانت او مهمة. فهى تقيس الامور بنفس المسطرة وتزنها بنفس المكيال. وفى حقيقة الامر فانه لا يوحد امر نستطيع ان نصفه بالتافه واخر بالمهم. قكل عالمنا ساحر وبديع. ولكنها لعنة الرتابة و الاعتياد اللتى تضع غشاوات سميكة فوق اعيننا فلا نعد نستطع ان نرى الجمال ونقدره. وتكون سعادتنا شديدة عندما ينقشع احيانا شيئا ما من هذه الغشاوة فنرى امرا كان امامنا طوال الوقت  ولكنه كان فى نفس الوقت مستورا عنا. وبهذه الروح نتناول موضوع اليوم الخاص بظاهرة دوبلر.

وظاهرة دوبلر هي اكتشاف قديم. ويعودالفضل فى اكتشافها الى فلكى وفيزيائى نمساوي يدعى دوبلر فى القرن التاسع عشر. زمع ذلك  فللظاهرة تطبيقاتها الهائلة فى حياتنا اليوم. وبالرغم من  ان هذه الظاهرة تنتمى الى ميدان الفيزياء الكلاسيكية الا ان لها ايضا دورها المهم فى  ميدان الفيزياء الحديثة وخاصة ميدان الكوزمولجى. وظاهرة دوبلر توضح تأثير الحركة على الاحساس بتردد بالموجات. ويمكننا تلخيص امر هذه الظاهرة فى الخلاصة التالية: اذا كان مستقبل الموجات فى حالة حركة نسبية باتجاه مصدرها فانه يشعر بان لها تردد اعلى من حقيقتها. والعكس صحيح فاذا كان مستقبل الموجات يتحرك مبتعدا عن الموجات او مصدر الموجات يتحرك مبتعدا عن المستقبل فتبدو هذه الموجات بالنسبة لمستقبلها وكأنها ذات تردد اقل.

والان لنأتى للتفاصيل. ولنرى اولا حالة ان المستقبل ثابت بينما مصدرالموجات متحرك:

بطة تسبح وظاهرة دوبلر

ولنبدأ بمثال من الموجات الموئية. فالموجات المائية تتمتع بميزة هامة وهى اننا نستطيع ان نرى الموجات بشكلها النمطى امام اعيننا. فعندما نلقى بحجر فى الماء تتكون موجات مائية عبارة عن دوائر متداخلة ومتحدة المركز. وهذا الشكل نعرفه كلنا جيدا. لكن ماذا يحدث عندما يكون مصدر الموجات متحرك؟. فماذا مثلا سوف يكون شكل الموجات المائية عندما تسبح بطة باتجاه اليمين كما بالصورة ؟  ستكون الموجات عبارة عن دوائر متداخلة ولكنها لن تكون متحدة المركز لان مركز الموجات يسبح باتجاه اليمين! ولذلك فستبدو الموجات بالنسبة لمستقبل يوجد على يمين البطة وكأنها ذات طول موجى اقصر وبالتالى تردد اعلى. حيث ان الطول الموجى والتردد هما صفتان عكسيتان. وتبدو الموجات بالنسبة لراصد على يسار البطة بطول موجى اطول وبالتالى تردد اقل. واذا حذفنا  البطة من الصورة  باستخدام برنامج كالفوتوشوب وتركنا الموجات على حالها فسوف نستطيع مع ذلك ان ان ندرك فورا ان مصدر الموجات يتحرك باتجاه اليمين. هذا المثال البسيط يجسد ظاهرة دوبلر.  وهذا هو كل شئ!

مثال اخر اذا استتبدلنا الموجات المائية بموجات ضوئية فسنصل الى نتيجة مشابهة تماما. فمصدر ضوئى يتحرك باتجاهنا سوف يبدو لنا بطول موجى اقل وبالتالى بتردد اعلى وبيدو لنا وكأن طيفه الضوئى منزاح نحو اللون الازرق حيث هو الاعلى ترددا فى الالوان. بينما مصدر ضوئى يتحرك بعيدا عنا سيظهر لنا بطول موجى اطول وبتردد اقل وسيبدو طيفه منزاحا باتجاه اللون الاحمر وهو الاقل ترددا فى الالوان. وهذه هى عين الظاهرة اللتى استغلها هبل فى اكتشاف ان المجرات  تتباعد عنا. وان الكون فى حالة اتساع مستمر. وهذه من اهم الادلة على صحة نظرية الانفجار العظيم big bang

طائرة تخترق جدار الصوت

مثال اخر من عالم الموجات الصوتية: فاذا استبدلنا البطة فى الصورة بطائرة تطير بسرعة الصوت. فسنجد ان الموجات ستنزاح باتجاه حركة الطائرة كما فى حالة البطة تماما. لكن فى هذه الحالة فان مقدمات الموجات ستتماس كلها فى نقطة واحدة وتشكل ما يشبه حائطا مضغوطا او جدارا. وهذا ما يطلق عليه مجازا جدار الصوت.  واذا طارت الطائرة بسرعة اعلى من سرعة الصوت فعليها ان تخترق هذا الجدار كما فى الصورة. مما ينشأ عنه صوت فرقعة مدوية.

زلزال سان فرانسيسكو

مثال رابع من ميدان مختلف وهو ميدان الزلازل. فى زلزال سان فرانسيسكو عام 1906 كانت الخسائر فى مدينة سانتا روزا اعلى منها فى مدينة سان جوزيه بالرغم من ان المدينة الثانية كانت اقرب الى قلب الزلزال. والتفسير يرجع مرة اخرى فى ظاهرة دوبلر. فالسبب التقليدي للزلازل السطحية هو كسر ما يحدث بداخل طبقة الارض. وفى حالة زلزال سان فرانسيسكو كان الكسر عن طريق قوي القص. اى ان صفائح الارض تنزلج امام بعضها على امتداد صدع سان اندرياس الموجود بالصورة. وفى المثال السابق ابتدأ الكسر  بالقرب من سان جوزيه ولكنه توسع وانتشر باتجاه سانتا روزا . تماما كما السحاب او السوستة الموجود فى الملابس عندما نفتحه. اذن فالمدن اللتى تقع باتجاه انتشار الكسر الارضى تشعر بالزلزال بتردد وبطاقة اعلى منه من المدن اللتى تقع فى الجهة العكسية منه. ومن حسن الحظ ان سرعة انتشار الكسر الارضى فى باطن الارض اقل من سرعة انتشار الموجات الزلزالية فوق سطح الارض . والا كنا سنحصل على حالة كحالة الطائرة اللتى تخرق جدار الصوت وستكون النتائج اكثر كارثية.

مثال اخر من ميدان مختلف. فى سباقات السيارات الفورمولا 1 نسمع للسيارات صوتا مميزا. او حتى عندما نقف على طريق السفر السريع نستمع الى صوت السيارات العابرة فنسمع هذا الصوت المميز. ولا اعنى هنا شدة الصوت. فبالطبع كلما تكون السيارة اقرب منا تكون شدة الصوت اعلى. لكننى اقصد نغمة الصوت.  سنجد ان للسيرات نغمة مميزة قد تبدو هكذا iiiiuuuu . لكن ما هو السبب فى تغيير نغمة الصوت؟ فحال السيارة يبقى كما هو. السبب هو ظاهرة دوبلر. فعندما تقترب منا السيارة بسرعة عالية يكون تردد الصوت اعلى من حقيقته وعندما  تبتعد عنا يكون  تردد الصوت اقل!

الان سنحاول ان نجد الصياغة الرياضية لظاهرة دوبلر. وهذه عملية سهلة عكس ما قد يتوقع البعض. ونحتاج فقط الى معرفة قاونين يربطان خواص الموجات. القانون الاول يقول ان الزمن الدوري او زمن اهتزازة واحدة هو مقلوب التردد أو

T = 1/f        1

اما القانون الثانى فيربط بين سرعة انتشار الموجات c والتردد f والطول الموجى L ونلاحظ العلاقة العكسية السابق ذكرها بين التردد والطول الموجى فاحدهم يقع فى البسط والاخر فى المقام. فعندما يكون احدهما كبيرا يكون الاخر صغيرا:

f= c/L      2

اذن فى الحالة العادية  سيكون الطول الموجى طيقا اللقانون الثانى
L = c/f

ولكن حيث ان مصدر الموجات يتحرك. ففى زمن دورة واحدة  T  سيتحرك مصدر الموجات بالسرعة v اذن سيكون الطول الموجى بالنسبة لمستقبل يقع باتجاه انتشار الموجة اقل. وهنا ساتستخدم الرمز R للتعبير عن المستقبل او Reciever

L(R) = c/f – v/f

مع ملاحظة  ان سرعة الموجات ستبقى بالنسبة للمستقبل ثابتة. فسوف تصل الموجة الاولى فى وقتها تماما سواء تحرك المصدر ام لا. فقط اذا تحرك المصدر ستصل الموجات التالية بشكل اسرع. ولكن هذا سوف يفسره المستقبل بان الطول الموجى يقل. اذن بالتعويض فى القانون الثانى نحصل على:
f(R) = f/(1-v/c)       3

واذا كان مصدر الموجة يتحرك مبتعدا عن المستقبل سيكون التردد من وجهة نظر المستقبل كالتالى:
f(R) = f/(1 + v/c)     4

الان سننتقل الى الحالة الثانية عندما يكون مصدر الموجة ثابتا ولكن المستقبل هو اللذي يتحرك:

وهنا قد يتعجب البعض.  الن تكون النتيجة نفسها كما لو كان مصدر الموجة هو المتحرك؟ اليس هذا هو جوهر النظرية النسبية لاينشتاين؟ فلا توجد حركات مطلقة. فكل الحركات نسبية . فحتى لو كان المستقبل  للموجة متحركا. افليس بامكاننا تخيله ثابتا واعتبار مصدر الموجات هو المتحرك فى الاتجاه المعاكس ثم نحصل على نفس النتيجة الاصلية بدون ادنى تغيير؟ هذا سؤال جيد ولكننا سوف نرجئ الاجابة عليه الان. وسنعود له لاحقا. لكن من وجهة النظر الاخرى دعونا نتخيل الاتى: لو كان مستقبل الموجات يتحرك بسرعة الصوت مبتعدا عن مصدر صوتى فان الصوت لن يصل اليه وسيبدو ان التردد صفر. لكن اذا كان المستقبل ثابتا ومصدر الصوت هو اللذي يبتعد بسرعة الصوت فان الصوت سوف يصل.  صحيح بنصف التردد ولكنه سوف يصل. لماذا؟ لاننا اغفلنا شيئا مهما فى هذا الموضوع حتى الان وهو  الهواء او وسط انتقال الصوت. فيمكننا تشبيه الموقف بسباق  التتابع فى العاب القوي.  حيث يتناوب 4 عدائين على تناول عصا فيما بينهم حتى نهاية السباق. فمصدرالاشارة الصوتية  هو العداء الاول و المستقبل هو العداء الثالث. اما العداء الثانى فهو الهواء. وهو شئ لانراه ولكنه موجود وبمجرد ان يستلم عصا التتابع من العداء الاول يقوم دائما بتسليمها بنفس السرعة c . صحيح ان المسافة تتباعد دائما بين العدائين الاول و الثالث لكن طالما تسلم العداء الثانى الاشارة الصوتية من العداء الاول فانه يقوم بعملية التسليم!!

ودعونا نرى الصياغة الرياضية. فى هذه المرة ستبقى شكل الموجات على هيئة دوائر متحدة المركز. فالمستقبل هو اللذى يتحكر باتجاهها بالسرعة v

اذن الطول الموجى بالنسبة للمستقبل سييقى كما هو
L = c/f

لكن من ناحية اخرى سيشعر المستقبل ان الموجة الاولى سوف تصل اليه سريعا بفعل حركته هو. او ان
c(R) = c + v
مرة اخرى بالتعويض فى المعادلة 2 نحصل على
f(R) = f(1 +v/c)      5
اما اذا كان المستقبل متحركا مبتعدا عن المصدر فسيكون التردد
f(R) = f(1 – v/c)    6

وهنا تجدر الملاحظة بانه اذا كانت سرعة الحركة النسبية  صغيرة بالنسبة لسرعة انتشار الموجة. كما فى حالة الموجات الضوئية. حيث ان سرعة الضوء هى اعلى السرعات الموجودة فى الكون  تتحول الحالتان السابقتان الى حالة واحدة فرقميا وبشكل تقريبى  نحصل على
1+0.1 = 1.1 = 1/(1-0.1) = 1.1111

دعونا الان نرى تطبيقا عمليا للنقطة السابقة وهو جهاز الرادار اللتى تستخدمه الشرطة فى رصد السيارات المسرعة. فهذا الجهاز مبنى على ظاهرة دوبلر. فالجهاز هو مصدر موجات كهرومغناطيسية ذات تردد ثابت. وعندما تقترب سيارة مسرعة من الجهاز. تبدو لها هذه الموجات كما سبق بتردد اعلى. وتقوم السيارة المسرعة بعكس هذه الموجات مرة اخرى باتجاه جهاز الردار. وهنا سوف يلاحظ الجهاز الفارق بين الموجات الصادرة والموجات المرتدة وعن طريق حساب الفارق يستطيع تحديد سرعة السيارة بدقة وان كانت تجاوزت السرعة المسموحة اما لا!!

فى النهاية نعود الى اصدقاء النظرة النسبية ونجاوب على السؤال تعارض ظاهرة دوبلر مع النظرية النسبية. افلن نستطيع ان نتعرف على حركتنا المطلقة مثلا عن طريق التجربة الذهنية التالية؟: نتخيل ان لدينا الة نفخ ذات نغمة معينة نعرفها جيدا ثم نعطيها لانسان ونطلب منه ان يعزف على هذه الالة. فى هذه الاثناء نركب دراجة وننتحرك بها بسرعة الصوت باتجاه مصدر الصوت. وحيث ان اذننا موسيقية سنسمع النغمة ذات صوت مختلف وان لها تردد اعلى ويساوي ضعف ترددها الاصلي. وهنا سوف ندرك اننا فى حالة حركة مطلقة بسرعة الصوت باتجاه مصدر الصوت!! . لكن هذا التحليل غير سليم فهنا قد اهملنا دور الهواء وهو مرة اخرى العداء الثانى فى سباق التتابع! فنحن بامكاننا تخيل المشهد على الصورة التالية عندما نضغط على دواسات الدراجة تتحرك الكرة الارضية كلها بما تحمل تحت دراجتنا . فسيقترب منا الزامر بسرعة الصوت. كما سيتحرك الهواء باتجاهنا . ودليلنا هو ذلك الشعور اللذى سوف نشعر به عندم يلفح الهواء وجهنا وجسمنا من الامام ويضغطهما بقوة كبيرة. اذن نحن ثابتون ويتحرك الصوت فى الهوء بسرعة c ثم يتحرك الهواء كله باتجاهنا بالسرعة c . وحيث ان المسافة الموجية ثابتة فسيظهر لنا الصوت بضعف التردد!! مرة اخرى النظرية النسبية تنتصر.

لكن ما غيرته النظرية النسبية فى قانون دوبلر كما فعلت فى قوانين كثيرة اخرى. هى انها غيرت صورته الرياضية ولكن ليس فى جوهره. فعند جمعنا للسرعات لايمكننا ان نجمعها حسابيا كما فعلنا فى اشتقاقنا السابق . كما ان علينا ان نراعى ان الزمن والطول هى مقادير نسبية مختلفة حسب الناظر لها. وظاهرة دوبلر الموافقة للنظرية النسبية تبقى فى  الجوهر كما هي ولكنها تحمل  فقط صياغة رياضية مختلفة بعض الشئ.

 

ساعة الصفر وجائزة نوبل

عنوان موضوع اليوم هو ساعة الصفر كما تصلح قرائته على انه الساعة صفر ايضا. والمقصود بساعة الصفر هنا هو لحظة بداية الفيزياء وهي قد تكون لحظة بداية الكون فى نظر البعض. وموضوع اليوم تتقاطع فيه جوانب فيزيائية مع اخرى فلسفية ودينية وتاريخية.

كان الاغريق يظنون ان الكون ازلى و ابدي. وكان للمعلم الاول ارسطو  باع طويل فى هذه الرؤية. فهو كان يحتقر فكرة  العدم ويرفض  وجوده فى كوننا او حتى ان يكون سابقا له.  فاذا كان الكون قد ظهر فى لحظة ما فماذا كان موجودا قبل ذلك؟ من المستحيل ان يكون العدم من وجهة نظر ارسطو. اذن فان كوننا ازلى لا بداية له.  وبالتالى سيكون سرمدي لا نهاية له.

وبالرغم من ان تعاليم اليهودية و المسيحية والاسلام توضح ان الكون تم خلقه. الا ان افكار ارسطو بقت عصية على الكسر. وتطلب الامر مجهود ضخم لزعزعة الصورة اللتى رسمها ارسطو للكون. ومن ضمن هذه المجهودات لا يمكن اغفال الدور اللذى لعبه الغزالى ومجهوده فى تسفيه بعض اراء ارسطو والمتفلسفين ومن لف لفيفهم.

وحتى بعد انتهاء مرحلة سطوة اراء ارسطو فان صورة كوننا الثابت عبر الزمن واللذى لا يتغير شكله بقيت صامدة. حتى ان  عالم اسثثنائى مثل اينشتاين عندما توصل الى النظرية النسبية العامة اللتى تفسر قوة الجاذبية وايقن ان نظريته تحطم صورة الكون الثابتة لم يعترف بذلك. فقوة الجاذبية لابد وانها تجذب كل اطراف الكون نحو مركزه. و لا يمكن ان يبقى الكون ثابتا. ولكن  اينشتاين ادخل على معادلاته ثابتا جديدا اسماه الثابت الكونى  يعمل على تمدد الكون حتى يبقى شكله ثابتا. وقد ندم اينشتاين لاحقا على تصرفه هذا اشد الندم وقال ان هذا كان اكبر خطأ علمى ارتكبه فى حياته. بل حسب كلمات اينشتاين فقد قال ان هذا كان اكبر استحمار فعله فى حياته! وموقف مشابه اتخذه ايضا نيوتن اللذى ادرك ايضا انه طبقا لنظريته اي نظرية الجاذبية لنيوتن ان النجوم لابد و ان تجذب نفسها و انها لن تبقى ثابتة فى مكانها و لابد ان ينهار الكون باتجاه مركزه. ولكى يبرر عدم الانهيار قال ان سبب استقرار الكون هو ان عدد النجوم ليس رقما محدودا وان الكون لا نهائى. وبالتالى فلا يوجد للكون مركز يتم الانهيار باتجاهه!! وهذا الرأى يوضح المشاكل الجمة اللتى نعانيها عندما يصل الامر الى المالانهاية والصفر.

وفى الحقيقة فان للعلماء السابقين عذرهم فصورة الكون المعروفة حتى بداية القرن العشرين تختلف عن صورته كما نعلمها اليوم. وكان المسئول عن هذا التغير الفلكي الامريكى ادوين هبل Edwin Hubble حيث استطاع هذا الاخير من تطوير تلسكوب هائل امكنه من سبر اغوار الفضاء. وقام هبل برصد نوع معين معين من النجوم النابضة يدعى cepheids وهذه النجوم تتغير شدة اضائتها بشكل دورى فتبدو كما انها تومض كل 5 ايام مثلا. وتتميز هذه النجوم النابضة ان لها كلها نفس درجة الحرارة تقريبا. وبناء على ذلك فلابد وان شدة اضائتها الظاهرية تتوقف فقط على بعدها عنا. فكلما كان النجم بعيدا كلما بدت شدة اضائته خافته. وهذا امر منطقى ومفهوم. واكتشف هبل ان بعض هذه النجوم يبعد عنا بعشرات بل ومئات السنوات الضوئية. بل اكتشف هبل نجما خافتا من هذا النوع يبعد عنا مليون سنة ضوئية  يقع فى سحب اندروميدا الغازية. وكانت هذه مفاجئة لهبل. ففقد اكشف هبل ان سحب اندروميدا الغازية هى ايضا مجرة كاملة وبسبب بعدها الرهيب تبدو وكانها مجموعة سحب غازية. وكانت هذه مفاجئة . فقد كان العلماء وقتها يعتقدون ان كل الكون لا يحتوى الا على مجرة واحدة وهى مجرتنا: مجرة درب التبانة. بل اكتشف ايضا هبل ان كوننا يحتوى على العديد من المجرات الاخري!! ثم قام هبل بقياس سرعة حركة هذه المجرات بواسطة ظاهرة دوبلر وهنا توصل هبل الى اكشاف مذهل. فقد اكتشف هبل ان جميع المجرات تبتعد عنا بسرعة رهيبة وتبدو كما لو انها تفر منا فرارها من مجذوم. وليس هذا فحسب بل ان المجرات الاكثر بعدا عنا هى الاعلى فى سرعة فرارها منا!!

الانفجار العظيم

اذن كيف نفهم هذا؟ نحن لا نستطيع ان نفسر ذلك على اننا مركز الكون وجميع المجرات تبتعد عنا. لا. بل يمكننا تشبيه ذلك بالمثال التالى. لو تخيلنا ان لدينا بالونا هوائيا. ثم وضعنا فوقه بعض العلامات المميزة. ولنتخيل ان موقعنا فى الكون يماثل احد هذه العلامات ثم قمنا بنفخ البالون فماذا سوف نلاحظ ؟ سنشاهد ان جميع العلامات الاخرى على سطح البالون تبتعد عنا وكلما زاد بعد نقطة ما عنا كلما بدا لنا ان سرعتها  تزداد!! ولو تخيلنا اننا نصور مشهد تمدد الكون هذا سينمائيا. ثم قمنا بعرض هذا الفيلم للوراء بسرعة عالية فسيبدو الكون كما لو انه يصغر ويضيق حتى يصل الى نقطة واحدة ضئيلة قبل 14 مليار سنة!! وهنا يظهر امامنا الصفر مرة اخرى. وفى هذه النقطة تكون الكثافة لانهائية ودرجة الحرارة عالية لا يمكن تصورها. وعند هذه الحالة اللتى تشبه حالة الثقب الاسود تقفد كل قوانين الفيزياء معناها و لا يمكن تفسير قوانين الكون قبل هذه اللحظة. فهذه اللحظة تمثل لحظة ولادة الفيزياء برمتها. وتسمى هذه النظرية بنظرية الانفجار العظيم او big bang

لكن ربما يظهر سؤال الا يوجد تفسير اخر لموضوع تباعد المجرات سوى هذه التفسير السابق؟ الاجابة هى بلى. بل ان اسم النظرية كان اسم السخرية. فالترجمة الفعلية لاسم النظرية هو الفرقعة الكبيرة . فمنذ بداية اكتشاف هبل ظهرت نظريتان نظرية الانفجار العظيم السابق الحديث عنها. كما انه قد ظهرت ايضا نظرية الحالة الثابتة او ال steady state وكانت نظرية الحالة الثابتة تقول صحيح ان المجرات تتباعد. لكن فى مكان ما فى رحم الفضاء تتولد مجرات جديدة تملأ الفراغ الناشئ وبنفس السرعة فيبقى في النهاية شكل كوننا ثابتا لا يتغير. وانقسم العلماء بين هاتين النظريتين وكان كل عالم يختار احد هذه النظريتين بناء على قناعاته العلمية والايديولوجية. واستمر الموضوع هكذا حتى منتصف القرن العشرين حين انتصرت نظرية الانفجار العظيم. وهنا نصل الى جائزة نوبل المذكورة فى العنوان.

كان العالم الروسى فريدمان من اوائل الفيزيائيين المقتنعين بتوسع الفضاء. وكان ذلك بشكل مستقل عن اكشافات هبل وبناء على حساباته النظرية الخاصة. وانتقلت فكرة فريدمان عبر تلميذه جاموف الى الولايات المتحدة الامريكية حيث هاجر الى هناك وعمل استاذا. وفى جامعة برنستون كان هناك فريق بحثى يتتبع نظرية الانفجار العظيم فى بداياتها ويرسم سيناريو لكيف كان شكل الكون فى بداياته. وكان هذا الفريق البحثى يشمل العالمين ديك و بيبلس اللذان كانا يتتبعان افكار جاموف. وتوصلوا الى انه بعد 300 الف سنة تقريبا من  بداية الانفجار العظيم تمدد الكون الى حجم يصل الى واحد فى الالف من حجمه الحالى. وبردت درجة حرارته الى 3000 درجة فى المتوسط. وفى هذه الدرجة المنخفضة نسبيا ظهر الضوء حرا لاول مرة. ففى هذه المرحلة تمت عملية تدعى ال recobmination حين اتحدت الالكترونان مع البروتونات وتحرر الضوء من اسر هذين العنصرين واصبح كانه سيف قد استل من غمده. وفى هذه المرحلة ملا الكون ضوء احمر يميل الى الاصفرار. ويمكن تشبيه هذه المرحلة بيوم ذي شبورة كثييفة ثم بدأت هذه الشبورة فى الانقشاع  حتى بدأ الضياء واضحا جليا. وهنا بدأت فكرة فريق العلماء. ماذا حدث بعد هذه اللحظة؟ وجدوا ان الكون استمر فى التمدد. وتمدد معه هذا الضياء حتى لحظتنا الحالية هذه. ولذلك فلابد ان يبقى هذا الضياء موجودا حولنا فى كل مكان لكن درجة حرارته لن تبقى 3000 ولكنها  ستنخفض الى 3 درجات كلفن. وكما نعلم من قانون بلانك ان كل جسم ذي حرارة يشع طيف كهرومغنطيسى ذو نمط معين. فلابد اذن ان يكون حولنا هذا النمط الكهرومغناطيسى. وكان الفريق البحثى يبحث  عن هذا الاشعاع الكونى القديم و الحالى فى نفس الوقت ولكن بلا جدوي.

ننتقل الان الى مشهد اخر الى مكان قريب من جامعة برنستون حيث كان يعمل فيزيائيان هما بنزايوس و ويلسون فى شركة بل للاتصالات. وهى كبرى الشركات فى ذلك الوقت. وكان الفيزيائيان يستخدمان هوائيات حساسة جدا. وكان يزعجهم  شوشرة مستمرة على الارسال. موجات كهرومعناطيسية قصيرة فى نطاق موجات الميكرويف. وكانت هذه الشوشرة لا تنقطع ابدا صباحا ام مساء صيفا ام شتاء. ومهما غيروا اتجاه الهوائيات يبقى التشويش موجودا. وادرك الفيزيائيان ان مصدر هذا التشويش ليس مكان ثابت على سطح الارض او حتى صادر من المجموعة الشمسية. لان التشويش يبقى فى جميع فصول السنة وفى جميع الاوقات وبغض النظر عن اتجاه الهوائي. وكان الفيزيائيان يعتقدان ان هذه المشكلة نتيجة لروث الحمام. فكانوا كل يوم ينظفوان الهوائى جيدا. ولكن النتيجة بقيت كما هى. وعن طريق المصادقة يسمع العالمان بمحاولات فريق العلماء فى الجامعة القريبة منهم ويدركون انهم قد توصلوا الى ذلك الاشعاع الكونى اللذى يبحث الفريق عنه. وينشرون اكتشافهم ذلك. وكان ذلك نبأ عظيم على المجمتع العلمى ويحصل بنزايوس وويلسون على جائزة نوبل فى الفيزياء ويخرج الاخرون خاليي الوفاض. ويري البعض فى هذا ان هيئة جائزة نوبل تريد ان تقدر من يقومون بالتجارب العملية على اساس انها الاعلى تكلفة وترهق عاتق منفذيها اقتصاديا. لكن تبقى هذه الجائزة مختلف فى شأنها فى نظر الكثيرين ويرون انها ذهبت الى من لا يستحق. فقد ذهبت الى فيزيائيين هم الاقل علما فى ميدانهم. بل وعلموا بامر اكتشافهم عن طريق غيرهم. بل قد ينطبق عليهم عنوان المسرحية الكوميدية شاهد ماشافش حاجة!!

 

 

 

نظرية الاوتار الفائقة وتجنب الصفر

قبل 25 قرنا تقريبا واجه الاغريق مشكلة عويصة. وكانت هذه المشكلة مفارقة زينون. وهى مفارقة تتعلق بالصفر والمالانهاية. وكانت محاولة جماعة الذريين من اهم المحاولات لحل هذه المفارقة. ويتلخص جوهر هذه المحاولة فى السؤال التالي: اذا تخيلنا ان لدينا خيطا ومقص. ثم قمنا باستخدام المقص بقص الخيط الى نصفين. ثم اخذنا احد النصفين وقمنا بقصه بدوره باستخدام المقص ايضا الى نصفين. فهل نستطيع ان نكرر هذه العملية الى مالا نهاية؟ كانت اجابة الذريين على هذا السؤال لا. فبامكاننا تكرار عمليات القص حتى نصل الى الذرة بحد اقصى. وهي اقل طول ممكن فى الكون. وهى غير قابلة للتنصيف. وكلمة ذرة بالاغريقية هي atomos وترجمة هذه الكلمة حرفيا تعني الغير قابل للتقسيم. اى ان حل الذريين لمفارقة زينون كان عن طريق ابعاد الصفر من الوجود. وفى عصرنا الحديث نصل الى موقف مشابه.

تقوم الفيزياء الحديثة على عمودين: النظرية النسبية ونظرية الكم. ولكن المشكلة ان هاتين النظريتين متناحرتان ومتنافرتان من الاساس. فالنظرية النسبية تقوم على عالم الزمكان المتصل واللذى لا انفصال فيه. بينما عالم الكم يرفض العالم المتصل ويرى الكون على انه قفزات كمية لا اتصال فيه. وهذا الموقف يشبه الخلاف اللذى نشأ بين الرياضيين فى القرن التاسع عشر بل ولايزال قائما حتى الان. فالبعض يرى عالم الرياضيات كانه عالم الهندسة المتصل بينما البعض الاخر يرفض هذه الرؤية ويرى عالم الرياضيات الحقيقى هو عالم الجبر بارقامه المنفصلة. وليس هذا الخلاف الوحيد فنتائج النظرية النسبية حتمية ومحددة. بينما نتائج نظرية الكم قائمة على حساب الاحتمالات. ولذلك كان البرت اينشتاين يعترض على نظرية الكم مع انه كان احد ابائها الاول ويقول قولته المشهورة: ان  الله لايرمى حجر الزهر. وكان رد نيلس بور عليه وهو احد اقطاب العلماء فى المعسكر المخالف له: كف يا البرت عن تحديد ماللذى يفعله الله او لا !!

لكن استطاع علماء الفيزياء بشكل برجماتى من تذليل النظريتين لتحقيق اهدافهم. فالنظرية النسبية تفسر قوة الجاذبية بينما نظرية الكم تفسر الثلاث قوى الباقية: القوة الكهرومغناطيسية والقوة النووية الضعيفة والقوة النووية القوية. او بتعبير اخر فان النظرية النسبية تعنى بعالم الاجسام الكبيرة ذات الكتل المعتبرة والمسافات البعيدة واللتى قد تصل الى ملايين السنوات الضوئية او ما يعرف Macrocosm اما نظرية الكم فهى تهتم بعالم الذرة وما دونها او ما يعرف ب microcosm . ولكن مع ذلك فان هناك حالات حرجة تقع على خط التماس بين العالمين السابقين. فمثلا الثقب الاسود هو من حيث كتلته الهائلة ينتمى بلاشك الى عالم النظرية النسبية ولكن من حيث حجمه اللذى يبلغ الصفر فانه ينتمى الى عالم نظرية الكم. ولذلك تعجز كل نظرية على حدة من التعامل مع الثقب الاسود. بل لا بد من تضافر  جهود النظريتين معا لحل هذا الموضوع. ونجد انه فى حالة اخرى وهى لحظة بداية الانفجار العظيم فان كلا النظريتين تفشلان فى سبر اغوار هذه اللحظة. ولذلك فان هناك رغبة عند الفيزيائيين منذ امد ليس بقصير باكتشاف نظرية جديدة توحد بين النظريتين السابقتين وتزيل التناقض بينهما وتفسر ما هو مفسر الان بالفعل وتزيد عليه حل الالغاز الباقية حتى اليوم. ويطلق على هذه النظرية اسم فيه بعض من الفكاهة وهو نظرية كل شئ.

ونظرية الاوتار الفائقة هى مرشحة لشغل دور هذه  النظرية الموحدة او نظرية كل شئ. ولا تظهر فى نظرية الاوتار الفائقة تلك المشاكل اللتى واجهت نظريتي النسبية والكم. ذلك لان نظرية الاوتار الفائقة تتجنب مصادر المشاكل فى النظريتين السابقتين وتتبع مبدأ الوقاية خير من العلاج. فبداية المشاكل فى الفيزياء تأتى دائما من المالانهاية. فتلك هى الكمية اللتى لا تستطيع معظم نظريات الفيزياء ان تجد لها تفسيرا او تأويلا مناسبا. اما ماعدا ذلك من القيم فان الفيزياء تتعامل معها بسهولة. سواء كانت هذه القيم اعداد سالبة او مركبة فلا توجد اي مشكلة. وبوابة المالانهاية هى دائما الصفر. فاذا لم يكن هناك صفر فلن نحصل على مالانهاية. ولذلك  تلغى نظرية الاوتار الفائقة عمليا الصفر وتقول ان هناك طول معين وهو طول بلانك وهو اقصر طول ممكن فى الفيزياء. و لا معنى لوجود اي طول اصغر منه. وهذا الطول صغير جدا جدا ولكنه اكبر من الصفر. فهو يساوي تقريبا 1.6×10^-33 سم. كما ان هناك زمن بلانك وهو زمن ضئيل جدا ولكنه اكبر من الصفر و لامعنى لفترة زمنية اقل من زمن بلانك. ويساوي زمن بلانك 5.4×10^-44 ثانية. كما ان هناك كتلة بلانك. الى اخره.!!

ولتوضيح ذلك بشكل ادق دعونا نرى مثالا من ميدان نظرية الكم يتعلق بتحديد كتلة الالكترون و شحنته. فنظرية الكم هى انجح نظرية فيزيائية ظهرت فى التاريخ حتى الان. ونتائجها تتميز بالدقة الرهيبة. لكن العلماء واجهوا مشكلة معقدة عندما حاولوا حساب كتلة الالكترون او شحنته وفقا لمعطيات نظرية الكم. وكتلة الالكتروة وشحنته معروفتان من اكثر من قرن تقريبا من التجارب المعملية. وسوف يكون شيئا رائعا لو تطابقت النتائج اللتى تحسبها النظرية مع النتائج العملية اللتى نعرفها. لكن نتيجة الحسابات النظرية كانت محبطة. فنظرية الكم تقول ان الفراغ ملئ بالجسيمات الافتراضية  اللتى تولد وتختفى باستمرار. وتقول ايضا ان الالكترون الحقيقي يبقى مختبئا خلف تلك الجسيمات الافتراضية اللتى تتولد فوق سطحه.  فلو تخيلنا ان لدينا مجسا او ابرة دقيقة نلمس به الالكترون فسوف يرصد اولا تلك الجسيمات الافتراضية. ويجب علينا ان  ندفع هذا المجس للداخل باستمرار حتى نصل الى قلب اللالكترون. وعلى طول طريقنا حتى قلب الالكترون فاننا سوف نصادف جسيمات افتراضية لها شحنة وكتلة تزيف من قيم الالكترون الحقيقية وتعطيه قيما اكبر من حقيقته. لكن ما هى كتلة الالكترون وشحنته اللتى نحسبها عبر هذه الطريقة؟ وجد العلماء اننا عندما نغرس هذه الابرة فى جسم الالكترون حتى مسافة معينة نحصل على قيمة ممتازة جدا وتساوى القيمة اللتى نحصل عليها من القياس العملي. لكنن كلما تتوغل الابرة الافتراضية بداخل الالكترون فان الكتلة والشحنة تزيدان حتى تصل كتلة الالكترون وشحنته الى مالانهاية!!

وهذه نتيجة محبطة جدا وغريبة جدا. وتوصل الفيزيائى الامريكى فاينمان الى طريقة تمكنه من حساب كتلة الالكترون وشحنته و لا تعطى مالانهاية بحيث اننا نتوقف فى توغلنا بالمجس فى داخل الالكترون الى حد معين. وقد حصل فاينمان على جائزة نوبل لذلك الاكتشاف. لكن نظرية الاوتار الفائقة تحل هذه المشكلة بمنتهى السهولة. او بمعنى احرى فان هذه المشكلة لا تظهر فيها اساسا. فمشكلة نظرية الكم انها تعتبر ان الجسيمات الاولية كالالكترونات  لها كتلة ولكن حجمها صفر. فهى اشبه بنقاط. وهى هنا تشبه ثقب اسود  صغير. فالثقب الاسود له كتلة ولكن لا حجم له!! اما نظرية الاوتار الفائقة فتقول ان الالكترونات ليست نقاطا لا ابعاد لها. بل هى عبارة عن وتر ذي طول معين وهو طول بلانك. وهذه الاوتار تهتز وينتج عن اهتزازاها كل الظواهر الفيزيائية اللتى نعرفها. وكذلك فان باقى الجسيمات الاولية الاخري عبارة عن اوتار مهتزة ذات ابعاد صغيرة جدا. وبعض هذه الجسيمات تكون ذات بعد واحد وبعضها له اكثر من بعد. لكنها فى النهاية ليست نقاطا بلا ابعاد وليست اصفارا.

وبهذه الطريقة وبتجنب نظرية الاوتار الفائقة للصفر فان النظرية تخلو من كل تلك المشاكل اللتى تعانى منها نظريتا الكم والنسبية. وتستطيع النظرية ان توحد بين قوة الجاذبية وباقى القوي الثلاتة. و لاتحتوي النظرية على اى تنافر او تناقض بين اجزاءها.

لكن مع ذلك فان نظرية الاوتار الفائقة لها مشاكلها. اول هذه المشاكل ان نظرية الاوتار الفائقة تفترض ان عالمنا مكون من 10 ابعاد. وليست 4 كما تقول النظرية النسبية. بل ان احدى النظريات المنبثقة من  نظرية الاوتار الفائقة تقول ان عدد الابعاد هو 11. لكن ماذا عن هذه الابعاد الاضافية؟  وما معناها ؟ ولماذا لانشعر بها؟ و الا يعد هذا تناقضا مع الواقع القائم؟

اما عن هذه الابعاد الاضافية بخلاف الابعاد المكانية الثلاثة والبعد الزمنى فاننا  لا يمكننا ان نتخيلها . فهى ابعاد تفترضها النظرية الرياضية ولكنها لا تستطيع ان تعطى لها تصور حسى مباشر. وتقول النظرية اننا  لانشعر بهذه الابعاد الاضافية لانها  محصورة فى نطاق ضيق جدا. فمثلا سطح الورقة نقول عنه انه ثنائى الابعاد. مع انه فى الحقيقة ثلاثى الابعاد. فالورقة لها عمق وسمك ايضا. لكن نظرا لان سمك الورقة صغير جدا بالنسبة للبعدين الاخرين: الطول والعرض فاننا نقول عن الورقة انها ثنائية الابعاد. ولكى نتعرف على البعد الثالث للورقة فعلينا استخدام ميكروسكوب او عدسة مكبرة وهنا سوف نلاحظ هيكل الورقة الحقيقى الثلاثى الابعاد.

وهنا نصل الى المشكلة الثانية وهى مشكلة اكثر خطورة من المشكلة الاولى. فموضوع الابعاد الاضافية صحيح انه امر غير مريح ولكننا يمكننا تقبله على مضض. ولكن لكى نقبل اي نظرية فيزيائية فلابد وان تستوفى شروطا معينة. والفيزيائيون فى غاية الصرامة عند تقبلهم لنظريات جديدة. اول هذه الشروط ان تستطيع النظرية الجديدة ان تفسر كل النقاط اللتى تفسرها النظريات القائمة. وطبعا كما رأينا فان نظرية الاوتار الفائقة تستطيع ان تتخطى هذا المعيار بكل راحة فهى تعطى كل نتائج النسبية والكم وبنفس الدقة.

لكن تفسير الواقع القائم ليس الشرط الوحيد. بل ينبغى على اي نظرية علمية من عمل تنبؤات جديدة وحصرية يمكن اختبار صحتها. ومن هنا نحدد ان كانت هذه بالفعل نظرية محترمة ام انها مجرد غثاء. ونظرية الاوتار الفائقة تقدم فعلا تنبوءات وتقرر حقائق فيزيائية. لكن هذه التنبوءات والحقائق لا يمكننا اختبارها بتكنولوجيا عصرنا. فكما سبق وذكرنا فلكى نكتشف البعد الثالث لورقة كتاب فعلينا استخدام عدسة مكبرة او ميكروسكوب. والميكروسكوبات المكبرة فى الفيزياء الحديثة هى المعجلات الرهيبة . وهى عبارة  عن انفاق بالغة الطول بعشرات الكيلومترات. وفى هذه الانفاق يتم تعجيل الجسيمات الذرية بسرعات عالية وجعلها تتصادم مع بعضها. او ماشابه ذلك. ومن خلال هذه الطاقة الرهيبة نستطيع ان نتعرف على العالم الصغير المختبئ خلف هيكل الذرة. ولكن لكى نختبر ما تقرره نظرية الاوتار الفائقة من حقائق جديدة فان الطاقة اللتى نحتاجها لا يستطيع ان يوفرها نفق طوله 100 كيلو متر او حتى نفق طوله مليون كيلو متر, بل ان اهون النتائج تحتاج منا الى معجل طول نفقه 10 الاف مليار كيلو متر!! ولو تخيلنا ان الجسيمات المعجلة تجرى بسرعة الضوء. فان  جسيم واحد سوف يحتاج الف سنة حتى يعبر هذا النفق!!

ومن هنا فان بعض العلماء يرفض نظرية الاوتار الفائقة كلية. ويعتبرها نظرية فلسفية وليست نظرية فيزيائية. وهنا نعود الى بداية الموضوع والى فلسفة الذريين. وما اشبه اليوم بالامس!!

 

الصفر فى النظرية النسبية

عندما يظهر الصفر فى  ميدان الفيزياء فعلينا ان نفتح اعيننا جيدا فقد تبدو امامنا ظواهر فى غاية الاثارة. وقد كان هذا هو الحال فى حالة الصفر المطلق فى ميدان الفيزياء الكلاسيكية. كما كان هذا الحال فى حالة طاقة الصفر ومفهوم الفراغ فى ضوء نظرية الكم. وكذلك  فى ميدان النظرية النسبية تلك النظرية اللتى تشكل العمود الثانى للفيزياء الحديثة فان الصفر له نتائج فى غاية الاثارة. واليوم سنحاول ان نتعرف على بعض هذه الجوانب.

النظرية النسبية هى الاسم الشامل لنظريتين: النظرية النسبية الخاصة و العامة. اما النظرية النسبية الخاصة تعنى بوصف قوانين الفيزياء من وجهة نظر اطر اسناد غير متسارعة و لاتؤثرفيها مجالات جاذبية او مصادر طاقة عالية. اما النظرية النسبية العامة فلا توجد فيها هذه القيود. وتقوم النظرية النسبية الخاصة على مبدأين. احدهما ان سرعة الضوء فى الفراغ هى دائما مقدار ثابت بغض النظر عن سرعة مصدر الضوء او  الراصد. وبناء على ذلك وصلت النظرية النسبية الى نتائج مبهرة. فهى توصلت الى ان الكميات الفيزيائية الاولية كالطول و الزمن والكتلة ليست قيما مطلقة ولكنها قيما نسبية. وبناء على ذلك فان الكميات الفيزيائية الاكثر تعقيدا باستثناء سرعة الضوء فى الفراغ هى ايضا قيمها نسبية!!

ويجب ان نلاحظ انه فى النظرية النسبية لدينا على الاقل اطاران اسناد  يتحركان بسرعة نسبية بالنسبة لبعضهما. كما انه لدينا كمية فيزيائية معينة نقوم برصدها وقياسها. وقد تقع هذه الكمية الفيزيائية فى اطار اسناد ثالث او قد تنتمى لاحد الاطارين السابقين. وهذا الاحتمال الثانى هو ما سوف نفترضه اليوم للتسهيل. اذن ما تقوله النظرية النسبية ان جل الكميات الفيزيائية قيمتها ليست مطلقة بل تعتمد على السرعة النسبية اللتى تتحرك بها هذه الكمية الفيزيائية بالنسبة لاطار الاحداثيات الراصد لها.

بل الادهى ان بعض الكميات الفيزيائية الاولية اللتى كنا نعتقد انها مستقلة ليست مستقلة. بل و لا تعتمد قيمتها فقط على سرعة الاطار الراصد لها بل على كميات فيزيائية اخرى. فالابعاد الطولية كما انها تعتد على سرعة الاطار الراصد لها فانها تعتمد ايضا على الزمن. كما ان الاحداثى الزمنى يتوقف ايضا على الابعاد المكانية. وهذا ما تقوله تحويلات لورنتر. اذن فى اطار النظرية النسبية الخاصة يبدو الزمان والمكان كانهما نسيج واحد وانها مغزولان معا لذلك ادخل العلماء مصطلح جديد وهو الزمكان اللذي يعبر عن الزمان والمكان معا كما انه يعبر عن تداخلهما.

لكن اين يظهر الصفر فى النظرية النسبية الخاصة؟ انه يظهر فى اكثر من موضع. مثلا عندما يكون اطارا الاسناد السابق الحديث عنهما السرعة النسبية بينهما صفر. فى هذه الحالة سيكون اطارا الاسناد وكأنهما اطار واحد. ولن تختلف النظرية النسبية الخاصة عن الفيزياء الكلاسيكية. ولن توجد هنا اى مشكلة او تناقض. اما الحالة الاعم فهى ان يتحرك اطارا الاسناد بالنسبة لبعضهما. وفى هذه الحالة يجب علينا تطبيق تحويلات لورنتر. والحالة المثيرة هى عندما يتحرك اطارا الاسناد بالنسبة لبعضهما بسرعة الضوء. ففى هذه الحالة نحصل على نتائج مبهرة. فجسم يتحرك بسرعة الضوء بالنسبة لنا سيتحول من جسم ثلاثى الابعاد الى جسم ثنائى الابعاد. حيث سوف يتلاشى تماما البعد الثالث اللذي يقع فى اتجاه الحركة. كما ان  الزمن سيبدو لنا وكأنه توقف تماما بالنسبة لهذا الجسم!! لكن النظرية النسبية الخاصة تستطيع تجنب هذه المفارقة المجنونة بمهارة بالغة. حيث ان تحويلات لورنتر تقول ايضا ان هذا الجسم سوف تزداد كتلته بالنسبة لنا وتصبح لا نهائية. اذن الطاقة المطلوبة في هذه الحالة سوف تصبح لا نهائية. ومعنى ان الطاقة المطلوبة لا نهائية انها عمليا امر مستحيل ولا يمكن الوصول اليه. ولذلك فانه من المستحيل ان نقوم بتسريع جسيم معين سرعته اقل من سرعة الضوء حتى تصبح سرعته اعلى من سرعة الضوء. لانه لبلوغ سرعة الضوء سوف نحتاج طاقة لانهائية. اذن فالصفر فى النظرية النسبية الخاصة لا يشكل اى مشكلة عويصة. لكن الامر لا يبقى هكذا عندما ننتقل الى ميدان النظرية النسبية العامة.

النظرية النسبية العامة هى النظرية الاقرب لواقعنا. فالنظرية النسبية الخاصة تفترض انه لا وجود لتأثير الجاذبية حتى تكون نتائجها صحيحة. لكننا نعلم ان الجاذبية موجودة دائما و لايمكن اغفالها. وحيثما نكون فى الكون فان قوة الجاذبية دائما هناك. اذن النظرية النسبية الخاصة هى فى احسن الاحوال نظرية تقريبية ولا يمكنها ان تعبر باى حال من الاحوال عن الحقيقة كاملة.

اما النظرية النسبية العامة فليست فيها قيود النظرية النسبية الخاصة. وهى تقوم ايضا على مبدأين ليس بينهما ثبات سرعة الضوء فى الفراغ. ففى اطار النظرية النسبية العامة فان سرعة الضوء فى الفراغ ليست شيئا ثابتا. فالضوء فى وجود الجاذبية لا يتحرك فى خط مستقيم بل ينحنى. ومقدار سرعة الضوء ليس رقما ثابتا بل هو اقل منه فى النظرية النسبية الخاصة. وقد تبلغ سرعة الضوء احيانا صفر! وهنا نصل الى عالم المشاكل. ولكن رويدا رويدا ودعونا نقارب الموضوع بروية.

اذن تخلت النظرية النسبية العامة عن مبدأ ثبوت سرعة الضوء فى الفراغ. لكنها احتفظت بمفهوم الزمكان. فالتجارب العملية تؤكد هذا الترابط بين الزمان والمكان. ويمكن تبسيط فلسفة النظرية النسبية العامة على انها تصور الزمكان او الزمان والمكان على انه نسيج او مفرش منبسط. لكن هذا المفرش هو مفرش رباعى الابعاد وليس ثنائى الابعاد. لكن دعونا نتتجاوز عن هذا الاختلاف ونتصور الموضوع فى بعدين فقط. فالمبدأ هو هو و لا يتغير. على هذا المفرش المنبسط نضع اجساما ثقيلة تمثل النجوم والكواكب فى كوننا. اذن هذا المفرش المفرود المستوي لن يبقى مستويا خصوصا عند المواضع القريبة من هذه الكتل الثقيلة بل سنجد ان المفرش ستتولد فيه انحناءات هى نفسها انحناءات الزمكان. واي جسيم صغير نضعه فوق هذا المفرش سنجد ان عليه ان يتبع الانحناءات الموجودة فى المفرش. ولن يمكنه ان يتحرك فى خطوط مستقيمة بل ان عليه ان يتبع المسار المنحنى اللذي يوجد فوقه. وهذا يفسر لنا لماذا تدور الارض حول الشمس. لان الارض تسبح فى اكثر خطوط الزمكان استقامة حول الشمس وهى تساوي تماما مدار الارض الحالى حول الشمس. وهذا مابينته حسابات النظرية النسبية العامة بدقة عالية.

لكن علينا ان نراعى فى التشبيه السابق ان الانحناءات السابق ذكرها ليست فى المكان فقط. ولكنها ايضا فى الزمان بنفس المقدار. فاذا زادت شدة الانحناءات فى نسيج الزمكان وتواجد جسيم ما عند هذه الانحناء سنجد ان كتلته ستزداد جدا. كما ان الزمن سوف يبطئ جدا عند هذه المواضع!! وحتى شعاع الضوء اذا مر فى الزمكان فلن يمضى مستقيما بل سينحنى ايضا طبقا لانحناء الزمكان الموجود .بل فى حالة الثقوب السوداء فان الضوء لن يستطع ان ينتشر ابدا  وستكون سرعة انتشاره صفر. لكن ماهى الثقوب السوداء؟

الثقب الاسود

الثقوب السوداء فى صورتها النمطية هى نجوم عملاقة شاخت وماتت. فاى نجم طبيعى فى مرحلة شبابه يقع تحت تأثير قوتين: قوة تسبب تمدده بسبب التفاعلات النووية في قلبه وقوة تسبب انكماشه وهى قوة الجاذبية اللتى تلملم اطرافه وتجذبها باصرار نحو المركز.ولكن بعد مرور فترة زمنية فان الوقود النووي ينضب وتنتهى القوة الاولى. وتبقى القوة الثانية اللتى تسبب انكماش النجم باستمرار. وهذه المرحلة اللتى نطلق عليها وفاة النجم. لكن انكماش النجم لا يستمر دوما. ففى مرحلة معينة ستقترب ذرات النجم من بعضها بشكل هائل. وسوف يتحدي ثبات هيكل الذرة فقط قوة الجاذبية. لكن ماهو سبب ثبات هيكل الذرة؟ انها الالكترونات. فمدار الالكترونات تمثل اخر مدي الذرة وعندما تقترب الكترونات من بعضها فانها تتنافر. وسبب التنافر هو  قانون باولي. اللذى يقول عندما يقترب الكترونين من بعضهما جدا فان سرعتهما تزداد جدا. وهذا هو سر تنافرهما! لكن ازدياد السرعة لا يمكن ان يستمر هكذا فكما سبق ورأينا فان هناك سقف اعلى للسرعات هو سرعة الضوء. وبالفعل فانه فى حالة النجوم اللتى تزيد كتلتها عن كتلة الشمس ب 40% تقريبا فان ازدياد سرعة الالكترونات لا يستطيع ان يقف عائقا امام قوة الجاذبية الرهيبة فتنهار الذرات كلها ويتبقى منها انويتها فقط. وتتحد الالكترونات مع البروتونات فى النواة لنحصل على النجوم النترونية.

وفى هذه الحالة توجد قوتان فقط وهى قوة الجاذبية وقوة ثبات النواة. لكن مرة اخري فان قانون باولى ينظم قوة ثبات النواة فالنواة تتكون نفسها من جسيمات مادية اولية لا يمكن ايضا لسرعتها ان تتجاوز سرعة الضوء. وعندما تتجاوز كتلة النجم 10 امثال كتلة الشمس فانه حتى ثبات النوة لن يستطيع ان يقف امام قوة الجاذبية وسوف يستمر مسلسل انهيار النجم ولن يقف امامه عائق حتى يصبح حجمه صفرا! ولكن كتلته تبقى كما هى! . وهذا شئ عجيب. وهنا يطل الصفر مرة اخرى بوجهه الهادم للقوانين.

لكن كيف يتأثر الزمكان بالثقوب السوداء؟ فى حالة الكتل الضخمة فان الزمكان ينحنى حول هذه الكتل. اما فى حالة الثقوب السوداء فان الثقوب السوداء يصل الانحناء عندها الى مالانهاية وتعرف هذه الظاهرة ب singularity. ويبدو الثقب الاسود وكانه ثقب فى نسيج الزمكان!! وهو نقطة لا يمكن تجاوزها وكانها يمثل نهاية الكون!!

لكن هذا ليس كل شئ. فنحن عندما نقذف حجرا ما الى اعلى فانه يعلو حتى يبلغ اعلى نقطة ثم يهوي الى الارض مرة ثانية. ولكى نقذف حجرا حتى يغادر مجال الارض بالكامل فعلينا ان نقذفه بسرعة تعرف باسم سرعة الهروب وهي تساوي 11 كيلومتر فى الثانية. وسرعة الهروب هذه ليست رقما ثابتا ولكنها تعتمد على كتلة الكوكب او النجم. وفى  حالة الثقوب السوداء فان سرعة الهروب المطلوبة تفوق سرعة الضوء. وكما نعلم ان اقصى سرعة يمكن الوصول اليها هى سرعة الضوء. اذن فان هناك حرم للثقب الاسود او مسافة معينة اذا بلغها جسم منه ما فلا يمكن ان يفلت ابدا هذا الجسم من قبضة الثقب الاسود. حتى الضوء نفسه لا يستطيع ان ينفذ من قبضة الثقب الاسود. ولذلك يبدو مظلما ومن هنا تأتى تسميته بالثقب الاسود.

اذن يبدو الثقب الاسود لنا فى العالم الخارجي وكانه بقعة مظلمة. سرعة الضوء المنبعث منها صفر. لكن كيف يبدو عالم الثقب الاسود من الداخل  بالنسبة لانسان يقع داخل حرم الثقب الاسود نفسه؟ الاجابة هى اننا لا نعلم. فبداخل الثقب الاسود تسقط كل قوانين الفيزياء. بل حتى يقول البعض انه فى داخل حرم النجم الاسود قد تتحرك الاجسام بسرعة تفوق الضوء وقد يسير الزمن الى الوراء.!! وهناك وسيلة وحيدة فقط لكي نعلم ماذا يحدث هناك وهى ان نذهب هناك بانفسنا ونري ماذا يحدث.

لكن اذا ذهب اى رائد فضاء الى هناك فانه سوف يموت فورا. فانه يتعرض بمجرد اقترابه من الثقب الاسود الى قوة رهيبة تسببب استطالته وتحوله الى عود اسباجتى طويل وتمزقه اربا. فهذه القوة هى شبيهة بقوة المد والجزر اللتى نعرفها على الارض. لكن بفرض ان رائد الفضاء لديه بدلة فضائية تحميه من هذا المصير المرعب فانه لن يستطيع ان يبلغنا بما يراه. لان من خلف حرم الثقب الاسود لايمكن ان تصدر اي اشارة وتصل خارجه. ويطلق العلماء على هذه الظاهرة تعبير بليغ وهو الرقابة الكونية او Cosmic censorship وكأن الكون ديكتاتور يمارس رقابة ويصادر اى اخبار تصف ما يجرى خلف حرم الثقب الاسود.

اذن الصفر فى النظرية النسبية العامة يرسم لها حدودها ويكتب لها شهادة وفاتها. ففى حالة النظرية النسبية الخاصة فان النظرية تمكنت بمهارة من حل المشاكل المرتبطة بالصفر لان الطاقة المطلوبة لانتاج مثل هذه الظواهر كانت لا نهائية. اما فى حالة النظرية النسبية العامة فان الطاقة المطلوبة لانتاج  عالم الثقب الاسود عالية ولكنها ليست لانهائية بل ان الطاقة المطلوبة متوفرة بكثرة فى كوننا!!

 

ناسا واستغلال طاقة الصفر

الرياضيات و الفيزياء  والهندسة ثلاثة ميادين مختلفة تربطها علاقات قوية لكن مع ذلك فان بينها فروقا هائلة. فهى تختلف من حيث الهدف و الوسيلة المستخدمة و الدقة المراعاة فى المدخلات و المخرجات.

الرياضيات  هدفها الاساسي هو دراسة التصورات المجردة اللتى يستطيع العقل البشري صنعها واللتى يستطيع ان يربط بينها بصورة منطقية. فالرياضيات تبدو وكأنها تنبع من مكان ما  في داخلنا. اما الوسيلة المستخدمة فى الرياضيات فهو العقل بصورة اساسية . والدقة فى الرياضيات  لانهائية . فالعدد 1.00001 يختلف تماما عن العدد 1 . واذا حصلنا على احدهما بديلا عن الاخر فى حل مسألة رياضية فيكون الحل خاطئا اذا لم نكن نهدف لتقريب للحل وليس اللحل نفسه.

اما الفيزياء فهى تحاول وصف الطبيعة أو الواقع القائم ولكنها لا تحاول تفسيره. وهى بعكس الرياضيات لاتبدو وكانها تنبع من داخلنا بل تبدو وكأنها انعكاسات للواقع الخارجى علينا. ووسائل الفيزياء هى مزيج من التصورات العقلية المثالية واجهزة القياس ومعدات المختبرات. والدقة فى الفيزياء ليست لانهائية بل هى محدودة. بل ان هناك قانون اساسى فى الفيزياء وهو قانون عدم الدقة لهايزنبرج يفيد باستحالة تحديد القيم الفيزيائية بدقة مطلقة. والفيزياء لا تعرف البراهين المنطقية كما فى الرياضيات. واحيانا تعارض النظريات الفيزيائية المختلفة بعضها البعض. ويلوم الفلاسفة الفيزيائيين ويقولون عنهم ان شعارهم هو ان الغاية تبرر  الوسيلة.

اما الهندسة فهدفها صنع انجاز ما نؤثربه فى واقعنا او نغير بواسطته في شكل العلاقة اللتى تربطنا بواقعنا. والوسائل المستخدمة فى الهندسة هي تقريبا اي شئ و كل شئ للوصول الى الهدف. فالمهندسون يستخدمون الرياضيات و الفيزياء والموروث من القواعد طالما كانت مفيدة عمليا حتى لو كانت خاطئا علميا. اما عن الدقة فهى تعتمد على الانجاز المطلوب صنعه. وهى  اقل منها من الدقة المطلوبة فى عالم الفيزياء. وهى اقل بكثير جدا من الدقة المتوخاة فى عالم الرياضيات. ويلعب الخيال الجامح والطموح دورا ليس قليلا فى الانجازات الهندسية حتى وان كان يخالف ذلك الثابت من العلوم وقتها. فليوناردو دافنشى يعتبر اول مصمم للطائرة الهليكوبتر فى وقت لم يكن يسمح العلم السائد وقتها بصنع مثل ذلك الانجاز.

وموضوعنا اليوم هو هندسي ولذلك فان بعض ما سيأتى ليس مؤكدا تماما علميا. بل قد يكون محض توقعات وتخمينات وامال ومخاوف. وهيئة الناسا هى فى حقيقة الامر هيئة هندسية تعنى بصنع انجازات تمكننا من السفر فى الفضاء الخارجى. ومن التحديات الهامة اللتى تقابل الناسا هى السفر الى نجوم اخرى بخلاف شمسنا حيث ان اقرب نجم الينا يبعد عنا بعدة سنوات ضوئية. ومن ضمن المشاكل اللتى تتطلبها رحلة كهذه توفير  الطاقة الللازمة. فالتقنية المتبعة اليوم هى ان يحمل الصاروخ وقوده معه. لكن بظروف زماننا فان كمية الوقود اللتى يحتاجها صاروخ فضائى ستكون هائلة جدا. وتمثل بذخا يصل الى درجة السفه.

ومن اجل البحث عن سبل بديلة للطاقة تنظم الناسا مؤتمرات حول هذا الموضوع تدعو اليها متخصصين من كافة الاتجاهات بعضهم فيزيائيين ومهندسين وبعضهم حتى من كتاب روايات الخيال العلمى ومخرجى افلام هوليود.  واحد الافكار الجامحة اللتى يتداولها بعض المتخصصين هو استخدام طاقة نقطة الصفر او طاقة الفراغ لصنع رحلات عبر النجوم. وقوة كازمير اللتى تنشأ فى الفراغ قد تكون وسيلة مناسبة لصنع قوة دفع للصاروخ. لكن المشكلة فى قوة كازمير انها قوة متماثلة. فالقوة اللتى تنشأ على اللوح الايمن تساويى تماما القوة الناشئه على اللوح الايسر ولكنها تخالفها فى الاتجاه فتكون المحصلة النهائية صفر. وهنا فكر البعض لو اننا تمكنا من جعل هذه القوة غير متماثلة فتتولد لدينا قوة صافية نستغلها فى تحريك الصاروخ. لكن كيف يمكننا ان نصنع هذا؟ احد الافكار هى ان نجعل اللوح الايمن مثلا كانه مرأة نصف عاكسة تسمح بمرور قسم من الجسيمات الافترضية  بينما يصطدم بها القسم الباقى. اما اللوح الايسر فنبقيه معتما تماما بالنسبة للجسيمات الافتراضية  فيصطدم بها.  وهنا تكون القوة المتولدة على اللوحين غير متماثلة وتنشا قوة صافية. لكن كيف نصنع مثل هذه الالواح النصف العاكسة للجسيمات الافتراضية؟ لا احد يعلم حتى الان.

لكن هذه ليست الفكرة الوحيدة وهناك افكار اخرى. فاحد الافكار انه بناء على قوة كازمير المتماثلة فان اللوحين يضغطان بعضهما وبسبب هذا الضغط تتولد حرارة يمكن استغلالها كمصدر للطاقة. وهذه القكرة لاشك انها مقبولة على الاقل على المستوى النظري. لكن المشكلة القائمة هى بعد ان يلتصق اللوحان ببعضهما فعلينا ان نبعدهما  مرة اخرى حتى نكرر عملية توليد الحرارة وهكذا دواليك. ولكن لكى نبعد اللوحين مرة اخرى عن بعضهما فاننا نحتاج الى طاقة خارجية . وطبقا ولقوانين الديناميكا الحرارية فان الطاقة المطلوبة تفوق الطاقة اللتى تم توليدها فى العملية السابقة. اي اننا فى النهاية لن نتكمن من توليد طاقة صافية ولكننا على العكس سنستهلك طاقة اكثر مما نستطيع ان نولد!

لكن هناك فيزيائى اسمه بوتهوف Puthoff يدعى شيئا غريبا يقول انه تمكن من اكتشاف طريقة تشبه الطريقة السابقة وتمكنه من توليد طاقة تساوى 30 ضعف الطاقة المستخدمة. ويقول بوتهوف انه حصل على براءة الاختراع لفكرته العجيبة. وخطة بوتهوف تقوم على استغلال البلازما بديلا عن اللوحين فى تجربة كازمير. والبلازما هى عبارة عن غازات مشحونة كهربائيا. وتقوم فكرة بوتهوف على استخدام لوحين من البلازما فى الفراغ فتتولد قوة كازمير تدفع اللوحين باتجاه بعضهما . وينشأ عن تضاغطهما شرارة كهربائية تحول الغاز الى بلازما جديدة وهكذا.

لكن الغريب فى موضوع استغلال طاقة الفراغ هو شئ اخر. فالفيزيائيين يقولون ان طاقة الفراغ صفر. فاذا تم استغلال طاقة الفراغ فان طاقة الفراغ سوف تقل. اذن معنى  ذلك ان طاقة الفراغ سوف تصبح سالبة. لكن ما معنى ذلك ؟ البعض يقول ان هذا لايعنى شيئا كثيرا فهو اشبه باننا نغرف من  المحيط الهادى شربة ماء. فانه عمليا لن يتأثر بذلك. بينما يقول بعض اخر انه اذا تمكن صاروخ من توفير طاقته بهذه الطريقة فان طاقة الفراغ سوف تقل . وكأن هذا الصاروخ ينخر فى القماشة اللتى يتكون منها كوننا. والبعض يقول ان كوننا اشبه بفقاعة هائلة فى حالة اتزان ولكنها  غير مستقرة. ويقولون ان هذا الصاروخ سوف يتسبب بمنتهى البساطة بتدمير كوننا كانه فقاعة صابون تم وخزها بابرة طفل صغير يلهو!!

ويقول بعض اخر بان هذه الاحتمالية غير قائمة لان كوننا موجود منذ مليارات السنوات . ولو كان كوننا قابلا للتفجير هكذا لتمكنت احد الاحداث الكونية الهائلة اللتى حدثت على امتداد تاريخ كوننا من صنع هذا التفجير. لكن سواء هذا الرأى او ذاك. او حتى اى رأى اخر مخالف تبقى الفيزياء مجالا ممتعا للتفكير وللتأمل!!

الصفر و الفراغ

الصفر مفهوم رياضى. اما الفراغ فهو مفهوم فيزيائ. وللوهلة الاولى يبدوا المفهومان مرتبطين او متشابهين. فالصفر قرين للفراغ فى ميدان الرياضيات. والفراغ هو قرين للصفر فى ميدان الفيزياء. فالصفر هو العدد اللذي قيمته لا شئ. وفى رياضيات فون نوينمان فان الصفر تعبر عنه المجموعة الخالية. اما الفراغ فنحصل عليه عندما نخلى حيز حجمى من كافة محتوياته بحيث يحتوى فى النهاية على لا شئ فنحصل على الفراغ.

وقد تأرجح المفهومان عبر التاريخ بين القبول والرفض. وقد عايشت حضارتنا الانسانية جميع حالات التباديل و التوافيق الممكنة لوضع هذين المفهومين.

فارسطو رفض المفهومين على حد سواء. حيث كان يبحث عن حل لمفارقة زينون. وكان من رايه ان الفراغ و المالانهاية هما سبب مفارقة زينون. وأن هذه الافكار موجودة فى العقل لكنها ليست موجودة فى الواقع. اذن فقد رفض ارسطو الفراغ. وحيث ان ارسطو كان يري ان الصفر هو قرين لفكرة الفراغ فى الرياضيات فقد رفض الصفر بالتبعية وقال انه لاوجود له هو الاخر.

الحالة الثانية كانت مع الذريين وهى جماعة اغريقية فى منتهى الاهمية ولكنها كانت اقل انتشارا من الجماعات الارسطية. وقالت جماعة الذريين ان الفراغ موجود. ولو انه لم لو يكن موجودا لما كانت هناك حركة. ولكنها انكرت وجود الصفر وقالت ان هناك حد ادنى او مالانهاية صغرى لا يمكن ان تصل الاعداد الى قيمة اقل منها.

الحالة الثالثة كانت بعد انتشار الحضارة الاسلامية فى كافة ارجاء العالم ودخلت فكرة الصفر معها. فتم قبول الصفر فى اوروبا ولكن كانت افكار ارسطو مازالت رائجة ايضا فتم قبول الصفر ورفض الفراغ. وسادت مقولة علمية فى ذلك الوقت مفادها ان الطبيعة تحتقر الفراغ.

الحالة الرابعة كانت مع باسكال العالم الفرنسى الشاب اللذى كان يبحث عن اجابة لسؤال كان يحير الفيزيائيين فى زمانه. وهى لماذا يشير بارومتر تورشيلى الزئبقى دائما الى 76 سم.؟ واذا استبدلنا الزئبق بالماء فانه يشير الى 10 متر؟!! وماهو السر خلف هذه الارقام الثابتة اللتى لا تتغير. وقام باسكال باعطاء قريب له وكان متسلق جبال بارومتر زئبقى وطلب منه ان يخبره ماذا سوف تكون قرائته عند قمة الجبل. ووجد متسلق الجبال ان البارومتر لايشير الى 76 سم بل الى 66 سم. وهنا ادرك باسكال ان هذا الرقم غير ثابت ولكنه يعتمد على الضغط الجوى وكلما صعدنا الى اعلى فكلما قل الضغط حتى ينعدم.

كان هذا موقف العلم فى العصور القديمة. لكن مارأى الفيزياء فى الصفر و الفراغ اليوم؟ الصفر اولا هو مفهوم غير فيزيائى بل هو مفهوم رياضى. ولذلك لاتستطيع ان تقول الفيزياء اى شئ حوله. فهو مفهوم رياضى سليم ومستقر. لكن تقول الفزياء الحديثة عن الفراغ انه غير موجود فعليا. فالمادة وحسب القياسات الحديثة لا تنعدم ابدا. صحيح ان كثافتها تقل الى حد كبير ولكنها لاتنعدم ابدا. حتى فى الفضاء الخارجى بين المجرات المختلفة فانها لا تختلفى. وتقول القياسات الحديثة ان متوسط كثافة المادة فى الغلاف الجوي هى حوالى 27 مليار مليار جزئ فى السنتيمتر المكعب الواحد. بينما فى الفضاء الخارجى فعدد الجزيئات ينخفض الى اقل من عشرة الاف. اي انه يقل جدا ولكنه مع ذلك لا ينعدم.

لكن ذلك ليس مقصدنا اليوم. دعونا نتخيل التجربة الذهنية التالية: دعونا نتخيل صندوق مغلق طوله 10 سم وعرضه 10 سم و ارتفاعه 10سم. ودعونا نتخيل اننا نستطيع ان نرى ما بداخله واننا افرغناه من المادة تماما. حتى العشرة الاف جزئ فى السنتيمتر المكعب الموجودة فى الفراغ الكونى غير موجودة فى صندوقنا. فهل هو خالي فعل و لا يحتوى على شئ؟

نظرا لان للصندوق اسطح داخلية لها درجة حرارة معينة فتنبعث منها فوتونات أو موجات كهرومعناطيسية تنتقل من سطح الى اخر وتملأ الصندوق. فمعنى ان اسطح الصندوق لها نفس درجة الحرارة ليس معنى ذلك ان الاسطح لا ترسل حرارة فيما بينها. لا بل معنى ذلك ان الاسطح وصلت الى حالة اتزان حرارى فهى ترسل وتستقبل بنفس المعدل والسرعة. والامر اشبه بشخصين كل منهما يحمل برتقالة في يده. لكن منهما يقذف برتقالة للاخر ويلقف منها اخرى!!

اذن فالصندوق ليس خاليا ولكن يحتوي كل محيط هائل من الموجات الكهرومغناطيسية والجاذبية الى اخره. لكن هذا الامر فى الحقيقة لا يزعجنا. ونحن نعرفه من قبل فالضوء ينتقل الينا من المجرات البعيدة عبر الفراغ الكونى. والضوء هو موجات كهرومغناطيسية. فدعونا نعود الى مقصدنا من كلمة فراغ. ودعونا نعيد تعريف الكلمة بان القمصود هو الخلو من المادة وليس من الموجات. فهل الان ووفق هذه الرؤية الفراغ موجود؟ او على الاقل من الممكن وجوده نظريا؟ الاجابة هى ايضا لا. ودعونا ننتقل الى التجربة الذهنية التالية.

صحيح ان الموجات الكهرومغناطيسية وغيرها لا تزعجنا وفقا لتعريفنا الجديد للفراغ. لكن دعونا مع ذلك نتخلص منها بقدر الامكان. دعونا ننتخيل ان صندوقنا ليس 10 سم فى الطول والعرض و الارتفاع. لكن دعونا نتخيل ان ابعاده لانهائية. ودعونا نتخيل اننا ندرس حيز مكانى على شكل مكعب طول حافته 10 سم فى منتصف هذه الصندوق الهائل. ولفترة زمنية طولها 1 ثانية بحيث تكون احتمالية ان تخترق احد الموجات هذا الحيز الصغير احتمال ضئيل جدا. بل دعونا نتخيل ان هذا الصندوق ليس موجود فى كوننا هذا بل فى كون اخر مواز. ليس فيه شئ غير هذا الصندوق. وهذا الكون لا يتأثر بكوننا الحالى و لايشعر به . فهل يكون هذ الحيز الخالي فى الصندوق الخالى فى الكون الخالى فعلا خاليا؟!!

تقول ميكانيكا الكم لا!! فنظرية عدم الدقة لهايزنبرج و هى احد اعمدة نظرية الكم تقول اننا لايمكننا ان نقيس اى قيمة فيزيائية بدقة كبيرة الا ويكون ذلك على حساب دقة قياس كمية فيزيائية اخرى. فنحن لا نستطيع ان نقيس سرعة جزئ ومكانه بدقة لانهائية فى نفس اللحظة. وكذلك نحن لا يمكننا ان نقيس الطاقة والزمن بدقة عالية فى نفس اللحظة. وهنا تكمن المشكلة . ففى كون خالى تكون الطاقة الموجودة صفر. وهذا رقم يمكن تحديده بدقة هائلة وذلك لكل اللحظات. وتقول نظرية الكم شيئا مجنونا لتجنب هذه المفارقة. تقول انه فى كل لحظة تتولد طاقات جديدة ولكنها سرعان ماتتلاشى سريعا حتى تتفادى الثبات عند القيمة صفر!! وبعض الطاقات المتولدة قد تكون عالية جدا جدا. ولكن كلما علت قيمة الطاقة كلما قلت الفترة الزمنية اللتى تتولد فيها هذه الطاقة!!

لكن من اين تتولد هذه الطاقة اساسا ؟ فقد كان الصندوق خال ولا يحتوى على اي شئ من الاساس! الاجابة تكمن في علاقة اينشتاين الشهيرة:
E = m*c^2
بمعنى ان الكتلة هى احدي صور الطاقة. اذن تتنبأ النظرية ان فى قلب الفراغ تتولد مادة افتراضية للحظات بسيطة تم تتلاشى سريعا مرة اخرى. والمقصود بتعبير مادة افتراضية انها مادة عادية كاللتى نعرفها فى حياتنا اليومية تماما. لكن هذه المادة لانستطيع ان نستخلصها فى المعمل لنراها ونجرى تجاربنا عليها . لكننا فقط نستطيع ان ندركها عن طريق اثارها وتأثيراتها.

اذن معنى ذلك ان الفراغ يحتوى على كميات هائلة من المادة الافتراضية . بل العجيب ان كمية الطاقة الموجودة فى الفراغ لا نهائية. فكمية الطاقة الموجودة فى الفراغ الموجود تحت فتحة الباب فى غرفتك تفوق كل الطاقة اللتى نستطيع ان نولدها من كل محطات التوليد النووية فوق الكرة الارضية. و الغريب ان معظم العلماء يتجاهلون هذه الطاقة ويعتبرون انها صفرا. وذلك ليس لانها غير موجودة ولكن لاننا بامكاننا ان نختار الصفر عند اى قيمة بشكل انتقائي ونبدأ القياس من عند هذه النقطة. فنحن نعتبر مستوى الصفر هو مستوي سطح البحر بالرغم انه ليس اكثر شئ انخفاض. وقاع البحر اكثر انخفاضا من سطح البحر. كما اننا نعتبر خط جرينتش هو خط الصفر بالنبسة لخطوط الطول رغم انه ليس اول خط فعلا. وهكذا. ومنطق العلماء ان هذه الطاقة صحيح انها لانهائية نظريا ولكن ليس بالامكان استغلالها عمليا

قوة كازمير

لكن عالم هولندي اسمه كازمير Hendrik Casimir استطاع ان يغير هذه النظرة. فهو تنبأ بان هذه الطاقة يمكن ان تظهر عمليا ووضع القوانين والحسابات من وجهة نظرة. ثم بعد ذلك بسنوات اكدت التجربة العملية نبؤة كازمير وبنفس النتيجة اللتى توقعها. وتقول فكرة كازمير الاتى. لو تخيلنا ان هناك لوحان متقابلان بينهما حيز بسيط من الفراغ. فطبقا لما قلناه سابقا فانه ستتولد جسيمات افتراضية عديدة فى هذا الحيز الصغير. وبعض هذه الجزيئات سوف يصدم باللوحين من الداخل مما يسبب نوعا من الضغط يدفع اللوحين عن بعضهما. لكن نظرية الكم تقول ايضا ان الجسيمات الافتراضية المتولدة تخضع ايضا لنظرة الكم . والطول الموجى للجسيمات الافتراضية المتولدة لابد وان يتناسب مع طول الفتحة الصغيرة. وتقول نظرية الكم ايضا انه خارج هذين اللوحين تتولد ايضا جسيمات افترضية بنفس الكيفية السابقة وترتطم باللوحين من الخارج وتضغطهما معا باتجاه بعضهما. لكن حيث ان الحيز المكانى الموجود فى الخارج اكبر منه فى الداخل فان عدد الجسيمات المتولدة فى الخارج اكبر منها من المتولدة فى داخل الفتحة حيت يسمح الفضاء الاوسع باطوال موجية اكثر. فتكون المحصلة حركة صافية للوحين باتجاه بعضهما!!

واستطاعت التجربة العملية التحقق من ذلك فعلا. لوحان متقابلان فى الفراغ حيث لا يؤثر عليهما اى شئ. يتحركان من تلقاء انفسهما كل باتجاه الاخر. وتعرف هذه القوة اللتى تدفع اللوحين للحركة باتجاه بعضهما بقوة كازمير.

الكارثة فوق البنفسجية

فى احد الايام فى نهاية القرن التاسع عشر وعلى مشارف القرن العشرين توجه شاب المانى يافع اسمه ماكس بلانك الى جامعة ميونيخ حيث كان يريد ان يدرس هناك ولكنه كان محتارا فى امره. هل يدرس الفيزياء ام الرياضيات. وفى ذلك اليوم ذهب بلانك لمقابلة استاذ الفيزياء فى الجامعة ليطلب منه النصح والمشورة. فاجابه الاستاذ ان عليه ان يختار الرياضيات. فالفيزياء قد انتهت تماما. وقد اكتشف الفيزيائيون كل شئ و فسروا كل نواحى الحياة تقريبا. صحيح ان هناك امور ثانوية مازالت عالقة لكنها مسالة وقت قريب حتى يتوصل الفزيائيون الى حلها ويغلقون ملف الفيزياء برمته!!

هذا الكلام عندما نسمه اليوم نجده طريفا. فتحديدا بعد هذا الحوار بين الاستاذ والفتى ماكس بلانك قامت فى ميدان الفيزياء ثورات هائلة لم تترك شيئا مما كان قبلها قائما. وكان ماكس بلانك نفسه هو مفجر احد هذه الثورات. فى الحقيقة فان كلام الاستاذ السابق ينبغى ان يكون درسا لنا. فحينما نظن اننا حققنا كل شئ او نكاد فربما نكون لم نبدأ بعد!!

لكن من ناحية اخرى فان كلام استاذ الفيزياء فيه شئ من الصحة. فالفيزيائيون فى ذلك الزمان كانوا قد حققوا نجاحات هائلة فى ميادين مختلفة. يهمنها منها اليوم ميدانان. الميدان الاول هو ميدان الحرارة. حيث توصل علم الميكانيكا الاحصائية الى ان ظاهرة الحرارة ليست الا طاقة الحركة لجزيئات المادة. فاى مادة ما تتكون من جزيئات دائمة الحركة. اى ان لها طاقة حركة. وتظهر لنا طاقة الحركة هذه فى صورة حرارة. وتوصل الفزيائى ستيفان بولتزمان الى قانون هام جدا يربط بين طاقة اهتزاز جزئ ما ودرجة حرارته المطلقة او:
E(vibration)=K*T       1
حيث T درجة الحرارة المطقق و K هو ثابت فيزيائى يعرف بثات بولتزمان . اما E فهى الطاقة الاهتزازية وتساوي مجموع طاقتى الحركة والوضع.

لكن من ناحية اخرى مما تتكون الجزيئات؟ انها تتكون من ذرات اللتى بدورها تتكون ممن جسيمات مشحونة وبخاصة الالكترونات. وهنا نصل الى الميدان الثانى وهو ميدان الديناميكا الالكترونية. حيث قال ماكسويل ان اى جسيم مشحون يتسارع تصدر عنه موجات كهرومغناطيسية. واذا ربطنا هذا الكلام بالفقرة السابقة. نصل الى ان اي جسم في هذا الكون له حرارة اى تهتز جزيئاته. اى تتسارع شحناته. اي لا بد وان تصدر عنه موجات كهرومغناطيسية.

وكان هذا فى حقيقة الامر انجاز جديد يضاف الى انجازات الفيزياء فهو يربط ميدان الحرارة بميدان الموجات الكهرمغناطيسية. كما ان التجربة والواقع يؤكدان ذلك تماما. فالحرارة تتولد عنها موجات كهرمغناطيسية واشهر هذه الموجات هي تلك اللتى نستطيع ان نراها. او الضوء المنظور. فاذا سخنا قطعة من الحديد الي درجة عالية فانها تتوهج بلون احمر. واذا رفعنا درجتها فانها تتوهج بلون اصفر واذا رفعنا درجة حرارتها اكثر فاننها تتوهج بلون ابيض. ونفس النتيجة نحصل عليها تماما اذا سخنا قطعة من الفحم بدلا من قطعة الحديد. فاللون اللذي نحصل عليه لا يتوقف على الطبيعة الكيميائية للمادة المستخدمة. ولكنه يتوقف فقط على درجة الحرارة. فلكل درجة حرارة لون معين يعبر عنها.

ونحن نستغل هذه الظاهرة فى تحديد درجة حرارة اسطح النجوم اللتى تبعد عنا بعشرات السنين الضوئية. وذلك عن طريق لونها. كما ان جميع الاجسام حتى اجسادنا تشع موجات كهرومغناطيسية. لكن الموجات المنبعثة من اجسادنا تقع فى مجال الاشعة تحت الحمراء. ونحن نستغل ذلك فى صنع مناظير الرؤية الليلية.

قانون رايليه و جينز

لكن هذا الاحساس الجميل بالنجاح سرعان ما تحول الى احساس مرير بخيبة الامل. صحيح ان قوانين الفيزياء من حيث المبدأ فسرت الرابط بين الحرارة والموجات الكهرومغناطيسية. الا ان فيزيائيي القرن التاسع عشر عندما اتوا الى التفاصيل ووضعوا قوانين الكهربية بجانب قوانين الميكانيكا الاحصائية لم يحصدوا الا خيبة الامل. فالنتيجة اللتى حصلوا عليها رياضيا والمعبر عنها فى الرسم توضح توزيعا للطيف يختلف عنه فى الحقيقة . فالشكل الحقيقى هو الشكل اللذي يبدو منزاحا الى جهة اليسار وله شكل الجرس. اما توزيع الطيف الحسابي فهو مقبول الى حد ما فى الاطياف ذات الطول الموجى العالى. اما الاطياف ذات الطول الموجى القصير فالنتيجة خاطئة تماما. فالحسابات تشير الى ان الاجسام المختلفة تشع اطيافا ذات طول موجى قصير بتركيز عال. بل انها تشع موجات ذات طول موجى يساوى صفر بكثافة لانهائية!

اذن معنى ذلك ان الاجسام فى درجة حرارة الغرفة تبعث اشعاعات حمراء وخضراء وزرقاء الى اخره. اى ان معنى ذلك انه لا يوجد ظلام ابدا حتى فى المساء. فالاضواء المنبعثة من الاجسام المختلفة ومن الهواء تعمى الابصار. بل الادهى من ذلك ان كل الاجسام تشع اشعاعات فوق بنفسجية واشعة رونتجن وجاما وهذه كلها اشعاعات مسرطنة. بل اكثر من ذلك هى اشعاعات قاتلة  فورا. ولو كان ذلك صحيحا لم كانت هناك نباتات ولا حيوانات ولا كنا نحن هنا نقرأ هذه السطور. واطلق العلماء على هذه المعضلة تعبير الكارثة الفوق البنفسجية كناية عن الاشعاعات الضارة اللتى تنبعث من كل الاجسام حتى الباردة جدا.

وكانت هذه نهاية عجيية جدا. فبدمج انجح قانونين فى الفيزياء نتجت نتائج مستحيلة. وكأنهم زوجوا اجمل شاب فى قريته باجمل فتاة فى  قريتها فانجبا مسخا مخيفا وشيطانا رجيما. على الرغم من ان كل المقدمات كانت تنبئ بعكس ذلك! وعلى عكس كلام استاذ الفيزياء فى بداية الموضوع لم يستغرق هذا الامر وقتا يسير حتى يتم حله. بل دام لسنوات وظل الفيزيائيون عاجزين عن تفسير هذا التناقض حتى اتى ماكس بلانك بنظرية جديدة وحل هذه المعضلة.

لكن حل بلانك  كان عالى الكلفة. فهو قال باشياء تبدو مجنونة و غير مقبولة. ولذلك رفض معظم الفيزيائيين حل بلانك رغم ان نتائجه كانت تتطابق الواقع بدقة مذهلة. و الغريب فعلا فى الامر هو رأى بلانك نفسه فى حله. فهو يقول ان مافعله كان عملا يائسا. فهو لم ير سبيل اخر للخروج من مأزق الفيزياء سوى عن طريق هذا الحل. ويقول ان فكرة حله راودته منذ فترة لكنه احجم عن نشرها  لعله يصل الى حل افضل. ولكنه لما رأى ان الوقت يمضى ولا هو ولا غيره استطاع ان يحل هذه المشكلة فقرر طرح فكرته لكسر حالة الجمود. و الغريب انه كان يرى فكرته ليست حلا صحيحا نهائيا ولكنه يراها حلا مؤقتا حتى تمضى الفيزياء الى الامام ولكسب الوقت وحتى يظهر فى المستقبل فيزيائى اخر يستطيع ان يحل المعضلة بشكل صحيح. لكن الزمن مضى ولم يأت اخر بحل افضل. بل بقيت فكرة بلانك وقامت عليها نظرية هامة وهى نظرية الكم. لكن ما هى ياترى تلك الافتراضات المجنونة اللتى حل بها بلانك المعضلة واللتى يبدو حتى ان صاحبها يخجل منها؟

فى الحقيقة فان بلانك اتى بافتراضين غريبين. لم يقل بهما فيزيائى قبله. الافتراض الاول ان طاقة  طيف كهرومغناطيسى  تعتمد على تردد باعثه. هذا الكلام قد يبدو فى اول الامر عاديا لكن لماذا استهجنه واستغربه الجميع. ولماذا لو انه قال انسان بهذا الكلام فى الظروف العادية لكان هذا دليل على جهله فى الفيزياء. ناهيك على ان يصدر هذا الكلام من دكتور فى الفيزياء كبلانك؟

دعونا نرى الامر فى ضوء الفيزياء الكلاسيكية. ودعونا نرى حركة البندول البسيط فهى ايضا حركة اهتزازية. وقد درسها جاليليو واكتشف قانونا هاما عندما كان يستمع الى عظة الاحد فى الكنيسة وكانت العظة مملة وكانت هناك رياح خفيفة تجعل الثرايا فى سقف الكنيسة تتأرجح فلا حظ ان زمن دورة واحد لتأرجح الثريا هو دائما زمن ثابت بغض النظر عن طول التأرجح!

البندول

فى حركة البندول البسيط نعلم كلنا ان طاقة النظام الكلية تكون ثابتة لاتتغير خلال التأرجح. واعنى هنا الطاقة الميكانيكية. ففى البداية يكون البندول مستقرا فى المنتصف ثم عندما اقوم برفعه 5 سم مثلا الى جهة اليسار فانى اكسبه طاقة وضع. ثم اقوم بتركه. فان البندول يتأرجح. وتكون طاقة الوضع فى اقصى اليسار اعلى مايمكن حيث يبلغ البندول اقصى ارتفاع. ولكن طاقة حركته تكون صفرا. فاذا تركناه فانه يكتسب طاقة حركة وتقل طاقة وضعه. حتى اذا بلغ المنتصف فتكون طاقة وضعه اقل ما يمكن بينما تكون طاقة  حركته اعلى ما يمكن. ولكن فى جميع اللحظات تكون الطاقة الكلية ثابتة

و الان ماذا لو اوقفنا البندول واعدنا الكرة مرة اخرى. لكننا هذه المرة نرفع البندول فى البداية 10 سم بدلا من 5 سم. ففى اى مرة تكون الطاقة الكلية اعلى؟ لاشك انها المرة الثانية حيث اننا نحتاج الى طاقة اعلى لرفع كتلة 10 سم بدلا من 5 سم. اذن فان طاقة الاهتزازة تعتمد على المطال او على السعة القصوى. لكن ماذا عن التردد؟ نعلم كما سبق من قصة جاليليو ان البندول فى المرتين يصنع الاهتزازة فى نفس الزمن. اي ان التردد ثابت. اذن فطاقة البندول المهتز تعتمد على سعته وليست على تردده. ولكن بلانك يقول العكس. يقول ان فى حالة الموجات الكهرومغناطيسية فان طاقة الباعث تعتمد على تردده وليست على سعته!!

لكن لماذا فعل بلانك هذا؟ هو اراد ان يبين لماذا نحن على قيد الحياة الان ولماذا لاتنبعث الموجاتت ذات الطول الموجى القصير. وهو كان بذلك يستغل خاصية غريب من خواص الصفر! فى الحقيقة فان اغلب المشاكل اللتى تنشأ عن الصفر لا يكون الصفر السبب المباشر فيها. وكما يقول اللبنانيون فان الصفر هو نصف مصيبة. لكن المصيبة الكاملة هى فى المالانهاية. واعلم انك عندما تفتح الباب للصفر فانك عاجلا او اجلا فستجد نفسك وجها لوجه مع المالانهاية فالمالانهاية هى الوجه الاخر للصفر على كرة ريمان. وهناك قانون يربط تردد موجة كهرومغناطيسية بطولها الموجى له الصورة التالية:
f= c/L       2
حيث f هو التردد و c  هى سرعة الضوء و  L هو الطول الموجى.
ومن هنا نري انه عندما يكون الطول الموجى صفر فيكون التردد مالانهاية. اذن وطبقا لفرضية بلانك الجديدة فتكون الطاقة اللازمة مالانهاية. اذن فهى غير موجودة عمليا! وهنا نري ايضا كيف ان الحساب على طريقة ريمان يكون مفيد احيانا فقسمة عدد بخلاف الصفر على الصفر هى كمية معرفة وتعطى مالانهاية!!

اذن فالفرض الاول لبلانك يوضح لنا لماذا لانحصل على الاطياف ذات الطول الموجى القصير. لانها ذات تردد عالي وطاقة هائلة. اذن فالمتبقى على بلانك ان يعطى قانونه الجديد شكل الجرس لتوزيع الطيف كما بينته التجربة العملية. وهنا تأتى الفرضية الثانية لبلانك وهى اشد جنونا من الفرضية الاولى

يقول بلانك ان الباعث للموجات الكهرومغناطيسية  يحمل فقط قيما معينة من الطاقة. او كما يقول افتراضه
E(vibration)= n * h *f
حيث f هو التردد و h هو ثابت بلانك الشهير اما n فهو عدد طبيعى ما. اى انه يحمل فقط القيم: 1 او 2 او 3 … الى اخره. بمعنى اخر ان الطاقة لاتحمل قيما متصلة ولكنها قفزات كمية. ومن هنا تأتى التسمية كلها للنظرية بنظرية الكم. فالطاقة فى المثال السابق قد تكون hf او 2hf ولكنها لا يمكن ان تكون قيمة فى المنتصف.

واذا عدنا الى الميكانيكا الكلاسيكية والبندول البسيط فمعنى هذا ان البندول يهتز عندما ارفعه 5 سم او مضاعفات هذا الرقم. بمعنى ان البندول سوف يهتز عندما ارفعه 10 سم. ولكن البندول لن يهتز عندما ارفعه 6 سم. وهذه فرضية مجنونة تخالف ما نعايشه فى حياتنا. فعندما ارفع سرعة السيارة من 90 كم  فى الساعة الى 100 كم فى الساعة. فاننى امر عبر كل القيم فى المنتصف ولا اقفز فوقها كما يقول بلانك.

دعونى احاول ان اقرب فكرة بلانك بتشبيه. كلنا نعلم بالتليفونات المحمولة وبامكانية شحن الرصيد عن طريق بطاقات الشحن فلو تخيلنا ان معى تليفون محمول ولكنه بلا رصيد . وانا معى يورو واحد وبطاقة الشحن اللازمة قيمتها 10 يورو على الاقل. اذن فانا لن اتمكن فى الحديث هاتفيا وساضع اليورو و الهاتف المحمول امامى و استمتع بجمالهما ولكنى لن استطيع ان اجري  مكالمة تليفونية واحدة. فقط اذا كان بحوزتى 10 يورو او 20 يورو او مضاعفات ذلك فسيكون بامكاني اجراء مكالمات تليفونية عن طريق شراء بطاقات شحن بالنقد المقوجود ثم اجراء الاتصالات الضرورية.

مثال اخر لنتخيل ان لدينا 3 تليفونات محمولة كلها فيها بطاقات تشغيل لشركات خدمات تليفونية مختلفة. فالتليفون الاول يستخدم خط شركة الفقراء وسعر بطاقة الشحن فيه 2 يورو والتليفون الثانى يستخدم خط متوسطى الحال وسعر بطاقة الشحن فيه 3 يورو. ثم خط شركة الاغنياء وسعر البطاقى فيه 11 يورو. ثم نتخيل ان بحوزتى 7 يورو واريد ان اجرى بها كلها مكالمات تليفونية. فكيف يمككننى ذلك؟ طبعا لن يمكنى ان استخدم ابدا خط الاغنياء. ولكنى سأشترى بطاقتين من شركة الفقراء وبطاقة من شركة متوسطى الحال. هذا المثال يوضح تماما لماذا لا تظهر الكارثة فوق بنفسجية عند درجات الحرارة المنخفضة. لان الطاقة المطلوبة تكون عالية جدا

 

لكن بواسطة هذين الفرضين وباستغلال خواصى الانتروبى استطاع بلانك ان يضع معادلته اللتى تؤدي الى نفس النتيجة اللتى نحصل  عليها فى المختبر. فى النهاية يجب ان نقول انه لحسن الحظ فان بلانك لم يستمع لنصيحة استاذه سوى لفصل دراسى واحد ثم انتقل بعده لدراسة الفيزياء فى جامعة برلين!

 

 

الصفر المطلق

نصل اليوم الى محطة جديدة فى رحلتنا مع قصة الصفر. وقصة الصفر هي موضوع له جوانب متعددة: تاريخية وفلسفية وفنية ورياضية  … الى اخره. وقد تعرفنا فى المرات الماضية على بعض امثلة لهذه الجوانب. و اليوم سنتعرف على جانب جديد من قصة الصفر وهو الجانب العلمى او الفيزيائى على وجه التحديد.

لم يكن للصفر تأثير كبير فى بداية الامر على تطور الفيزياء. وهذا الامر يعتبر منطقىا اذا راعينا ان هدف الفيزياء هو وصف الواقع القائم وشرح الكيفية اللتى تتم بها احداثه. اما الرياضيات فليس مجالها الواقع القائم ولكن مجالها هو التأملات اللتى يستطيع العقل البشري ان يتصورها ويعقلها بشكل منطقى. واكتشاف الصفر لم يكن مرتبطا بالواقع وحتى انه تم اكتشافه متأخرا عن باقى الاعداد الطبيعية بالاف السنوات. فالانسان لا يهتم مثلا بعد ابقار غير موجودة و لايذهب للسوق ليشترى صفرا من الاسماك. وكان الهنود هم اول من اكتشف الصفر بعد ان تعاملوا مع الرياضيات بصورة مجردة وعزلوا الرياضيات عن الواقع على عكس ما كان يفعل الاغريق. لكن مع تطور الفيزياء وارتباطها بشكل قوى بالمعادلات الرياضية  اصبح الصفر ظاهرة شاذة في الفيزياء. واذا سبقنا الاحداث في موضوع اليوم فيمكننا ان نقول ان الصفر غير منسجم مع فيزياء اليوم و اذا ظهر فان وجوده يصنع مشاكل خطيرة. وسنتعرض اليوم لظاهرة فيزيائية هامة وهى ظاهرة الحرارة.

يتعلم التلاميذ فى المدارس ان الاجسام تتمدد بالحرارة وتنكمش بالبرودة.وهذا هو مفتاح موضوع اليوم. وتمكن الفيزيائون فى نهاية القرن الثامن عشرمن ايجاد علاقة رياضية تربط حجم الغازات بدرجة حراتها وذلك عند ثبات الضغط. وقام الفرنسى جاى لوساك Joseph Louis Gay-Lussac  باعطاء هذا القانون شكله النهائي فى بداية القرن التاسع عشر. ويقول هذا القانون انه عند ثبات الضغط الخارجي فان حجم الغاز يتناسب طرديا او خطيا مع درجة حرارته. وانه كلما زادت درجة حرارة الغاز بمقدار ثابت كلما ازداد حجمه ايضا بمقدار ثابت و العكس صحيح.

وهنا قد يظهر سؤال لماذا اختص القانون بالغازات فقط.  والاجابة تتلخص فى ان للحالة الغازية خاصية هامة تتميز بها عما سواها من الحالات. حيث تتمتع جزيئات المادة فى الصورة الغازية بحرية حركة لا تتمتع بها فى الصورتين السائلة و الصلبة. وهذا يجعل دراسة تأثير مؤثر خارجى كالحرارة او الضغط اكثر سهولة. بينما فى الصورتين السائلة والصلبة تكون حركة جزيئات المادة مكبلة بتأثير جاراتها من الجزيئات عليها  مما يزيد الدراسة صعوبة. وقد قام لوساك بنفخ بالونة من غاز بحيث اخذت حجما معينا. ثم قام بتسخين البالونة فازداد حجمها . و الغريب فى تجربة لوساك انها لا تعتمد على نوع الغاز المستخدم. فسواء اذا ملأ البالونة بغاز الاكسوجين او الهيدروجين او النتروجين فان البالونة تسلك نفس المسلك تماما. ويزداد حجم البالونة بنفس المقدار عند رفع درجة حرارتها 10 درجات مئوية مثلا. وهذا طبعا بشرط اجراء التجربة عند نفس الضغط الجوي وبنفس الحجم الابتدائي.

قانون جاي لوساك

لكن مالفت نظر الفيزيائيين فى القرن الثامن عشر هو عملية التبريد. فاذا بردنا الغاز فان حجمه سيقل . واذا واصلنا التبريد فان الانكماش سيتواصل. واذا مددنا خط العلاقة على امتداد طوله كما بالرسم سنجد اننا عندما نبرد غازا ما حتى درجة سالب 273.15 مئوية فان حجمه سيصبح صفرا!. واذا بردناه اكثر من ذلك سيصبح حجمه سالبا!!!. ولكن هذا الامر يحتاج منا الى وقفة.

فالامر الاول ادرك فيزيائيو القرن الثامن عشر باستحالة ان يصبح حجم الغاز سالبا. بل حتى من المستحيل ان يتلاشى حجم  الغاز ويصبح صفرا. اذن ادرك الفيزيائيون استحالة وصول غاز الى هذه الدرجة من البرودة وقالوا انه قبل ان يصل الغاز الى هذه المرحلة فانه لابد وان يوقف عملية الانتحار هذه فيتخلى عن الحالة الغازية قهرا ويتحول الي صورة سائلة او حتى صلبة!!

والامر الثانى ان درجة الحرارة هذه او سالب 273.15 مئوية تمثل معنى فيزيائيا حقيقيا وانها تمثل الصفر الحقيقى او الصفر المطلق اللذى يتلاشى عنده حجم اي غاز. وادركوا ان اختيار الصفر المئوي العاديى كان اختيارا فاشلا. فهو كان مجرد اختيار عشوائى يجعل درجة حرارة تجمد الماء هى نقطة البداية ويجعلها نقطة الصفر. فعلى رغم من اهمية الماء في حياتنا الى ان اختيار نقطة تجمد الماء للتعبير عن نقطة الصفر لقياس الحرارة اختيار فيزيائى غير سليم. فلماذا مثلا لم نختر درجة تجمد عصير البرتقال؟ او درجة غليان الماء بدلا من درجة تجمده؟. كما ان درجة تجمد الماء ليست قيمة مطلقة فهى تعتمد على الضغط الجوي فالماء يتجمد عند قمم الجبال وحيث يقل الضغط عند درجة حرارة اعلى من الصفر. بينما الصفر المطلق يعبر عن ظاهرة عامة  لكل الغازات بغض النظر عن اسمها وبغض النظر عن قيمة الضغط الخارجى. ولذلك فتم اعتماد نظام جديد لقياس درجات الحرارة نعين فيه درجة الحرارة المطلقة وهى تساوي درجة الحراة المئوية زائد 273.15  او
T = t + 273.15

اذن ادرك الفيزيائيون فى القرن الثامن عشر ان الغازات لا يمكن ان تصل الى درجة الصفر المطلق. لكن ماذا اذن بعد ان تتحول الى سوائل او اجسام صلبة هل يمكن ان تنزل درجة حرارتها دون الصفر المطلق؟ الاجابة وجدها فيزيائيو القرن التاسع عشر وهى كما تتوقعون لا.

فى القرن التاسع عشر ظهر تخصصان فيزيائيان هامان وهما الميكانيكا الاحصائية و الديناميكا الحرارية. وتوصلت الميكانيكا الاحصائية الى سر ظاهرة الحرارة. فالحرارة ليست الا طاقة الحركة لجزيئات المادة. فجزيئات المادة بغض النظر عن حالتها سائلة ام صلبة ام غازية لا تبقى ثاتبة ولكنها تتحرك دائما. وحتى فى الحالة الصلبة فان الجزيئات تهتز حول مواضع اتزانها. وكلما ازداد اهتزازاها عنفا كلما ازدادت طاقة حركتها وكلما ظهر لنا ذلك على صورة حرارة. وبناء على ذلك فالصفر المطلق ليس مرتبطا بالحجم ولكنه درجة الحرارة اللتى تكون عندها طاقة الحركة لجزيئات المادة صفرا. وبهذا فانه حتى فى الحالة الصلبة فلا يمكن ان تقل درجة الحرارة عن الصفر المطلق. بل حتى تنبأت فيزياء القرن التاسع عشر ان درجة الحرارة لا يمكن ان تصل حتى الى الصفر المطق.

دعونا نقوم بالتجربة الذهنية التالية. دعونا نتخيل ان لدينا قطعة لحم وضعناها فى ثلاجة ثم نقوم بتبريدها حتى درجة الصفر المطلق. لكن حيث ان قطعة اللحم موجودة فوق ارضية الثلاجة اللتى تتكون من جزيئات ما. فستصطدم جزيئات الثلاجة بجزيئات قطعة اللحم مما يكسبها طاقة حركة و بالتالى حرارة! حتى لو افرغنا الثلاجة من الهواء وفرضنا ان بامكاننا تعليق قطعة اللحم فى الفراغ بداخل الثلاجة. فان قانون الثانى للديناميكا الحرارية يقول بان اى نظام فيزيائى ذو حركة دورية  لابد وان يشع حرارة. اذن فالجزيئات الموجودة فى الثلاجة حيث انها تهتز وانها اعلى حرارة من قطعة اللحم فانه سيصدر منها اشعاع ينتقل فى الفراغ باتجاه قطعة اللحم مما يسبب فى ارتفاع درجة حرارتها. ومعنى هذا انه تكفى ان تكون فى اي مكان فى الكون النقطة  درجة حرارته لا تساوي الصفر حتى يصدر منه اشعاعات ترفع درجة حرارة قطعة اللحم فى المثال السابق. اما قانون الديناميكا الحرارية الثالث فهو يقول بكل وضوح من المستحيل تبريد اى نظام الى درجة الصفر المطلق!!

اذن فقد قال الفيزيائيون فى القرن الثامن عشر باستحالة تبريد الغازات الى درجة الصفر المطلق بينما قال الفيزيائيون فى القرن التاسع عشر باستحالة ذلك على الاطلاق بالنسبة لكل صور المادة  غازية او سائلة او صلبة. لكن ماذا قال الفيزيائيون فى القرن العشرين؟

فى القرن العشرين تأكدت حقيقة استحالة الوصول الى درجة الصفر المطلق بل ظهر دليل جديد على ذلك. ففى القرن العشرين ظهرت نظرية الكم. ومبدأ عدم الدقة لهايزنبرج هو احد اهم مبادئ هذه النظرية. ويفيد هذا المبدأ بما معناه بانه من المستحيل ان نحدد سرعة اى جسيم ومكانه فى نفس الوقت بصورة مؤكدة. و الوصول الى درجة الصفر المطلق يتعارض مع هذا المبدأ. لانه عند الوصول الى درجة الصفر المطلق فان جزيئات المادة تتوقف عن الحركة تماما. وبهذا تكون سرعتها محددة تماما وتساوي صفر. اما مكانها فمن الممكن تحديده بدقة شاملة حيث انها ثابتة فى مكانها لاتتحرك. لكن هذا يتعارض مع مبدأ عدم الدقة. اذن فالوصول الى درجة الصفر المطلق هو عملية غير ممكنة.

اما فى القرن الواحد والعشرين فان هذه الحقيقة ازدادت تأكدا واستطاع العلماء فى المختبرات الوصول الى درجات حرارة منخفضة جدا. ولكنها بالطبع لا تزال اعلى من الصفر المطلق. وعندما تصل درجة الحرارة بالقرب من الصفر المطلق فنرصد ظواهر عجيبة جدا. فعند درجة الحرارة هذه نحصل على موصلات فائقة التوصيل كما تظهر ظاهرة اينشتاين بوز. لكن هذا موضوع اخر  لايتسع له المكان هنا.

الخلاصة  انه فى ميدان الحرارة لامكان هناك للصفر!!.

 

صور مختلفة للاعداد المركبة

تبدو فكرة الاعداد المركبة وفلسفة وجودها غير بديهية بالنسبة للبعض. لكن على الرغم من ذلك فان التعامل معها حسابيا هو امر سهل و بديهى حتى بالنسبة لهؤلاء اللذين يرون فكرتها الاساسية غير بديهية. فمعظم العمليات الرياضية اللتى نجريها على الاعداد الحقيقية بالامكان اجراؤها على الاعداد المركبة وبصورة مشابهة. فلجمع عددين مركبين مثلا نجد ان العملية تتم هكذا:
(1+2i)+(3+4i)=(4+6i)
اي اننا نجمع الجزء الحقيقى على الجزء الحقيقى والجزء التخيلى على الجزء التخيلى
وعملية الطرح هى العملية العكسية بالنسبة لعملية الجمع وبناء على ذلك نجد الاتى
(4+6i)-(3+4i)=(1+2i)
وبالمثل فعملية ضرب عدد مركب فى عدد مركب هى عملية ممكنة. وهى تشبه عملية ضرب قوسين يحتوى كل قوس على اعداد حقيقية مجموعة على بعضها. وكما نعلم تتم عملية الضرب فى هذه الحالة بان نضرب كل عنصر فى القوس الاول فى كل عنصر موجود فى القوس الثانى ثم نجمع النتائج على بعضها. او كما يتعلم التلاميذ فى المدارس: كل عنصر فى القوس الاول يصافح كل عنصر فى القوس الثانى!!. ومن هنا
(1+2i)*(3+4i)=(3+4i+6i+8i^2)
=(3+10i+8i^2)
واذا راعينا ان i^2 تساوي سالب واحد نحصل على:
(3+10i-8)=(-5+10i)
ونلاحظ هنا ان التعامل الرياضى مع الاعداد المركبة يتشابه الى حد هائل مع التعامل مع الاعداد الحقيقية. وخاصية الضرب الاخيرة تمهد الطريق الى خاصية للاعداد المركبة تعرف بالعدد المكمل . حيث لكل عدد مركب عدد اخر مركب مكمل له بحيث اذا ضربنا العددين فى بعضهما حصلنا على نتيجة حقيقية خالصة دون شق تخيلى. والعدد المكمل يكافيئ تماما العدد الاساسى مع عكس اشارة الشق التخيلى فيه. فمثلا العدد (1+2i) العدد المكمل له هو (1-2i) واذا ضربنا العددين فى بعضهما حصلنا على 5
كما ان للعدد المركب خاصية اخرى تعرف بالقيمة المطلقة وهى تحسب باخذ الجذر التربيعى لمجموع مربعي الشقين الحقيقى و التخيلى . فمثلا القيمة المطلقة للعدد (3+4i) تساوي
sqrt(9+16) =5
كما انه بالامكان حساب الجذر التربيعى للعدد المركب. وهو عبارة عن عدد مركب اخر اذا ضربناه فى نفسه يعطينا قيمة العدد المركب اللذى نبحث عن جذر له. فمثلا الجذر التربيعى ل (3+4i) هو (2+i) ويمكننا التأكد من ذلك بضرب (2+i) فى نفسه ونرى على ماذا سوف نحصل.

هنا ينتهى الجزء الاول من موضوع اليوم. وفى الجزء الثانى سنحاول ان نصنع نوعا جديدا من الجبر. و لا اقول هنا نوعا جديدا من الاعداد بل نوع جديد من الجبر. وهنا قد يبرز سؤال وهل هناك انواع مختلفة من الجبر؟ و الاجابة هى نعم. فمثلا هناك الجبر البوليانى اللذي يستخدم فى صناعة اجهزة الكمبيوتر. ومن الاشياء الغريبة فيه ان جمع واحد زائد واحد يعطى صفرا. وهناك فرع الجبر المجرد اللذى يعنى بدراسة الجبر فى صورته العامة والمطلقة. كما قد يهتم علم مثلا بدراسة خواص الشعر بغض النظر ان كان باللغة العربية او الصينية ويبحث عن اجابة لسؤال وهو : ماهو الشئ اللذى يجعل من الشعر شعرا على الاطلاق؟. وموضوع الجبر المجرد هو موضوع كبير ولا يتسع له المكان هنا. ولكننا سوف نتعرض له فى موضوع اليوم بقدر حاجتنا الى ذلك.

لكى نخترع جبرا جديدا لابد ان يكون لدينا اولا مجموعة اشياء رياضية لنجري حساباتنا عليها. وفى الجزء الاول من موضوعنا اليوم كانت هذه المجموعة هى مجموعة الاعداد المركبة. وفى حال التعامل مع الاعداد الحقيقية تكون المجموعة المستخدمة هى مجموعة الاعداد الحقيفية وهكذا. ولكننا هنا فى جبرنا الجديد لن نستخدم مجموعة اعداد بشكل مباشر. فمجموعتنا اللتى سوف نستخدمها هي مجموعة النقاط الهندسية اللتى تقع فى مستوي افقى!!. فنحن سنستخدم اشياء هندسية فى اجراء عمليات الجبر. ولكننا كما نعلم من جهة اخري ان اى نقطة فى مستوي يمكننا ان نعبر عنها برقمين حقيقيين يمثلان احداثيات هذه النقطة. اى اننا فى النهاية نستخدم مجموعة الاعداد الحقيقية بشكل غير مباشر. والتعبير الرياضى السليم لما نفعله اننا نستخدم مجموعة لها شكل R*R حيث ترمز R هنا الى مجموعة الاعداد الحقيقية. ونلاحظ هنا اننا نتستخدم R مرتين لان كل عدد له احداثيان وليس احداثيا واحد. وعلامة الضرب ترمز الى عملية الضرب الكارتيزي . وهى عملية ضرب مجموعتين فى بعضهما وبناء عليها فان كل عنصر فى المجموعة الاولى يصافح كل عنصر فى المجموعة الثانية. مثلا العملية التالية:
{1,2}*{3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}

ويقول الجبر المجرد ايضا اننا نحتاج فى الجبر الجديد الى عملية رياضية نطلق عليها عملية الجمع. وهنا لا يجب ان نخلط بين عملية الجمع فى هذا السياق وعملية الجمع التقليدية اللتى يتعلمها التلاميذ فى المدارس. فالمقصود بعملية الجمع هنا انها عملية تربط بين عنصرين من المجموعة ويكون الناتج عنصرا من نفس المجموعة. وفى جبرنا الجديد عندما نجمع نقطتين على بعضهما نحصل على نقطة جديدة و نعرف عملية الجمع هكذا.
(1,2)+(3,4) =(4,6)
وعلمية الطرح هي ايضا ممكنة فهي العملية العكسية للجمع. وبناء على ذلك
(4,6)-(3,4)=(1,2)
ويتطلب الجبر المجرد ايضا وجود عملية تسمى عملية الضرب. وهى كما تتوقعون لا علاقة لها ايضا بعملية الضرب اللتى تعلمناها فى المدارس ولكنها عملية ربط جديدة تربط بين عنصرين من المجموعة ويكون الناتج عنصرا يننمى ايضا الى نفس المجموعة. وهنا فى حالتنا سوف نضرب نقطة فى نقطة ونحصل على نقطة جدية. وسوف نعرف عملية الضرب هكذا
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
وبناء عليه فان ضرب النقطتين السابقتن يتم على الشكل التالى:
(1,2)*(3,4)=(5-,10)

وهنا سوف نلاحظ شئ غريب جدا وهو ان النتائج اللتى حصلنا عليها فى الجزء الثانى من موضوع اليوم تتفق تماما مع نتائج الحزء الاول. مع مراعاة اننا فى الجزء الثانى لم نستخدم ابدا اعدادا تخيلية ولكننا كنا نستخدم زوجا من الاعداد الحقيقية. ويقول الرياضيون ان بناء الجبر الجديد اللذى حصلنا عليه يتطابق تماما مع جبر الاعداد المركبة فى صورته الاولى ويقولون ان البناءان متماثلان او isomorph .ويطلق على هذا الجبر الجديد طريقة جاوس للتعبير عن الاعداد المركبة. وهى تعبر عن الاعداد المركبة فى شكل نقاط مرسومة على مستوي افقيى تعبر قيمة الاحداثى السينى عن الشق الحقيقي للعدد المركب بينما يعبر الاحداثى الصادي عن الشق التخيلي منه.

ومن هنا نري ان من يشعر بالضيق من فكرة الاعداد التخيلية و مازال لايستطيع ان يهضمها بامكانه تخيل الاعداد المركبة فى صورة لا تحتوي على اعداد تخيلية نهائيا. ولكن هنا يجب علينا ان نتخيل ان العدد المركب يعيش في بعدين وليس بعد واحد فقط. والبعد التخيلى يمثل دائما بعدا مغايرا للبعد الحقيقى. والشق التخيلى والحقيقى فى العدد المركب بغض النظر عن اسمائهما يمثلان بعدين حقيقيين مختلفين فى عالم الاعداد.

ولكن ليست هذه كل الصور الممكنة للتعبير عن الاعداد المركبة فهناك صورة اخرى يمكن ان تكون اقل شهرة من الصورتين السابقتين ولكنها قد تكون اهم منهما قيمة عمليا. فهذه الصورة تستخدم فى الميادين الهندسية و الرياضية المختلفة. وهى اهم نظرا لانها اقصر طولا واسهل رياضيا فى التعامل معها. وهى تشبه الصورة الثانية من حيث اننا نعبر فيها عن نقطة ما بدلالة احداثياتها. ولكننا لن نستخدم هذه المرة الاحداثيات الكارتيزية ولكن الاحداثيات القطبية. اى تلك الاحداثيات اللتى تحتاج الى بعد النقطة عن نقطة الاصل كما انها تحتاج ايضا الى الزاوية اللتى يصنعها الخط الواصل بين نقطتنا ونقطة الاصل مع المحور الافقى. كما تشبه الصورة الثالثة الجديدة الصورة الاولى من ناحية انها تحتوي على الاعداد التخيلية مرة اخرى. وبناء على هذا فاننا يمكننا ان نعبر عن العدد بهذه الصورة
3+4i = 5e^0.93i

 

الاعداد المركبة

وحيث ان الابداع الرياضى لا حدود له فان هناك صور رابعة تعبر ايضا عن الاعداد المركبة وهىى مرة اخرى لا تستخدم الاعداد التخيلية ولكن الاعداد الحقيقية فقط. ولكنها تستخدم صورة المصفوفات. فالعدد السابق يمكن التعبير عنه فى الصورة التالية:
3+4i =|3 -4| 1
2 |3 4|
كما ان العمليات الحسابية اللتى يمكن اجراؤها على الاعداد المركبة يمكن اجراؤها هنا بواسطة المصفوقات ثم الوصول طبعا فى النهاية لنفس النتيجة!!!

فى النهابة وبعد ان تعرفنا على صور مختلفة للاعداد المركبة من المفيد ان نذكر ان الاعداد المركبة ليست هى اعلى انواع الاعداد او اوسعها. فهناك اعداد اخري اوسع من الاعداد المركبة وهى اشد تركيبا منها وهذه الاعداد تعرف باسم الكواترنيونات quaterneon وهى تتكون من 4 اعداد او عناصر: عنصر حقيقى و 3 عناصر تخيلية ولكن من انواع مختلفة. كما ان الاعداد الكواترنيونية ليست هى اخر المطاف بل هي مجرد البداية لانواع غير نهائية من الاعداد المركبة تعرف باسم الاعداد المركبة الفائقة hypercomplex number !!

الخلاصة ان الرياضيات ليست قيودا جامدة لا قكاك منها بل هى حرية وابداع لا حدود لها. كما انه من الخطأ ربط الرياضيات بالواقع الفيزيائى ربطا جامد او الخلط بين خواص ظاهرة طبيعية ما وخواص مجموعة الاعداد اللتى يستخدمها نموذج رياضى لتبسيط هذه الظاهرة.

الاعداد المركبة

للاعداد المركبة مكانة عالية فى رياضيات اليوم. كما انها تلعب دورا هاما فى التطبيقات العلمية المختلفة. ويصنف الرياضيون الاعداد الى مجموعات متداخلة. هى تحديدا: مجموعة الاعداد الطبيعية والصحيحة و النسبية والمركبة الى اخره. لكن تعد مجموعة الاعداد المركبة هي اكثر المجموعات صعوبة على الفهم وذلك يرجع بكل تأكيد الى انها تحتوي على الاعداد التخيلية. ولذلك يجب علينا اولا ان ان نتعرف على الاعداد التخيلية ولماذا لا يستسيغها كثير من الناس؟.

تعود مشكلة الاعداد التخيلية من وجهة نظرى الى اسمها. فذلك الاسم يشكل حائلا دون قبول الناس لهذه الاعداد. فهذا الاسم يشكل ظاهرة بلاسيبو سلبية او تأثير بالايحاء سلبى كما اثبتت وجوده بعض التجارب الطبية. وانى ازعم انه لو كان لهذه المجموعة اسما اخر  كمجموعة الاعداد الهامة او مجموعة الاعداد اللتى لا غنى عنها لاي رياضى او اي شئ اخر لتقبلها الناس بنسبة تزيد عن 85% مما يتقبلونه بها الان. ولتبارى الناس حينئذ فى اظهار انهم يفقهون هذه الاعداد ويستوعبونها. وفى حقيقية الامر فان جوهر الاعداد التخيلية ليس صعبا على القبول بالنسبة لانسان قد قبل بوجود الاعداد السالبة مثلا.

وفى الماضى البعيد رفض الاغريق الاعداد الغير النسبية و اسموها الاعداد الغير عقلانية وهذه هي الترجمة الحرفية لكلمة irrational numbers . فقد تصور الاغريق ان اي عدد يمكن التعبير عنه كنسبة او قسمة بين عددين طبيعيين . مثلا العدد 2/3 هو نسبة او قسمة 2 على 3 والعدد 1 هو قسمة 5 على 5 او 7 على 7 او اي شئ اخر مشابه. وقال الاغريق باستحالة وجود عدد لايمكن التعبير عنه كنسبة. ولكن اكتشف الاغريق لهول صدمتهم ان العدد جذر 2 لايمكن التعبير عنه كنسبة ابدا . وقد ذكر اقليدس البرهان على ذلك فى كتابه المشهور العناصر. كما رفض الاغريق ايضا الصفر لانه يعبر عن العدم. و الاغريق كانوا امة ترفض العدم و تعتبره فكرة كريهة تشوه جمال الكون الجميل. ومن الطبيعى ان من يرفض العدم  ان يرفض ايضا الاعداد السالبة. فكيف تكون هناك قيمة اقل من اللاشئ ومن العدم؟!!

وفى حقيقة الامر فان اسم الاعداد التخيلية هو الاسم اللذى اطلقه عليها معارضوها وكان هدفهم من الاسم السخرية والاستنكار ورفض الفكرة. ولكن هذا الاسم  هو اللذي بقى يرمز الى هذه الاعداد. وهذا يشبه تماما قصة تسمية الانفجار العظيم  big bang بهذا الاسم فهو ايضا كان اسما يقصد به الاستخفاف بالفكرة. لكن لعجائب الامور فان هذا الاسم هو اللذي بقى.

اما باقى اسباب عدم استساغة الناس للاعداد التخيلية فيرجع الى ماهيتها وكونها. فما هى الاعداد التخيلية؟

الاعداد التخيلية هى ببساطة حل المعادلات الرياضية اللتى تحمل الصورة التالية:
X^2 + a^2= 0     1
حيث a يرمز لعدد حقيقى. وبناء على ذلك فاننا يمكننا كتابة المعادلة السابقة على الصورة التالية
x^2 = -a^2   2

و على سبيل المثال اذا عوضنا عن قيمة a ب 1 نحصل على المعادلة التالية
x^2 = -1     3

ولحل هذه المعادلة يجب علينا ان نفكر بطريقة منطقية ونضع انفسنا فى دور محققى الشرطة حين يحققون فى جريمة  أو نلعب دور المفتش هركيول بوارو فى روايات اجاتا كريستى حين يبحث عن الجانى الحاذق اللذى ارتكب جريمة القتل فى الرواية. فاذا كان للمعادلة السابقة حلا ما فانه لا يمكن ان يكون عددا حقيقيا لاننا نعلم ان العدد الحقيقى قد يكون موجبا او سالبا او صفر. واننا اذا ربعنا اى عدد حقيقي فاننا لن نحصل على عدد سالب باى حال من الاحوال. اذن فالاستنتاج انه اذا كان للمعادلة 3 حلا ما فاننا لابد ان نخترع نوعا جديدا من الاعداد تسمح خواصه بان يكون حلا للمعادلة السابقة!!

ولذلك فتم استحداث رمز جديد هو i وهو يمثل عدد من نوع جديد الا وهو النوع التخيلي واللذي يمثل حلا للمعادلة السابقة. و لاستكمال كل الحلول نقول ان للمعادلة السابقة حلان هما i و i- . وهنا قد يسأل سائل لماذا علينا ان نخترع حلا جديدا للمعادلة السابقة. الا يمكننا التوقف ونقول انه لا يوجد حل لهذه المعادلة وينتهى الموضوع عند هذا الحد و لا داعى لاختراع نوع جديد من الاعداد؟

نستطيع ان نجيب على هذا السؤال بسؤال عكسى ونقول ولم لا؟ ومااللذي يمنع؟ فنحن لم نخرق قاعدة قائمة بل حافظنا على القوانين الموجودة كلها. والقوانين الجديدة كلها متسقة مع نفسها و لاتؤدي الى اى تناقض. وما هى الرياضيات الا تجنب التناقض؟. بل الاكثر من ذلك اننا اذا تأملنا روح الرياضيات لوجدنا ان اختراع نوع جديد من الاعداد امرا ليسا ممكنا فقط بل هو المفضل. فالرياضيات تتنفس الحرية وتعيش من الابداع. فهى ليست قيود جامدة كما قد يظن البعض. فالقوانين فى الرياضيات اشبه بالقافية و البحر فى الشعر . فهذه قواعد لا تحد من الابداع و لا تقيده. وكما فى كرة القدم فان القواعد تنظم اللعبة و لا تقلل من جمالها فلكى يحرز لاعب هدفا عبقريا ليس عليه ان يلعب الكرة بيده أوان يدفع خصمه او يوسعه ضربا وركلا حتى يخلو له الطريق الى المرمى. ولكن مع ذلك فالرياضيات تسمح دائما بخلق صنوف جديدة من القوانين يخلقها الرياضى نفسه. فمن يظن ان القافية تحد من ابداع شعره فهناك الشعر الحديث اللذى لايلتزم بالقافية ومن يظن ان دفع الخصم امر لامشكلة فيه فهناك رياضة الرجبى. باماكانك ان تخترع قوانين وقواعد جديدة فى اى وقت فقط لا يمكنك ان تخترع القوانين فى منتصف اللعب. فاذا بدأت شيئا فعليك ان تلتزم به حتى النهاية. واذا اردت تغيير القواعد فاخترع شيئا جديدا وابدأ من جديد.

وهنا قد يسأل انسان مرة اخرى وهو مازال غير مقتنع بفكرة الاعداد المركبة: ولكن اين توجد الاعداد المركبة فى الحقيقة؟ والاجابة هى ان الاعداد المركبة لا توجد فى الحقيقة! كما ان الاعداد السالبة مثلا لا توجد فى الحقيقة. فمن رأى منا عددا سالبا؟ وما معنى ان توجد قيمة اقل من العدم فى الحقيقة؟ وفى الواقع فان كل استخدامات الاعداد السالبة هى امور مجازية. فنحن نقول مثلا سالب 50 دولار ونعنى به مثلا ان يكون الانسان مدينا. ولكن لا توجد قيمة من المال قيمتها تساوي سالب 50 دولار. ولكننا نعتبر المديونية عكس للملكية. كما اننا نعتبر القبح عكس الجمال فاذا اعطينا لشئ درجة من الجمال تساوي سالب 5 فاننا نعنى انه قبيح.

ومن يسأل عن وجود الاعداد المركبة فى الواقع فهو  يخلط بين العلوم طبيعية كانت او انسانية و الرياضيات. فالعلوم الطبيعية والانسانية مرتبطة بالواقع  القائم و وهى خاطئة وساقطة ان خالفت الواقع الموجود. فالفيزياء والكيمياء والبيولوجيا كلها امور مرتبطة بالواقع المعاش. وكذلك العلوم الانسانية كالتاريخ و الجغرافيا و اللغات وعلم الاجتماع الى اخره كلها مرتبطة بالحقيقة وبالواقع القائم. اما الرياضيات فهى مرتبطة فقط بكل ما يستطيع العقل ان يتخيله ويعقله اى ان يربطه ربطا منطقيا سليما لا تناقض فيه. وما يستطيع العقل ان يتخيله قد يكون موجودا فى الواقع وقد لا يكون موجودا فيه.  وفى الحقيقة فان ما يستطيع العقل ان يتخيله اكثر بكثير من الواقع القائم. ولذلك فان الاعداد المركبة ومعظم الرياضيات تنتمى الى هذه النوعية وواجب الرياضيات هى ان تعبر عن كل ما يستطيع العقل ان يتصوره ويربطه ربطا منطقيا. و الاعداد المركبة هى مما يستطيع العقل البشري تخيله ولذلك فان اختراع الاعداد المركبة ليس امرا ممكنا فقط او حتى محبذا بل صار بهذا ضروريا!

وبناء على ذلك اذا عممنا الفكرة السابقة و كنا نريد حلا للمعادلة التالية:
x^2 -2x + 5 = 0
فاننا لن نجد حلا حقيقيا لها او حتى تخيليا. ولكنه عدد مركب من شقين احدهما حقيقى و الاخر تخيلى. فللمعادلة السابقة حلان هما:
1+2i
1-2i

وهنا قد يسأل السائل مرة ثالثة: لكن اذا كانت الاعداد المركبة غير موجودة فى الواقع فهل معنى ذلك اننا لايمكن ان نستخدمها فى وصف واقعنا المألوف؟ الاجابة هى لا. فالاعداد المركبة تستخدم بالفعل فى وصف وقائع حياتنا. فهى تستخدم فى ميادين الكهرباء و الديناميكا والنظرية النسبية وكل ميادين الفيزياء تقريبا. ولا يوجد اى تعارض فى اننا نصف الواقع بارقام هي ليست جزءا منه. فالعبرة هى بمرونة هذه الارقام وقدرتها على الوصول الى النتيجة النهائية بشكل مرض بعض النظر عن اى شئ اخر. فالنموذج الرياضى يعبر عن الحقيقة ولكنه ليس الحقيقة نفسها. ونحن نعلم بمتحف مدام توسو للشمع الموجود في لندن واللذى توجد فيه تماثيل للمشاهير تشبههم بصورة مذهلة. فهنا حينما احببنا ان نمثل انسانا بصورة قريبة جدا من حقيقته استخدمنا مادة ليست موجودة فى حقيقة الانسان!. فالانسان لا يتكون من الشمع! ولكن الشمع يعتبر فى هذه الحالة هو من افضل الطرق للوصول لهدفنا وهو تمثيل الانسان وعمل نموذج صادق له. وعندما نريد تقديم شخصية راسبوتين على المسرح فنحن لا نبحث عن ممثلين روسيين لتأدية هذا الدور.فهذا الدور قدمه يوسف وهبى وغيره بشكل فذ. فالنموذح الرياضى او القوانين الفيزيائية الرياضية  اللتى تفسر الواقع ليست هى الواقع نفسه. وهناك مثل صينى يقول: انت تشير الى السماء و الاحمق ينظر الى اصبعك. فالقوانين الفزيائية هى مجرد الاصبع اللذي يشير الى الواقع فقط ولكنها ليست السماء نفسها. ولذلك لا يجب تحميل القوانين الفيزيائية والافكار الرياضية اكثر من طاقتها ونسأل ما معنى عدد تخيلى او مركب او ما شابه ذلك فى الحقيقة و فى الواقع؟

وقد يسأل السائل مرة اخري: وهل انتهى الابداع العقلى عند هذا الحد؟ ام هل هناك صور رياضية  اخري يمكنها ان تعبر عن الاعداد المركبة؟ الاجابة هى نعم فهناك صور اخرى تؤدي وظيفة الاعداد المركبة تماما. ويعتبرها الرياضيون صورا اخرى للاعداد المركبة. بل ان بعض هذه الصور لا يحتوى على اعدادا تخيلية من الاساس!! ولكننا سنتعرف على هذه الصور فى مرة اخرى قادمة.

 

قسمة 1 على صفر وكرة ريمان

يعتبر سؤال : “ما هى نتيجة قسمة 1 على صفر؟” من الاسئلة الكلاسيكية اللتى يتم توجيهها كثيرا. وقد جاوبنا علي هذا السؤال سابقا فى مرات ماضية. ولكننا مع ذلك سنحاول ان نجاوب عليه مرة اخرى اليوم من زاوية مختلفة نوعا ما.

كان اول من قدم اجابة صحيحة على هذا السؤال هو الرياضى الهندي بهاسكارا الثانى فى القرن الثانى عشر الميلادي. حيث قال ان قسمة اى عدد بخلاف الصفر على الصفر تعطى المالانهاية. وقد كان للهنود انجازات رياضية رائعة عموما. فهم مكتشفوا الصفر والاعداد السالبة والمالانهاية. لكن مع انتقال الريادة فى ميدان الرياضيات الى الغرب وقد كان لهم  تاريخ قديم من العداء  باتجاه الصفر والمالانهاية. واذا راعينا انه في اثناء مرحلة تطور الرياضيات في الغرب  تمت عملية خلط اوراق الرياضيات مرة بعد مرة بعد مرة. فظهرت هناك كثير من الشكوك ان قسمة الواحد على الصفر تعطى مالانهاية. وتسائل البعض هل المالانهاية عددا عاديا مثل باقى الاعداد؟ وهل يجوز ان تكون المالانهاية نتيجة لعملية حسابية سواء كانت قسمة او غيرها؟ واعتقد اخرون ان المالانهاية فيها شئ الهى وحتى قال بعضهم انها ترمز الى الله نفسه و لايمكن ان تكون جزء من عملية حسابية.

ونحن نجيب اليوم بلغة الرياضيات المعاصرة على السؤال السابق بان قسمة واحد على صفر هى كمية غير معرفة فى نطاق الاعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية والحقيقية والمركبة. لانه لو كانت هذه العملية لها قيمة معرفة ومع مراعاة ان عملية القسمة هى العملية العكسية لعملية الضرب لكان معنى ذلك ان هناك عدد طبيعى او صحيح او نسبى او مركب اذا ضربناه فى صفر ستكون النتيجة 1 . ونحن نعلم ان هذا غير ممكن لان ضرب اى عنصر من مجموعات الاعداد السابقة في الصفر يعطي صفرا. وتعبير كمية غير معرفة ليس تعبيرا مخيفا بل هو امر نعرفه جميعا. فنحن نقول ايضا ان قسمة 7 على 2 تعطى كمية غير معرفة فى نطاق مجموعتى الاعداد الصحيحة والطبيعية لانها لا يوجد اى عدد صحيح او طبيعى اذا ضربناه فى 2 نحصل على النتيجة 7.

ويجب علينا ان نراعى ايضا ان مجموعات الاعداد السابق ذكرها يطلق عليها انها مجموعات مفتوحة. ومعنى كلمة مجموعة مفتوحة هى ان حد هذه المجموعة ليس احد عناصرها او جزء منها. اي بتعبير مبسط ان المالانهاية ليس عنصرا من مجموعات الاعداد السابقة.

وهنا يظهر سؤال هل قسمة 1 على صفر تعطى مالانهاية فعلا؟ وهلا يمكننا توسيع المجموعات السابقة بحيث تشتمل على المالانهاية وبهذا نجعل عملية القسمة على صفر معرفة؟.  الاجابة هى نعم. وقد رأينا ذلك فى مرة ماضية عندما عالجنا موضوع الاعداد الحقيقية الموسعة حيث ضممنا موجب مالانهاية وسالب مالانهاية الى مجموعة الاعداد الحقيقية وبذلك حصلنا على مجموعة اعداد جديدة اوسع.

واليوم سنرى توسيع اخر لمجموعة الاعداد المركبة ونرى خلالها كيف توصل ريمان الى ان قسمة 1 على صفر تعطى مالانهاية. وريمان هو رياضى عبقرى المانى وقد كان تليمذا لرياضي عبقري الماني هو جاوس. ومن يدرس تاريخ ريمان سوف يلاحظ التأثير الهائل اللذى لعبته اراء جاوس على ريمان.

وفى البداية احب ان انوه الى شئ هام وهو  ان ريمان لم يفرق بين المالانهاية الموجبة و السالبة. فهو لم يأبه الى اشارة المالانهاية. وفى رياضيات كرة ريمان عندما يذكر المالانهاية فانه يعنى المالانهاية عموما بشقيها.

وموضوع الاعداد المركبة هو موضوع  كبير وهام ولكن لا يتسع المقام لذكره هنا. ولكن ما يهمنا اليوم ان نعرفه ان الاعداد الحقيقية يتم التعبير عنها في صورة خط الاعداد اللذى توجد الاعداد الحقيقية فوقه. اما فى حالة الاعداد المركبة فان خطا  واحدا لايكفى. ويتم التعبير عن الاعداد المركبة كانها نقاط مستوي ثنائى الابعاد محوره الافقى يعبر عن الجزء الحقيقى من الرقم المركب اما محوره الرأسى فيعبر عن الجزء التخيلى منه. وقد اكتشف ريمان اكتشافا مذهلا وهو ان كل الاعداد او النقاط الموجودة فى مستوي الاعداد المركبة يمكن ان يتسع لها السطح الخارجى لكرة نصف قطرها الوحدة!!. ولكن كيف توصل ريمان الى ذلك؟

تخيل ريمان ان هناك كرة صغيرة نصف قطرها هو الوحدة وهى تشبه كرتنا الارضية موجودة فوق مستوى الاعداد المركبة بحيث يقع قطبها الجنوبى  فوق نقطة الاصل تماما وتخيل ريمان ان هناك عند قطبها الشمالى مصباح او مصدر ضوء. بسببه تتكون لنقاط سطح الكرة ظلالا قوق مستوى الاعداد المركبة. وهنا سنلاحظ التالى انه توجد لكل نقطة على سطح الكرة نقطة وحيدة على سطح مستوي الاعداد المركبة تمثل ظلها. او بتعبير اخر اكثر رياضية نقول ان الاسقاط المركزي لنقاط سطح الكرة يمثل نقاطا فريدة على مستوي الاعداد المركبة وذلك عندما يكون مركز الاسقاط هو نقطة القطب لشمالى. معنى ذلك انه لا تشترك نقطتان فى نفس الظل. ومن ناحية اخرى اذا وصلنا اى نقطة تقع فى مستوي الاعداد المركبة مع نقطة القطب الشمالى نحصل على خط مستقيم يقطع سطح الكرة فى نقطة فريدة. اى بتعبير اخر ان كل نقطة على مستوي الاعداد المركبة تماثلها نقطة مستقلة على سطح الكرة!!

وكانت هذه نتيجة غريبة فكل نقاط مستوى الاعداد المركبة اللانهائىة تماثلها نقاط سطح محدود وهو سطح الكرة. بل الاعجب من ذلك ان عدد نقاط سطح الكرة اكثر من نقاط المستوى بنقطة واحدة!! وهى نقطة القطب الشمالى نفسها. حيث ان مصدر الضوء يقع عند هذه النقطة نفسها فلا يوجد ظل لهذه النقطة على مستوى الاعداد المركبة. واعتبر ريمان ان سطح كرته يماثل مجموعة الاعداد المركبة بالاضاقة الى المالانهاية.  واعتبر ان القطب الجنوبى للكرة يماثل الصفر اما القطب الشمالى فهو يماثل المالانهاية عموما بغض النظر عن اشارتها سالبة او موجبة.!!

ثم كانت المفاجأة الثانية عندما درس ريمان خواص هذه الكرة الفريدة. فاسقاط دائرة خط الاستواء على سطح مستوى الاعداد المركبة  او ظل خط الاستواء له شكل دائرة. واسقاط خطوط عرض تقع جنوب خط الاستواء يعطى دوائر مركزها نقطة الاصل ايضا ولكنها تقع بداخل دائرة ظل خط الاستواء. وظل نقطة القطب الجنوبى هو  نقطة الاصل حيث انها تقع فوقها مباشرة. اما ظلال خطوط العرض شمال خط  الاستواء فتشكل دوائر مركزها نقطة الاصل ولكنها تقع خارج دائرة ظل خط الاستواء. اما ظلال خطوط الطول فتعطى خطوطا مستقيمة تمر بنقطة الاصل .

ثم تأتى مفاجأة ثالثة عجيبة هى الاهم فى موضوع اليوم. عندما درس ريمان بعض الدوال الهندسية بدلالة هذه الكرة فوجد اننا بتحريك هذه الكرة حركات معينة نحصل على قيمة الدوال الجديدة. ويمكننا تشبيه ذلك بلاعب كرة سلة استعراضى يضع كرة سلة على طرف اصبعه ثم يديرها بطريقة استعراضية  فوق اصبعه. اى ان  ريمان حول عمليات الجبر الى عمليات هندسية مع ان شهرة ريمان الاساسية ترجع الى هندسة ريمان اللتى اكتشفها واللتى حول فيها عمليات الهندسة الى عمليات جبرية!

مثال على ذلك لنرى الدالة التالية
f(x) = x*i
اى اننا نضرب قيم x وهى عدد مركب فى العدد التخيلى i ونتيجة هذه العملية او هذه الدالة نحصل عليها تماما عندما ندير كرة ريمان فوق مستوى الاعداد المركبة 90 درجة فى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة!! اى اننا اذا وضعنا نقطة على سطح الكرة تماثل عددا مركبا قانها بعد الدورن ستأخذ وضعا جديدا يعبر عن نتيجة ضرب العدد الاصلى في i.

دالة اخرى هى الدالة:
f(x) = (x-1)/(x+1)  2
وهذه الدالة يمكننا ان نحسب نتجتها عندما نقلب كرة ريمان بحيث تقع نقطتا القطب الشمالى والجنوبى فوق خط الاستواء.

اما الدالة الاهم فى موضوع اليوم فهى:
f(x) = 1/X
حيث وجد ريمان ان حساب نتائج هذه الدالة يماثل قلب الكرة 180 درجة بحيث تتبادل نقطتا القطبين الشمالي و الجنوبى  مكانيهما. وهنا وجد ريمان ان قسمة 1 على مالانهاية تعطى صفر !! وان قسمة ا على صفر تعطى مالانهاية!!.

 

موضوعات متقدمة فى ميدان حساب النهايات

قادنا ابحارنا الرياضى فى موضوع الصفر فى المرات الماضية الى شواطئ عالم حساب النهايات. و حساب النهايات ليس موضوعا ثانويا صوريا من صنع رياضيين بيروقراطيين يريدون ان يجعلوا العالم اكثر تعقيدا. بل هو فى حقيقة الامر ضرورة رياضية اكثر منه اكتشاف رياضى. فبدون حساب النهايات ستغوص الرياضيات فى مستنقع من التناقضات ولم يكن بمكانها ان ثصل الى المكانة اللتى وصلتها اليوم.

ولم يكن ممكنا فى المرات الماضية التعرض بشكل مركز لحساب النهايات بسبب ضيق المكان ولان  الموضوع الاساسى اللذى نتحدث حوله هو موضوع الصفر. ولذلك ربما يكون مفيدا اليوم ان نقوم بعمل استراحة قصيرة ننحى خلالها موضوع الصفر جانبا ونقوم بعمل سياحة قصيرة فى بساتين حساب النهايات لنتعرف فيها على ثلاث نقاط هامة.

النقطة الاولى تتعلق بالمكانة العالية التى يشغلها حساب النهايات فى ميدانى الرياضيات والفيزياء اليوم.  فكثير من المفاهيم اللتى نتداولها اليوم هى تطبيقات مباشرة لحساب النهايات ولكننا سريعا ما ننسى هذه المعلومة. فحساب التفاضل هو تطبيق مباشر لحساب النهايات. والسرعة اللحظية هى ايضا تطبيق مباشر لحساب النهايات. فالسرعة المتوسطة هى قسمة التغير فى الازاحة على التغير فى الزمن. اما سرعة اللحظية فهى نهاية عملية القسمة السابقة عندما يئول التغير فى الزمن الى صفر. ومثل هذا الكلام ينتطبق على التسارع وعلى اي كمية فيزيائية لحظية اخرى حتى لو كانت تنتمى الى ميادين فيزيائية مختلفة كشدة التيار الكهربائى مثلا او خلافه!

النقطة الثانية تتعلق باجراء حساب النهايات نفسه. فعملية اجراء حساب النهايات عملية سهلة للغاية عندما نجريها بالنسبة لدالة  تعتمد على متغير واحد. ففى هذه الحالة قد يصل بنا التعويض المباشر الى الحل مباشرة.  اما اذا اعطانا التعويض المباشر  كمية غير معينة فاننا نصل عن طريق اختصار قيمة معينة من البسط والمقام الى الحل السليم فى حالات كثيرة. فان لم يكن هذا ممكنا فان قاعدة لوبيتال غالبا ما تكون الحل الناجع. لكن الامر يختلف تماما عندما تكون الدالة تعتمد على اكثر من متغير. فهنا يكون حساب النهايات امرا فى غاية الصعوبة. ويصاب عدد غير قليل من المتعاملين مع هذه النوعية من المسائل بالحيرة بل قد يشكون فى معنى عملية حساب النهايات من الاساس. وهذا الامر منطقى الى حد بعيد حيث اننا فى حالة الدالة المعتمدة على متغير واحد يكون عندنا على الاكثر مساران حتى نصل الى موضع نقطة ما. اما عن يمين تلك النقطة او اما عن يسارها. اما فى حالة الدوال المعتمدة على اكثر من متغير فيكون هناك عدد لانهائى من المسارات حتى نصل الى موضع اي نقطة. وهذا الامر يتفق الى حد كبير مع تجاربنا الحياتية.

ميدان التحرير

لتوضيح هذا الامر دعونا نستعين بمثال نستخدم فيه مكان معروف بالنسبة لمعظمنا وهو ميدان التحرير فى العاصمة المصرية القاهرة. فالبعض قد زار هذا المكان بالفعل و البعض الاخر لابد انه سمع عنه فى وسائل الاعلام المختلفة. وميدان التحرير لمن لم يره عبارة عن مساحة مستديرة خضراء تمثل صينية الميدان تحيط بها  شوارع واسعة لكى تستوعب حركة مرور القاهرة الكثيفة ثم يحيط بتلك الشوارع المبانى و المنشئات الموجودة فى المكان. ولنتخيل ان مجموعة من الاصدقاء يزورون الميدان لاول مرة وقد اتفقوا على ان يتقابلوا فى منتصف الميدان تماما. اى على تلك المساحة المستديرة الخضراء.  وللعلم فان  الوصول الى تلك البفعة الخضراء غير ممكن فى الايام العادية فقط يتم استعمالها ايام التظاهرات. ولكن لنفترض ان هؤلاء الاصدقاء يأتون من طرق مختلفة. فدعونا نستعرض تجربتهم.

الصديق  الاول يأتى الى الميدان عن طريق شارع قصر النيل وكلما اوغل فى السير سيجد انه يقترب من المتحف المصرى اما الصديق الاخر فيأتى من شارع محمد محمود وكلما اقترب فى الطريق سيجد انه يقترب من الجامعة الامريكية وصديق اخر يأتى من طريق اخر سيجد انه يقترب من مجمع المصالح الحكومية واخر سيجد انه يقترب من مسجد عمر مكرم  واخر سيجد انه يقترب من فندق رمسيس هيلتون. وبفرض ان كل هؤلاء الاشخاص يأتون للميدان للمرة الاولى ويتواصلون مع بعضهم عن طريق الهواتف المحمولة فلن يتفق هؤلاء الاصدقاء على ما يرونه وسيظنون انهم ضلوا الطريق . واذا طلبنا من كل منهم ان يعطينا تصور عما يتوقعه لصورة منتصف ميدان التحرير لا عطى كل منهم تصور مختلف بناء على تجربته اللتى عايشها حتى الان. في هذه الحالة نقول انه لاتوجد نهاية موحدة عندما نقترب لنقطة منتصف ميدان التحرير من شوراع مختلفة.

وحيث اننا نفترض مثالا خياليا  فاذا افترضنا ان بامكاننا استنساخ المتحف المصري بحيث يقع على رأس كل الشوارع المؤدية الي ميدان التحرير هنا سوف يعيش كل الاصدقاء نفس التحربة وريما سيكون عندهم جميعا نفس التوقع بالنسبة لشكل ميدان التحرير. ونقول انه فى هذه الحالة هناك نهاية موحدة لتوقع صورة نقطة منتصف الميدان

دعونا الان نشاهد مثالا رياضيا ولنرى دالة فى متغيرين x و y
z= (x^2 +y^2)/2(x+y)     1

والسؤال الان: ماذا ستئول اليه قيمة الدالة عندما نقترب من نقطة الاصل (0,0)؟ . هنا التعويض المباشر يعطينا صفر على صفر وهو كمية غير معينة. و اذا اتبعنا مسارا يتطابق مع محور x اي ان قيمة y هى الصفر دائما. ستتحول الدالة الى دالة فى متغير واحد تحمل الصورة التالية:

z=x^2/2x
او
z=x/2

و سنجد اننا نقترب من القيمة صفر . وكذلك الحال اذا اقتربنا من مسار يتطابق مع المحور y . لكن هل كل المسارات نحو نقطة الاصل تعطى القيمة صفر؟ الاجابة هى لا. فاذا رسمنا خطوط الكونتور لهذه الدالة. وخطوط الكنتور هى عبارة عن خطوط تصل بين كل النقاط اللتى تحمل نفس القيمة  z . سنجد ان خطوط الكوننتور لدالتنا السابقة لها شكل دوائر متداخلة وتتماس عند نقطة  الاصل. اي اننا اذا تتبعنا المسار اللذى تكون لكل نقاطه خاصية ان z تساوي 2 سنجد اننا نمر بنقطة الاصل واذا تتبعنا المسار اللذى تكون عنده z تساوي 3 سنجد اننا نمر ايضا بنقطة الاصل وهكذا بالنسبة لاي قيمة اخرى. اذن فليس لدالتنا نهاية ثابتة عندما نفترب من نقطة الاصل!!

النقطة الثالثة هى ان لحساب النهايات اهمية بالغة فى الرياضيات اليوم وهى تمثل الخيط اللذى تحيك به الرياضيات  ثوبها فى كثير من الاحيان. فحساب النهايات يستخدم فى تعريف مفاهيم اساسية فى الرياضيات كالاعداد الغير نسبية و الاعداد الحقيقية. كما نعلم ان الاعداد الغير نسبية هى تلك الاعداد الغير حكيمة كما سماها الاغريق. وهى الاعداد اللتى لايمكن التعبير عنها فى صورة بسط ومقام من الاعداد الصحيحة. اذن فما هو تعريف الاعداد الحقيقية؟ احد التعريفات الحديثة اصيغه بصورة مبسطة يفيد ما معناه ان الاعداد الحقيقىة هى نهايات لمتواليات  رياضية من نوعية متواليات كوشى وتكون كل عناصرها من الاعداد النسبية. مثال على الذلك العدد الحقيقى 1 فيمكن تخيله على انه نهاية للمتوالية:
0.9 , 0.99 , 0.999 , 0.9999 , ….
او انه نهاية للمتوالية
1.0 , 1.00 , 1.000 , 1.0000 ,….
ومن هنا نصل الى نتيجة قد تبدو غريبة للوهلة الاولى وهى ان:
…..0.99999=1
ويمكن ان نثبت ذلك عبر  اكثر من وسيلة . نكتفى بالطريقة التالية اليوم:
…….0.9999 = x
بضرب 10 فى طرفى المعادلة نحصل على
…..9.9999 = 10x
بطرح المعادلة الاولى من الثانية نحصل على
9=9x
ومنها ان
1 = x
!!

 

حساب النهايات فى خدمة حساب التفاضل وحساب التفاضل فى خدمة حساب النهايات

كما نعلم فان عملية قسمة صفر على صفر هى رسميا عملية غير معينة. وكما نعلم ايضا فان حساب النهايات يساعدنا فعليا فى تجاوز هذه المعضلة. واليوم سنحاول ان نري كيف يتم ذلك تحديدا عن طريق طرح المثال التالى:

نفرض ان هناك مجموعة من الطلاب نريد ان نحدد مستواهم فنصنع لهم امتحان من اربع اسئلة. ولنفرض ان طالبا استطاع ان يجاوب على الاسئلة الاربعة بصورة صحيحة بينما استطاع طالب ثانى ان يجاوب على سؤالين فقط بصورة صحيحة بينما طالب ثالث لم يستطع ان يقدم اية اجابة صحيحة. نستطيع ان نقول بكل ثقة ان الطالب الاول هو الافضل ونسبته 100% والطالب الثانى نسبته 50% اما الطالب الاخير فهو الاسوأ ونسبته 0%. ونحن نحسب النسبة عن طريق قسمة عدد الاجابات الصحيحة على عدد الاسئلة الكلية اللتى تلقاها كل طالب ثم نضرب النتيجة فى 100.

حتى هنا لا يوجد اى شئ غير عادي. لكن دعونا الان نفترض طالب رابع لم يقدم اى اجابة صحيحة ولكنه ايضا لم يتلق اى سؤال. لانه مثلا كان مريضا وغاب يوم الامتحان. فطبقا للمعادلة السابقة نسبته هى قسمة صفر على صفر اللتى هي كمية غير معينة ثم نضرب النتيجة فى 100. ومن هنا نري ان مستوي الطالب يمكن ان يكون اي شئ: ممتازا كالطالب الاول او ضعيفا كالطالب الثالث او بين هذا وذاك. و الان لنفرض اننا نريد ان نحدد مستوي هذا الطالب الغائب يوم هذا الامتحان. فكيف يستنى لنا هذا؟ قد يقول البعض ان هذا الطالب ينبغى ان يرسب لانه غاب يوم الامتحان وقد يقول شخص اخر نستطيع ان نعيد له الامتحان فى يوم اخر. لكن دعونا نفترض ان كل هذه الاقتراحات مرفوضة واننا مازلنا نريد تحديد مستوي ذلك الطالب عنما غاب يوم الامتحان !!

هنا يتدخل حساب النهايات ويقول حسنا لنتتبع نتائج هذا  الطالب على مدار العام قبل ذلك الامتحان وبعده. فاذا افترضنا انه كانت نسبة الطالب فى جميع الامتحانات قبل هذا الامتحان وبعدها 75%. فاننا نقول ان نهاية درجات الطالب حتى يوم الامتحان تشير الى 75%!! اما اذا  كان هذا الطالب متذبذب المستوي فى احد الامتحانات يحصل على 100% بينما فى امتحان اخر يحصل على 0% وفى امتحان ثالث يحصل على نتيجة اخري فاننا لن يكون بامكاننا ان نحكم على مستوي الطالب يوم كان غائبا او بتعبير ادق لن نستطيع ان نحدد نهاية درجات الطالب يوم الامتحان.

المثال السابق يوضح فلسفة حساب النهايات . وبنفس المنطق اذا كان عندنا دالة يعطى التعويض المباشر عند نقطة معينة  صفر على صفر فلتعيين قيمة نهاية الدالة عند هذه النقطة فاننا نبحث عن دالة تؤام لدالتنا الاصلية بحيث تتطابق قيم الدالة التوأم مع الدالة الاصلية عند جميع النقاط باستثناء نقطة واحدة وهى النقطة اللتى نريد ان نبحث  عن النهاية عندها. وتكون قيمة الدالة معروفة عند هذه النقطة بالنسبة للدالة التوأم ولكنها تكون غير معينة عندها بالنسبة للدالة الاصلية. مثال على ذلك الدالة التالية:

y = (x^2 + x -2) /(x-1)      1

بالتعويض المباشر عند النقطة x تساوي 1 نحصل على صفر على صفر وهي كمية غير معينة. ولكننا يمكننا ان نكتب الدالة السابقة على الصورة التالية

y=(x-1)(x+2)/(x-1)        1

ونلاحظ انه عند جميع النقاط اللتى تكون فيها x لا تساوي واحد نستطيع ان نختصر x-1 من البسط والمقام و اننا لا نخشى فى هذه الحالة اننا نكون نختصر صفر مع صفر.  اذن نحصل على دالة جديدة هى الدالة التوأم للدالة الاصلية وهذه الدالة التوأم هيى:
y = x+2
وهذه الدالة كما رأينا تتفق قيمها مع قيم الدالة الاولى عند جميع النقاط اللتى لاتساوي x عندها واحد. اما عندما يكون x يساوي واحد فتكون الدالة الاصلية  غير معرفة بينما تكون قيمة الدالة التوأم 3 . ومن هنا نقول ان نهاية الدالة الاصلية عند النقطة x تساوي 1 هي 3 !!

وهذه الحيلة هى اللتى نستخدمها فى تعيين حساب التفاضل. فحساب التفاضل لا يوجد فيه اختصار صفر على صفر كما كان يفعل نيوتن و لايبنتز. ولكن تم اعادة تعريف حساب التفاضل على انه حساب النهاية لقسمة التغير في y على التغير فى x عندما يئول التغير فى x الى صفر

كان هذا النصف الاول من عنوان موضوع اليوم وهو حساب النهايات فى خدمة التفاضل. لكن كيف يقع حساب التفاضل فى خدمة حساب النهايات؟ بعد ادراك الاهمية البالغة لحساب النهايات اقبل الرياضيون على البحث عن الطرق المختلفة لتعيين قيمة صفر على صفر. واهم الطرق بلا منازع هي قاعدة لوبيتال L’Hospital. وهى تستخدم رسميا فى حساب قيم النهايات ذات القيمة صفر على صفر او مالانهاية على مالانهاية عند التعويض المباشر. لكن فعليا يمكن استخدام هذه القاعدة فى حساب النهايات لكل صور الكميات الغير المعينة السبعة. لاننا كما نعلم نستطيع ان نحول اى صورة من صور الكمية الغير معينة الى  صورة صفر على صفر.

وتقول القاعدة ان نهاية دالة عند نقطة يعطى التعويض المباشر عندها صفر على صفر او مالانهاية على مالانهاية تساوي نهاية  قسمة تفاضل البسط على تفاضل المقام. مثال لذلك الدالة

y= sin(x)/x
فعند التعويض المباشر ب x يساوي صفر نحصل على صفر على صفر.اذن فنطبق القاعدة ونعلم ان تفاضل البسط يعنى cos x اما تفاضل المقام فيعطى 1 . اذن

lim sin(x)/x = lim cos(x) /1 when x->0
وكما نري فان قيمة النهاية تساوي 1 !!

 ولهذا القانون قصة طريفة احب ان اشير اليها. و محاورهذه القصة هى الجشع والغش العلمى. فلوبيتال صاحب القانون والمسمى باسمه. لم يكن فى الاساس رياضيا لكنه كان ظابطا فى الجيش الفرنسى ترقى فى الرتب حتى وصل الى رتبة عالية. ثم اعتزل الحياة العسكرية بعد ان كون ثروة لابأس بها. ولكن كان لوبيتال عاشقا للرياضيات فاستأجر مدرسا خصوصيا ليعلمه الرياضيات. وكان هذا المعلم هو افضل معلم فى الرياضيات موجود فى العالم فى ذلك الزمان وهو السويسري يوهان برنولي. وعقد لوبيتال مع برنولى اتفاقا غير شريف بمقاييس عصرنا الحالى . حيث اتفق لوببتال مع برنولى انه فى حالة اذا اكتشف برنولى اى اكتشاف رياضي جديد فعليه الا ينشره ولكن يعطيه للوبيتال لينشره باسمه مقابل مبلغا من المال. وقدكتب لوبيتال كتابا فى حساب التفاضل كان الاهم فى زمانه. وهذا الكتاب هو اللذى نشر حساب التفاضل على طريقة لايبتز فى اوروبا.  وكان قانون لوبيتال بالفعل من اكتشاف برنولى!!

وبعد وفاة لوبتيال تقدم برنولى وطالب بأحقيته فى تسمية هذا القانون باسمه. لكن تم رفض طلب برنولى لعدة اسباب . اولها ان لوبيتال كان ايضا انسانا ذكيا ورياضيا مقتدرا ليس من المستبعد عليه ان يصل الى قانون كهذا. اما السبب الثانى فيعود الى سمعة برنولى السيئة. حيث لم تكن هذه المرة الاولى اللتى يحاول ان ينسب فيها برنولى اكتشافات الى نفسه لم يقم باكتشافها. وفى المرة السابقة حاول برنولى اغتصاب حق اخيه فى قانون ادعى يوهان برنولى بهتانا انه مكتشفه. فمما قد لا يتنبه اليه البعض ان اسم برنولى  وهو اسم مشهور فى تاريخ العلم أن برنولى ليس انسان واحد بل هما اخوان يوهان وياكوب.

لكن بعد فترة تم اكتشاف مراسلات بين لوبيتال و برنولى وظهر فيها بوضوح ان هذا القانون هو من صنع برنولى. ولكن مع ذلك بقى القانون منسوبا الى لوبيتال. وربما يكون فى ذلك  نوع من العدالة لجزاء الطمع والجشع!!

 

حساب النهايات وترويض الصفر

يمكن تقسيم الاعتراضات اللتى واجهت قبول الصفر فى الماضى الى قسمين: اعتراضات فلسفية و اعتراضات رياضية. فاما الاعتراضات الفلسفية فلم تكن موضوعية و كانت خاصة بالاغريق وحدهم. فالاغريق قد رفضوا الصفر لانه يرمز للفراغ و العدمية وهم كانوا شعب يرفض الفراغ و العدمية رفضا تاما. ولكن ذلك الرفض الفلسفى لم يكن ذا قيمة بالنسبة لشعوب اخري كالهنود او لاصحاب الديانات اليهودية والمسيحية والاسلامية على سبيل المثال. ولكن الاعتراضات الرياضية كانت اكثر موضوعية. فخواص الصفر تختلف عن خواص باقى الاعداد. وعند التعامل مع الصفر تظهر بعض التعبيرات اللتى تمثل بعض الصعوبة فى مفهم مقاصدها. وسنتعرف اليوم على هذه التعبيرات والفرق بينها وهذه التعبيرات هي : كمية غير معينة وكمية غير معرفة.

لكن قبل ان نبدأ لابد من توضيح ثلاثة امور اساسية: الامر الاول انه لا معنى للكلام عن كمية غير معينة او كمية غير معرفة من دون تحديد عن اى مجموعة اعداد نتحدث. فوصف عملية رياضية بانها غير معرفة دون ان ننسب هذه العملية الى مجموعة اعداد محددة كمن يقدم لوحة رسم هندسية بدون مقياس رسم. والعمليات الرياضية قد تكون غير معرفة بالنسبة لمجموعة اعداد ولكنها  قد تكون معرفة بالنسبة لاخرى والعكس صحيح.  وفى موضوع اليوم سأتحدث عن مجموعة الاعداد الحقيقية وان اردت استخدام مجموعة اعداد اخرى سأخصها بالذكر في حينها. و الامر الثانى هو ان الرياضيات تسعى بكل جهدها لتجنب وجود اي  تناقاضات فيها. فوجود اى تناقض فى اي جزء فى الرياضيات حتى لو كان بسيطا يهدد بالقضاء على الرياضيات كلها. والرياضيون يفخرون بان الرياضيات صحيحة بنسبة 100% وانها مبرهنة برهانا تاما وكاملا. اما النقطة الثالثة فهي ان العمليات الحسابية الاساسية هى عمليتا: الجمع والضرب. اما عمليتا الطرح والقسمة فهما العمليتان العكسيتات. ويشترط فى نتائج عمليتى القسمة والطرح الا تناقض نتائح عمليتي الضرب والجمع و الا نكون خالفنا النقطة السابقة اللتى تشير الى تجنب الرياضيات للتناقضات.

و سنقوم اولا بالتعرف على مفهوم الكمية الغير معينة. ومن اجل ذلك دعونا نقوم بالتجربة الذهنية التالية. نعلم ان الاعدادالحقيقية توجد كلها متراصة ومرتبة فوق خط الاعداد. ولكننا الان سنتخيل اننا حررنا الاعداد من اماكنها فوق خط الاعداد وانها توجد مبعثرة  كجزر مورزعة على محيط مائي لا نهائي.  و الان لنتخيل فريق كشافة يريد ان يقوم بعمل رحلة استكشافية بين الاعداد. وللانتقال بين جزر الاعداد هذه يمكن وضع الواح خشبية للمرور فوقها لنصل من عدد لاخر. ولنتخيل ان فريق الكشافة مزود بالات حاسبة  تستطيع اجراء عمليتين فقط هما عمليتا الجمع والضرب. كما يحصل فريق الكشافة فى البداية على ورقة بتعليمات بالرحلة اللتى ينبغى عملها. مثلا لنتخيل ان فريق الكشافة واقف فى المربع رقم 1 وورقة التعليمات تحتوي على 3 خطوات: اولا اجمع 2 فوق رقم مربعك ثم انتقل الى المربع اللذى يحمل قيمة النتيجة الجديدة ثم اضرب النتيجة فى 2 ثم انتقل الى المربع اللذي يحمل النتيجة الجديدة. ثم بعد ذلك اضف 2 وانتقل مرة اخيرة الى المربع ذي النتيجة الجديدة. ولكن يجب على فريق الكشافة عند كل خطوة وضع اشارات لتأمين طريق العودة تماما كما يفعل الكشافة فى  الحقيقة. فانهم عندموا يكتشفون طريقا جديدا غير مأهول فانهم يضعون علامات ليعلموا من اين اتوا ولكي يستطيعوا الرجوع مرة اخرى ولا يضلوا الطريق. لنرى ذلك الان تفصيلا: اولا فريق الكشافة يقف على المربع 1. باضافة 2 يحصلون على النتيجة 3. فيضعون لوحا من الخشب بين المربعين 1 و 3. ثم يضعون سهما يشير من 3 الى 1 ويكتبون فوقه ناقص 2 وبذلك يؤمنون طريق عودتهم. ثم تأتى الخطوة الثانية فيضربون حسب التعليمات 3 فى 2 بواسطة الالة الحاسبة ويحصلون على النتيحة 6. الان يضعون لوحا من الخشب يصل بين المربعين 3 و6. ثم يضعون كما سبق سهما يشير من 6 الى 3 ومكتوب فوقه: القسمة على 2 . ثم تأتى الخطوة الاخيرة يجمعون 2 زائد 6 فيحصلون على 8. فكما سبق يضعون لوحا من الخشب بين 6 و 8. ثم يضعون سهما من 8 الى 6 ويكتبون عليه ناقص 2. ثم تبدأ رحلة العودة. فعليهم الان انطلاقا من المربع 8 اتباع السهم المكتوب عليه ناقص 2. وبالفعل سوف يجدون سهما عند المربع 8 مكتو ب عليه ناقص 2 ويشير باتجاه 6. ومن 6 عليهم قسمة 2, وبالفعل هناك سهم عليه هذه العملية فيصلون الى المربع 3 . ومن المربع الاخير عليها حساب ناقص 2. وبالفعل هناك سهم مكتوب عليه ناقص 2 يشير الى المربع 1. فى النهاية سيعود فريق الكشافة الى النقطة اللتى انطلقوا منها بدون اية مشاكل!

جذر الاعداد

كانت هذه العملية بلا مشاكل لانها كانت لا تحتوي على صفر. والان لنرى مثال اخر ولكن كما تتوقعون في هذ الحالة سوف نستخدم الصفر. ولنتخيل ان هناك فريقان للكشافة وليس فريقا واحدا. فريق يقف على المربع 1 اما الفريق الثانى يقف على المربع 2. وورقة التعليمات لدي الفريق الاول تفيده بان يجمع 2 فوق رقم مربعه ثم يضرب النتيجة فى صفر ثم يضيف الى النتيجة 4. اما الفريق الثانى فالتعليمات لديه تفيده بان يضيف 3 الى رقم مربعه ثم يضرب النتيجة فى صفر ثم يضيف 6 الى النتيحة. لنرى ماذا سوف يفعل الفريقان. الفريق الاول يجمع 1 زائد 2 فتكون النتيحة 3 فيضع لوحا خشبيا بين 1 و3 ويضع سهما لتأمين طريق عودته يشير من 3 الى 1ومكتوب فوقه ناقص اثنين. ثم يضرب 3 فى 0 فيحصل على  صفر فيضع لوحا خشبيا بين 0 و 3 وسهما يشير من 3 الى صفر مكتوب عليه القسمة على صفر. ثم يجمع 4 فيضع لوحا خشبيا بين 0 و4 وسهما يشير الى صفر ومكتوب عليه ناقص 4. وماذا عن الفريق الثانى؟ . نفس المبدأ. سيضع اولا لوحا خشبيا بين 2 و 5 ويضع سهما من 5 الى 2 مكتوب فوقه ناقص 3 . ثم لوحا خشبيا بين 5 و 0 وسهما يشير الى خمسة مكتوب فوقه القسمة على 0 ثم لوحا خشبيا بين 0 و 6 وسهما يشير الى صفر وفوقه مكتوب ناقص 6. الان نعود للفريق الاول مرة اخرى  فبعد استراحة قصيرة يقرر الفريق العودة. وهو كما علمنا يقف الان عند المربع 4 ولكي يعود ادراجه عليه طرح 4 ثم القسمة على صفر ثم طرح 2 مرة اخرى. اولا سيجد سهما مكتوب فوقه ناقص 4 يشير الى 0. فينتقلون الى المربع صفر. الان عليهم اتباع السهم المكتوب فوقه القسمة على صفر. ولكنهم الان  سيجدون سهمين مختلفين مكتوب عليهما القسمة على صفر. احد السهمين يشير الى 3 بينما الاخر يشير الى خمسة. والسهم الاول قد صنعوه هم بانفسهم اما السهم الاخر فقد صنعه الفريق الاخر. فاذا افترضانا ان فريق الكشافة قصير الذاكرة جدا و انه لا يتذكر اي سهم قد صنع. فقط هو يتذكر اللحظة الراهنة وورقة التعليمات اللتى امامه. فانه لن يدري اى طريق عليه ان يختار . واذا  اختار الطريق الخاطئ واتجه نحو 5 . فيجد عليه الان اجراء عملية طرح ناقص 2. فاذا افترضنا انه وجد عند المربع 5 اشارة مكتوب عليها ناقص 2 صنعها فريق كشافة ثالث فى وقت سابق فانها سوف تشير الى المربع 3. فسوف يذهب فريق الكشافة الى هذا المربع ويكون ضل طريقه الى الابد ولن يكون بامكانه العودة ابدا  الى المربع 1 اللذى ابتدأ منه رحلته!!

كان هذا المثال يشير الى فلسفة فكرة الكمية الغير معينة. ويوضح المثال ان كنه مشكلة العمليات الغير معينة ان هناك اكثر من احتمال ممكن للعملية الرياضية محل الاعتبار. فمعنى عملية قسمة صفر على صفر هى انى ابحث عن عدد اذا ضربته فى صفر اعطانى صفرا. فالعملية فى حد ذاتها لها معنى ولكن ليس هناك حلا واحد ولكن حلولا عديدة لها. ولهذا فان هذه العملية غير معينة. فالعمليات الحسابية لا ذاكرة لها. فهى اشبه بحالة الهيام الصوفى وهى دائما موجودة فى ملكوت نفسها و لا  تدرك او تعتمد على اي شئ اخر. فمثلا اذا سألتنى ماقسمة 6 على 3 سأجيبك 2 فورا ولن اسالك لماذا تسال هذا السؤال؟ هل تريد مثلا توزيع 6 دولارات على 3 اشخاص. او ان عندك قطعة ارض مساحتها 6 هكتارات وانت تريد تقسيمها الى 3 قطع متساوية المساحة. وهكذ الحال فى قسمة صفر على صفر هى عملية قائمة فى ذاتها لكنى لن استطيع ان اعطيك ردا نهائيا حاسما اذا سالتنى ما قسمة صفر على صفر. ومن هنا تظهر الحاجة الىى اكتشاف عملية رياضية جديدة تتمتع بذاكرة رياضية. فمثلا تقول فى حالة المثال السابق اذا كنت تتبع المسار الاول ووجدت عملية قسمة صفر على صفر فاتجه الى 3 اما اذا كنت تتبع المسار الثانى ووجدت صفر على صفر فاذهب الى 5. وهذه العملية ذات الذاكرة اللتى تعتمد على المسار والنقاط المجاورة هى عملية حساب النهايات. وبناء على ذلك فان الدالة

y = (x^2 +x-2)/(x-1)               1
اذا عوضنا قيمة x بواحد فاننا سنحصل على صفر على صفر. مما يعنى ان اعطاء نتيحة لقيمة الدالة عند هذه النقطة هى عملية غير ممكنة لكن حساب النهايات يخبرنا انه كلما اقتربت قيمة x من واحد ستقترب قيمة y من 3 ويمكنكم التأكد بانفسكم بالتعويض في قيمة x ب 0.99999 او 1.00001 !!

كان هذا عن العملية الغير المعينة. لكن ماذا عن العملية الغير معرفة؟  العملية الغير المعرفة هى عكس العملية الغير المعينة. بمعنى انه فى العملية الغير معينة كانت هناك اكثر من اشارة  لنفس العملية اى قسمة صفر على صفر. اما العملية الغير معرفة فانني لن اجد اي اشارة على الاطلاق لهذه العملية. اذا اتخيلنا مثلا ان التعليمات لدي فريق الكشافة الموجودة فى المربع 1 تخبره بان يقسم 1 على صفر ويتجه الى المربع اللذي يحمل قيمة تساوي قيمة النتيحة. وكما نعلم فى عمليات القسمة يجب على فريق الكشافة البحث عن اشارة تتناسب مع هذه العملية. فانه لن يجد اى اشارة تشير الى قسمة واحد على صفر حتى لو افترضنا انه كانت هناك فرق للكشافة لانهائية قامت بتعبيد كل الطرق اللانهائية  الممكنة ووضعت اشارات العودة عليها. ودعونا نرى الان لماذا الاتوجد اشارة تشير الى قسمة واحد على صفر. اولا لاننا كما قلنا ان عملية القسمة هي عكس عملية الضرب. فمعنى انني اقوم بقسمة  1 على صفر هو انى ابحث عن عدد حقيقى عندما اضربه فى صفر تكون النتيجة 1. ونحن نعلم ان هذا العدد لا يمكن ان يكون موجودا. لانه من خواص الصفر ان ضرب اى عدد حقيقى في صفر يعطى صفرا. و الامل الوحيد المتبقى لحل هذه العملية ان يكون العدد اللذى نبحث عنه عددا ليس حقيقيا. ولكننا قلنا من البداية اننا محصورون فى نطاق الاعداد الحقيقية.

ويمكننا تعميم الامر فنقول ان قسمة عدد غير الصفر على صفر يعطى كمية غير معرفة فى نطاق الاعداد الحقيقية ولكن قسمة صفر على صفر يعطى كمية غير معينة. ولكن حيث اننا نعيش فى عالم عجيب تعتراه الفوضى والتضارب احيانا. فان هناك بعض كتب الرياضيات اللتى تقول ان قسمة اى عدد  مهما كان على صفر هى عملية غير معرفة وبهذا تجعل من قسمة صفر على صفر عملية غير معرفة وغير معينة فى نفس الوقت. ولكنى انا شخصيا غير مقتنع بهذا التوصيف وراينا فى اعلى السبب. كما ان معظم الكتب الرياضية ترفضه ايضا

اذن فمعنى عملية غير معرفة انها عملية مستحيلة لا معنى لها و لا حل لها ومعنى عملية غير معينة بانه هناك اكثر من احتمال لحل هذه العملية. ويمكننا تشبيه الامر الى حد ما بحل منظومة المعادلات الخطية. ققد يكون هناك حل وحيد او عدد لانهائى من الحلول او لا حل على الاطلاق. وهكذا يكون الحال فان كان هناك حل وحيد فان العملية تكون معينة ومعرفة. اما اذا لم يكن هناك اى حل فانها تكون غير معرفة اما اذا كان هناك اكثر من حل فان العملية تكون غير معينة. وهناك امثلة كثيرة للعمليات الغير معرفة. مثال على ذلك قسمة 7 على 3 فى نطاق الاعداد الطبيعية. فكما نعلم لا يوجد اى عدد طبيعى اذا ضربناه فى 3 تكون النتيجة 7 . وحيث انه لاحل لهذه العملية فهي غير معرفة. ولكن قيمة حل هذه العملية ينتمى الى نطاق الاعداد النسبية. فلذلك قسمة 7 على 3 غير معرفة فى الاعداد الطبيعية والصحيحة لكنها معرفة ضمن الاعداد النسبية و الحيقيقية. مثال اخر عملية حساب الجذر التربيعى لسالب 1 فى نطاق الاعداد الحقيقية. هذه العملية غير معرفة لانه لا يوجد حل لهذه العملية. فلا يوجد عدد حقيقى سواء كان موجبا او سالبا او صفرا اذا ضربناه فى نفسه يعطى نتيجة سالبة. ولكن مع ذلك فان هذه العملية بعينها معرفة فى نطاق الاعداد التخيلية والمركبة.

و الان دعونا نفعل شئيا مثيرا جديدا. دعونا نوسع الاعداد الحقيقية لجعل عملة القسمة على صفر ممكنة ومعرفة. فكما ان الاعداد التخيلية جعلت عملية اخذ الجذر التربيعى للاعداد السالبة معرفة وممكنة رغم اعتراضات المعترضين اللذين قالوا ان هذا شئ سخيف لامعنى له ولا فائدة ابدا من وراءه. فان الاعداد التخيلية لها مكانتها الهامة جدا اليوم خصوصا فى مجالات التطبيقات الفيزيائية. كذلك الحال بالنسبة للصفر. فاننا نعلم ان قسمة اى عدد بخلاف الصفر على الصفر يعطى مالانهاية. وأن هذه العملية غير ممكنة قانونيا فى نطاق الاعداد الحقيقية لانه كما نعلم ان المالانهاية لا ينتمى الى مجموعة الاعداد الحقيقية.

دالة رياضية 1 على x

اول خطوة ينبغى علينا عملها هو توسيع مجموعة الاعداد الحقيقية. بان نضم عليها عددين جديدين هما موجب مالانهاية وسالب مالانهاية. ونحن لا نستطيع الان ان نطلق على مجموعة الاعداد الجديدة اسم مجموعة الاعداد الحقيقية ولكن سوف نطلق عليها مجموعة الاعداد الحقيقية الموسعة. والان لنعرف الخواص الرياضية للمالانهاية الموجبة والسالبة. فنجد ان جمع مالانهاية زائد اى عدد اخر يعطى مالانهاية ولكن جمع مالانهاية زائد سالب مالانهاية هو عملية غير معينة وضرب المالانهاية الموجبة مع اى عدد موجب يعطى مالانهاية موجبة وضرب مالانهاية موجبة مع اى عدد سالب يعطى مالانهاية سالبة وضرب مالانهاية فى صفر عملية غير معينة لانه يساوي تماما قسمة صفر على صفر. وقد رأينا عاليا انها عملية غير معينة. والمثل بالنسبة للمالانهاية السالبة. اذن فقد جعلنا الان المالانهاية عددا عاديا ينتمى الي مجموعة الاعداد الحقيقية الموسعة. الان نريد ان نرى ماذا تعطى عملية قسمة 1 على صفر.  هناك احتمالان ممكنان لقسمة واحد على صفر. هما موجب مالانهاية وسالب مالانهاية. من الرسم الموجود  اعلى نرى ان اننا عندما نتحرك قيد انملة باتجاه يمين العدد صفر فان نهاية الدالة (1/x) هى موجب مالانهاية اما اذا تحركنا قيد انملة باتجاه اليسار فتكون النتيجة سالب مالانهاية, اي ان هناك احتمالان لقسمة واحد على صفر . اى اننا صحيح اننا جعلنا العملية معرفة ولكنها مازالت غير معينة. ونحن الان نريد تعيينها. فبامكانى الان مثلا ان اقول ان قسمة 1 على صفر تساوي موجب مالانهاية تعريفا وقانونا. وبهذا اكون قد وجدت صياغة رياضية سليمة لقسمة واحد على صفر. ولكن عمل مثل هذا  هو رياضيا جائز وهذا ما فعله ريمان بالمناسبة ولكنه ليس دائما حكيم. لاننى بهذا  سافقد نصف الحلول الاخرى اللتى تعطى سالب مالانهاية. كما انه ليست هناك ضرورة منطقية لكى تعطى قسمة واحد على صفر موجب مالانهاية فقط. و نلاحظ ان الفارق بين موجب مالانهاية وسالب مالانهاية هو فى اللاشارة فقط . بمعنى اننى اذا اخذت القيمة المطلقة لقسمة واحد على صفر فانني سوف احصل فى جميع الاحوال على موجب مالانهاية. وهذا هو التعريف الرسمى لقسمة اى عدد بخلاف الصفر على الصفر ضمن نطاق مجموعة الاعداد الحقيقية الموسعة . وهو ان القيمة المطلقة لقسمة اى عدد بخلاف الصفر على صفر يعطى موجب مالانهاية!!

 

دالمبير D’Alembert يطرد الاشباح من الرياضيات

قصة حياة صاحب موضوع اليوم مليئة بالدراما الانسانية. وقد تصلح لأن تكون فيلما سينمائيا فهي تبدو وكأنها احدي رويات شكسبير اللتى تصف معاناة انسان كهاملت او اوديب لما جناه  عليه والداه . وتبدأ خيوط الحكاية من عند كلودين دي تنسان وهى اديبة فرنسية موهوبة وتنتمى الى عائلة فرنسية راقية. فقد كان ابوها رئيسا للبرلمان الفرنسى. وعند ولادة كلودين قرر والداها ان يهباها للرهبنة. وبالفعل تنشأ كالودين فى داخل الدير كراهبة. ولكن عندما كبرت كلودين لم تعد حياة الرهبنة تستهويها. وطلبت رسميا الخروج من الدير الى الحياة العامة. وكانت تطلعات كلودين لا تتماشي مع حياة الرهبنة وقد كانت لها علاقات غرامية حتى وهى فى داخل الدير

وبالفعل فى عام 1712 سمح لكلودين بمغادرة الدير وخرجت كلودين لتعيش حياة صاخبة خارج الدير. فقد كانت لها علاقت غرامية وجنسية عديدة. و لم تكن نتائج هذه العلاقات سعيدة دائما. ففى احد المرات انتحر احد عشاقها وهو موجود عندها بداخل بيتها. وتم القبض على كلودين وايداعها السجن لفترة ولكن تم الافراج  عنها بعد ذلك لعدم ثبوت ايى تهمة عليها.

وبعد خروج كلودين من السجن اتجهت للمجال  السياسى واخذت  تحيك المؤامرات السياسية بهدف  نصرة اخيها ودفعه الامام. وكانت فى سبيل هذا تستخدم الغرام والحب لتصل الى اهدافها.  و يشير البعض  حتى الى ان علاقتها مع اخيها لم تكن اخوية خالصة. وفى خلال هذه الفترة اقامت علاقة مع ظابط فرنسى وكانت ثمرة هذه العلاقة الغير شرعية بطل موضوع اليوم: دالمبير.

ولكن كلودين قررت التخلص من طفلها فور ولادته فوضعته على سلالم كنيسة القديس جان لو رون فى باريس. وتم التقاط الطفل الرضيع من على سلالم الكنيسة وأودع عند دار للايتام حتى يعيش هناك. واطلق عليه فى البداية اسم لو رون نسبة الى اسم الكنيسة اللتى وجد عندها. وفى هذه الفترة كان ابو دالمبير مسافرا خارج البلاد. ولكنه عندما عاد وعلم بالموضوع أسرع باخراج ابنه من دار الايتام ولكنه لم يأخذه ليعيش معه. فهو لم يرد ان يعترف به رسميا كما لم يقبل ابو عنترة بن شداد الاعتراف بابنه بسبب اصله ولونه. ووضعه ابوه فى عهدة امرأة فقيرة تدعى مدام روسو. وهى كانت زوجة عامل فقير. وعاش دالمبير مع مدام روسو ولم يعرف اما غيرها ولم يغادر بيتها الا وهو فى الثامنة والاربعين من عمره. اما كلودين فان دورها  قد انتهى فى حياة ابنها عندما وضعته على سلالم كنيسة لو روند  ولم تحاول ان تراه او تتصل به اى مرة بعد ذلك.

وتعهد ابو دالمبير بمصاريف ابنه واراد له ان يكمل تعليمه. ولكنه رحل عن الدنيا  عندما كان دالمبير فى التاسعة من عمره بعد ان ترك له مبلغا من المال يكفل له حياة كريمة. ودرس اولا دالمبير الدين لكى يصبح رجل دين. وغير دالمبير اسمه وحمل اسم دالمبير وهو الاسم للذى اشتهر به بعد ذلك. ولكن دراسة الدين لم ترق لدالمبير فتركها. ثم درس دالمبير الحقوق ولكنه ترك الدراسة بعد فترة ثم اتجه الى دراسة الطب ولكنه ايضا تركه بعد فترة. وايقن دالمبير ان عشقه الوحيد هو للرياضيات والفيزياء. فعلم دالمبير نفسه بنفسه ليصبح من اهم الرياضيين فى القرن الثامن والتاسع عشر.

وكانت شخصية دالمبير فى العمل صعبة. ربما يرجع هذه الى تنشئته الاولى. فقد كان دائما محط الانظار وكثيرا ما كان يواجه بالنقد. لكن دالمبير كان من نوعية الناس اللتى لا تعترف بخطئها ابدا ان كانت مخطئة.  وكان يصر دائما على اى رأى اعلنه على الملأ من قبل. وترجع سبب شهرة دالمبير الاساسية الى اشتراكه فى تحرير الموسوعة الفرنسية. وقد ساهمت هذه الموسوعة اسهاما كبيرا فى عملية تنوير الفرنسيين. وقد صاغ دالمبير معظم المواضيع الرياضية فى الموسوعة بنفسه. كما ان الموسوعة اكسبته معرفة وصداقة شخيات مشهورة كفولتير. كما ان ارتياد دالمبير للصالونات الفرنسية جعل النخبة الفرنسية تتعرف عليه. فبجانب كون دالمبير فيزيائيا ورياضيا كان ايضا فيلسوفا.

وكان دالمبير تقريبا هو اول من فطن الى حساب النهايات. ففى حساب الدوال نعطي لكل قيمة للمتغير x قيمة مقابلة  للمتغير y . ولكن لم  يأبه أحد قبل دالمبير الى ان قيم النقاط الموجودة في المسار حتى نصل الى نقطة ما x او أن محيط النقاط المحيطة بنقطة ما x قد يحتوي على معلومات رياضية هامة. ويمكن ان نشبه ذلك بمسئول يذهب الى زيارة مؤسسة ما فيجدها نظيفة ومرتبة وكل شئ على مايرام ولكنه لا يأبه الى ان اكوام الزبالة كانت على امتداد الطريق حتى وصل الى مكان زيارته. فبلغة الرياضة والدوال  نقول على الدالة فى هذه الحالة انها دالة غير مستمرة اما اذا كانت النظافة مستمرة فى مكان المؤسسة وحولها ايضا فاننا نقول انها دالة مستمرة.

ففى حساب النهايات لا نهتم بقيمة الدالة عند نقطة واحدة فقط ولكننا نهتم بقيم الدالة عند نقاط مختلفة حول النقطة اللتى نريد ان نحسب النهاية عندها. وقد نحصل على قيم مختلفة عندما نفترب من النقطة من اتجاهات او مسارات مختلفة. ونقول فى هذه الحالة ان النقطة لا تملك نهاية محددة. فقط اذا كانت كل المسارات نحو النقطة تقترب دائما من نفس القيمة نقول ان للدالة نهاية عند هذه النقطة وتساوي القيمة اللتى نقترب منها. وقد اطلق دالمبير على هذه الفكرة مصطلح نهاية او limes وهى كلمة لاتينية معناها حد او نهاية.

وتبرز اهمية حساب النهايات فى معرفة اذا كانت الدالة مستمرة او لا كما رأينا سابقا. كما ان المعلومات المستقاة من حساب النهايات قد تكون مفيدة جدا ايضا اذا كنا لانستطيع ان نحسب قيمة الدالة بشكل مباشر عند نقطة ما وكانت هناك نهاية معينة لكل المسارات اللتى تؤدي الى هذه النقطة.

وبالرغم من ان دالمبير هو صاحب الفكرة الاساسية لحساب النهايات  الا انه لم يعبر عن فكرته بصياغة رياضية سليمة. و الرياضيات ماهى الا صياغة سليمة فعمل على تدقيق صياغته واعادة تشكيلها رياضيون اخرون. هم الفرنسى كوشي والتشيكى بولزانو والالمانى فايرشتراس. وكان لفايرشتراس دورا هاما فى اعادة صياغة الرياضيات حتى وصلت الى صورتها الحالية

وباكتشاف حساب النهايات تم نهائيا طرد اشباح نيوتن من الرياضيات. تلك الاشباح اللتى تحدث عنها بيركلى فى نقده لحساب التفاضل النيوتوني. فهو انتقد القسمة على صفر. وان هناك اعدادا او اشباحا كما سماها قيمتها ليست بالصفر ولكن اذا ضربنا هذه الاعداد فى نفسها فانها تتلاشى وتصبح صفرا. وبحساب النهايات ينتهى هذا الاعتراض. لانه من المهم ان يدرك الانسان انه فى حساب النهايات لانحسب القيمة عند النقطة نفسها ولكننا نفترب منها  جدا فقط و لانصل اليها  ثم نحاول ان نستقرئ ماتئول اليه قيمة الدالة عندما نفترب بشكل هائل من هذه النقطة

كما ان حساب دالمبير للنهايات لم يطرد اشباح نيوتن وبيركلى فقط من الرياضيات بل طرد ايضا اشباحا قديمة. فحساب النهايات انهى بشكل حاسم مفارقة زينون. فالمتسلسلة:
1+1/2 + 1/4+1/8 الى مالانهاية لها ايضا نهاية ذات قيمة معينة و محدودة. فكلمنا اوغلنا فى عناصر هذه المتسلسلة نجد ان النهاية تفترب دائما من النتيجة 2 . ولذلك فان زينون سوف يلحق بالسلحفاة بعد ثانيتين وعند مسافة 2 متر تماما من بداية السباق!!

كما انه قد صاحب فلسفة حساب النهايات اختفاء كامل للمالانهاية الصغرى من عالم الرياضيات. وهذا كان خبر سعيد بالنسبة لطلاب الرياضيات لانه كان يعنى اختفاء موضوع لم يكن ابدا سهلا و محبوبا من عالم الرياضيات!!

 

حوار مع رياضي كافر

يعد اكتشاف حساب التفاضل انجاز بشرى هائل. وكان لهذا الانجاز تداعياته الضخمة ولن تستطيع كلمات بسيطة هنا ان تفى هذا الانجاز حقه. فقد حل اولا اكتشاف حساب التفاضل معضلات رياضية فى غاية التعقيد كانت تعذب الرياضيين فى الماضي. ومن ضمن هذه القضايا  كان حساب الميل للمنحنيات عند النقاط المختلفة. كما ان كتشاف حساب التكامل قد صاحب سريعا  اكتشاف حساب التفاضل. فهو العملية العكسية له. وبحساب التكامل يمكننا ان نحسب المساحة المحصورة بين منحنى وبين محور x او بين منحنيين مختلفين. وكانت هذه مشكلة تؤرق الرياضيين القدماء و حاولوا تقديم حلول لها  بصورة تقريبية كما فعل ارشميدس وكبلر. لكن حساب المساحة عن طريق التكامل لايحسب المساحات بصورة تقريبية بل بدقة يمكن وصفها بالمرعبة. وهذا نذر يسير فقط من الانجازات الرياضية اللتى حققها حساب التفاضل.

لكن كل هذه الانجازات لاتعد شيئا بالقياس الى نتيجة عجيبة جدا ظهرت بعد اكتشاف حساب التفاضل. وهذه النتيجة هي ان اكتشاف التفاضل فتح الباب على مصراعيه لاكتشاف قوانين الفيزياء والطبيعة. فاكثر من 90% من قوانين الفيزياء اللتى نعرفها اليوم نشأت نتيجة لحساب التفاضل. ولسبب مجهول فان الطبيعة تفضل شكل المعادلات التفاضلية للبوح عن اسرارها. فقد كان عدد القوانين المعروفة قبل اكتشاف حساب التفاضل  قليل جدا. ومثال لتلك القوانين القليلة نذكر  قانون الروافع اللذي كان يستخدم فى اعمال البناء او قانون الطفو لارشميدس. ولكن بعد اكتشاف التفاضل توالت القوانين الهامة اللتى تغطى كل جوانب الطبيعة. كما ان القوانين التفاضلية تتميز بخاصية اخرى. فالقوانين التفاضلية هى قوانين عامة لكن معظم القوانين اللتى تحمل صورة غير تفاضلية هى مجرد قوانين تقريبية وليست قوانين عامة. مثال على ذلك قانون هوك للاستطالة  فهو يمثل فقط تقريبا لسلوك بعض المواد تحت ظروف تحميل معينة.

والمعادلات التفاضلية تختلف عن المعادلات العادية فى شئ اساسى وعجيب. فهي تشبه الة لبناء الالات. فكثير منا يعرف مثلا الات لصناعة الكراسى او الاكواب و الابواب او اي شئ اخر . و قد يحلم البعض ببناء الة تبنى الات اخرى . بمعنى ان اطلب من هذه الالة ان تبنى لى الة لصناعة الكراسى ثم بالالة المصنوعة اصنع الكراسى اللتى اريدها. او اطلب من نفس الالة ان تبنى لى الة لصناعة الاكواب فتصنع لى الة استخدمها فى صناعة الاكواب. وهكذا الحال فى المعادلات التفاضلية. فالمعادلات العادية يكون حلها قيمة او مجموعة قيم للمجهول المطلوب البحث عن حل له. اما حل المعادلات التفاضلية فهو ليس مجرد قيمة او حتى مجموعة قيم حتى لوكان عددها لانهائي ولكن حل اى معادلة تفاضلية هو دالة جديدة كاملة.

وكانت اول القوانين اللتى تم اكتشافها على صورة معادلات تفاضلية هي قوانين نيوتن للحركة . حيث قال نيوتن ان القوة تتناسب مع معدل التغير فى كمية الحركة او بمعنى اخر القوة تتناسب مع تفاضل كمية الحركة او تفاضل الزخم. وهذه القوانين تفسر كل الظواهر الحركية على سطح الارض من سقوط التفاحة من فوق الشجرة حتى دوران القمر حول الارض. بل انها تتخطى حدود الارض و تفسر دوران الكواكب حول الشمس وتفسر كل قوانين كبلر على نحو ساحر وغير مسبوق. وقام الفلكى الانجليزي المشهور السير ادموند هالى وهو كان صديق شخصى حميم لنيوتن باستغلال قوانين نيوتن فى حساب دورة المذنب  هالى وتوقع بدقة عالية موعد اقترابه من الارض مرة اخرى. فهو يمكن رؤيته من الارض مرة كل 75 سنة تقريبا.

وهنا نعود مرة اخرى الى عنوان موضوعنا فهالى هو الرياضى الكافر المقصود والقائل هو القس الكاثوليكى والرياضى الايرلندي جورج باركلى اما المقولة فهى كانت جزء من عنوان  طويل لكتاب الفه باركلى. والعنوان الاصلى الكامل للكاتب باللغة الانجليزية هو:
THE ANALYST;
OR, A DISCOURSE Addressed to anInfidel MATHEMATICIAN.
WHEREIN It is examined whether the Object, Principles, and Inferences of the modern Analysis are more distinctly conceived, or more evidently deduced, than Religious Mysteries and Points of Faith.

اما عن سبب هذا الكتاب فقد كان بيركلى ذو قلم لاذع وقد كتب كتبا مشهورة يهاجم فيها ساخرا من كانوا يصفون انفسهم بانهم المفكرين الاحرار وكان يقصد بكتاباته العلمانين المادييين والملحدين او كل من كان يشككك فى الايمان المسيحى بشكل عام ويقول انه مفكر منطقى لا يصدق الا الحقائق الدامغة. وحدث ذات مرة ان انتقد ادموند هالى  اراء بركلى بشكل سلبي فقرر بركلى ان يكتب كتابا يوجهه للرياضى الملحد. وهدف الكتاب ان يوضح ان اليقين فى الرياضيات ليس اقوي من اليقين فى المسائل الدينية.وارد بركلى ان  يدحض ادعاءات الماديين بان الدين عبارة عن مجموعة خرافات وقال بل ان الخرافات والاشياء الغامضة الغير واضحة  الموجودة فى الرياضيات اكثر من الموجودة فى الدين ومع ذلك يؤمن الرياضيون بافكارهم ويعتدون بها ويحسبونها جبال راسخة لا تتزحزح. واستغل بركلى فى هجومه  حساب التفاضل  بصفة خاصة حيث كان برهان نيوتن و لايبنز للتفاضل مهلهلا وملئ بالثغرات . واستغل بركلى تحديدا موضوع القسمة على الصفر وكيف ان الرياضيين فى حساب التفاضل يفعلون اشياء تندي لها الجبين ولكنهم مع ذلك لا يخجلون من انفسهم ولكنها يسخرون من الايمان ومن الدين ويقولون انه ملئ بالخرافات! و استغرب بركلى فى اكثر من موضع فى كتابه كيف ان الرياضيين من يؤمنون بالتفاضل  يسمحون بوجود التغير من الدرجة الاولى او ما نطلق عليه اليوم dx ولكنهم يقولون ان مشتقات هذا المتغير من الدرجة الثانية او الثالثة او اعلى من ذلك بمعنى اننا  اذا ربعناه او كعبناه الى اخره فانه يتلاشى ويختفى!

فى البداية يجب ان نلاحظ ان لغة نيوتن الاصلية اللتى وصف بها التفاضل تختلف عن لغتنا الرياضية اليوم فما نطلق عليه اليوم المتغير او variable اطلق عليه نيوتن اسم السائل او المنساب  fluent واطلق نيوتن على سرعة تغير x اسم التدفق او الجريان او fluxion . وهو ما اطلقنا عليه فى المدونة الماضية v2 . يقول باركلى فى احد المواضع الاكثر اقتباسا في كتابه  : ماهذا التدفق؟ انه سرعة لزيادة متلاشية متناهية فى الصغر ؟ وماهذه الزيادة المتلاشية (dx) ؟ انها ليست كمية منتهية! كما انها ليست المالانهاية الصغرى ! او حتى انها ليست لاشئ! افلا يجوز لنا ان نطلق عليها انها عفاريت او اشباح لارقام ميتة؟!!

كما يقول باركلى فى موضع اخر ان كل من يستسيغ وجود تدفق من الدرجة الثانية او الثالثة او كل من بقول بوجود شئ يمكن ان نسميه بتغير التغير وهكذا حتى مالا نهاية  لا ينبغى ان يكون حساسا فى المواضيع الالهية. ولا يجوز له ان يقول ان قضايا الدين مليئة بالالغاز و الا فانه يسمح بان تكون الالغاز جزء من الرياضيات و لايسمح بوجودها فى الدين!!

كان نقد باركلى لحساب التفاضل لاذعا. وعندما وصف التغير dx بانه اشباح وعفاريت كان محقا في ذلك. فما هذا هو الرقم اللذى قيمته لا تساوي صفر ولكن اذا ضربناه فى نفسه اصبحت النتيجة صفرا؟!  فبرهان نيوتن لحساب التفاضل كان مهلهلا . لكن نجاح طريقة نيوتن وتوصلها دائما الى النتيجة الصحيحة دفع الكثيرين الى تجاهل هذا التناقض فى الاساس الرياضى. واوغل الكثيرون فى طريقة نيوتن و تعمقوا  فيها ليصلوا الى نتائج واكتشافات جديدة ويحلوا معضلات قائمة مزعجة. فقد كان الاغراء قويا.

وهناك نقد يوجه للفيزيائين عموما من قبل الفلاسفة بانهم انتهازيين و لا مبادئ و لا اخلاق علمية عندهم. فهم مكيافيلون ويتبعون دائما اين توجد المصلحة. بل انهم يتبعون مبادئ معينة عندما يدرسون قضايا معينة ويتبعون عكس نفس تلك المبادئ بعد نصف ساعة عندما يبحثون قضية اخرى ويكون افتراض العكس افيد لهم!! وفيزياء اليوم تقوم على عمودين اساسيين وهما نظرية الكم والنظرية النسبية وهما نظريتان متناقضتان بشكل هائل. ولكن عندما يدرس الفيزيائيون قضايا الجاذبية يصبحون نسبيين وعندما يدرسون قضايا اخرى يلبسون قناع نظرية الكم!! ويتهم الفلاسفة الفيزيائين انهم يهتمون بالنتيجة على حساب الوسيلة المستخدمة. ويصفون مبدأهم بسخرية any thing goes او اى شئ ينفع!. وقال ويليام براج الحائز على جائزة نوبل كنا ندرس ان الضوء يتصرف ايام الاثنين و الاربعاء والجمعة كانه جسيم مادي ويتصرف ايام الثلاثاء والخميس و السبت و كانه موجة!

فى نهاية الموضوع نستطيع ان نستطيع ان نلمس نقطتين. النقطة الاولى توضح التوتر العلمى الدينى اللذي كان قائما فى العصور الماضية فى اوروبا. وكيف ان العلماء لم يكن بامكانهم البوح بافكارهم بكل راحة دون القلق من ان سهام التكفير سوف تصوب باتجاههم وهذا يفسر لماذا كان نيوتن يتردد ويحجم قبل ان ينشر كل ابحاثه واكتشافاته. على عكس الوضع الان. النقطة الثانية تبرز اهمية موضوع لم نتعرض له اليوم بتاتا و هو حساب النهايات. فكثير من الناس لا يعطون حساب النهايات حقه ويتصورون انه قضية تافهة. وكثير من الطلاب يعتقدون ان حساب النهايات هو مجرد عملية صورية. وانه غير مهم لانه فى كثير من الاوقات عملية سهلة الاجراء. فمجرد التعويض المباشر قد يصل الى النتيجة مباشرة. لكن الشئ اللذي يعلمه الجميع ان حساب النهايات هو اللذي صحح الخلل القائم فى برهان حساب التفاضل. و صحح كثير من الخلل الموجود فى الرياضيات حتى تصل الى صورتها اللتى نعرفها عليها اليوم. فالرياضيات فى الماضى كانت تحتوى على متناقضات و اشياء خاطئة. ولكن اليوم تم تصحيح كل  الاخطاء و استبعاد كل المتناقضات حتى اصبحت الرياضيا بناء سليما تماما يفخر به كل رياضى. ولعبت فلسفة حساب النهايات دورا مهما فى ذلك. لكن طبعا عذر الطلاب فى عدم تقدير حساب النهايات قائم وموجود. فهم لم يدرسوا المشاكل التاريخية والمعضلات والتناقضات الغير قابلة للحل اللتى كانت قائمة قبل اكتشاف حساب النهايات!!

الرابط لكتاب بركلى الاصلى

 

التفاضل وحساب صفر على صفر

لنتخيل المثال التالى. لنتخيل اننا نسافر بسيارة من المدينة أ الى المدينة ب. وتبلغ المسافة بين المدينتين 100 كم . وقد بدأنا السفر  الساعة العاشرة صباحا وانتهينا منه فى الحادية عشر صباحا فكم تبلغ سرعة السيارة؟. اﻻجابة يسيرة حيث ان المسافة 100 كم والزمن ساعة اذن فسرعة السيارة هى 100 كم فى الساعة. واﻻن اسأل سؤال اخر كم كانت سرعة السيارة عند اللحظة العاشرة والنصف تماما؟ هل كانت ايضا 100 كم فى الساعة؟ ليس بالضرورة فربما فى هذه اللحظة اكون قد اضطررت الى الضغط على الفرامل بقوة ﻻتفادى حادث او ربما اكون توقفت تماما. او ربما كانت سرعتى فى هذه اللحظة اكثر من 100 كم فى الساعة ﻻنى كنت اتخطى سيارة امامي. السؤال اﻻن كيف احدد سرعتى عند هذه اللحظة تحديدا؟

اﻻستنتاج اﻻول ان فترة زمنية قدرها ساعة من الزمن هى فترة زمنية طويلة جدا لتحديد سرعتى عند اللحظة االعاشرة والنصف. اذن اتبع طريقة اخرى وهى ان اعتبر نافذة زمنية ضيقة حول الساعة العاشرة والنصف فقط. اى انى اهتم فقط اين كنت فى الساعة العاشرة و 25 دقيقة واين وصلت عند الساعة العاشرة و35 دقيقة. وبقسمة المسافة المقطوعة خلال العشرة دقائق تلك  سنصل الى نتيجة جديدة ادق من النتيجة اﻻولى. فالسرعة المتوسطة تساوي المسافة المقطوعة على الزمن اللازم لقطع هذه المسافة. ﻻشك اذن اننى سأصل الان الى نتيجة ادق. ولكن سوف يعترض انسان: صحيح ان النتيجة افضل ولكنها ليست مرضية ابدا ف 10 دقائق نافذة زمنية كبيرة جدا. اذن نعيد التجربة بنافذة زمنية اقل قدرها ثانية واحدة مثلا حول اللحظة 10:30. ونحسب كم مسافة قطعنا ونقسمها على ثانية  لنحصل على سرعة ادق. صحيح ان هذه النتيجة عمليا سوف تكون مرضية ولكن فى قضايا اخرى فى عالم الفيمتو ثانية مثلا  فان ثانية من الزمن تشكل  نافذة زمنية كبيرة جدا و ﻻبد من تضييق هذه النافذة. وادق نتيجة اصل اليها عندما يكون اتساع هذة النافذة صفر تقريبا وهنا سأحصل على السرعة عند اللحظة المطلوبة تماما. ولكن عندما يئول اتساع النافذة الزمنية الى  صفر فان المسافة المقطوعة تئول الى صفر ايضا.  وهنا سنصل الى المشكلة اللتى تعرفنا عليها فى المرة الماضية وهى ان  قسمة صفرعلى صفر هى كمية غير معنية. ولكن حيث ان عداد السرعة الموجود فى السيارة امامى يشير دائما الى سرعتى اللحظية فلابد من ان تكون هناك وسيلة ما لتحديد سرعتى اللحظية!.

كان اول من حل هذه المعضلة هو العملاق اﻻنجليزي اسحق نيوتن فهو اول من وصل الى فك طلاسم موضوع التفاضل وهو موضوع يعنى تحديدا بمشكلة جوهرها تحديد القيمة المختبئة خلف عملية قسمة تحت ظروف معينة تئول نتيجتها الى قسمة صفر على صفر . واليوم سنرى كيف توصل نيوتن الى حل هذه المشكلة. فى البداية احب ان انوه اننا سنتعرف على الطريقة النيوتونية اﻻولي وهى تختلف عن التفاضل بصورته النهائية كما نعرفه اليوم. كما ان طريقة نيوتن لم تكن صحيحة تماما فى تفاصيلها. فنيوتن لم يكن يعلم بحساب النهايات. ولكننا لن نصلح هذا الخطأ اليوم. سنتعرف علي الطريقة  كما استخدمها نيوتن. فالعلوم عموما ﻻ يصل اﻻنسان اليها فى خط مستقيم ولكن قد يصل اﻻنسان الى نقطة ابعد وتبقى نقطة فى المنتصف اقرب لم يكتشفها اﻻنسان ثم يعود ليكتشفها ﻻحقا.

وفى البداية احب ايضا ان اشير الى انه قد رافق اكتشاف نيوتن لموضوع التفاضل نزاع علمى تاريخى هام جدا وله تداعياته المهمة بين نيوتن من جهة وكان رجلا ناضحا و عالما مرموقا وبين شاب المانى نابغة وهو ﻻيبنتز وكان ابن السابعة والعشرين من عمره. وكان كل منهما يدعى انه سبق الى اكتشاف حساب التفاضل. والمشكلة بالفعل انه كانت حصلت عديد من المراسلات والمكاتبات بين اﻻثنين و يميل كثير من المؤرخين ان العالمين قد اثرا فعلا على بعضهما وافادا بعضهما الاخر عن طريق مراسلاتهما. ولكن حسم نيوتن النزاع لصالحه عن طريق مؤامرة دبرها لكي يخرج فائزا فى النهاية ويخرج ﻻيبتتز سراقا خداعا. ولمعرفة تفاصيل اكثر يمكنكم مرجعة هذا الرابط.  ولكن هذا ﻻيمنع ان العلماء يميلون فعلا الى ان نيوتن كان اﻻسبق لفكرة حساب التفاضل باكثر من 20 سنة عن ﻻيبتز. ولكن كانت المشكلة فى هذا الوقت ان نيوتن وكثير من العلماء يخافون من نشر افكارهم . فقد كان التسامح الدينى والفكرى محدودا وكان مصير جاليليو يثير قلق كل العلماء فى هذه الفترة من الزمن. وكان لنيوتن كثير من اﻻفكار اقل ما توصف به هى انها هرطقات دينيية.

واستغل نيوتن وﻻيبنتز على حد سواء ملاحظتين ذكيتين فى حلهما : اول نقطة ان اﻻعداد الصغيرة جدا اذا قمنا بتربيعها فانها تزداد ضئالة بشكل كبير جدا و اذا كعبناها ازداد التضائل بشكل هائل. مثال على ذلك القيمة الصغيرة 0.01 اذا ربعناها حصلنا على 0.0001 واذا كعبناها حصلنا على 0.000001 وهى قيم فى غاية الضئالة. النقطة الثانية اننا اذا جمعنا رقما صغير جدا الى رقما كبيرا فان النتيجة النهائية ستساوي الرقم الكبير فقط تقريبا وكأن الرقم الضئيل ﻻ دور له. مثلا اذا تخيلنا شخصا ثريا جدا كبل جيتس و اذا افترضنا مثلا ان ثروته مليار دوﻻرا تماما. ثم طلبت منه ان يقرضنى 100 دوﻻر فنقصت من  ثروته. فماذا نطلق عليه اﻻن؟. هل لن يصير مليارديرا ﻻن المليار قد نقص مائة؟. عمليا ان المائة دوﻻر الناقصة او الزائدة ﻻتعنى شيئا بجوار المليار وسنظل نردد ان ثروة جيتس ﻻ تزال مليار دوﻻر بالرغم من المائة دوﻻر الناقصة او الزائدة.

وكان هدف نيوتن اﻻول ان يحسب الميل لدالة ما. وكانت هذه من القضايا العالقة فى زمانه. فحساب الميل لخط مستقيم كان سهلا. لكن كيف يحسب اﻻنسان الميل لدالة على شكل قطع مكافئ. ان الميل يختلف عند كل نقطة على امتداد هذا الشكل المنحنى. فعند القاع يكون المماس افقيا ويكون الميل يساوي صفر تقرييا وعلى يسار القاع يكون الميل سالبا وعلى يمينه يكون الميل موجبا ويزداد الميل شدة كلما ابتعدنا فى اتجاه المحور x حتى يكاد يصبح الميل فى النهاية رأسيا. والان سنحاول ان نرى كيف حسب نيوتن الميل عند اى نقطة لدالة على الشكل التالي:
y= x^2

قطع مكافئ

وكانت لغة نيوتن تختلف عن لغتنا اليوم فما نطلق عليه اليوم متغير او variable كان نيوتن يطلق عليه سائل او منساب او fluent. كما كان الخوارزمى يطلق على حل معادلة الدرجة الثانية الجذر. وتخيل نيوتن خلف هذه المتغيرات x و y  قيم  تسيل وتنساب مع الزمن وتتغير قيمتها. فبعد فترة زمنية قصيرة جدا o ومع اعتبار ان y تتغير بالسرعة v1 بينما x تتغير بالسرعة v2 . اذن فبعد مرور الفترة الزمنية القصيرة o ستصبح قيمة y هي  y+ov1 بينما تصح قيمة x هي x+ov2 اذن بعد مرور هذة البرهة الزمنية واذا عوضنا فى المعادلة الاساسية نحصل على :
y+ov1 = (x+ov2)^2

y+ov1 = x^2 +2xov2 +(ov2)^2

وهنا تظهر حيلة نيوتن الماكرة والغير نظيفة تماما حيث قال اذا فترضنا ان الفترة الزمنية o صغير جدا وتساوى صفر تقريبا فان التغير فى قيمة x وهو ov2 سيكون ايضا صغيرا جدا. فاذا ربعناه فانه سيتلاشى تقريبا ويمكننا اسقاطه من طرف المعادلة اﻻيمن تماما  لنحصل على
y+ov1 = x^2+2xov2
وحيث ان x^2  تساوي y كما تقول المعادلة اﻻصلية فنحصل على
y+ov1=y+2xov2
ov1 = 2xov2
ثم قسم نيوتن طرفى المعادلة على ov2 وبهذا نصل الى الخطوة الثانية الغير نظيفة , ففى الخطوة السابقة بتجاهله لقيمة ov2 المربعة  فكأنه يعتبر هذه القيمة صفر. اذن ov2 يساوى صفر. ولكنه اﻻن يقسم على   ov2 او انه يقسم على صفر وجميع الرياضيين يعلمون ان القسمة على الصفر لا تجوز. اذن وصل نيوتن الان الى:
ov1/ov2 = 2x
ثم يتبع نيوتن تلك الخطوات الغير نظيقة بخطوة غير نظيفة ثالثة وهو انه يختصر o من البسط والمقام وحيث انه اعتبر سابقا ان o قيمة صغيرة جدا وتساوي الصفر فهاهو يقسم على الصفر ويختصره من البسط و المقام مرة اخرى. فوصل نيوتن الى النتيجة
v1/v2 = 2x
او ان سرعة تغير y بالنسبة لسرعة تغير x عند اى نقطة تساوي 2x . او ان ميل المنحنى عند اى نقطة يساوي 2x

وكانت هذة نتيجة تتناسب مع الواقع تماما. فالميل عند اى نقطة من نقاط القطع المكافئ يساوى تماما هذه القيمة. وبالرغم من كل التجاوزات الرياضية اللتى ارتكبها نيوتن فان النتيجة النهائية كانت سليمة.
وكانت طريقة ﻻيبتز تختلف فى طريقة كتابتها ورموزها عن طريقة نيوتن. فطريقة ﻻيبنتز تشبه الطريقة اللتى نستخدمها اليوم. ولم يستخدم ﻻيبتز الزمن نهائيا ولم يستخدم المتغير o كما فعل نيوتن بل انه تعامل مباشرة مع التغير فى x  و y وافترض انها قيم صغيرة جدا .واطلق علي التغير فى x الرمز dx  والمثل بالنسبة ل y فالتغير يكون dy

ومع ذلك فقد كانت طريقة ﻻيبنتز تستخدم نفس الحيل اللتى استخدمها نيتوتن وتقوم بنفس التجاوز وتقسم على الصفر وتختصر صفر مع صفر.
وبالرغم من حسم نيوتن النزاع العلمى لصالحه رسميا اﻻ ان علماء القارة العجوز اوروبا انقسموا على انفسهم. فعلماء الجزيرة بريطانيا تضامنوا مع ابن جلدتهم نيوتن واستخدموا طريقته فى الكتابة والتعبير. اما علماء القارة فتعاطفوا مع اﻻلمانى واستخدموا طريقته فى الكتابة. وكانت طريقة ﻻيبتتز افضل من طريقة نيوتن فى الكتابة. وادى اصرار اﻻنجليز على تمسكهم بطريقة نيوتن فى الكتابة الى فقدانهم صدارة المشهد فى ميدان الرياضيات بعد ان كانوا هم رأس الحربة فى الرياضيات وانتقلت الصدارة الى علماء اﻻخرين بداخل القارة اﻻوروبية.

 

الصفر والفتوحات الرياضية

رأينا فى المرات السابقة الجوانب المختلفة لقصة الصفر:. جوانب تاريخية وفلسفية ودينية وفنية. لكن لا يجب ان ننسى ان موضوع الصفر فى الاساس هو رياضى . ولذلك فان التداعيات الرياضية اللتى احدثها الصفر بعد اكتشافه واستقرار امره كانت فى غاية الاهمية. وقد كانت هذه التداعيات فى حقيقة الامر فتوحات رياضية عظيمة.

ولكن فى الحقيقة فان هذه الفتوحات كانت فى بداية الامر مشاكل تسبب فيها الصفر. فخواص الصفر تختلف عن خواص باقى الاعداد ومجرد وجوده يبدو وكأنه ينقض الرياضيات من اساسها. وكان من ابرز المشكلات اللتى عاودت الظهور مشكلة جديدة قديمة وهى مفارقة زينون. فقد كان حل ارسطو لمشكلة زينون هو انه كان انكر وجود الصفر والمالانهاية. وقال انها اشياء موجودة فى المخيلة البشرية فقط ولكن لا وجود لها فى الواقع. ولكن بعد ان اضطر الرياضيون الى قبول الصفر كان لابد من ايجاد حل رياضى مقنع لمفارقة زينون.

ولم تكن مفارقة زينون هى المشكلة الوحيدة بل ان وجود الصفر والمالانهاية تسبب فى ظهور مشكلات اخرى تعرف بالعمليات او الكميات الغير معرفة. وهى كلها عمليات تتعلق بالتعامل مع الصفر او المالانهاية او كليهما معا. وتشمل هذه الكميات الكميات التالية:
1 قسمة صفر على صفر
2 ضرب صفر فى مالانهاية
3 قسمة مالانهاية على مالانهاية
4 طرح مالانهاية من مالانهاية
5 مالانهاية مرفوعة للاس صفر
6 صفر مرفوع للاس صفر
7 واحد مرفوع للاس مالانهاية
8 قسمة عدد بخلاف الصفر على الصفر

وسنهتم اليوم بالحالتين الاوليتين. وفى حقيقة الامر يمكننا ان نقول ان اول حالة هى اهم حالة لان باقى الحالات مشتقة منها!!

اذن قسمة صفر على صفر هى كمية غير معينة. لكن لماذا؟ يمكننا ان نري ذلك عن طريق صنع مقاربات استقرائية منطقية او بطريقة رياضية حسابية. دعونا نبدأ اولا بالمقاربات المنطقية وبالمثال التالى. لو تخيلنا انه امامنا اربعة لاعبين لكرة السلة لانعرف مستواهم ونريد ان نحدد ايهم هو الامهر فى التصويب على السلة. فنسمح لكل لاعب بان يرمى ثلاثة رميات. ودعونا نفترض ان اللاعب الاول استطاع ان يسجل 3 رميات موفقة من ثلاث محاولات بينما سجل الثانى مرتين فقط والثالث مرة واحدة والرابع ولا مرة. اننا بلا شك سوف نقرر بان اللاعب الاول هو امهر المصوبين والرابع اسوأهم ويمكننا ان نبرهن ذلك بقسمة عدد الرميات الموفقة على عدد المحاولات الكلية ثم نضرب النتيجة فى مائة لنحصل على النسبة المئوية. وبذلك تكون نسبة اللاعب الاول 100% بينما نسبة اللاعب الرابع صفر فى المائة لان نتيجة قسمة صفر على مائة هى صفر. والان نتخيل لاعب خامس اخر هو ايضا مجهول بالنسبة لنا ونريد ان نحكم على مستواه. اللاعب الخامس لم يصوب بعد وبالتالى لم يسجل اى رمية موفقة. فماذا تكون نتيجته؟ انها كما نري قسة صفر على صفر فكما نرى عدد الرميات الموفقة هو صفر وعدد المحاولات الكلية هو صفر و اللاعب مستواه يمكن ان يكون أي شئ: 100% كالاعب الاول او صفر فى المائة كاللاعب الرابع او اي قيمة بين ذلك. وهكذا فاننا كما نرى ان صفر على صفر هو كمية غير معينة!! ولنستكمل مثالنا ولنتخيل لاعب خامس لم يرمى اى رمية ولكنه سجل رمية موفقة. فماذا يكون مستواه؟ اننا ينبغى ان نقسم 1 على صفر. ان هذا اللاعب مستواه مذهل مستواه هو المالانهاية. فعند محاولة قسمة اى عدد بخلاف الصفر على الصفر سنجد اننا نقترب منا المالانهاية الموجبة او السالبة!

لنضرب مثالا اخر. نتخيل ان هناك محلا عجيبا لبيع الفاكهة ولكن اسعاره فى غاية الغرابة ولا تحمل اى منطق . فالاسعار تتغير كل يوم وهناك فواكه نتوقعها رخيصة ولكن صاحب المحل بيبعها باسعار عالية والعكس صحيح. ولنتخيل ان هناك 3 اشخاص يريدون ان يعرفوا اسعار البضاعة الموجودة فى المحل ولا توجد لائحة اسعار. ويخبرهم صاحب المحل انه لن يعطيهم اى اسعار وانه يجب عليهم ان يشتروا البضاعة منه ليعرفوا ثمنها. وبالفعل يدخل اول شخص ويشترى 5 كجم من الموز بسعر 15 دولارات. فكم يكون سعر كيلو الموز؟ بعملية حسابية بسيطة نعلم انه 3 دولارات للكيلو الواحد. ثم اراد الاصدقاء معرفة سعر التفاح فدخل ثانى الاصدقاء واشترى 2 كيلومن التفاح بسعر 100 دولار فكم يكون سعر التفاح؟ بسهولة انه 50 دولار للكيلو. ثم اراد الاصدقاء معرفة سعر الخوخ فدخل الثالث ولكنه لم يشترى شيئا ولم يدفع شيئا . فكم يكون سعر كيلو الخوخ. مرة اخرى انه قسمة صفر على صفر وقد يساوى اى قيمة!!

كما اننا نستطيع ان نوضح ان قسمة صفر على صفرى هى كمية غير معينة بطريقة رياضية. فتعريف عملية القسمة هى عكس عملية الضرب. مثلا ضرب 3 فى 2 يعطى 6 وبالتالى قسمة 6 على 3 تعطى 2 كما ان قسمة 6 على 2 تعطى 3. الان دعونا ان نكرر نفس العملية مع الصفر. نعلم ان ضرب صفر فى 6 يعطى صفر. وبالتالى فان قسمة صفر على 6 لابد وان تعطى صفر وقسمة صفر على صفر لابد ان تعطى 6 . والان نكرر نفس العملية السابقة مع رقم اخر. ضرب صفر فى خمسة يعطى صفر وبالتالى قسمة صفر على خمسة تعطى صفر وهنا لاتوجد مشكلة . ولكن ينبغى ان تكون ايضا قسمة صفر على صفى تعطى خمسة. ولكن كيف يكون هذا وقد رأينا تو ان ان قسمة صفر على صفر تعطى 6! وبنفس الطريقة فان قسمة صفر على صفر قد تعطى اي رقم اخر!!
وهذه احد الغرائب المتعلقة بالتعامل مع الصفر. وادت الرغبة فى معرفة القيمة الحقيقية المختبئة خلف قسمة صفر على صفر فى ظهور علم التفاضل.

اما الحالة الثانية وهى ضرب صفر فى مالانهاية فهى ايضا كمية غير معينة. ويمكننا ان نرى ذلك باكثر من طريقة. ففى واقع الامر فان خلف ضرب صفر فى مالانهاية تختبئ مرة اخرى قسمة صفر على صفر! كيف هذا؟
infinity * 0
نستطيع ان نتخيل المالانهاية على انها قسمة 6 على صفر مثلا. ففعلا قمسة 6 على صفر كما نعلم تعطى مالانهاية
infinity *0 = 0 *6/0 = 6*0/0
اذن ضرب صفر فى مالانهاية يكافئ ضرب صفر فى ستة على صفر. اوضرب ستة فى صف على صفر. وصفر على صفر هو كمية غير معينة وضرب 6 فى كمية غير معينة هو ايضا كمية غير معنية.

كما اننا نعلم  ايضا ان الضرب هوب عملية جمع متكررة ف:
2*3 = 2 + 2 + 2=6
ونعلم ان عملية الجمع التالية:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …+etc
هى مسلسلة مفارقة زينون وعناصر المتسلسلة تتضأل وتتلاشى اى انها تئول الى الصفر. اذن فجمع مالانهاية من الاصفار فى حالة مفارقة زينون يعطى النتيجة 2!
ولكن من ناحية اخرى دعونا نرى هذه المتسلسة:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +…+ etc
هى ايضا متسلسلة عناصرها تتضائل وتتلاشى وتئول الى الصف . وهى تساوي ايضا مجموع لا نهاية من الاصفار. ولكن قيمة المتسلسلة فى هذه المرة كبيرة جدا وتساوى مالانهاية. ونستطي ان نبرهىن ذلك رياضيا بتجميع عناصر المتسلسلة على الشكل التالي
1+ 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7+ 1/8)+ (1/9 + …+1/16)+ …
ونتيجة الجمع هى على كل حال اكبر من
1 + 1/2 + 1/2+1/2 +….الى مالانهاية.=
1+ 1/2*infinity = infinity

ومن هنا نرى ان جمع ما لانهاية من الاصفار ليست كمية معينة وليست نتيجة محددة ولكنها تختلف من حالة الى اخرى. وهذه الطريقة هى اللتى استخدمها ارشميدس فى حساب المساحات وهى تشبه الطريقة اللتى استخدمها كبلر لحساب الحجوم. والتعامل مع ضرب الصفر فى المالانهاية تسبب فى ظهور علم رياضى جديد وهو علم التكامل!!

باسكال ورهان الايمان

قصة الصفر موضوع له محاور كثيرة. ومن ضمن المحاور الهامة المتعلقة بهذا الموضوع المحور الدينى. ورأينا فى مرات سابقة امثلة متعددة لتقاطع موضوع الصفر مع تعاليم الكنيسة الغربية. و كانت معظم الامثلة اللتى رأيناها سلبية. حيث ان الكنيسة الغربية لم ترحب بالصفر واعتبرته عملا من اعمال الهرطقة. واليوم سوف نتعرف على مثال طريف بطله العالم الفرنسي باسكال. ولكن تقاطع الصفر والدين في هذه المرة كان تقاطعا ايجابيا. فباسكال حاول باستخدام الصفر ان يثبت افضلية الايمان على الالحاد.

في البداية ينبغى ان نشير الى بعض الجماعات الدينية اللتى ظهرت فى العصور الوسطى بهدف نصرة المذهب الكاثوليكى. ومن ضمن هذه الجماعات جماعة اليسوعييين. وهذه الجماعة ظهرت بقوة فى الفترة اللتى كانت تعتبر فترة اظطرابات فى عمر الكنيسة الكاثوليكية حيث نشأ المذهب البروتستانتى والكنيسة الانجليزية. وحاولت جماعة اليسوعيين التجديد في فكر الكنييسة الكاثولكية والانتصار لها بكل الطرق الممكنة. وتعلق اعضاء جماعة اليسوعيين بالعلوم والمعرفة وحاولوا باستخدام العلم الانتصار للمذهب الكاثوليكي على ماسواه من الاديان والمذاهب. ومن ابرز العلماء المنتمين لهذه الجماعة الفرنسى ديكارت. اللذى كان فيلسوفا ورياضيا وفيزيائيا هاما. وهو صاحب فكرة الاحداثيات الكارتيزية اللتى لاغنى عنها فى الرياضيات والفيزياء على حد سواء. ووضع ديكارت الصفر فى منتصف محاور الاحداثيات وبهذا فقد جعل للصفر مكانته الهائلة. ومن يومها لم يعد هناك من سبيل للتخلى عن الصفر. ولكن مع ذلك فان الكثيرين من اعضاء جماعة اليسوعيين لم يسلموا من التكفير من جانب الكنيسة ومن ضمن هؤلاء ديكارت نفسه اللذى تم وضع كتبه على لائحة الكتب الممنوعة.

اما الجماعة الكاثوليكية الاخرى فهى جماعة الجانسينية نسبة الى كاهن هولندي يحمل سم جانسون. ومن ابرز اعضاء هذه الجماعة فرنسى اخري هو باسكال. وكان باسكال قبل ان ينتمى لهذه الجماعة الدينية شابا ذكيا محبا للعلم. لمع اسمه فى ميدان الاختراعات. فهو اول من اخترع الة حاسبة سميت باسمه وحصل على براءة اختراع لهذه الالة وحاول تسويقها تجاريا لكنها لم تجلب له ربحا كبيرا بسبب غلو ثمنها وعدم اقبال الجمهور على شراءها. وهو كان قد اجرى العديد من التجارب لقياس الضغط الجوي ومثبتا وجود الفراغ مفندا بذلك كل فلسفات ارسطو اللتى كانت تقول باستحالة وجود فراغ فى عالمنا. ثم مرض والد باسكال مرضا شديدا وقام على تمريضه  حتى شفاءه اعضاء من جماعة الجانسينية فانتمى الاب وكل عائلته ومن ضمنهم باسكال الابن بعد ذلك الى هذه الطائفة. وكانت طائفة الجانسينين تعادي طائفة اليسوعيين عداءا شديدا وترى بحرمانية الانشغال بالعلوم الدنيوية. وتري ان العلم الشرعى الوحيد اللذي ينبغى اكتسابه هى علوم الدينىة وماعدا ذلك فهى بدع يجب الابتعاد عنها.

وكان باسكال يعانى صراعا نفسيا شديدا فهى كان  عاشقا للعلوم والرياضيات من ناحية ولكنه كان من الناحية الاخرى انسانا متدينا جدا ويؤمن بتعاليم جماعة الجانسينين وفى النهاية انتصر حب الدين على حب العلم لدى باسكال فهجر باسكال العلم والرياضيات وعمل كاهنا كاثوليكيا حتى مماته. وكانت جماعة الجانسينيين دائما على النقيض من جماعة اليسوعيين. وكان باسكال ينتقد ديكارت كثيرا ويقول انه لا يمكن له ان يغفر له ما صنعه. وقال باسكال ان افكار ديكارت مؤداها انه بعد ان خلق الله العالم تركه للقوانين و لم يعد له دور فيه

ولكن مع ذلك فيبدو ان باسكال لم ينسى اصله الرياضى فوضع وهو كاهن برهانا يثبث فيه افضلية الايمان على الاحاد. وهذا البرهان يعتمد فيه على نظرية الاحتمالات و الصفر والمالانهاية.

ولتوضيح فكرة باسكال دعونا نضرب المثال التالى لنتعرف فيه على مفهوم القيمة المتوقعة: هب ان هناك مظروفان مغلقان لانعلم محتواهما. ثم اقول لك ان المظروف الاول قد يكون فارغا او قد يحتوي على مائة دولار. اما المظروف الثانى فقد يكون ايضا خاليا او قد يحتوى على الف دولار. ثم اخبرك بان بامكانك ان تختار احد الظرفين فقط. فاى المظروفين سوت تختار؟ لاشك انه المظروف الثانى لان القيمة المتوقعة له اعلى.

والقيمة المتوقعه هى مصطلح ينتمى الى ميدان الاحصاء والاحتمالات. ويمكن حسابه لكلا المظروفين كالتالى. بالنسبة للمظروف الاول فان احتمال ان يكون الظرف خاليا هو 50% كما ان احتمال ان يكون الظرف محتويا على مائة دولار هو ايضا 50%. ولذلك فالقيمة المتوقعة للمظروف الاول هى نتجة ضرب خمسين فى المائة فى صفر زائد ضرب خمسين فى المائة فى مائة دولار وتكون النتيجة النهائية 50 دولار. ويمكن حساب هذه القيمة كالتالى:
0*0.5 + 100*0.5 = 50
اما القيمة المتوقعة للظرف الثانى فهى 500 دولار ويمكن حساب ذلك بنفس الطريقة كالتالى:
0*0.5 + 1000*0.5 = 500
اذن فالقيمة المتوقعة  للمظروف الثانى اعلى من القيمة المتوقعة للمظروف الاول. ولذلك فالقرار الاصوب بلا شك هو اختيار المظروف الثانى.

اذن كيف نطبق هذا على موضوع الايمان والالحاد؟ قال باسكال التالى: هب ان احتمال وجود الله هو 50% و احتمال عدم وجوده هو 50%. فهل من الاحكم ان يؤمن الانسان ام يلحد؟ استطرد باسكال فى فكرته وقال دعونا نحسب القيمة المتوقعة للايمان. فاذا كان الله موجود وامن الانسان به فسيدخل الانسان الجنة ويكون مكسبه لانهائيا . اما اذا امن الانسان ولم يكن الله موجودا فسيكون مكسبه صفرا. فاذا حسبنا القيمة المتوقعة للايمان سنجدها اللانهاية ويمكننا حساب ذلك كالتالى. هى حاصل ضرب مالانهاية فى خمسين في المائة زائد حاصل ضرب صفر فى خمسين فى المائة:
infinty *0.5 + 0 *0.5 = infinity

اما القيمة المتوقعة للالحاد فهى سالب مالانهاية وقام بحساب ذلك كالتالى. اذا كان الله موجودا ولم يؤمن الانسان به فسيذهب الانسان الى الجحيم وقيمة الجحيم فى هذه الحالة هى سالب مالانهاية. اما اذا كان الله غير موجود ولم يؤمن به الانسان فسيكون مكسبه صفر. وبهذا تكون القيمة المتوفعة للالحاد:
minus infinty * 0.5 + 0*0.5 = minus infinity

وبهذا نرى ان عاقبة الايمان افضل دائما من عاقبة الالحاد. ولذلك فاختيار الايمان افضل دائما من اختيار الالحاد. واستغل باسكال فى برهانه هذا خواص الصفر والمالانهاية الفريدة. حيث ان حاصل ضرب الصفر فى اي عدد اخر مهما كان كبيرا يعطى النتيجة صفر وحاصل ضرب المالانهاية فى اى رقم اخر مهما كان صغيرا يعطى مالانهاية.

بل يذهب برهان باسكال ابعد من ذلك. فحتى لو كان احتمال وجود الله 1% فقط واحتمال عدم وجوده هو 99% فان اختيار الايمان افضل من اختيار الالحاد حيث ان القيمة المتوقعة لللايمان لاتزال موجب مالانهاية والوقيمة المتوقعة للالحاد لاتزال سالب مالانهاية. ونرى ذلك فى الحساب التالى:
بالنسبة للايمان:
infinity *0.01 + 0 * 0.99 = infinity
بالنسبة للالحاد:
minus infinity *0.01 + 0 *0.99 = minus infinity

الصفر و الفن

قصة ولادة الصفر قصة مثيرة و تمثل تقاطع محاور عديدة فى الحياة. واول هذه المحاور هو محور التاريخ. فنشأة الصفر هى حدث تاريخى حصل وتطور فى وقت معين من الزمان ولذلك فهي من هذه الزاوية تنتمى الى ميدان التاريخ. وقد لمسنا فى مواضيع سابقة دور الحضارات الانسانية المختلفة فى تطور الاعداد وظهور الصفرخصوصا. ورأينا دور انسان العصر الحجرى ودور الحضارة المصرية القديمة والحضارة البابلية واليونانية و الرومانية و الهندية و العربية.

لكن فان الصفر ايضا يمثل ساحة هامة تقاطعت فيها محاور اخري كالدين والفلسفة والفن والرياضيات والفيزياء. واليوم سنتعرف على محور غير مشهورنسبيا وهو محور فن الرسم.

في الماضى لم يكن بوسع الرسامين رسم مناظير مجسمة تعطى احساسا بالبعد الثالث . وهذا امر طبيعى حيث ان لوحة الرسم نفسها ثنائية الابعاد ولا تحتوي على بعد ثالث. واول رسام  لفت الانتباه الى امكانية رسم صور تعطى المشاهد الاحساس بالبعد الثالث كان الايطالي فيليبو برونليسكي. وهو كان معماري ومهندس ورسام يعيش فى فلورنسا فى ايطاليا. وقد استطاع برونليسكي من رسم صورا رائعة استغل فيها تأثير الصفر على حواسنا وانه يشعرنا بعمق المنظور اللذى امامنا. فمامعنى ذلك تماما؟

نعلم ان جميع الاجسام اللتى نتعامل معها فى حياتنا هى ثلاثية الابعاد لها طول وعرض وعمق. فاذا تخيلنا اننا ضغطنا العمق حتى يصبح صفرا فاننا نحصل على سطح ثنائى الابعاد كورقة الكتاب فلها طول وعرض اما عمقها فهو عمليا غير مؤثر. واذا ضغطنا الورقة باتجاه عرضها نحصل على شكل هندسى اخر وهو الخط المستقيم. وله بعد واحد فقط وهو الطول . واذا ضغطنا الخط المستقيم ليصبح طوله صفرا فاننا نحصل على نقطة وهى شكل هندسى لا يحتوي على اي ابعاد. وهذا هو التعريف الهندسى الرسمى للنقطة.

هذا من جانب اما الجانب الاخر فيتعلق بكيفية رؤيتنا للأشياء. فلاجسام البعيدة تبدو اصغر من حقيقتها. فاذا كان الجسم متناهى فى البعد عنا او اننا نقول عنه انه يقع فى المالانهاية مجازا فانه يظهر صغيرا جدا كنقطة. وهذا هو سر رسم مناظير ثلاثية الابعاد. مثال اخرى اذا نظرنا الى شريط قطار طويل وممتد. نحن نعلم ان المسافة بين قضيبي القطار متساوية تماما والا لما تمكن القطار من السفر بسلام فوق شريط القطار. لكن على امتداد بصرنا يبدو قضيبا القطار وكأنهما يلتقيان بعيدا فى نقطة!

وكانت هذه الحيلة اللتى فطن اليها برونليسكي عندما رسم صورة لاحد الكنائس فى فلورنسا. فقام بصناعة ثقب صغير فى منتصف اللوحة . وهذا الثقب يعبر عن نقطة التلاشى او نقطة الهروب والمقصود بهذا التعبير هى نقطة على اللوحة تبدو وكأن جميع الاجسام الموجودة في المالانهاية واقعة عليها. ثم قام برونليسكي بحمل اللوحة باحدى يديه بحيث يكون ظهر اللوحة فى مقابلته تماما. ثم وقف امام الكنيسة اللتى يريد رسمها وينظر الى الكنيسة خلال الثقب الموجود فى منتصف اللوحة. ثم حمل برونليسكى على امتداد يده الاخرى مرأة.فاذا نظر برونلسكى الان من الثقب رأى المرأة واذا ازاح يده اللتى تحمل المرأة جانبا رأى الكنيسة.  واخذ برونلسكى يرسم الخطوط على لوحته بحيث تغطى صورة كل خط فى المرأة الخط الاصلى فى الواقع.

وكانت النتيجة مبهرة فالمنظور  الناتج كان يعطى احساسا بالعمق وبالثلاثة ابعاد. وكل الخطوط المتوازية تتلاقى فى نقطة الفرار. وهذا هو احد مبادئ  الاسقاط المركزي وهو احد ميادين الهندسة. وبهذا يكون الرسامون فى العصور الوسطى هم  اهم من ساهم فى صناعة وتطوير الهندسة الوصفية. ولذلك كن الرسامون القدماء يلمون باصول الرياضيات حتى ان ليوناردو دافنشى صاحب لوحة الموناليزا الشهيرة وهو من اهم الرسامين القدامى والحاليين وكان قد كتب العديد من الكتب لتعليم اصول الرسم وشرح قواعده كتب فى احد كتبه تحذيرا لكل من ليس له دراية بالرياضيات عليه ان يبتعد عن كتابه ولا يقرأة!!

وكان لهذه المناظير المجسمة للتى انجزها رسامو العصور الوسطى دورا هاما فى تثبيت وجود الصفر فى اوروبا. فقد كانت هذه الرسومات تشكل قوة ناعمة ساهمت فى افشال حركة الارتداد اللتى حاولت الكنيسة الغربية القيام بها بعد ذلك لحذف الصفر مرة اخرة من الوجود واعتباره رمزا للهرطقة.

فبعد التسامح الفكري النسبى اللذي كان سائدا فى القرنين الثالث عشر والخامس عشر وبعد التأثر بالعلماء والفلاسفة المسلمين تم التخلى عن التعصب لفلسفات ارسطو اللتى تعارض الدين واصبحت افكارمغايرة  كالصفرو المالانهاية مقبولة. بل حتى ان بعض الافكار اللتى كانت تبدو غريبة وشاذة جدا بان الارض ليست هى مركز الكون لم تكن تحارب تماما. لكن مع ظهور العقيدة البروتستانية وانفصال الملك هنرى الثامن بالكنيسة الانجليزية عن الكنيسة الكاثولكية و  تنصيب نفسه رأسا لها فى القرن السادس عشر. شعرت الكنيسة الكاثولكية بالخطر وتخلت عن سياسة التسامح الفكري و رفضت كل الافكار الجديدة وعادت الى سياسة التشدد فى التمسك بكل الافكار القديمة وعاد الصفر مرة اخرى رمزا للهرطقة. وتم انشاء محاكم التفتيش وكان مصير صاحب الافكار المعاكسة القتل و لكتبه الحرق والمنع.

لكن مع ذلك فقد كان فات الاوان لكل ذلك. فقد كان الصفر وصل اوربا  بالفعل وادركت فائدته الناس. وكانت اللوحات الفنية تمثل بقوتها الناعمة نقضا لكل ما تقوله الكنيسة فهذا هو الصفر والمالانهاية وهما محرمات كبرى من وجهة نظر رجال الدين متحدان فى نقطة الهروب او التلاشى على كل اللوحات الفنية الرائعة اللتى تغطى جدران الكنائس نفسها. كما ان تطور علم الفلك جعل ان فكرة الارض ليست هي مركز الكون وان جميع الكواكب تدور حول الشمس فكرة لا يمكن التخلى عنها بسهولة. صحيح ان الانسان يستطيع ان يصل الى نفس النتائج الفلكية عندما يفترض ان الارض هى مركز الكون. ولكنه فى هذه الحالة يحتاج الى صنع حسابات معقدة واستخدام جداول طويلة عديدة. بينما عندما يفترض الانسان نموذج مركزية الشمس يصل الى نفس النتائج ولكن بسهولة بالغة. فاى صاحب عقل رشيد لن يضحى بسهولة الحسابات مقابل التعقيد الشديد ليصل لنفس النتيجة فى النهاية .  الخلاصة ان عجلة العلم و التطور كانت  قد سارت الى الامام ولم يعد هناك سبيل لايقافها !!

هل نستخدم الصفر بالشكل الصحيح ؟

وصل العدد صفر الى اوروبا بعد معاناة شديدة ومحاولات مستميتة من جانب الفلاسفة ورجال الدين ورجال السياسة على حد سواء لمنع الصفر من الانتشار ووأد فكرته من الاساس. لكن بعد وصول الصفر الى اوروبا لم يعد هناك عائق فى العالم يمنع من تطور الرياضيات حتى وصلت الى الشكل اللتى نعرفها عليه اليوم.

لكن مع ذلك ومع وصول الصفر الى مكانته الحالية لابد من الاعتراف باننا لا نحن ولا اجدادنا قد فهمنا الصفر ونستخدمه بالشكل السليم فى حياتنا اليومية. فنحن مازلنا نرتكب نفس الاخطاء اللتى كان اجدادنا يصنعونها حينما كانوا يتعاملون مع الصفر. و اوضح مثال لذلك يتجلى فى عملية الترقيم فاننا نبدأ عد الاشياء دائما من العدد واحد. فاذا اردنا مثلا ان نعد ثلاثة اكواب فاننا نعدها على النحو التالى: واحد اثنان ثلاثة. ويكون العدد الكلى ثلاثة. وهنا قد يسأل سائل: وما العيب فى ذلك؟ والاجابة ان كل من عنده المام بعض الشئ بلغات برمجة الحاسوب يعلم ان الترقيم فى لغات البرمجة لايبدأ من العدد واحد ولكن من العدد صفر. فاننا اذا اردنا ان نعد ثلاثة اشياء فاننا نعدها هكذا : صفر واحد اثنين . ويكون العدد الكلى ثلاثة. وهنا نلاحظ ان العدد الكلى يزيد دائما عن اخر عدد مرقم بواحد. وقد يتعجب انسان من هذا التعقيد ومافائدة ان ابدأ الترقيم بالصفر وخاصة انه فى هذه الحالة على الانسان ان يتذكر رقمين: اخر عدد تم الوصول اليه بالاضاف الي العدد الكلى. اما في حالة بدء العد من واحد فاننا علينا ان نتذكر رقما واحدا فقط!! ولكي نوضح اين يكمن الخطأ ينبغى ان نقوم برحلة في التاريخ نستعرض خلالها قصة التقويم الميلادي ومدي ارتباط ذلك بسؤ استعمال الصفر.

التقويم الميلادي اللذى نستخدمه اليوم هو تقويم شمسي يرجع اصله الى قدماء المصريين. فقد اكتشف قدماء المصريين ان الشمس تحتاج الى 365 يوما لكى تصنع دورة كاملة حول الارض. ولذلك فقد قسموا السنة الى 12 شهر يتكون كل شهر من 30 يوم تماما ثم اضافوا فى النهاية 5 ايام مقدسة تقام فيها الاعياد والاحتفالات الدينية. وقد اخذ اليونانيون والرومان من بعدهم بهذا التقويم المصري القديم ولكنهم عدلوا فى اسماء الشهور وعدد ايامها. فقد كان كل حاكم يطلق اسمه على شهر من الشهور ثم يطيل فى عدد ايامه حتى يكون الشهر اللذي يحمل اسمه عظيما. ولذلك وصل عدد ايام بعض الشهور الى 31 يوما وبعضها الى 30 او حتى 28 يوم. وظل الامر هكذا حتى وصل يوليوس قيصر الى الحكم. فثبت الشهور على الصورة اللتى نعرفها عليها اليوم واضاف تعديلا جوهريا على التقويم القديم وهو مفهوم السنة البسيطة والسنة الكبيسة.

فلقد اكتشف الفلكيون الرومان ان الشمس تحتاج الى اكثر من 365 يوما لكى تصنع مايبدو وكأنه دورة كاملة حول الارض. فقد اكتشف الرومان ان طول السنة هو 365 يوما و6 ساعات تقريبا. اي لكى تصنع الشمس 4 دورات متتالية فانها تحتاج 4 مرات 365 يوم زائد يوم اضافي. ولكي تكون السنة الشمسسية معبرة عن الواقع قرر يوليوس قيصر ان يكون طول شهر فبراير كل 4 اعوام 29 يوما وماعدا ذلك يكون طوله 28 يوم. ونحن نطلق على هذا التقويم التقويم اليوليانى نسبة الى يوليوس قيصر.

وبعد انتشار المسيحية فى اوروبا اعتمدت الكنيسة التقويم اليوليانى لتحديد الاعياد المختلفة وتم اختيار عام ولادة السيد المسيح ليكون بداية التقويم. وكان الاعتقاد فى البداية ان التقويم اليولياني دقيق جدا ويمكن الاعتماد عليه بصورة جيدة. لكن مع مرور الزمن اتضح ان التقويم اليولياني ليس دقيقا تماما وابتدأت المشاكل تظهر خصوصا بما يتعلق بتحديد مواعيد الاعياد وبخاصة عيد القيامة. وعيد القيامة هو من اهم الاعياد المسيحية اليوم وكان في الماضى هو اهم عيد مسيحى علي الاطلاق وتقوق اهميته اهمية عيد الميلاد بكثير لان عيد القيامة يرمز للفداء والتضحية وهي رموز كانت ترسم صورة المسيحية فى بدايتها الاولى. وتحديد موعد عيد القيامة عملية فلكية معقدة لانه يعتمد على حركة الشمس والقمر في نفس الوقت. فاحد عيد القيامة هو اول يوم احد يأتى بعد ظهور اول بدر فى فصل الربيع. وكما نعلم فان البدر يعتمد على حركة القمر وعلى التقويم القمري اما بداية فصل الربيع فهو يعتمد على حركة الشمس وعلى التقويم الشمسى وينبغى ان يكون دائما يوم 21 مارس حيث يتساوي طول الليل والنهار تماما. لكن في التقويم اليوليانى لم يكن هذا الواقع. فبداية فصل الربيع اخذت تتحرك مع مرور الزمان لتأخذ مواعيد متقدمة. وكان السبب فى ذلك ان الفلكييين الروماننين اخطأوا فى تحديد طول السنة الشمسية ب 11 دقيقة تقريبا. فطول السنة الشمسية ليس 365 يوم و 6 ساعات بل هو 365 يوم و 5 ساعات و 49 دقيقة تقريبا ومعنى ذلك انه كل 100 عام يكون الفارق بين السنتين الاسمية والفعلية 1100 دقيقة اى ما يقل قليلا عن يوم كامل حيث ان اليوم يحتوى على 1440 دقيقة وكل 4 قرون يكون الفارق 3 ايام

وكان الكثير من رجال الدين المسيحيين المكلفين بحساب ميعاد عيد القيامة للاعوام التالية ينبهون الى هذه المشكلة ويوصون ويقترحون حلولا لحل هذه المشكلة. لانه لو استمر الحال هكذا فسوف يأتي يوم تكون فيه بداية فصل الربيع في 25 ديسمبر مثلا او اى تاريخ اخر. وكان من ضمن المنبهين لهذه المشكلة العالم الشهير كوبرنيكوس كما كان الراهب ديونسيوس من اوائل الناس اللذين نبهوا الى هذه المشكلة وسوف نعود الى هذا الراهب مرة اخري لاحقا فى موضوع اليوم. لكن كل اقتراحات هؤلاء ذهبت ادراج الريح فى البداية ولم يهتم احد لهم. واستمر الحال هكذا حتى عام 1582 حيث بلغ الفارق 10 ايام وكانت بداية شهر الربيع يوم 11 مارس بدلا من 21 مارس وهنا قرر البابا جريجوري الثالث عشر اتباع تقويم جديد يعرف باسم التقويم الجريجوريانى نسبة الى البابا جريجوري. وهنا قرر البابا ان يكون اليوم التالى للخميس الرابع من اكتوبر 1582 هو يوم الجمعة الخامس عشر من اكتوبر سنة 1582. اى ان البشر ينامون ويصحون فيتقدم التقويم 10 ايام دفعة واحدة وبهذا يتم ضمان ان تكون بداية الربيع التالى يوم 21 مارس. ولكى يبقى موعد الربيع دائما هكذا و لايتغير كثيرا تم تغيير طريقة تحديد السنوات الكبيسة فهى لن تبقى كما كانت عليه في التقويم اليوليانى. بمعنى انه لن تكون بالضرورة كل 4 سنوات هى سنة كبيسة. لكن تم اعتماد قاعدة جديدة وهى فى السنوات القرنية اى السنوات اللتى تنتهى بصفرين لن تكون السنة كبيسة الا اذا كانت تقبل القسمة على 400. مثلا عام 2000 كان سنة كبيسة لانه 2000 تقبل القسمة على 400 لكن الاعوام 2100 و2200 و 2300 لن تكون سنوات كبيسة. صحيح ان الاعداد تقبل القسمة على 4 ولكن ليس على 400. فقط العام 2400 سيكون مرة اخرى سنة كبيسة. وبهذه القاعدة الجديدة يتم كل 4 قرون اختصار 3 ايام وهذه كانت المشكلة فى التقويم اليوليانى.

واخذ التقويم اليوليانى ينتشر فى البلاد المختلفة حول العالم الواحدة بعد الاخرى واخذت الدول تتخلى عن التقويم اليوليانى. و تعتبر اليونان من اخر الدول اللتى اعتمدث التقويم الجريجوريانى بديلا عن اليوليانى وكان ذلك فى عام 1923. وفى حالة مصر فان الدولة المصرية اعتمدت التقويم الجريجوريانى عام 1875 بينما مازالت الكنيسة القبطية تستخدم التقويم اليوليانى حتى اليوم ولذلك تحتفل الكننيسة القبطية بيوم عيد الميلاد يوم 7 يناير بالتقويم الجريجوريانى لانه يوافق يوم 25 ديسمبر بالتفويم اليوليانى. حيث يبلغ القارق بين التقويمين اليوم 13 يوما. وسوف تحتفل الكنيسة القبطية بعيد الميلاد يوم 8 يناير ابتداءا من الاعوام 2100. حيث سيصبح الفارق بين التقويمين 14 يوم.

كانت هذه رحلة سريعة فى التاريخ تعرفنا خلالها على نشوء التقويم الميلادي. لكن اين يوجد الخطأ المذكور عن استخدام الصفر؟ هنا لابد ان نعود مرة اخرى الى الراهب دينوسيوس واللذي ذكرناه عاليا حيث اكتشف انه هناك خطا فى تحديد عام ميلاد السيد المسيح وانه ولد فعلا فى العام الرابع قبل الميلاد وليس كما كان يعتقد الناس حتى ذلك التاريخ انه كان فى العام الاول الميلادي. وبناء على ذلك فانه فى بداية كل قرن جديد يظهر خطأ جديد قديم يتعلق ببداية القرن الفعلية باشتراط ربطها بميلاد المسيح. وكانت اخر مرة حدث ذلك الخطأ فى العام 2000 حيث كتبت كبريات المجلات العالمية مقالات اشارت فيها الى خطأ تحديد عام ميلاد السيد المسيح وكتبت ان مرور 2000 سنة على ميلاد السيد المسيح حدث فعلا وكان ذلك فى العام 1996. وكان الحساب كالتالى اذا جمعنا الفين زائد سالب اربعة تكون النتيجة 1996. ولكن للاسف فان هذا الحساب خطأ تماما ومرور 2000 سنة على ميلاد السيد المسيح كان عام 1997!!

ولتوضيح ذلك دعونا نتستعرض المثال التالى اذا ولد طفل فى يوم 1 يناير فى العام الرابع قبل الميلاد فمتى سيبلغ عمره 6 سنوات؟ ليس فى العام الثانى الميلادي ولكنه فى العام الثالث الميلادي!! حيث:

1 يناير فى العام الرابع قبل الميلاد تمت ولادة الطفل

1 يناير فى العام الثالث قبل الميلاد يكون عمر الطفل عام واحد

1 يناير فى العام الثانى قبل الميلاد يكون عمر الطفل عامين

1 يناير فى العام الاول قبل الميلاد يكون عمر الطفل 3 اعوام

وهنا انتبهوا يتبع العام الاول قبل الميلاد العام الاول الميلادي و لا ووجود للعام صفر

1 يناير فى العام الاول الميلادي يكون عمر الطفل 4 اعوام

1 يناير فى العام الثانى الميلادي يكون عمر الطفل 5 اعوام

1 يناير فى العام الثالث الميلادي يكون عمر الطفل 6 اعوام!!

وليست هذه المشكلة الوحيدة المتعلقة بالصفر بل هناك مشكلة اخرى تتعلق ببداية القرن الجديد. مثلا احتفلت كل دول العالم عام 2000 ببداية الالفية الثالثة. لكن هل هذا صحيح؟ هل ابتدأت الالفية الثالثة فعلا فى العام 2000؟ الاجابة لا فالعام 2000 كان اخر عام فى الالفية الثانية وبداية الالفية الثالثة كان فى العام 2001. وهذا بالطبع لاننا اذا ابتدأنا الترقيم من واحد فتكون مائة هى العدد المتمم للمائة ولكن اذا ابتدأنا الترقيم من الصفر فسيكون العدد 100 هو بداية القرن الجديد!!

في النهاية يجب ان ننوه انه فى العلوم التطبيقة لا يتم استخدام اي من التقاويم السابق ذكرها فى المقال ولكن هناك تقاويم مختلفة يتم استعمالها. مثلا هناك التقويم اليوليانى الفلكى. وهو ليس له علاقه التقويم اليوليانى اللذى ذكرناه عاليا ولكنه مجرد تشابه اسماء. وهذا التقويم افترحه فلكى فرنسى اسم جوزيف سكاليجر وقد اعطاه هذا الاسم تكريما لوالده اللذى كان اسمه يوليوس. وفيه يتم عدد الايام المنصرمة من تاريخ حدده بشكل عشوائى وهو 1 يناير عام 4713 قبل الميلاد. وفي ميدان البرمجيات هناك تقويم مشهور باسم توقويم يونيكس وهو يقيس عدد الثوانى المنصرمة منذ 1يناير سنة 1970 ميلادية!!

فيبوناتشى ودخول الاعداد العربية الى اوروبا

كانت عملية دخول الاعداد العربية الى اوروبا عملية صعبة ومعقدة. فالاعداد العربية كانت ومازالت تحتوي على الصفر وكان الصفر مرفوضا عند الاوربيين فى العصور الوسطى وماقبلها رفضا عقائديا وفلسفيا حازما. ولكن مع ذلك فان الاعداد العربية استطاعت ان تجد طريقها الى اوروبا وقد ساهم فى صنع هذا الاختراق طوائف عديدة شملت المحاربين ورجال الدين والعلماء والتجار!!

ولتسهيل تصور كيفية مساهمة المحاربين في وصول الاعداد العربية الى اوروبا  علينا ان نتذكر ان فترة العصور الوسطى كانت فترة الحروب الصليبية وخلالها ادرك الاوربيون كم ان المسلمين متقدمون حضاريا وعلميا وفكريا وتم التعرف على الاعداد العربية ومن ضمنها الصفر. كما ان هناك مواجهات حربية اخرى اندلعت ايضا بين المسلمين والاوروبيين فى اسبانيا وعلى الحدود مع فرنسا خصوصا فى فترة حكم كارل العظيم. وهنا لمس الاوربيون ايضا تفوق خصومهم المسلمين فى ميادين الحضارة والعلم المختلفة.

وكان للمسلمين اختراع مذهل فى ذلك الوقت وهو جهاز الاسطرلاب. وبواسطة جهاز الاسطرلاب كان من الممكن تحديد الوقت حتى فى جنح الظلام. فوجد رجال الكنيسة فوائد عملية  ضخمة لهذا الجهاز حيث يسهل عليهم تحديد الوقت لتأدية صلاواتهم فى الليل. وبالطبع كانت الاعداد المستخدمة فى جهاز الاسطرلاب هى الاعداد العربية وان كانت فى اغلب الاحوال ذات نسخة لا تحتوى على الصفر مما سهل قبولها اكثر لدى الغربيين. ثم ان البابا سلفستر الثانى نفسه تعرف على الاعداد العربية اثناء زيارة له الى اسبانيا واعجب بها جدا واثنى عليها في رسائله.  لكن تعميم استخدام الاعداد العربية فى ذلك الوقت لم يكن ممكنا ابدا لاحتوائها على الصفر. فقد كانت افكار ارسطو مستحوذة على الغربيين بالكامل.

ثم يأتى بعد ذلك دور الرياضيين الاوروبيين وبخاصة الايطالى ليوناردو فيبوناتشى وهو رياضى ولد فى مدينة بيزا الايطالية ويعد ابرز رياضى اوروبى ظهر في مرحلة العصور الوسطى. وقد تلقى فيبوناتشى تعليمه فى مدينة بجاية الجزائرية حيث كان ابوه يعمل ملحقا تجاريا هناك. و قد ارسل ابوه فى طلبه وهو طفل صغير حتى يتلقى تعليمه فى بلاد المسلمين. فاستفاد فيبوناتشى من تعليمه هناك اشد استفادة وتعلم الاعداد العربية وحذق فى استخدامها. ثم رحل فيبوناتشى بعد ذلك الى مصر وسوريا وتركيا وتعلم هناك المزيد. لكن فيبوناتشى كتب ان اهم تعليم تلقاه فى حياته كان ذلك اللذى تلقاه فى بجاية. وقد كتب فيبوناتشى كتابا فى الرياضيات فى غاية الاهمية. وهذا الكتاب يعد احد اهم اسباب انتشار الاعداد العربية فى ايطاليا وفي اوروبا كلها. واللذى ساعد انتشار كتاب فيبوناتشى انه ظهر  فى الفترة اللتى فتر فيها تعصب الكنيسة لافكار ارسطو وصار من الممكن تبنى افكار مغايرة ورفض افكار ارسطو اللتى تعارض الكتاب المقدس.

وما يميز فيبوناتشى عن سواه هو فهمه العميق للرياضيات وللجوانب النظرية. وقد اراد بكتابه ان يوضح للقارئ الافكار الرياضية على حقيقتها وان يحول القارئ الى فاهم حقيقى للموضوع وليس مجرد مستخدم حافظ لطرق الحساب بدون فهم صحيح لها. ولكن مع ذلك فان كتاب فيبوناشى لم يشتهر بسبب عمقه النظري بل بسبب الجانب العملي فيه. فقد وضع فيبوناتشى مسائل مخصوصة موجهة للتجار ووضح سهولة الحساب بالارقام العربية وكيفية تحويل القيم بين العملات المختلفة  و حساب الاسعار لكميات البيع المختلفة. الى اخر المسائل التجارية والبنكية المهمة فى ذلك الوقت.

كما ان اسم فيبوناشى معروف اليوم لدى تلاميذ المدارس وسبب شهرته يرجع الى متوالية فيبوناتشى. وهذه المتوالية هى اجابة على مسألة رياضية طريفة طرحها فيبوناتىشى في كتابه. وهذه المسألة كانت كالتالى. اخذ فلاح زوج من الارانب ولد لتوه ووضعه فى مزرعته. فاذا علمنا ان الارانب تتكاثر بسرعة وان زوج الارانب ينتج كل شهر زوجا جديدا من الارانب. ولكن فى نفس الوقت فان الارانب تصبح جاهزة للانجاب لاول مرة في حياتها بعد شهرين من  ولادتها فكم تكون عدد الارانب فى مزرعة ذلك الفلاح؟

وكانت اجابة فيبوناشى فى اول شهر سيكون عندنا زوج واحد من الارانب وفى الشهر الثانى سيظل هذا الزوج ايضا بدون تغيير لانه مازال غير قادرا على الانجاب. لكن بعد مرور شهرين  سينتج زوجا جديدا ويصبح عندنا زوجان من الارانب. ثم بعد مرور شهر اخر سينتج الزوج القديم زوجا جديدا من الارانب بينما يكون الزوج الجديد مازال غير قابلا للانجاب ليصبح لدينا  ثلاث ازواج. باختصار فان عدد الارانب فى المزرعة تعبر عنه هذه المتوالية:

1,1,2,3,5,8,13
الى اخره. وهذه المتوالية تتسم بخاصية ان كل عنصر فيها يساوي مجموع العنصرين السابقين له. فالثلاثة هى حاصل جمع اثنين وواحد و الثمانية هى حاصل جمع الخمسة والثلاثة وهكذا.

وتتمتع هذه المتوالية بخاصية اكثر اثارة وهى اننا اذا قسمنا اي عددين متتالين على بعضهما حصلنا على قيمة تقريبية لنسبة المقطع الذهبى : هذه القيمة اللتى لعبت دورا هاما فى الفلسفة الغربية ومازال لهذا الرقم سحره حتى اليوم. وتزداد نتيجة عملية القسمة اقترابا من قيمة المقطع الذهبى كلما توغلنا فى هذه المتوالية اكثر وهى تساوي تقريبا 1.62:

5/3 = 1.66
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625

في نهاية الامر  اعجب التجار الايطاليون بالاعداد العربية جدا فقد كانت سهلة وتخلصهم من عناء استخدام العدادات البدائية اللتى كانت شائعة الاستخدام وااللتى كانت تمثل حاسوبات ذلك الزمن. لكن مع ذلك فان الحكام والسياسيين لم يقبلوا هذه الاعداد في البداية واصدروا قرارات بتحريم استخدامها فى كافة الجمهوريات الايطالية بدعوى ان هذه الارقام من السهولة تزويرها فباضافة شرطة صغيرة يمكن تحويل ال 0 الى 6.  ولكن هذه الحجج لم تكن لتقوى على الوقوف امام انتشار الاعداد العربية ذات الفوائد العملية الهائلة فانتشرت بشكل سريع فى كافة انحاء ايطاليا ثم من بعدها فى كافة انحاء اوروبا وهى مازالت مستخدمة حتى زماننا الحالى.

الغزالى و التحرر من سطوة ارسطو

للعلماء الكبار دورهم الهام فى اماطة  اللثام عن غوامض الامور ودفع مركبة العلم الى الامام. وهذا شئ بين يعلمه الجميع  ولكن ماقد يغفله البعض انه قد يكون لهؤلاء العلماء على الجانب الاخر اخطاء وهنات تعوق العلم وتحد من سرعة انطلاقه. ولكننا في جميع الاحوال يجب ان نؤكد ان ايجابيات هؤلاء العلماء تفوق اى سلبيات قد تصدر عنهم. ويمكن تشبيه ذلك بالالعاب الاولمبية حيث تفوق ميدالية ذهبية وحيدة الاف الميداليات الفضية والبرونزية. وكذلك في ميدان العلم فكل البشر يخطئون بما فى ذلك العلماء. لكن لا يضيف الى الانتاج العلمي الا اصحاب العزيمة والمميزون فقط.

اما عن اخطاء العلماء فيمكن تصنيفها الى نوعين: النوع الاول هو نوع سافر مباشر و هو ان يتعصب العلماء لرأيهم ويحاربون اصحاب الاراء الجديدة. وقد تتعدى حدود معاداتهم للفكرة الجديدة لكى تصبح حربا على المستوى الشخصى لصاحب الفكر المنافس نفسه. ونذكر امثلة لهذا النوع من الخلاف الخلاف اللذى نشأ بين العالم الكبير ادنجتون وتلميذه الهندي سابرمينين شاندراشكهار بسبب عدم اعتقاد ادنجتون فى انكماش النجوم العملاقة فى نهايتها وتحولها الى نجوم نترونية. وتحول الخلاف العلمى الى حرب على المستوى الشخصى مما دعا شاندراشكهار الى الهجرة من انجلترا الى شيكاغو فى الولايات المتحدة الامريكية وفاز بجائزة نوبل بعد ذلك.  وكذلك الخلاف بين الاستاذ الالمانى كرون أيكر وتلميذه العبقرى كانتور مؤسس رياضيات المالانهاية. ودفعت محاربة كرون ايكر لكانتور الى اصابته بالانهيار النفسى والعصبى حتى قضى نحبه فى مستشفى للامراض العقلية. وكذلك الخلاف بين همفرى دافى ومساعده العالم العملاق مايكل فاراداى حيث ربما شعر دافى بالغيرة والحسد من فاراداي و لم يعترف بانجازاته وكان مصرا على ان فاراداى يسرق ابحاثه من علماء اخرين.

اما النوع الثانى من اخطاء العلماء وهو النوع الاعم فهو عبارة عن اخطاء غير مباشرة للعلماء الكبار لا يتحملون القسط الاكبر من الخطأ منه ولكن اللذى يتحمله هم تلاميذهم وجمهورهم اللذين يقدسون اقوالهم ويرفضون اى رأى مغاير مهما كان مدعما بالبراهين ويسفهوا صاحبه. وفى هذا دليل على ضألة قيمة التابعين وانهم مجرد ببغاوات مرددين وأنهم لم يفهموا بعد مراد العلماء الكبار. ولضرب امثلة لهذه النوعية من الاخطاء نذكر اخطاء اينشتاين فى فيزياء الكم وكيف انه حارب تطورها مع انه كان احد اباؤها الاوائل ولكنه مع ذلك لم يكن راضيا عن المسار اللذى اخذته النظرية بعد ذلك. لكن لحسن الحظ فان اخطاء اينشتاين لم تلعب دورا مؤثرا فى  اعاقة نظرية الكم عن التطور لانه كان هناك فى زمان اينشتاين عملاق اخر هو نيلس بور الدنماركى اللذى كان احد اهم داعمى نظرية الكم واخذ يفند اعتراضات اينشتاين الواحدة بعد الاخرى حتى اخذت النظرية شكلها الحالى. ومثال اخر لتلك الاخطاء الغير مباشرة هى خطأ العملاق الانجليزي نيوتن حول طبيعة الضوء حيث انه انكر ان للضوء خواص موجية وقال ان للضوء طبيعة مادية فقط. وطبعا لان القائل هو العملاق نيوتن فقد حذى باقى العلماء حذوه وانكروا طبيعة الضوء الموجية رغم ان القائلون بطبيعة الضوء الموجية كانوا معاصرين لنيوتن لكن لم يأبه احد لهم وضرب بادلتهم وبراهينهم عرض الحائط. وكان الحال فى هذه المرة اسوأ حالا منه فى حالة اينشتاين حيث لم يوجد عملاق اخر ليدعم طبيعة الضوء الموجية. فاخر هذا الموقف لنيوتن العلم مائة عام تقريبا حتى تم الاعتراف فى النهاية بطبيعة الضوء الموجية. اما المثال الثالث اللذى نضربه فكانت البشرية اسوأ حظا. حيث كان الامر يتعلق بأرسطو وبالصفر. فقد رفض ارسطو الصفر رفضا تاما وكان ارسطو فى نظر معظم العلماء عبر القرون المختلفة هو عنوان العلم وكانت اراؤه مقدسة لايمكن المساس بها. وكانت نظريات ارسطو تشمل كل نواحى العلم والمعرفة فكانت اطروحاته تغطى ميادين الفلسفة والمنطق والرياضيات و الجغرافيا و الطب و البيولوجيا. وكان الاسكندر الاكبر تلميذا لارسطو فحرص على نشر علمه فى العالم كله. وبعد اعتناق الامبراطورية الرومانية للمسيحية جعلت الكنيسة فلسفة ارسطو هى محور فلسفة الكنيسة. وخصوصا ان ارسطو قدم برهانا على وجود الله امنت به الكنيسة الغربية وجعلت هذا البرهان وسيلتها فى الدفاع عن وجود الله وجعلت كل كلام ارسطو بشكل او باخر مقدسا لايمكن المساس به. والغريب ان كلام ارسطو كان يعارض احيانا كلام الكتاب المقدس. فكان الكتاب المقدس يتحدث عن خلق الله  للكون من العدم وان الكون لم يك فى يوم من الايام شيئا. بينما كان ارسطو يقول ان الكون لا نهائى ولا بداية له. مع ذلك فقد ضحت الكنيسة فى البداية بكلام الكتاب المقدس لصالح فلسفة ارسطو وكانت تقول بان الكون لا بداية له وترفض وجود الصفر والعدم! وكانت البشرية تحتاج الى عملاق اخر والى قامة اخرى توازي قامة ارسطو لتبين ان ليس كل مايقوله ارسطو صحيحا بل وقد يكون محض تخاريف مختلقة. وبالتالى فان الصفر ليس امرا مستحيلا ومقززا كما كان يدعي ارسطو.

اما المسلمون فقد  عنوا عناية كبيرة بترجمة كتابات العلماء من اللغات الاجنبية الى العربية وكان من ضمن هؤلاء العلماء ارسطو بلا شك. وقد حاز ارسطو عند علماء المسلمين مكانة سامية واطلقوا عليه لقب المعلم الاول. وكانت اقوال ارسطو محور انطلاق اعمال العلماء المسلمين. وكان من اشد المتأثرين بارسطو من المسلمين الفارابى وابن سينا ثم لحقهم ابن رشد بعد ذلك. وقد تعلم الغرب فى عصر النهضة علم ارسطو عن طريق ابن رشد وليس عن طريق كتاباته الاصلية كما قد يتصور البعض. وكان تاثر العلماء المسلمين بارسطو تأثرا كبيرا حتى ان بعضهم قال ايضا بان العالم لابداية ولانهاية له وانه سرمدي ازلى.  كما ان بعضهم انكر البعث بالاجساد كما انهم انكروا خلق الله للعالم بنفسه الى امور عديدة اخرى. وكان كل ذلك تأثرا باراء المعلم الاول. وكانت المشكلة ان ارسطو كان هو عنوان الثقافة والرقى وان من يقول بغير ذلك فانما هو انسان محدود الذكاء وغير قادر على تصور افكار ارسطو.

و لانه لايفل الحديد الا الحديد فقد كانت البشرية بحاجة الى قامة عملاقة تناطح قامة ارسطو كما ناطحت قامة نيلس بور قامة اينشتاين لتفند مزاعمه وتبين خطأ اراءه. وكانت قامة الغزالى هى القامة المضادة فى حالة ارسطو وان كانت ظهرت  بعد قرون عديدة من وفاة ارسطو لكى تعيد الامور الى نصابها الصحيح.

فقد اراد الغزالى ان بين خطأ منحى الفلاسفة المسلمين فيما ذهبو اليه فى بعض قضايا الالهيات فقرر ان يتجه مباشرة صوب الرأس صوب ارسطو وان بيين خطأ كلامه وعوار منطقه احيانا. فقسم الغزالي علوم الفلاسفة الى اقسام مختلفة: علوم الرياضيات وهى علوم لاخلاف عليها لانها مبرهنة برهانا تاما ولا يمكن الطعن فيها. و القسم الثانى من العلوم هى العلوم الطبيعية وهى فى معظمها صحيحة ويجب الاخذ بها وقال بخطأ المسلمين اللذين يرفضون العلم باسم الدين لانهم بذلك يضرون بالاسلام نفسه و لاضرر مثلا فى الاخذ بالتبرير الارسطى لظاهرتى الكسوف والخسوف لان التبرير الارسطى يدعمه المشاهدة والواقع. اما القسم الثالث فهى المواضيع الالهية وهذا القسم من العلوم فقط هو القسم اللذي رفضه الغزالى فى معظمه عندما يخالف الثابت من الدين وقال باستحالة ان يلم العقل البشرى المحدود بالطبيعة الالهية الغير محدودة. بل قال الغزالى ان اطروحات ارسطو فى هذه القضايا ليست من الثقافة و الرقى في شئ بل هو كفر صراح.

وكان لكلام الغزالى وزنه الثقيل. لان الغزالى كان هو من هو وكان فيلسوفا من العيار الثقيل. وكان له اسمه المهم وقيمته الشامخة بين المسلمين. فهو كان الملقب بحجة الاسلام.  كما انه كان للغزالى ايضا اسمه وقيمته بين غير المسلمين. فكما ان اسماء العلماء و الفلاسفة اليوم هى نيوتن واينشتاين وهيجل وكانت ونيتشة كانت اسماء العلماء والفلاسفة في عصر النهضة هى الخوارزمي وابن سينا و البيرونى و الغزالى وابن رشد.  وكان تأثير الغزالى على الغربيين كبيرا وخصوصا رجال الدين منهم فقد تأثروا كثيرا بمنطقه فى نصرة النص الدينى قبالة افكار ارسطو. وفلسفة الغزالى كانت و لازالت تدرس فى الكنيسة الغربية حتى اليوم ويتم اعداد دراسات الدكتوراة حول كتاباته واراؤه حتى اليوم.

وكان هذا الدور للغزالى مؤثرا عند غير المسلمين. مما دفع اهم علماء اليهود وهو موسى بن ميمون واللذى كان ايضا ارسطيا حاول التوفيق بين كتابات الكتاب المقدس وفلسفة ارسطو ولكنه  اضطر في النهاية الى رفض اراء ارسطو عندما اصطدمت بكلام الكتاب المقدس وقال بان العالم مخلوق وله بداية وليس لانهائيا فى الزمن كما كان يقول ارسطو. وكتب موسى بن ميمون عن المسلمين وقال بانهم فى حقيقة الامر ليسوا ارسطييين ولكنهم على مذهب الذريين. وقد كان اليهود في بداية الامر ينتصرون لاراء ارسطو على حساب الكتاب المقدس ويأولون النص الديني على اعتباره مجازا لغويا.

وكانت لاراء الغزالى دورا مهما فى تغيير اراء الكنيسة الغربية. فقد غيرت الكنيسة الغربية من موقفها وبدأت تتحدث لاول مرة بان الكون مخلوق من العدم وانه ليس لانهائى ومحدود فى الزمن. وكان من اوائل من اخذوا هذا المنحى الجديد بيشوف فرنسا تمبيير فى عام 1277 اللذى دعا الى رفض كل افكار ارسطو اللتى تحد من قدرة الله.

وكان لهذا التطور المهم اكبر الاثر على تغيير موقف اوروبا من العدم والصفر ومهد هذا  الطريق الى قبول الصفر فى وسط الاعداد فى العالم الغربى بعد ان كان قد اخذ مكانه فى بلاد الهند والمسلمين.

الخوارزمى ونشر الاعداد العربية

تعرف فترة العصور الوسطى فى اوروبا بالعصور المظلمة. لانه فى هذه الفترة دخلت اوروبا فى حالة من الجمود الحضاري فقد توقف الانتاج العلمى وندر العلماء وساد الجهل وانتشرت الخرافات. لكن فى البلاد الاسلامية كان الامر مختلفا تماما. فقد كان هذا العصر عصرا ذهبيا فقد شملت الفتوحات الاسلامية بلادا عديدة وامتدت الدولة الاسلامية  من اسبانيا غربا حتى اسوار الصين شرقا. وقد فاقت الدولة الاسلامية من حيث المساحة امبراطورية الاسكندر الاكبر و الامبراطورية الرومانية. وكان الكثير من البلاد اللتى فتحها المسلمون لها تاريخ وحضارة عريقة. وقد حرص المسلمون على خلاف الرومان على استيعاب العلوم الموجودة فى البلاد المفتوحة وتطويرها. فاستوعب المسلمون سريعا علوم الفرس والهنود و الاغريق ونشأت حركة ترجمة واسعة لترجمة الكتب من اللغات المختلفة الى العربية. وقد عنى خلفاء المسلمين بتشجيع الترجمة وتأليف الكتب فخصصوا جوائز ضخمة ومكافئات سخية للمؤلفين و المترجمين.

وقد قام الخليفة العباسى المأمون بأنشاء مكتبة ضخمة في بغداد تعرف ببيت الحكمة ضمت انفس الكتب واهمها. وكان بيت الحكمة اكثر من مجرد مكتبة عادية. فقد كان صرحا علميا مهما دوره يماثل الدور اللذي لعبتة مكتبة الاسكندرية فى العالم القديم. وقد عهد المأمون للعالم الخوارزمى بالاشراف على هذه المكتبة.

والخوارزمى صاحب موضوع اليوم  هو ابو جعفر محمد بن موسى الخوارزمي. اما اصله فهو مختلف فيه. فبعض الناس يرون انه من طشقند فى اوزبكستان حيث كانت الاعداد الهندية معروفة ومستخدمة و البعض الاخر يقول انه فارسى الاصل بينما يقول فريق اخر انه عربى من العراق. لكن هذا لايهمنا كثيرا والثابت على كل الاحوال انه كان يعرف الاعداد الهندية ومن ضمنها الصفر ويتقن استعمال هذه الاعداد.

وكان الخوارزمى عالما موسوعيا الف عشرات الكتب فى مواضيع مختلفة كالرياضيات والفلك والجغرافيا. وما يهمنا من هذه الكتب اليوم كتابان لهما علاقة مهمة بتطور الرياضيات و الاعداد. الكتاب الاول وهو الاشهر يعرف باسم الجبر والمقابلة. ومن عنوان هذا الكتاب استمد علم الجبر اسمه. ولذلك يعتبر الخوارزمى هو ابو الجبر  و الاسم الانجليزي لعلم الجبر هو algebra وهو كما نري تحريف بسيط للكلمة العربية.

وقد كان كتاب الجبر والمقابلة يشرح طرق حل معادلات الدرجة الاولى و الثانية. ولعله امرا مدهشا بعض الشئ اذا راعينا ان الخوارزمى لم يعرف المعادلات بصورتها الرياضية اللتى نعرفها نحن اليوم  بل كان يعبر عن المعادلات الرياضية باللغة العربية العادية ويمكننا ان نتخيل مافى ذلك من صعوبة. ومن الطريف ان نلاحظ المصطلحات اللتى استخدمها الخوارزمى فهى تختلف عن المصصلحات الرياضية اللتى نستخدمها اليوم. فما نطلق عليه اليوم اسم الثوابت الرياضية اطلق الخوارزمى الدراهم عليها. كما اطلق الخوارزمى على المجهول المطلوب حله مصطلح الجذر. وايحاء الكلمة واضح بان الجذر يكون دائما مختبئا تحت الارض ولا يراه الانسان فورا بل يجب ان ينبش  حوله كى يجده. وهناك نقطة اخرى ينبغى ان نشير اليها وهي ان الخوارزمى لم يكن يعلم بامر الاعداد السالبة بالرغم من ان الهنود كانوا  قد اكتشفوها. ولذلك اتى كتابه دون ذكرها ولم يستخدمها الخوارزمى فى كتابه.

وقد وجد الخوارزمى 6 حلول ل 6 صور مختلفة من معادلات الدرجة الاولى و الثانية. وكانت طريقة الخوارزمى فى حل اى معادلة عموما هى رد المعادلة الى احدى الصور الستة السابقة ثم حلها بعد ذلك بناء على الطريقة الموصوفة سلفا. وهذه الصور الستة هى كالتالى:

ax^2 = bx
ax^2=c
bx=c
ax^2+bx=c
ax^2+c=bx
bx+c=ax^2

اما معنى كلمتى الجبر والمقابلة فهو التحويل فى شكل اى معادلة رياضية للوصول بها الى احدي الصور الستة. ومعنى كلمة جبر تحديدا هو جبر الاشياء الناقصة بمعنى استيفاءها واستكمالها. ونقول فى الطب جبر المكسور من العظام. اما فى الرياضيات فان معنى ذلك الجمع لجبر المطروح. ومثال ذلك:

x^2=4x -4x^2
فاذا جبرنا 4x^2 بمعنى جمعناها على طرفى المعادلة حصلنا على
5x^2=4x
وهذه هي الصورة الاولى

اما المقابلة فمعناها فى اللغة العكس والمخالفة او رياضيا الطرح فمثلا اذا كان لدينا معادلة على الصورة التالية:

x^2+5=40x+4x^2
وهذه الصورة لاتناسب احد الصور الستة ولكننا نلاحظ وجود  x^2 في طرفى المعادلة فاذا قابلنا x^2 اي طرحناها من طرفي المعادلة حصلنا على
5=40x+3x^2
وهذه هي الصورة الرابعة!!

اما الكتاب الثانى اللذي يهمنا اليوم فهو كتاب حول الاعداد الهندية اسمه الجمع و التفريق بحساب الهند. وهذا الكتاب يتعرض للاعداد الهندية ومن ضمنها الصفر ويشرح كيفية اجراء العمليات الحسابية المختلفة. ولشرح طريقة اجراء العمليات الحسابية ابتكر الخوارزمى طريقة عجيبة أستخدم فيه الخوارزمى 3 تقنيات هى التسلسل و الاختيار و التكرار. وهذه الطريقة المعروفة باسم الخوارزميات هى من الاشياء الاساسية اللتى يتعلمها الطلاب اليوم فيى ميدان برمجة الكمبيوتر. والكلمة االانجليزية algorithm وهى كما نرى تحريف بسيط لاسم الخوارزمى وهذه الكلمة بعد كلمة الجبر هى ثانى مصطلح رياضى نتعرف عليه اليوم اخذه الاروبيون عن العربية وعن الخوارزمي.

اما بالنسبة للصفر فكان اسمه بالهندية سونيا او sunya وترجمته الحرفية فارغ فعندما نقله الخوارزمى الى العريبة حوره واطلق عليه اسم  صفر. وعندما نقل الاوربيون الصفر بدورهم الى لغاتهم حوروه لانهم احبوا ان يعطوه نطقا لاتينيا فاسموه zephirus وهذه الكلمة تحولت بعد ذلك فى الانجليزية الى zero . ولكن فى بعض اللغات الاوروبية الاخرى لم يحول الرياضيون الاسم كثيرا فمثلا فى اللغة الالمانية اطلق الرياضيون فى البداية على الصفر كلمة Ziffer ومع مرور الزمن تغير معنى هذه الكلمة  فاصبحت تعبر عن كل الاعداد عموما!!

ومن هنا ندرك الدور اللذي لعبه الخوارزمى فى نشر الصفر فى البلاد العربية و الاسلامية ومن ضمنها  اسبانيا ومن ثم وصلت الاعداد العربية  الى كل اوروبا  والعالم بعد ذلك  ومازالت تستخدم حتى عصرنا الحالى!!

تطور الاعداد

 

براهماجوبتا وميلاد الصفر

تحمل الرياح حبوب اللقاح لكى تخصب ازهارا فى اماكن بعيدة عن تلك الزهور الاصلية اللتى انتجت حبوب اللقاح. كما ان علماء الفلك يقولون انه فى نهاية عمر النجوم العملاقة وقبل ان تموت فانها تقوم بعمل انفجار ضخم وهائل واخير تقذف فيه بالمعادن الموجودة فى قلبها حتى يكتب لهذه المعادن عمر جديد فى قلب كواكب ونجوم اخرى جديدة ويتم انقاذ تلك المعادن من الفناء. وهكذا كانت حملة الاسكندر الاكبر على الهند! فالاسكندر الاكبر حمل معه الى الهند الافكار المصرية والبابلية و الاغريقية والقى بها فى ارض الهند. فازهرت بعض هذه الافكار واينعت بينما لم يتقبل الهنود بعضها الاخر. ومن المهم رصد وملاحظة الافكار اللتى تقبلها الهنود وكذلك من المهم والمثير رصد تلك الافكار اللتى لم يقبلها الهنود ونبذوها.

تقبل الهنود فنون علم المساحة المصرية وبرعوا فيها فعرفوا تحديد مساحات الاراضى الزراعية وقياس وانشاء الزوايا القائمة. واستخدموا فى ذلك الحبال تماما كما كان يفعل المصريون القدماء. كما تقبل الهنود حساب المثلثات الاغريقى واستغلوا ذلك فى تعيين المسافة بين الشمس و الارض. كما تعلم الهنود الاعداد البابلىة وتبنوا نظاما مشابها يستغل فكرة القيمة المكانية. بمعنى ان النظام الهندى للاعداد عرف خانات للاحاد والعشرات والمئات الى اخره. ولكن كان هذا النظام يختلف عن النظام البابلى فى شئ مهم. فقد كان نظام الاعداد الهندى عشريا بينما كان النظام البابلى ستينيا. واختلف النظام الهندي عن النظام البابلى فى شئ مهم اخر وهو ان الصفر الهندي كان صفرا حقيقا وليس مجرد شغل خانة كما كان الصفر البابلى. وفى واقع الامر فان هذا النظام الهندي للاعداد هو النظام اللذى نستخدمه اليوم.

والان دعونا نرى ماذا ترك الهنود من علوم وفلسفات ولم يهتموا بها. فلقد كان تأثير ما تركوه اكبر من تأثير ما اخذوه. رفض الهنود فلسفات الاغريق عموما وفلسفة ارسطو خصوصا. فبالرغم من ان الاسكندر الاكبر كان تلميذا لارسطو وعنى بنشر فلسفته ايما عناية. لكن الهنود رفضوا افكار ارسطو ورفضوا رفض الاغريق للعدمية وللمالانهاية. فقد كانت الديانة الهندوسية تحتوى عليهما. وكما نعلم فان الديانة الهندوسية تحتوي على الاف من الالهة لكن قبل فترة طويلة من غزو الاسكندر للهند ابتدأت الديانة  الهندوسية فى حمل بعض صفات توحيدية. صحيحة ان الالهة بقت بالالاف لكن الهنود تصورا ان هناك اله اعلى لكل اللالهة الاخرى وهو الاله براهما. وان باقى هذه الالهة اقل منه وهى تمثل نواحى وجوانب مختلفة من براهما. وكان الاله فشنو هو  اله التدمير و العدم. اذن فقد كان العدم عند الهنود معروفا ومقبولا. وأمن الهنود بيتناسخ الارواح بمعنى ان الميت عنما يموت لاتفنى روحه وانما تدخل جسد انسان او كائن اخر حتى يعيش حياة جديدة ويمر بتجارب جديدة حتى تصل الروح فى نهاية المطاف الى مرحلة الخلاص وعندها تلتحق الروح البشرية ببرزخ الارواح الازلي حيث الراحة الابدية. وهذا البرزخ هو مصب جميع الارواح وهو روح الاله براهما نفسه وهو لا نهائى وفى نفس الوقت لاشئ!!

اذن فالهنود من البداية عرفوا فى ديانتهم العدم و اللاشئ وعرفو المالانهاية وكانوا يروا ان العدم والمالانهاية شيئا واحدا. وكان هناك شئ اخر هام لم يرثه الهنود عن الاغربق وهو طريقة نظر الاغريق للاعداد. فلم ير الهنود الاعداد بالطريقة الاغريقية الهندسية.  فلم يروا خلف الاعداد المربعة مربعات ولم يروا انه عند طرح عددين من بعضهما اننا نطرح مساحتى قطعتى ارض من بعضهما. فمثلا اذا طرح الاغريق 2 من 3 كان معنى ذلك عندهم انهم ينتقصون هكتارين من قطعة ارض مساحتها 3 هكتارات فتكون النتيجة هكتارا واحدا. ولذلك فقد كان طرح 3 من 2 عملية لامعنى لها. فكيف يطرح الانسان قطعة ارض مساحتها 3 هكتارات من قطعة ارض مساحتها هكتارين؟!. لكن الهنود فكروا خلاف ذلك و رأو ان الاعداد هى مجرد اعداد فاذا جمعناها مع بعضها او طرحناها من بعضها فانها تنتج اعداد جديدة فقط. ولذلك فقد قكر احدهم ان طرح 3 من 2 هي عملية حسابية عادية  نتيجتها سالب واحد. وبهذا فقد كان الهنود اول من توصل للاعداد السالبة. وكتب براهماجوبتا الرياضى الهندي كتابا فى القرن السادس الميلادي يوضح فيه العمليات الحسابية بالنسبة للارقام السالبة.  وقال ان ضرب عدد موجب مع اخر موجب او عدد سالب مع اخر سالب يعطى عددا موجبا كما ان ضرب عدد موجب مع اخر سالب يعطى نتيجة سالبة. وكذلك الحال بالنسبة لعملية القسمة.

وهذه هى نفس القواعد اللتى نستخدمها اليوم. كما عرف الهنود ايضا العدد صفر بنفس الطريقة عندما سألوا انفسهم ماهى نتيجة طرح 2 من 2 . وكانت النتيجة هى الصفر. ولم يكن الصفر فى هذه المرة مجرد شغل خانة كما فعل البابليون ولكنه كان قيمة فى حد ذاته وكانت هذه لحظة ميلاد العدد صفر. ولكن براهماجوبتا اخطأ فى شئ يتعلق بالصفر حين قال ان قسمة 1 او اى عدد على صفر تعطى صفرا وكذلك فان قسمة صفر على صفر تعطى صفرا. ونحن نعلم اليوم ان قسمة 1 على صفر تعطى مالانهاية وان قسمة صفر على صفر هي كمية غير معينة. ولكن مرة اخرى فان الهنود انفسهم هم من صلحوا خطأهم حين قال رياضى هندي اخر ان قسمة 1 على صفر تعطى مالانهاية واستدل على ذلك بأننا اذا جمعنا مع هذه القيمة اى عدد اخر فان النتيجة لا تتغير وكذلك اذا طرحنا من هذه النتيجة اى عدد اخر فان النتيجة ايضا لن تتغير. ونرى ذلك فى المثال التالى اذا جمعنا 5 الى ناتج قمسة 1 على صفر او طرحنا خمسة فان النتيجة تكون دائما 1 على صفر!!

واحد على صفر

 

 

ارشميدس وبداية النهاية لتطور الرياضيات فى العالم القديم

نصل اليوم الى المحطة الاخيرة في قصة تطور الصفر في العصور القديمة. وتاريخ تطور الرياضيات طويل وممتد من العصر الحجرى مرورا بمصر الفرعونية ثم تطورت الاعداد على ارض بابل ثم فى بلاد الاغريق. وكان لفيثاغورث وزينون وديموقريط كما رأينا دورا هاما في تطور الرياضيات واثراء الحضارة الانسانية.

وقد بلغت الدولة الاغريقية اقصى مدى لها في عصر الاسكندر الاكبر حيث قام بغزوات حربية واسعة غزى فيها معظم اراضى العالم القديم. فشملت مملكة الاسكندر الاكبر: اليونان وايطاليا ومصر وبابل وايران وبعض اجزاء من الهند. ولكن الاسكندر توغل اكثر من اللازم فتذمر جنوده وتمردوا عليه وطلبوا العودة. فاذعن الاسكندر وهو كاره ولكنه في طريق العودة مرض وقضى نحبه. وبعد وفاة الاسكندر طمع قادة جيشه في ملكه فقتلوا زوجته روكسانا وابنه وهو طفل صغير حتى لا ينازعهم احد من عائلة الاسكندر الحكم. واقتسم قادة جيش الاسكندر الاربعة مملكته وحولوها الى اربع ممالك متنازعة ومتناحرة. فكانت المملكة الاولى تشمل بلاد اليونان وايطاليا. والمملكة الثانية تشمل البلاد الواقعة في اسيا الصغرى والمملكة الثالثة تشمل سوريا والعراق والمملكة الرابعة تشمل مصر وفلسطين. ثم سقطت هذه الممالك الواحدة تلو الاخرى امام الرومان. وكانت المملكة المصرية هى اخر الممالك الاغريقية اللتى سقطت  وكانت كليوباترا اخر ملكة هيلينية في التاريخ القديم. ويخطئ الكثيرون عندما يتصورون ان اثينا كانت عاصمة اليونان الحضارية وانها كانت اهم مدنها. بل ان الاسكندرية المصرية كانت في واقع الامر هى اهم العواصم الاغريقية حضارة وكانت مكتبة الاسكندرية صرحا علميا هائلا لايدانيها فى ذلك دانى. ويكفى للتدليل على اهمية دور علماء الاسكندرية فى تطور الحضارة الانسانية ان نذكر اسما واحدا وهو اقليدس اللذى يدرس تلاميذ المدارس اليوم في كل انحاء الكرة الارضية الهندسة المسماة باسمه: اى الهندسة الاقليدية.

وسنتعرف اليوم على عالم اغريقى وهو ارشميدس اللذي عاش فى جزيرة صقلية في الفترة اللتى سبقت سقوطها مباشرة على يد الرومان. وقد ولد ارشميدس في جزيرة سامو وهى نفس الجزيرة اللتى ولد فيها فيثاغورث وكان ذلك بعد مائتى سنة من ميلاد زينون صاحب المفارقة الهامة. وقد عاش ارشميدس فترة طويلة في مدينة الاسكندرية. ودرس الرياضيات في مكتبتها. ثم  التحق ارشميدس بعد ذلك  ببلاط ملك مدينة سراكيوز في جزيرة صقلية حيث عمل كمستشار علمى. وفى احد المرات كلفه الملك بمهمة في غاية الصعوبة. فقد اراد الملك ان يعرف هل ان تاجه مصنوع من الذهب الخالص ام ان الصائغ قد غش في الخامات وخلط الرصاص مع الذهب. وكانت هذه مهمة في غاية الصعوبة تفوق طاقة العلماء في ذلك العصر. وكانت هذه المشكلة مستحوذة على تفكير ارشميدس طوال الوقت. وتقول الرواية انه في احدى المرات عندما كان ارشميدس مستلقيا فى حوض الاستحمام طرأت له فكرة ثورية. فقد انتبه الى انه عندما يكون حوض الاستحمام مملوئا حتى حافته ثم نضع فيه جسما ما. فان الماء ينسكب من حافة حوض الاستحمام ويكون حجم الماء المنسكب مساويا لحجم الجسم المغمور . وهذا هو اهم مبادئ الهدروستاتيك. اللذى يقول ان اى جسم مغمور بشكل كامل او جزئى فى الماء يتعرض لضغط يساوى وزن الماء المزاح. وفكر ارشميدس ان يستغل حجم الماء المسكوب فى تعيين كثافة الجسم المغمور في الماء وبالتالى تحديد نوعية المادة المتكون منها ذلك الجسم. وبهذا يستطيع ارشميدس ان يحدد اذا كان تاج الملك مصنوع من الذهب الخالص ام لا. وقفز ارشميدس الى الشارع وهو يصرخ فرحا يوريكا يوريكا بمعنى وجدتها وجدتها. ولم ينتبه ارشميدس من شدة فرحته انه كان متجردا من ثيابه تماما!!

لكننا لم نذكر ارشميدس اليوم من اجل تلك القصة ولكننا ذكرناه لسبب اخر يتعلق بالصفر والمالانهاية ومفارقة زينون. فقد كان ارشميدس اقرب انسان فى التوصل الى حل صحيح لمفارقة زينون. ولكننا يجب ان نؤكد ان حل ارشميدس لم يكن صحيحا تماما ولكنه كان اقرب حل للرياضيات اللتى نستخدمها اليوم.

كان ارشميدس معنيا بدراسة المرايا المقعرة ولاحظ ارشميدس ان المرايا اللتى لها شكل قطع مكافئ تركز اشعة الضوء فى بؤرتها تماما. وهذه ربما تكون اشارة لاتحاد المالانهاية مع الصفر. فاشعة الشمس المتوازية اللتى تأتى من مسافة بعيدة او المالانهاية تنعكس على سطع المرأة المقعرة لتتجمع فى الصفر او فى نقطة البؤرة. ولكن كان هناك سؤال لم يستطع رياضيو الاغريق الوصول الى اجابة اليه: وهو كيف يحسب الانسان مساحة  القطع المكافئ. فقد عرف الاغريق كيف يحسبون مساحة المثلث او الدائرة ولكنها عجزوا عن ايجاد علاقة لحساب مساحة القطع المكافئ.

 

وتوصل ارشسميدس الى  طريقة لحساب مساحة القطع المكافئ. ولكن هذه الطريقة كانت شديدة الغرابة وعارضها رياضيو الاغريق مع ان الطريقة كانت تعطى نتيجة دقيقة جدا. ارشميدس قال سنقرب شكل القطع المكافئ الى اكبر مثلث يمكن رسمه فى حيز فراغ  القطع المكافئ. وكما هو موضح بالرسم فان هذا المثلث هو المثلث ABC. وافترض ارشميدس ان مساحة هذه المثلث X.  ونلاحظ انه بعد رسم هذا المثلث فان هناك فراغان صغيران ينشئان يمين ويسار المثلث الكبير. والان نعيد الكرة وفى كل فراغ نحاول ان نرسم اكبر مثلث يملأ مساحة ذلك الفراغ. فنحصل على مثلثين صغيرين. استطاع ارشمسيدس ان يوضح ان مساحتهما معا هى X/4. ولكن ينشأ بعد ذلك فراغات اصغر ممكن ان نرسم فيها مثلثات جديدة على نفس النسق السابق تكون مساحتها X/16. وتستمر هذه العملية الى مالانهاية ولكن فى كل مرة فان مساحات المثلثات الجديدة تقل حتى تكاد تنعدم. وقال ارشمسيدس ان مجموع مساحات المثلثات النهائية وبالتالى مساحة القطع المكافئ هى 4X/3. وهذه نتيجة دقيقة جدا وتتفق مع حساباتنا اليوم.

لكن معاصرى ارشميدس من الرياضيين الاغريق رفضوا هذه الطريقة وانتقدوها وقال ان اللعب مع المالانهاية بهذا الشكل امر مرفوض وانه لايمكن ان يكون مجموع عناصر لانهائية قيمة محدودة. وارشميدس نفسه اتفق معهم وقال انه يرفض وجود المالانهاية وانه لا يجرى عملية الجمع حتى المالانهاية ولكنه يجريها حدد محدود من المرات. ولكن هذا العدد المحدود كاف لكى تقترب نتيجته من الاجابة الصحيحة. وباختصار فان موقف ارشميدس يمكن تلخيصه فى الثلاث نقاط التالية:

1 قال ان مجموع عدد لانهائى من المثلثات مرسومة فى الفراغ اللذى يشغله حيز القطع المكافئ هو رقم محدود
2 رفض ارشميدس المالانهاية وقال انها غير موجودة
3 رفض ارشميدس الصفر وقال انه غير موجود

وقد وضع ارشميدس تعريفا للاعداد يستبعد الصفر من خلاله. فقد قال ارشميدس ان اى عدد مهما كان صغير اذا جمعناه الى نفسه عدد كبير من المرات فانه سوف يصبح في النهاية اكبر من اى عدد معروف اخر. وهذا التعريف يستبعد الصفر . لاننا مهما جمعنا الصفر الى نفسه فاننا لن نحصل سوى على صفر.

باختصار كان رفض ارشميدس و الاغريق للصفر والمالانهاية قاطعا. وكان ذلك يمثل نهاية لامكانية تطور الرياضيات بعد ذلك. فلا يمكن للرياضيات ان تتطور بدون وجود الصفر. ولو قبل الاغريق الصفر وهى البلاد العاشقة للرياضيات لكان من الممكن ان يتوصلوا الى حساب التفاضل واشياء اخرى هامة. ولكنهم لم يفعلوا ذلك. وكان هذا يمثل عمليا المحطة الاخيرة للرياضيات في الحضارة الاغريقية.

يبقى لنا ان نذكر نهاية ارشميدس . وكما علمنا فان فى ذلك الزمان كانت الحرب مندلعة بين الاغريق والرومان. وكان ارشميدس اسما لامعا فى سماء تلك الحرب. فقد صنع الات حربية متفوقة جدا وذات افكار غريبة. وكان مجرد ذكر اسم ارشميدس يصيب الجنود الرومان بالفزع. فقد استخدم ارشميدس مرايا عاكسة عملاقة لكى تحرق سفن الرومان وهى فى عرض البحر. كما انه تمكن من تطوير الات رفع هائلة يمكنها رفع سفن الرومان في الهواء ثم تركها لتسقط على مقدمتها فتغرق فى الحال فى وسط البحر. كما انه اخترع مقاليع هائلة لقذف الرومان بالحجارة. وكان الرومان يصابون بالهلع كلما شاهدوا لوح خشب او حبل عائم فوق سطح الماء. فانهم كانوا يظنون ان هذه حيلة جديدة من حيل ارشميدس.

لكن في احد الايام استطاع الرومان استغلال غفلة حراس مدينة سراكيوز واقتحموا المدينة على حين غفلة من اهلها. وتفاجأ الجميع بوصول الرومان الى قلب المدينة. وكان ارشميدس عند الشاطئ يحاول حل مسألة رياضية على الرمال  كما كانت هى عادة رياضيي الاغريق. فلم يتعرف عليه جندى رومان طلب منه ان يمضى معه. وقد كان ارشميدس فى ذلك الوقت رجلا كبيرا فى العمر سنه 75 سنة غير معنى بمظهره الخارجى وكان ارشميدس قد اصيب بشبه عمى نتيجة دراسته لكسوف الشمس وتطلعه اليها بدون وسائل حماية. ورفض ارشميدس ان يمضى مع الجندى الرومان لانه لم ينتهى من حل المسالة بعد. فطعنه الجندى الرومانى بنصل رمحه فقضى عليه. وهناك مقولة خبيثة تقول ان انجاز او صنيعة الرومان الوحيدة في الرياضيات هى انهم قتلوا ارشميدس!!

وقد تمكن الرومان بعد ذلك من غزو مصر. وانتحرت كليوباترا اخر ملكة هيلينية متبقية. واحترقت مكتبة الاسكندرية على يد يوليوس قيصر اولا  والرومان بعد ذلك فى محاولات غزوهم مصر. ثم اتت الجماهيرالدهماء على البقية الباقية من مكتبة الاسكندرية فى احداث مقتل الفيلسوفة هيباثيا. وكان في ذلك خسارة للبشرية كلها. ولم تكن للحضارة الرومانية انجازات علمية تذكر. فالرومان كانوا امة عسكرية بصفة خاصة برعوا فى الامور العسكرية والسياسية والادارة. وربما ظهر من بين الرومان بعض المؤرخين ولكن لم تقدم الحضارة الرومانية للعالم شيئا علميا مفيدا يذكر. ولم تتطورالرياضيات في عهد الرومان بل تراجعت. وفى هذه الاثناء انتقلت شعلة الحضارة الى الشرق حيث الهند والبلاد الاسلامية.

المالانهاية الصغرى ومفارقة زينون والذريون

نتعرض اليوم الى 3 مفاهيم فد تبدو للوهلة الاولى غريبة على السمع. وقد يظهر انه لا توجد علاقة جامعة تجمع بين هذه المفاهيم الثلاثة. ولكننا سنرى عما قليل كيف ان هذه المفاهيم متداخلة ومرتبطة مع بعضها.

اذا بدأنا اولا بالمالانهاية الصغرى فقد يبدو هذا المصطح مفاجئا وذو صياغة غريبة. وقد يظهر سؤال: هل هناك مالانهاية صغرى ومالانهاية كبرى؟ وماهو الفارق بين الاثنين؟

في الحقيقة ان موضوع المالانهاية الصغرى كان من اهم واشهر المواضيع الرياضية في الماضي. وقد كان هذا الموضوع في غاية الصعوبة وكان يشكل صخرة عنيدة اصطدمت بها رئوس الدارسين. والفارق بين المالانهاية الكبرى والصغرى كبير. فالمالانهاية الكبرى هى المالانهاية اللتى يعرفها اليوم تلاميذ المدارس وطلاب الجامعات فهى تمثل الحد الاعلى للاعداد. واى رقم كبير يمكن للانسان ان يتخيله او يفكر فيه فان المالانهاية الكبرى اكبر منه وتتخطاه. فمثلا العدد مليار مليار تريليون قد يبدو كبيرا ولكنه لايقارن بالمالانهاية الكبرى فهى مازالت اكبر منه بكثير.

واذا تخيلنا ان هناك حصان يركبه فارس يحمل فى يده عصا طويلة وتتدلى من تلك العصا جزرة. ويتحرك الحصان على طول خط الاعداد في اتجاه اليمين محاولا الوصول الى تلك الجزرة. فاننا نعلم ان الحصان لن يمكنه ابدا الوصول الى الجزرة مهما سار ومهما كانت سرعته. وتمثل الجزرة هنا المالانهاية الكبري. واذا تحرك الحصان باتجاه اليسار فانه لن يحصل على الجزرة وتمثل الجزرة في هذه الحالب سالب مالانهاية. لكن الان ما هى المالانهاية الصغرى؟

اذا عدلنا في المثال السابق فكانت الجزرة معلقة فى حبل . والجزرة تعلو رأس الحصان بمسافة ما. بحيث لايستطيع فم  الحصان ان يصل اليها. اما الحصان نفسه فهو مربوط في ساقية او ناعورة ويمكنه فقط الدوران حول نفسه. وكلما دار الحصان دورة كاملة كلما قلت المسافة بين الحصان والجزرة بمقدارالنصف. اذن فالمسافة تقل دائما باستمرار ولكنها لن تصبح ابدا صفرا. ومرة اخرى فلن يستطيع الحصان التهام الجزرة. وتمثل الجزرة في هذه الحالة المالانهاية الصغرى. وفي الحقيقة فان تعبير المالانهاية فى غاية الدقة. فهو يوضح ان خط الاعداد الحقيقية الموجبة لا حد له. فليست له بداية و لا نهاية. ويجب ان نلاحظ ان الصفر عدد غير موجب. فما هوأول او أصغر عدد حقيفى موجب اذن؟ لايوجد! انه المالانهاية الصغرى. وماهو اكبر عدد حقيقي موجب؟ مرة اخرى لايوجد فهو المالانهاية الكبرى.

ومما سبق ندرك ان المتوالية 1 و 1/2 و 1/4 و 1/8 و 1/16 الى اخره ليس لها نهاية وانها تتجه باتجاه المالانهاية الصغرى اللتى تلاصق الصفر تماما. وعمليا يمكننا القول ان المالانهاية الصغرى تئول الى الصفر وان المتوالية السابقة تئول الى الصفر.

ومن السهولة ان ندرك اهمية الدور اللذى لعبه تصور المالانهاية الصغرى في حساب التفاضل. وكان اول من فطن الى هذا الالمانى لايبنتس. وقال من ضمن ما قال اننا اذا تخيلنا قوسا ما  فاننا يمكننا تخيله على انه سلسلة من الاقواس الصغيرة المتلاصقة . واذا حاولنا ان نصغر هذه الاقواس  الى مالانهاية  فان  القوس الصغير سيئول الى خط مستقيم وتحديد الى مماس للقوس.  وهذا التصور هو تطوير لاقكار ارشميدس اللذى قال ان الدائرة يمكن تخيلها على انها مضلع لانهائى الاضلاع!! طول الضلع فيه المالانهاية الصغرى !!

ولكن المانيا اخر عاش فى القرن التاسع عشر وهو فايرشتراس كان المسئول عن اختفاء اسم المالانهاية الصغرى من عالم الرياضيات المعاصرة اليوم. وفايرشتراس له فضل كبير فى الوصول الى الصورة الرياضية النهائية اللتى نستخدمها اليوم في ميادين الجبر وحساب التفاضل. فقد اختفى هذا التعبير من الرياضيات لحسن حظ التلاميذ. ولكنه بقى متداولا لدي المهتمين بداراسة تاريخ الرياضيات و الفلسفة.

ويمكننا الان ان ندرك بسهولة مدى ارتباط النقطة الثانية في عنوان اليوم بالنقطة الاولى. او مدي ارتباط مفارقة زينون بالمالانهاية الصغرى. واعتقد ان العلاقة الان واضحة: فالمتوالية اللتى تعبر عن المسافة اللتى تفصل السلحفاة عن اخيل كانت: 1و 1/2 و 1/4 و 1/8 الى اخره و هى نفس المتوالية اللتى ظهرت فى موضوع المالانهاية الصغرى.

لكن صورة اخيل والسلحفاة ليست هى الصورة الوحيدة لمفارقة زينون. بل هناك اكثر من صورة توضح دور المالانهاية الصغرى بشكل مشابه . ومن امثلة هذه الصور المختلفة صورة السهم المنطلق او صورة العداء.

تقول صورة السهم المنطلق: اننا اذا تخيلنا سهما منطلقا في الفضاء فان بامكاننا تخيل لحظات الزمن المتتالية على انها نقاط لانهائية متلاصقة ويكون السهم في كل لحظة من تلك اللحظات ثابتا في مكانه لايتحرك. لانه في كل لحظة يكون الزمن المنصرم صفر او مالانهاية صغرى. وهنا يظهر التساؤل كيف تنشأ الحركة اذن اذا كان السهم ثابتا عبر جميع اللحظات؟

الصورة الاخرى وهي صورة العداء وتقول ان عداء يريد ان يقطع مسافة ما عدوا. لكنه لن يستطيع ذلك لانه لن يجد نقطة البداية. فهو قبل ان يقطع المسافة كاملة عليه ان يقطع نصف المسافة اولا وقبل ان يقطع نصف المسافة عليه ان يقطع ربع المسافة اولا ولكي يقطع ربع المسافة عليه ان يقطع ثمن المسافة اولا. ولكن قبل اى مسافة فهناك مسافة تسبقها. لكن ما  هى اول مسافة  يجب على العداء قطعها؟ انها المالانهاية الصغرى.ولكننا كما نعلم فان العداء لن يصل ابدا اليها.

الان نصل الى الذريين وهم اتباع الاغريقى ديموقريط اللذى نفى وجود المالانهاية الصغري وقال بوجود نهاية صغرى اسماها الذرة. وكانت فكرة ديموقريط تجيب عن السؤال التالى اذا كان لدينا خيطا وقصصناه الى نصفين . ثم اخذنا احد النصفين وقمنا بقصه الى نصفين. فهل نستطيع ان نكرر هذه العملية الى مالانهاية. وكانت اجابة ديموقريط لا. فاننا يمكنا ان نجرى عملية القص حتى نصل الى ذرة واحدة. وسستنتهى عملية التقسيم لان الذرة غير قابلة للتقسيم. ونلاحظ ان كلمة atom هى مشتقة من الكلمة الاغريقية atomos ومعناها غير قابل للتقسيم.

وكانت فكرة الذريين تشكل حلا لمفارقة زينون فقد نفى الذريون وجود المالانهاية الصغرى. وعليه فان المسافة بين اخيل والسلحفاة ستأخذ في الضيق حتى تصل الى طول ذرة واحدة. وهنا لن يمكننا تقسيم المسافة اكثرمن ذلك. فيقوم اخيل بتخطى تلك المسافة بينما لاتستطيع السلحفاة عمل ذلك لان اخيل اسرع من السلحفاة.

و بالمناسبة فان هناك من العلماء المعاصرين من يقول مثلما ماقاله الذريون. ولا اعنى بذلك ان الذرة غير قابلة للتقسيم. فالكل يعلم اليوم ان الذرة يمكن تقسيمها الى مكونات اصغر منها. فالذرة تحتوى على الكترونات ونواة. والنواة بدورها تحتوى على بروتونات ونيترونات . و البروتونات والينترونات تتكونان من مكونات اصغر. لكن ما يقوله بعض الفيزيائيين ويتوافق مع طرح الذريين القدماء ان هناك طول يسمى طول بلانك وهو اصغر طول ممكن وجوده في الطبيعة ولايمكن ان توجد مسافة اقل من ذلك.  وان الصفر ليس له وجود في الفيزياء. ونظرية الاوتار الفائقة تمثل تجسيدا لوجهة النظر هذه.

لكن دعونا من الحاضر ودعونا نبقى في الماضى لنرى كيف تطورت الامور بعد ذلك. فقد استبعد الذريون المالانهاية الصعرى والصفر ولكنهم قالوا بوجود الفراغ. فقالوا ان سبب الحركة هى حركة الذرات المكونة للمادة في الفراغ. وانه لو كان الكون مملوء فقط بالمادة ولم يحتو على الفراغ فان الحركة ستصير مستحيلة لان المادة سوف تضغط فقط على المادة المجاورة لها ولكن لن تحدث نتيجة لذلك اي حركة.

ولكن بقت مشكلة الذريين الكبرى انهم عارضوا افكار ارسطو. وارسطو كان اسما كبيرا وقامة شامخة. ثم اصبحت المشكلة اكبر عندما تبنت الكنيسة افكار ارسطو فاصبحت افكار الذريين هرطقة وكفر تهدف الى انكار وجود الله. واصدرت الكنسية تعليمات بتحريم تدريس افكار الذريين. وتمت عمل مكيدة للذريين فى فرنسا الكاثوليكية وتم القبض عليهم ونفيهم جميعا خارج البلاد وجعل عقوبة تدريس مثل تلك الافكار والنظريات الاعدام. ويعتبر الرياضى الفرنسى ديكارت من اشهر المحسوبين على الذريين ولكن شهرة ديكارت لم تحمه ففد صدر قرار بحرق كتبه ووضعها على لائحة الكتب الممنوعة. لكن ديكارت لم يعش فى فرنسا كثيرا وقضى معظم سنين حياته في هولندا البروتاستينية. ومن هنا نرى ان افكار الذريين كانت في غاية الخطورة وكانت تعرض حياة صاحبها ومعتنقيها للخطر!!

حل ارسطو لمفارقة زينون

شكلت مفارقة زينون صداعا هائلا للاغريق. فهى شككت في سلامة وصلابة القواعد الرياضية اللتى طالما كان الاغريق يفتخرون بها. وحاول الاغريق بكل طاقتهم وبأقصى سرعة ان يجدوا حلا لهذه المفارقة. ونظر الاغريق اولا الى حيث اشار زينون نفسه. وادركوا ان المشكلة تكمن في التقسيم اللانهائى للاشياء. وادركوا ان المشكلة تنبع من العددين : صفر ومالانهاية ومن خصائصهم الغريبة.

وهنا تقدم ارسطو بحل لمشكلة زينون. ولاقى هذا الحل قبولا واسعا لدى الاغريق بالرغم من ان هذا الحل لم يكن صحيحا. وكان حل ارسطو يتلخص في انكار الصفر والمالانهاية انكارا قاطعا. وقال ارسطو ان المالانهاية موجودة فقط في عقول الرياضيين وفي تخيلاتهم. ولكنها لاتوجد في  الواقع. وكان بهذا يخالف افكار استاذه افلاطون صاحب نظرية عالم الافكار واللذى كان يدعو الى ان الحقيقة الاصيلة تكمن في العقل بغض النظر ان ايدت التجربة والواقع هذه الرؤية ام لا. وقال ارسطو ان المالانهاية موجودة بالقدرة فقط ولكن ليس بالواقع. بمعنى انها موجودة فقط في قريحة الانسان  ولكنها غير موجودة حقيقة. وان الله لو اراد ان يخلقها لخلقها ولكنه لم يخلقها. ولكن خلق صورتها فقط في عقول الرياضيين والمتأملين. ولذلك فان اخيل في مفارقة زينون سوف يسبق السلحفاة لان هذا التقسيم اللانهائى اللذى تحدث زينون عنه ليس موجودا في الواقع.

ثم استطرد ارسطو وقدم تصورا لشكل الكون خالى من الصفر والمالانهاية. فقال ارسطو ان الكون محدود ونهائى. و الارض عبارة عن كرة ثابتة تقع في مركز الكون تدور حولها 7 كريات سماوية هائلة. يقع القمر في الكرة الاولى والشمس في الثانية ثم الكواكب الاربعة المعرفة في ذلك الوقت فى الاربع كريات التالية. ثم توجد النجوم الثابتة في الكرة السابعة و الاخيرة.

ومن هنا نرى حرص ارسطو على تصوير الكون على انه محدود. فالكرات السماوية اللتى تدور حول الارض عددها 7 فقط. وقد طور بطليموس الاسكندري تصور ارسطو. فاصبح تصور ارسطو- بطليموس هو التصورالعلمى الرسمى لشكل الكون. واستمر هذا التصور قرابة الفى سنة حتى مجيئ كوبرنيكوس.

وقال ارسطو ان الكون ليس فارغا  ولكنه مملوء بالمادة. وانكر ارسطو وجود الفراغ و العدم بالمرة. كما انه انكر وجود العدد صفر اللذي يعبر عن الفراغ و العدم. لكن لماذا رفض ارسطو الفراغ؟

في الحقيقة ان وجود الفراغ يثبت وجود المالانهاية! لاننا اذا افترضنا وجود فراغ فى هذا الكون فان هناك احتمالان لهذا الفراغ. الاول ان يكون الفراغ لانهائى وبهذا نكون قد اثبتنا وجود المالانهاية او يكون الفراغ محدود. لكن ان معنى الفراغ اساسا هو الخلو من المادة. فاذا كان الفراغ محدودا لكانت المادة لانهائية!! ولذلك انكر ارسطو وجود الفراغ وقال انه كالمالانهاية شئ من انتاج عقل الانسان وتخيله ولكنه غير موجود حقيقة في الطبيعة!!

ولكن مع ذلك كان تصور ارسطو يشوبه تناقض اخر.  وهو يتعلق بالسؤال: هل لهذا الكون بداية في الزمان؟ بمعنى هل كانت هناك لحظة خلق لهذا الكون؟ فاذا كانت الاجابة بنعم فهنا سوف يظهر السؤال: وماذا كان موجودا قبل خلق الكون؟اليس هو العدم والخواء؟! اذن فان العدم و الخواء اشياء حقيقية ولانهائية!! والاحتمال الاخر انه لا توجد لحظة لخلق هذا الكون بل ان الكون كان موجودا دائما وبالتالى فانه سيبقى ايضا في المستقبل موجودا ابدا. اذن فالكون ازلي ابدي. وهنا تظهر المالانهاية مرة اخرى!

ولم يكن هناك حل لهذه المعضلة فاختار ارسطو الاختيار الثاني. وهو ان الكون كان دائما موجودا وسيبقى كذلك. فالكون ازلي سرمدي. ورفض ارسطو تصور الخواء والعدم وبالتبعية العدد صفر فكانت كل هذه الاشياء تثير الاشمئزاز فى نفسه. ولكن ارسطو استطرد قائلا: صحيح ان الكون يبدو لانهائيا ازليا سرمديا. لكن مرة  اخرى فان هذا التصور من بنات عقل الانسان. اما في الحقيقة فان الكون محدود في عمره! وحجج ارسطو هي كما نرى دجل علمي . فعند ظهور اي مفارقة او شئ يناقض ما يدعيه كانت اجابته دائما ان هذه مجرد تصورات وارهاصات العقل ولكن الحقيقة شئ اخر. لكن معاصري ارسطو وعلماء زمانه و الازمنة اللاحقة تقبلوا كلامه. بل يمكننا ان نقول انهم قدسوا كلامه وجعلوه قاعدة لايمكن كسرها.

ولم يكن السبب العلمى هو الدافع الوحيد لتقبل تصورات ارسطو. بل كان هناك عامل اخر اكثر اهمية. وهو العامل الدينى. فتصور ارسطو كان يعتبر برهانا على وجود الله. ففى نموذج الكرات السماوية اللتى تدور حول الارض ظهر سؤال: ماهو سبب دوران هذا الكرات السماوية؟ فالارض نفسها لايمكن ان تكون سبب حركة تلك الكرات لان الارض نفسها ثابتة لاتتحرك. ولكن ارسطو فسر سبب دوان الكرة الداخلية الاولى على انه يعود الى دوران الكرة الداخلية الثانية. وبالمثل فان دوران الكرة الداخيلة الثانية يعود الى دوران الكرة الداخلية الثالثة. وهكذا حتى نصل الى الكرة الخارجية الاخيرة فماهو سبب دورانها؟ كانت اجابة الارسطويين انه الله مسبب حركة الكرة السابعة اللتى تحتوي على النجوم الثابتة وبالتبعية حركة باقى الكرات السماوية.

وتبنى الاغريق تصور ارسطو. ومن بعد الاغريق تبناه الاوروبيون والكنيسة الغربية. واعتبروا ان هذه النظرية جزء من الدين. واى تصور اخر للكون او حتى اى حل اخر لمفارقة زينون هو انكار لوجود الله! وانه حق يراد به باطل. وان التصورات العلمية المخالفة لرأى ارسطو هى كفر صريح أو هرطقات في احسن الاحوال. وكان هذا امرا خطيرا. فربط العلم بتصور معين للدين كان ثمنه غاليا جدا. فقد جعل الاوروبيون يتوقفون عن التقدم وتجمدت حضارتهم في مكانها و تراجعت. و انتقلت شعلة العلم الى مكان اخر. الى الشرق حيث يعيش الهنود وفى البلاد اللتى ظهرت فيها الحضارة الاسلامية بعد ذلك. لكن كانت هذه قصة اخرى.

 

مفارقة زينون

ولد زينون في القرن الخامس قبل الميلاد. وهو كان ينتمى الى تلك الفئة من الفلاسفة الاغريق المشهورين  ولكنهم في نفس الوقت المنفور منهم والمغضوب عليهم. فقد كانت فلسفته تشكل خطرا كبيرا على التيار الفكرى والفلسفى السائد لدى الاغريق. و يمكننا القول ان فلسفة زينون كانت تزدري الفلسفات الاخرى وتضربها في مقتل.

وكان زينون ينتمى الى مدرسة الفيلسوف بارمينيدس اللذي كان يؤمن بوحدة الكون والوجود ويرفض فكرة التعددية ولذلك فقد انكر بارمينيدس التغير والحركة وقال ان كل ما نلحظه من هذا الشأن ماهو الا مجرد خداع حواس و لاشئ اكثر من ذلك. وقد سخر معظم فلاسفة الاغريق من فلسفة بارمينيدس وقالوا انها تناقض الواقع القائم ووجدوا العديد من المفارقات اللتى تضرب افكار بارمينيدس في مقتل. وهنا قرر زينون ان يدافع عن افكار استاذه وقال بل ان فلسفة الاخرين ضعيفة وتحتوى على متناقضات ومفارقات قاتلة. ومن اجل هذا وضع زينون مفارقة اليوم. ولم يكن الهدف بالنسبة لزينون من مفارقة اليوم ان يجد حلا لها. بل كان هدفه ان يصيب الفلاسفة الاخرين بالربكة وان يضربهم في مقتل وان يزعزع ثقتهم المغرورة في انفسهم وفي فلسفتهم ويوضح لهم ان منهج بارميندس ليس سخيفا او اقل حكمة من افكارهم   بل افضل منها جميعا. ويعتبر زينون استاذا المجادلة الاول اللذي طور هذا الفن في المحاججة. و تعرف تلك النوعية من البراهين اللتى يبدأ الانسان فيها بفرض صحة ما يريد ان ينفيه  ثم يصل في النهاية الى نتائج مستحيلة ومتناقضة بالبرهان الغير مباشر او البرهان المعكوس.

ومفارقة زينون ليست مفارقة واحدة ولكنها على الاقل 9 مفارقات مختلفة منها مقارنة اخيل والسلحفاة و مفارقة السهم المنطلق و مفارقة العداء. ولكن جميع هذه المفارقات تشترك فى نقطة اساسية وهي تعتبر محور تلك المفارقات جميعا وهى تقسيم المكان او الزمان الى عدد لانهائى من الاقسام الصغيرة او اللحظات او النقاط . ثم اجراء عملية جمع عبر هذه النقاط اللا نهائية. وسنقوم اليوم بالتعرف على احدي هذه المفارقات وهي مفارقة اخيل والسلحفاة.

تقول المفارقة ان اخيل اشترك مع السلحفاة في مسابقة للعدو. وكانت سرعة اخيل 1متر في الثانية بينما سرعة السلحفاة هي 0.5 متر في الثانية. وفى بداية السباق كانت السلحفاة تسبق اخيل بمتر كامل. وابتدأ اخيل والسلحفاة العدو في نفس اللحظة. وهنا يطرح زينون سؤالا هل سيتخطى اخيل السلحفاة؟ والاجابة اللتى يعرفها كل انسان هى طبعا نعم.فاخيل اسرع من السلحفاة. صحيح انه ابتدأ من نقطة تتأخر عن السلحفاة بمتر كامل  لكن فارق السرعة لصالحه سوف يعوض هذا التأخر لاحقا. لكن زينون اثبت انه على الجانب الااخر فانه من المستحيل ان يلحق اخيل بالسلحفاة ناهيك على ان يتخطاها.!!

وهكذا  كانت حجة زينون: اذا كانت المسافة بين اخيل والسلحفاة هي 1 متر في البداية . فكم من الوقت يحتاج اخيل حتى يصل الى موضع السلحفاة اللتى يراها فيه في بداية السباق؟ الاجابة سهلة: حيث ان اخيل يعدو بسرعة 1 متر في الثانية فهو سوف يحتاج الى ثانية كاملة. لكن في خلال هذه الثانية فان السلحفاة لن تبقى ثابتة ولكنها سوف تكون قد تحركت مسافة نصف متر الى الامام. اذن الان وبعد ثانية من بداية السباق فسوف يجد اخيل ان السلحفاة مازالت تسبقه بمسافة نصف متر.صحيح ان المسافة قلت عن البداية ولكنها مازالت تسبقه. الان كم من الزمن يحتاج اخيل حتى يصل الى موضع السلحفاة حيث يراها؟ الاجابة سهلة انه سوف يحتاج الىى نصف ثانية. لكن كما سبق بعد مرور النصف ثانية هذه سوف يجد ان السلحفاة مازالت تسبقه بربع متر. الان  سيقطع اخيل هذه المسافة  فى ربع ثانية ليجد السلحفاة تسبقه بثمن متر. وهكذا فسوف تستمر هذه العملية الى مالانهاية. اذن لكي يلحق اخيل بالسلحفاة يجب ان تمضى ثانية ثم نصف ثانية ثم ربع ثانية ثم ثمن ثانية وهكذا الى مالانهاية. وهنا سأل زينون ما هو نتيجة جمع عدد لانهائى من القيم الصغيرة؟ وكانت الاجابة عند الاغريق انه ولاشك عدد كبير جدا فكما ان المحيط الهائل يتكون من تراكم قطرات ماء تافهة وكما ان طريق الالف ميل يبدأ بخطوة. اذن فان اخيل سوف  يحتاج الى مالانهاية من الزمن حتى يلحق بالسلحفاة ناهيك على ان يتخطاها!

وكانت هذه النتيجة صدمة بالنسبة للاغريق. فقد كان البرهان في حد ذاته صحيحا ومنطقيا حسب علم الاغريق ولكنهم كانوا مع ذلك يعلمون ان هذه النتيجة مستحيلة. اذن اين يكمن الخطأ؟ اتكمن في فلسفتهم كلها اللتى كانوا يعتقدون انها في غاية المنطقية و الحكمة؟!

كانت مفارقة زينون مرعبة ومدمرة.بقت هذه المفارقة قائمة عبر الفى سنة تقريبا ولم يستطع احد حلها بشكل سليم ومرضى.ولكن رياضيات اليوم وجدت حلا لهذه المشكلة. فمشكلة الاغريق كانت تكمن فى انهم لم يعرفوا 3 مفاهيم اساسية نعرفها نحن اليوم. هذه المفاهيم هي العددين صفر ومالانهاية بالاضافة الى حساب النهايات.

تعرف الرياضيات شيئا تسميه المتواليات وتقول ان سلسلة الاعداد 1 ونصف وربع وثمن الى اخره تعبر عن متوالية كل عنصر فيها هو نصف العنصر اللذي يسبقه. وهذه المتوالية تصغر عناصرها وتقل باستمرار. وتقول الرياضيات ان لهذه المتوالية نهاية تسعى اليها. وانه بعد عدد لانهائي من الخطوات ستئول قيمة هذه المتوالية الى صفر.وهنا نري المفاهيم الثلاثة المذكورة اعلاه .ونرى ان المالانهاية والصفر هما شيئان متلازمان دائما. لكن الاغريق وكما نعلم قد رفضوا الصفر تماما وكذلك قد رفضوا ان هناك  عدد يحمل القيمة مالانهاية.

وتستطرد الرياضيات وتقول ان مجموع الاعداد 1 ونصف وربع وثمن الى اخره تعطى في النهاية النتيجة 2 تماما!! ويسمى مجموع عناصر متوالية بمتسلسلة وتقول الرياضيات ان ناتج جمع  متسلسلة لانهائية ليس بالضرورة مالانهاية.بل قد يكون رقما صغير كما فى حالتنا الان حيث ان المجموع يعطى 2.

ويكننا برهان هذه النتيجة باكثر من وسيلة منها طريقة الطرح. وهى تقول باننا سوف نطرح عناصر هذه المتسلسلة من العدد 2 الواحد بعد الاخر.

اذا طرحنا 1 من 2 سيكون الباقى 1
اذا طرحنا نصف من 1 سيكون الباقى نصف
اذا طرحنا ربع من نصف سيكون الباقى ربع
اذا طرحنا ثمن من ربع سيكون الباقى ثمن
……..
وهكذا بعد كل عملية طرح يكون الباقى هو نفس العدد التالى في المتوالية. ونعلم مما سبق ان لهذه المتوالية نهاية تئول اليها وهي الصفر فاذا طرحنا صفر من المتبقى فسيكون الباقى صفر. وبهذا تكون عملية الطرح اننتهت .

وهناك برهان اخر يحمل صورة اكثر رياضية وهو كالتالى. اذا فرضنا ان نتيجة جمع هذه المتسلسلسة هي القيمة s

s=1 +1/2 +1/4+1/8+ 1/16 + …..1/2^n………….1
فاذا قسمنا المعادلة السابقة على 2 نحصل على
s/2= 1/2+ 1/4+ 1/8+ 1/16+1/32+……1/2^n…….2
الان اذا طرحنا المعادلة 1 ناقص المعادلة 2 نحصل على الاتى
s/2= 1
ومنها ان s تساوي 2!

تتشابه نهاية زينون مع نهاية فيثاغورث فى ان كلاهما قد مات مقتولا. فقد كان لزينون نشاطا سياسيا وكان حاكم مدينته ديكتاتورا و طاغية. وكان زينون يهدف الى اسقاطه ويتأمر عليه. وتم القبض على زينون حينما كان يحاول تهريب اسلحة للمعارضين. وتعرض زينون للتعذيب الشديد حتى بيوح باسماء رفاقه في المؤامرة ولكنه رفض. ولكنه اخير وتحت وطأة التعذيب رضخ وقال انه سيبوح باسماء شركاءه. ولكنه لن يبوح بها الا للحاكم نفسه لانه لا يريد ان يعرف احد بهذه الاسماء سوي الحاكم. وبالفعل يأتى الحاكم اليه ويطلب اليه زينون ان يقترب منه حتى يهمس له بالاسماء في اذنه. وماكاد الرجل ان يفعل حتى انقض زينون على اذن الحاكم وعضها ولم يتركها ابدا حتى قتله حراس ليخلصوا سيدهم من فك زينون واسنانه!!

 

من هنا نرى ان غياب الصفر عند الاغريق وعند الاوربيين من بعد ذلك قد سبب لهم مشاكل كثيرة. وقد حاول الاغريق حل مفارقة زينون بوسائل متعددة.ولم تكن هذه  الوسائل صحيحة تماما ولكنها كانت مع ذلك مهمة لانها حملت تأثيرا مهما على تطور الرياضيات عبر الزمن!!

اعدام رياضي

يعد فيثاغورث من اهم الفلاسفة اليونانيين. فهو كان معدودا من حكماء الاغريق السبعة اللذين علا نجمهم قبل العصر السقراطى. وبالاضافة الى ذلك فقد كان رياضيا فذا و فيزيائيا مقتدرا وموسيقيا رائدا اكتشف السلم الموسيقي. كما انه كان سياسيا مخضرما خاض معارك سياسية مثيرة بل انه قام بكتابة دستورا لليونانيين القاطنين في ايطاليا. وبالاضافة لذلك فقد اسس مدرسة علمية كانت الاشهر و الاحسن في زمانها.

مع ذلك تبقى جوانب كثيرة فى حياة فيثاغورث والفيثاغورثيين غير معروفة ولكنها مؤثرة. صحيح انها اقل شهرة ولكنها اكثر اثارة وغرابة. وهذه الجوانب هي موضوع اليوم.

فيثاغورث كان يؤمن بتناسخ الارواح وعلى المستوى الشخصى كان يعتقد بان روح البطل الطروادي اويفروبوس قد حلت فيه. ولذلك فقد كان نباتيا متزمتا. فقد كان يعتقد بان الارواح تسكن حتى اجساد الحيوانات. لكن الامر الغير مفهوم هو تحريمه وكرهه الغريب  لخضار معين وهو: اللوبيا. فقد كان يأمر تلاميذه باجتنابها ويقول انها تسبب الانتفاخ و تثير الاشمئزاز لانها تشبه الاعضاء التناسلية. وكان فيثاغورث ينهى اتباعه عن لبس الصوف وينصحهم بان يقربوا زوجاتهم في الشتاء و أن يعتزلوهن في الصيف.

وكان للفيثاغورثيين نوعان من المحاضرات: محاضرات علنية متاحة للجميع الهدف منها تثقيف الشعب وتحبيبه في الرياضيات والعلوم وتقريب المواضيع العلمية للناس. والنوع الثانى من المحاضرات كانت محاضرات سرية لا يحضرها سوي تلاميذ مدرسة فيثاغورث وكلهم قد اقسموا الا يبوحوا ابدا بمضمون تلك المحاضرات ويجب ان يبقوها سرا في طى الكتمان.

جذر 2

وموضوع اليوم يتعلق باحد هذه المواضيع السرية وهو خاص بالاعداد الغير نسبية. وللتذكرة فقد رفض الفيثاغورثيون الاعداد الغير نسبية واطلقوا عليها اسم الاعداد البلهاء او الاعداد الغير منطقية وهذا هو الترجمة الحرفية لكلمة irrational numbers . وقالوا ان هذه الاعداد غير موجودة في الكون البتة. ولكن المفاجاءة  ان اكتشف الفيثاغورثيون ان هذه الاعداد الغير نسبية موجودة في الطبيعة بوفرة رهييبة. بل ولهول المفارقة فان القانون المرتبط اسمه باسم معلمهم اي قانون فيثاغورث ليس الا اداة رهيبة  لانتاج تلك الاعداد الغير نسبية. و لتوضيح ذلك يقول قانون فيثاغورث ان مربع وتر الزاوية القائمة يساوي مجموع مربعى ضلعى الزاوية القائمة في المثلث القائم الزاوية. فالأن اذا تخيلنا ان هناك مثلثا قائم الزاوية طولا ضلعى زاويته القائمة 1 متر  اذن فسيكون مربع الوتر يساوي مربع العدد واحد وهو طول الضلع الاول زائد مربع العدد واحد وهو طول الضلع الثانى.  فيساوى مربع  الوتر في النهاية 2. ومن هنا يكون طول الوتر نفسه جذر 2. الى هنا لا توجد اى مشكلة. لكن كيف يمكننا ان نعبر عن العدد جذر 2 في صورة عدد نسبي؟ هل نعبر عنه مثلا في صورة العدد 7/5 ؟ في الحقيقة هذه القيمة تقريب جيد وتساوى 1.4 ولكنه غير كافى تماما حيث ان مربع 1.4 يساوي 1.96 . اى ان قيمة جذر 2 اكبر من ذلك.

دعونا الان نفكر كما كان الاغريق يفكرون: لو اننا تخيلنا مسطرة صغيرة او قضيب قياس طوله يساوي 20 سم او خمس متر فانه سوف ينطبق 5 مرات تماما على كلا من ضلعى الزاوية القائمة السابق ذكرهما . ولكنه في المقابل سوف ينطبق 7 مرات على الوتر وسيبقى جزء متبقى طوله اقل من 20 سم فلا يمكننا ان نغطيه بقضيب القياس بالكامل مرة اخرى. اذن فانه فلا يمكننا تطبيق  قضيب القياس على الوتر عدد صحيح من المرات.

توقع الاغريق انه لابد وان يوجد قضيب قياس اخر ذو طول مختلف مثلا 10 سم او 13سم  او اي طول اخر بحيث ينطبق عدد صحيح من المرات على كل من ضلعى الزاوية القائمة ووترها. ولكن المفاجاءة كانت تكمن في ان الفيثاغورثيين قد اكتشفوا ان قضيب قياس كهذا غير موجود ولا يمكن ان يكون موجودا ابدا وحصلوا على برهان رياضى لهذا. وللمهتمين بمعرفة برهان لماذا جذر 2 عدد غير نسبى يمكنهم مرجعة ذلك الرابط.

ولان هذه النقطة في غاية الاهمية دعونا نستفيض فيها قليلا: اذا تخيلنا ان لدينا خطا طوله 3 متر وان لدينا قضيب  قياس طوله 1 متر. فقضيب القياس سوف ينطبق على هذا الخط 3 مرات تماما وبامكاننا ان نقيس ذلك الخط بكل دقة. ماذا الان لو كان طول الخط هو 1.25 متر؟ بالطبع قضيب القياس السابق لن يفى بالغرض لانه لن ينطبق عدد صحيح من المرات على الخط ولكننا باستخدام قضيب قياس اخر اقصر طوله مثلا 25 سم فسوف نستطيع قياس الخط السابق. فسوف ينطبق 5 مرات تماما. اذا ماذا لو كان طول الخط 17 سم؟ مرة اخري قضيب القياس السابق لن يفى بالغرض لكن ربما قضيب قياس طوله 1 سم فسوف يستطيع ذلك. وهكذا فمن حيث المبدأ لقياس اى طول ما فما علينا الا اختيار قضيب قياس ذو طول قصير امتر او اسم او امم لايهم فلابد وان ينطبق في النهاية  على الخط المطلوب قياسه عدد صحيح من المرات. لكن المفاجأءة ان اكتشف الفيثاغورثيون ان خط طوله جذر 2 متر لن يستطيعوا ان يجدوا اى قضيب قياس ذي ايى طول لكى ينطبق على هذا الخط عدد صحيح من المرات. فحتى لو كان طول هذا القضيب اقل من قطر ذرة فلن ينطبق على المسافة المذكورة عدد صحيح من المرات. وكان هذا التصور بالنسبة للفيثاغورثيين امرا مجنونا ولذلك اطلقوا على هذه الاعداد الاعداد الغير منطقية وانكروا وجودها.

اذن فالمصيبة اللتى حلت بالفيثاغورثيين انهم ادركوا بما لا يدع مجالا للشك ان جذر 2 عدد غير نسبى. وبينما هم يبحثون عن مخرج لهذه الورطة اللتى تعصف بفلسفتهم بالكامل لم يستطع احد التلاميذ كتمان السر وهو هيباسوس وهو الرياضى المقصود في العنوان فافشى هذا السر في المدينة وصارت فضيحة الفيثاغورثيين مشهورة وعرف بامر ورطتهم كل انسان.

وتمت عقد محاكمة سريعة ليهباسوس من قبل زملاؤه واخوانه في مدرسة فيثاغورث ولم يجدوا سوى عقوبة واحدة له: وهى الاعدام. واختلفت الروايات في طريقة تنفيذ حكم الاعدام. فبعض الروايات تقول بانه تم حمله في قارب وسط البحر ثم القاؤه هناك ليموت غرقا. ورواية اخري تقول بانه تم اعدامه عند الشاطئ عن طريق اجباره بان يتجرع كأس سم. ورواية ثالثة تقول بانه تم حبسه في مكان لا يصل اليه بشر حتى مات هناك.

اما فيثاغورث نفسه فقد لقى هو ايضا حتفه بطريقة غريبة. و لم يكن السبب في قتله الاعداد النسبية او الصفر بل شئ عجيب اخر. ونهاية فيثاغورث تشبه نهاية المتنبى الى حد كبير. فالمتنبى كان له خصوم كثيرون يتمنون قتله فقد كان هجاءا هاجم الكثيرين في شعره وجعلهم موضع تندر. وفي احد المرات تربص به خصومه لقتله ولكن المتنبى نجح في الفرار وهرب. وهنا قال له خادمه اللئيم : اتهرب يا سيدي؟! . الست انت القائل

الخيل والليل والبيداء تعرفنى
والسف والرمح والقرطاس والقلم

فشعر المتنبى بالحرج وعاد بعد ان كان قد نجى وقاتل فلقى مصرعه. ويعرف بيت الشعر هذا باسم البيت اللذي قتل صاحبه!!

اما قصة فيثاغورث تقول بانه كانت هناك جماعة تريد الالتحاق بمدرسة فيثاغورث لكنه سخر منهم ورفض قبولهم وقال لهم انهم غير جديرين بالانضمام الى مدرسته. فشعر هؤلاء  بالاهانة والغضب وقرروا الثأر لكرامتهم. فكادوا لفيثاغورث. ففي احد المرات حينما كان فيثاغورث مجتمعا مع تلاميذه في مكان ما حرق الكائدون البيت اللذي يوجد فيه فيثاغورث و تلاميذه   وانتظروهم خارج المبنى بالسيوف فمن نجى من الحريق قتلوه بالسيف.  وتقول الرواية بان فيثاغورث نجح في الهرب واطلق ساقيه للريح. لكن انتهى به الامر الى حقل لوبيا كان عليه ان يعبره لكي ينجى بحياته تماما. لكن فيثاغورث تذكر مبادئه و انه كان دائما يأمرتلاميذه باجتناب هذا الشئ . وكان عليه ان يقرر هل يخالف مبادئه وينجو بحياته. ام يحافظ عليها ويموت. وتجمد فيثاغورث في مكانه ولم يستطع عبور هذا الحقل فلحق به خصومه فقتلوه!!

وهكذا نري ان الطريق الى ظهور الاعداد الغير نسبية كان وعرا سالت فيه الدماء. لكن بعد ذلك تقبل الاغريق الاعداد الغير نسبية وذكر اقليدس برهان ان جذر 2 عدد غير نسبى وتمت الاشارة الى هذا البرهان اعلى. ولكن الصفر بقى منكرا. فقد كان من  السهل انكاره.  فبقى مرفوضا حتى حين!!

نسبة المقطع الذهبى

ارتبط الاغريق بالاعداد والاشكال الهندسية ارتباطا غير طبيعي يصل الى درجة التطرف. ويمكننا القول انهم قد حملوا الرياضيات والهندسة اكثر كثيرا مما تحتمل. وقد تداخلت عندهم الاعداد مع الاشكال و الحسابات مع الرسم. واختلطت عندهم الرياضيات بالفلسفة الى حد بعيد. وعلومنا الرياضية المعاصرة لازالت تحمل الكثير من تأثيرات تلك التصورات الاغريقية.

نحن نطلق اليوم على الاعداد 1 و 4 و 9 و 16 و 25 اسم الاعداد المربعة. وهذه الصفة اصولها اغريقية حيث تخيل الاغريق هذه الاعداد على انها مربعات اطوال اضلاعها: 1 او 2 او 3 او 4 او 5 فتكون مساحتها هى الارقام السابقة على الترتيب! وهنا نلاحظ وصف العدد بالتربيع وهو اسم لشكل هندسى وهو المربع. وكذلك عرف الاغريق الاعداد المثلثة: 1و 3 و6 و10 الى اخره. وهي تحمل هذه الصفة لاننا اذا رصصنا كرات في صفوف فوق بعضها بحيث يكون شكلها مثلثا سنحصل على الارقام السابقة. فصف واحد من الكرات سيحتوي على كرة واحدة في الرأس. اما صفين من الكرات فهو سيكون عبارة عن كرة في رأس المثلت تقف على كرتين فى الصف الذي يقع في اسفلها فيكون المجموع الكلى 3. اما في حالة 3 صفوف فسوف يحتوي الصف الثالت على 3 كرات ويكون المجموع الكلى 6. وفي حالة 4 صفوف سيكون المجموع الكلى 10 وهكذا.

ثم هناك مصطلح رياضى اخر في غاية الاهمية ويكشف عن الروح الفكرية اللتى كانت سائدة في عصر الاغريق. والمعنى الغريب لهذا المصطلح لايظهر كثيرا في اللغة العريبة لان المعرب كان في غاية الذكاء واختار ترجمة تناسب الوظيفة اكثر من الترجمة الحرفية المباشرة. وهذا المصطلح هو الاعداد النسبية او الاعداد الغير نسبية. والكلمة بالانجليزية هي rational numbers للاعداد النسبية و irrational numbers للاعداد الغير النسبية. وكلمة rational تعنى حكيم ومنطقى اما irrational فتعنى غبى ومأفون!! وتفسير هذا القدح والسب يرجع الى ان الفيثاغورثيين قد اعتبروا ان الاعداد هي اساس كل شئ في الكون وان النسب بين الاعداد البسيطة تنتج عنها علاقات جميلة و حكيمة تتناسب مع كوننا البديع الحكيم. ولذلك لايمكن تصور غير هذه الاعداد الحكيمة النسبية في كوننا. ورفضوا وجود اي اعداد اخرى رفضا قاطعا.

وسنحاول اليوم ان نتعرف على بعض هذه الاعداد والنسب الهامة عند الأغريق عموما والفيثاغورثيين خصوصا.

من الاعداد الهامة جدا عند الفيثاغورثيين العدد عشرة. فهو يتناسب اولا مع اساس النظام العشرى للاعداد اللذى استخدمه الاغريق . كما ان عشرة هي نتيجة جمع الاعداد الطبيعية الاربعة الاولى:1 و 2 و 3 و4. وقد كانت العشرة رقما مقدسا عندهم ولذلك لم يكن غريبا عندما وضع فيلولاوس وهو احد الفيثاغورثيين تصوره عن الكون على صوره عشرة اجرام سماوية تدور حول الشمس.

والعدد الاخر الهام هو عدد نسبة المقطع الذهبي او النسبة الالهية كما يطلق عليها البعض. وقد اعتبر الفيثاغورثيين هذه النسبة هي اجمل نسبة على الاطلاق وان فيها قدسية لا تتوفر في اى نسبة سواها. وسنتعرف على هذه النسبة بعد قليل بعدما ننتهى من التعرف على  الاشكال الهامة عند الاغريق.

اهم الاشكال الهندسية كانت الدائرة فهى تعبر عن الكمال. ولذلك تخيل ارسطو ان كل الكواكب تدور في مسارات دائرية حول الارض حيث كان في ذلك قمة الكمال بالنسبة له. كما كان المربع يحمل اهمية خاصة فكانت اضلاعه الاربعة ترمز الى العناصر الاساسية: الماء والنار و الارض و الريح. وشعار الفيثاغورثيين الخاص بهم كان المخمس المنتظم لما له من صفات بديعة وغريبة. ومن الطريف ان وزارة الدفاع الامريكية بنت مبناها على شكل مخمس منتظم او بنتاجون رمز الفيثاغورثيين المقدس  فاصبح اسم المخمس المنتظم يطلق على اسم وزارة الدفاع الامريكية واصبح يدل عليها!

المخمس بداخل المخمس

ولكن ماهي ابرز صفات المخمس المنتظم واللتى من اجلها اتخذ الفيثاغورثيون المخمس المنتظم رمزا لهم؟ اول شئ  اننا اذا وصلنا كل اركان المخمس المنتظم ببعضها سنحصل في قلب المخمس المنتظم على مخمس منتظم اخر مقلوب اصغر بداخل المخمس الاكبر. واذا وصلنا اركان المخمس الاصغر ببعضها سنحصل على مخمس جديد اصغر. ونستطيع ان نكرر هذه العملية الى مالانهاية لنحصل في كل مرة على مخمس جديد. وفي هذا اشارة الى الخلود والى التجديد المستمر. ولكن ليس هذا كل شئ في المخمس المنتظم. بل اننا عندما نوصل اركان المخمس المنتظم كما فعلنا سابقا فان الخطوط الناشئة تتقاطع و تقسم نفسها بنسبة هي النسبة الذهبية اللتى هي اجمل شئ في الكون واللتى هي موضوع اليوم.

المقطع الذهبي

ولكن ماهي النسبة الذهبية في حد ذاتها؟ النسبة الذهبية تساوي تقريبا 1.6180339887 وهي النسبة اللتى نحصل عليها حينما نقسم خط ما الى قسمين غير متساويين في الطول بحيت تكون نسبة طول القسم  الاكبر الى القسم الاصغر كنسبة الطول الكلى الى طول القسم الاكبر. وعندما تتوفر هذه النسبة في شكل ما فانها تكسبه تناسق وجمال. ولذلك حرص ويحرص الرسامون على مراعاة هذه النسبة في اعمالهم الفنية وكذلك النحاتون. بل المعماريون حرصوا على ذلك فمعبد البارثينون تم بناؤه بالكامل وفق هذه النسبة كما ان هرم خوفو الاكبر تقارب النسبة بين ابعاده هذه النسبة.

كما ان هذه النسبة توجد في الطبيعىة بشكل مذهل فتدور بعض الكواكب في مسارات نسبة بعضها الى بعض تساوي هذه النسبة الذهبية كما ان مسارات بعض الاقمار حول كواكبها تساوي نفس هذه النسبة. كما ان شكل بعض القواقع البحرية و شكل فاكهة الاناناس يحتوي على هذه النسبة. كما ان هذه النسبة تلعب دورا هاما في كتابة السيمفونيات الموسيقية.

حلزونة

كل هذه الاشياء وغيرها كانت تدعم وجهة نظر الاغريق والفيثاغورثيين في الاعداد وفي نسبة المقطع الذهبي. لكن وجهة النظر هذه كانت خاطئة تماما. فالاعداد الغير النسبية ليست وهما بل هي موجودة بكثرة بل هى اكثر بكثير من الاعداد النسبية! بل ولفرط المفاجأة فان نسبة المقطع الذهبي نفسها  هي نفسها عدد غير نسبى!! ونستطيع ان نبرهن ذلك رياضيا بكل سهولة:

اذا افترضنا ان هناك قضيبا ما طوله 1 متر ثم قمنا بتقسيمه الى قسمين غير متساويين و اذا افترضنا ان طول القسم الاكبر x فيكون طول القسم الاصغر واحد مطروح منه x . واذا افترضنا انه تم تقسيم هذا القضيب وفقا لنسبة المقطع الذهبى فيكون الطول  الكلى للقضيب وهو 1 متر بالنسبة للقسم الاكبر وهو x كنسبة القسم الاكبر x للقسم الاصغر المتبقي

x/(1-x) =1/x
ومنها نحصل على
x^2 = 1-x
x^2+x-1=0
وهذه معادلة من الدرجة الثانية لها حلان: الحل الاول سالب وهي قيمة مرفوضة لان الطول لايمكن ان يكون سالبا والقيمة الاخرى موجبة وهي تساوي -0.5 +sqrt(5)/2
او تقريبا 0.62 وبهذا تكون نسبة المقطع الذهبى 1 الى x او 0.5 +sqrt(5)/2
او تقريبا 1.62 وهو رقم غير نسبى لان جذر 5 هو رقم غير نسبى

كان الفيثاغورثيون انفسهم هم اول من ادرك حرج موقفهم وهم اول من تنبه الى هذه الازمة. ولكنهم تكتموا الامر في البداية وحاولوا ابقاءه سرا. ولكن كتمان خبر مثل هذا كان مستحيلا في امة تعشق الاعداد وتبحث عن خصائصها وغرائبها باي ثمن. فاضطر الفيثاغورثيون في النهاية للاعتراف بالاعداد الغير نسبية . ولكنهم اعتبروها مجرد استثناء لا يشكل قاعدة وانها مجرد ندبة صغيرة تحاول ان تشوه وجه الكون الجميل.

كان هذا الوضع بالنسبة للاعداد الغير نسبية اما بالنسبة للصفر فقد كان الموضوع مختلفا. فاخفاء الصفر وانكار وجوده كان امرا سهلا . فهو في النهاية عدد وحيد وليس له فائدة عملية مباشرة في ذلك الوقت. اما الاعداد الغير نسبية فاعدادها هائلة بل لا نهائية وفوائدها العملية لا حصر لها. وعدد نسبة المقطع الذهبي نفسه هو عدد غير نسبى. ولذلك بقى الصفر مجهولا ومنكرا حتى اشعار اخر.

فيثاغورث: الاعداد هي اساس كل شئ

العظماء السبعة هو فيلم امريكي قديم من افلام رعاة البقر يقوم فيه ابطال الفيلم السبعة بابادة جيش كامل من الاشرار من اجل حماية فلاحين بسطاء. والحكماء الخمسة هم خمسة خبراء اقتصاديين المان  يصدرون تقريرا سنويا في شهر نوفمبر من كل عام يتوقعون فيه الاداء الاقتصادي الالمانى في العام المقبل. وهذه اللجنة  هى لجنة محايدة و مستقلة عن الدولة ولذلك فلها وزنها وقيمتها.

وربما تستمد كل هذه المجموعات النخبوية السابقة رونق اسمها من اسم الحكماء السبعة. وهم مجموعة من الحكماء الاغريق العظام  قبل عهد سقراط اللذين خلدهم الادب والفكر الاغريقي على انهم هم اعمدة النهضة الاغريقية. وهناك عدة لوائح  مختلفة لاسماء هؤلاء الحكماء السبعة حتى بلغ عدد الاسماء 22 اسم. وفيثاغورث بطل موضوع اليوم هو احد هؤلاء الحكماء العظام.

ولد فيثاغورث في جزيرة سامو اليونانية في القرن السادس قبل الميلاد. وقد كان فيثاغورث عقلية فذة وسياسيا مفوها واسما مشهورا وشخصية كارزمية ومعلما حاذقا. وقد اسس فيثاغورث مدرسة للرياضيات كانت الاهم والاحسن في زمانها.

وكان فيثاغورث في عصره ذا شهرة طاغية. ولكن لم يكن يرجع سبب شهرته الى النظرية المعروفة باسمه اليوم. اي نظرية فيثاغورث . ففى الحقيقة فان هذه المعلومة خاطئة. فهذه النظرية كانت معروفة قبل فيثاغورث بقرون طويلة. فنظرية فيثاغورث واللتى تقول ان مربع الوتر يساوي مجموع ضلعى الزاوية القائمة في مثلت قائم الزاوية كانت معروفة لدي قدماء المصريين قبل فيثاغورث. وقد استخدموا هذه النظرية في بناء الاهرامات. ولكن فيثاغورث درس فقط هذه النظرية من ضمن ما كان يدرس في مدرسته. فنقلها اقليدس عنه في كتابه الاشهر عن الهندسة وسماها باسم فيثاغورث. وهذا هو سبب انتشار هذه النظرية بهذا الاسم.

لكن اذا لم يكن فيثاغورت مكتشف نظرية فيثاغورث فماذا اكتشف اذن؟ وما هو سبب شهرته الطاغية فى زمانه؟ كان سبب شهرة فيثاغورث هو انه اكتشف السلم الموسيقى! وكان هذا شئ اكثر من رائع. وقد بنى فيثاغورث كل فلسفته حول هذا الاكتشاف.

المونوكورد: الالة الوترية اللتى استخدمها فيثاغورث

تقول الرواية ان فيثاغورث كان يعزف ذات مرة على الة وترية تتكون من وتر واحد مشدود فلاحظ كيف يختلف النغم الخارج من الالة عندما يضع تحت الوتر شئ ما وعندما يعزف على الوتر حرا بدون شئ. ثم قام فيثاغورث بتغيير موضع هذا الشيئ  على امتداد الوتر وتحته ولاحظ كيف تتغير النغمة الصادرة في كل مرة. ولاحظ فيثاغورث انه كلما كان هذا الشئ تحت الوتر يقسمه بنسبة بسيطة مثلا 1 الى 1 او ا الى 2 وعزف على جزئي الوتر فانه حصل على نغمتين متناغمتين مقبولتين. وعندما وضع القطعة تحت الوتر بحيث انها قسمته بنسبة 3 الى 2 حصل على نغمتين رائقتين مريحتين. وعندما وضع هذه القطعة في المنتصف تماما حصل على نغمة ترددها ضعف النغمة الصادرة عن الوتر الحر بدون شئ تحته. وعندما قسمت هذه القطعة الوتر الى اجزاء لم تكن النسبة بينها بسيطة سمع نغمة كريهة غير مريحة و غير جميلة.

ومن تدرج النغمات وضع فيثاغورث السلم الموسيقى وبنى عليه كل فلسفته.  فالفارق بين المصريين القدماء وبين الاغريق . ان المصريين القدماء كانوا شعبا برجماتيا عمليا استخدموا الرياضة والاعداد لتحقيق مصالح معينة ما: مثلا لمعرفة السنين او الحساب. وقد برعوا في الهندسة من اجل حساب مساحات الاراضى او تحديد حدود الاراضي الزراعية بعد الفيضانات. اما الاغريق فكانت الاعداد عندهم اكثر من مجرد وسائل مساعدة. بل كانت الاعداد عندهم تساوي الموسيقى و تساوي الفلسفة بل تساوي الحياة كلها!!

رأى فيثاغورث ان كل شئ في الكون تحكمه نسبة ما. وهذا الكون جميل وحكيم. ولذلك كل النسب  او الاعداد اللتى تحكمه هي نسب بسيطة وجميلة كاللتى تنشأ عنها نغمات جميلة عند العزف على الالات الوترية. وتخيل فيثاغورث ان الارض هي مركز هذ الكون. وتدور حول الارض الشمس و القمر وباقى الكواكب والنجوم. ولكن نسبة اقطار  مدارات الاجرام السماوية حول الارض هي نسب جميلة. وينتج عن دوران هذه الاجرام موسيقى كونية  اكثر من رائعة. وكانت صورة الكون هذه هى الصورة اللتى التقطها ارسطو وتبناها بعد ذلك. وهي نفس الصورة اللتى تبناها بطليموس الاسكندري واصبحت هى النظرية الرسمية لتخيل الكون في العالم. واستمرت هذه النظرية حوالى الفى سنة. كما ان كبلر تأثر ايضا بموضوع الموسيقى الكونية وقال نفس الكلام.

ومما سبق نري انه من السهل علينا ان ندرك لماذا لم يكن للصفر مكان في عالم فيثاغورث. فالصفر هو هادم اللذات بالنسبة لحساب النسب. فنسبة صفر الى 2 او نسبة صفر الى 1000 هى نفس القيمة وتساوي صفر. اما العكس فهو شئ لا يمكن تصوره فنسبة 2 الى صفر هى كمية لايمكن تصورها وهى المالانهاية.  ثم كيف يمكننا مثلا ان نقسم وترا للعزف عليه بنسبة صفر الى 50سم مثلا.؟ وكيف يمكننا ان نعزف على قسم من الوتر طوله صفر؟

فبالنسبة لفيثاغورث كان الامر محسوما ومنتهيا. في كون جميل وبديع وحكيم ككوننا لا يوجد مكان فيه للصفر!!

 

الاعداد عند الاغريق والرومان

يحرص الاوربيون دائما على ذكر ان حضارتهم المعاصرة تستمد عراقتها من حضارة الاغريق والرومان. لكن هنا يظهر سؤال ومن اين استمد الاغريق والرومان حضارتهم؟ فبالطبع لم تكن حضارتا الاغريق و الرومان هما اول الحضارات الانسانية  و لا ان الاغريق والرومان قد صنعوا حضارتهم بالكامل. في البداية يجب ان نشير الى ان الرومان قد استمدوا حضارتهم بالكامل من الاغريق اللذين كانوا يسبقونهم زمنيا. ولذلك يمكننا ان نعيد صياغة سؤالنا على النحو التالي: من اين استمد الاغريق حضارتهم؟

كانت حضارتا المصريين القدماء والبابلييين سابقتين لحضارة الاغريق. فهل استلهم الاغريق حضارتهم من هاتين الحضارتين؟ الاجابة هي  قطعا نعم. فلاشك ان الاغريق قد استلهموا حضارتهم من الحضارة المصرية القديمة. فالمصريون القدماء كانوا المعلمين المباشرين للأغريق. فعن طريقهم تعلم الاغريق  الاعداد والهندسة ثم طوروا فيها وفاقوا فيها اساتذتهم فيما بعد. اما عن البابلييين فقد استفاد منهم الاغريق ولكن ليس بشكل مباشر. فقد انتقلت افكار البابليين الى الاغريق في اغلب الاحوال عن طريق وسيط ثالث كالفينيقيين اللذين سكنوا سواحل لبنان وسوريا وفلسطين. فالفينيقيون كانوا هم الممر اللذي انتقلت عن طريقه الحضارة من الشرق الى الغرب. فاوروبا تدين بجزء كبير من معرفتها الى الفينييقيين. ومن الطريف ان اسم اوروبا نفسه غير مشتق من اى لغة اوروبية بل هو كلمة فينيقية لاسم الهة من الهتهم القديمة.

اذن فخلاصة الامر ان الأغريق استخدموا النظام المصرى القديم للاعداد كما هو تماما. فقد تبنوه واستخدموه بل اضافوا اليه وطوروه تطويرات مهمة. ومن اهم التغييرات والتطويرات اللتى اجروها على النظام المصري انهم استغنوا عن التعبير عن الارقام بالصور واستخدموا عوضا عنها الحروف الهجائية. كما انهم ادخلوا رموزا مخصوصة لللارقام اللتى هي مضافعات الاعداد. فهم قد ادخلوا رموزا للاعداد من 2 الى 9 وكذلك رموزا للاعداد 20 و 30 الى 90 وكذلك للاعداد 200 و 300 الى 900. وكان من فوائد هذا انهم مثلا استطاعوا التعبير عن العدد 87 بدلالة رمزين فقط: رمز للعدد 7 ورمز للعدد 80 . بينما احتاج النظام المصري القديم الى 15 رمز.

اما عن الرومان فهم بدورهم قد استخدموا النظام الاغريقى ولكنهم لم يطوروه. بل على العكس فقد ارتدوا به الى الوراء فهم قد تخلوا عن بعض الرموز الجديدة اللتى ادخلها الاغريق لمضاعفات الاعداد واستخدموا نظاما اقرب للنظام المصري للاعداد.

واستخدم الرومان كما فعل الاغريق التقويم المصري الشمسي ولكنهم غيروا في اسماء الشهور واطوالها. وقد كان التقويم المصرى القديم في حقيقة الامر افضل واضبط من التقويم الرومانى. فكل الشهور المصرية كانت ثابتة الطول 30 يوما ثم اضافوا خمسة ايام في نهاية السنة لاقامة الاعياد الدينية المقدسة. اما الرومان فقد قام اباطرتهم باطلاق اسماءهم الشخصية على اسماء الشهور. وحرص  كل امبراطور على تطويل شهره وتقصير شهور الاخرين. حتى وصلنا الى التقويم اللذي نستعمله اليوم. وان كان يوليوس قيصر قد اضاف تطويرا مهما للتقويم الشمسى  حيث ادخل مفهوم السنة الكبيسة وجهل شهر فبراير يزداد يوما فيصبح 29 يوما مرة كل اربع سنوات.
ولم يذكر التاريخ للرومان انجازات علمية او رياضية هامة. قالرومان كانوا امة عسكرية وكانت اهم مظاهر حضارتهم تكمن في العسكرية والسياسة والادارة. ويلمز بعض الخبيثين الرومان فيقولون ان مساهمة الرومان الوحيدة في الرياضيات هي انهم قتلوا العملاق الرياضى ارشميدس.

ولكن هل عرف الاغريق والرومان الصفر؟ نعلم ان المصريين القدماء لم يعرفوا الصفر ولكن عرف البابليون ما يشبه صفرنا الحالى. فهل عرف الاغريق الصفر؟ الاجابة هي نعم  فهم عرفوا الصفر البابلى حيث ان الحساب البابلى كان مهما ومنتشرا جدا. ولكن بالرغم من انهم قد عرفوا الصفر الا انهم قد رفضوه. والغريب ايضا ان الاغريق استخدموا الحساب البابلي خصوصا في التنجيم والفلك ولكنهم بعد ان اجروا حساباتهم على الطريقة البابلية  قاموا بترجمة الاعداد البابلية الى الاعداد الاغريقية حتى يختفى الصفر تماما. فقد كرهوا الصفر ورفضوه بشكل عجيب. لكن ماهي اسباب رفض الاغريق للصفر؟ في الحقيقة توجد اسباب رياضية واخرى فلسفية لهذا الرفض. فاذا تعرضنا للاسباب الرياضية نجد ان الصفر يتعارض مع تعريف ارشميدس للاعداد. فقد قال ارشميدس ما معناه ان اي عدد اذا جمعناه الى نفسه عدد هائل من المرات فسيصبح هذا العدد في النهاية اكبر من اي رقم معروف. ونحن نعبر عن هذا في امثالنا فنقول ان طريق الالف ميل يبدأ بخطوة. وان البحر العظيم يتكون من قطرة ماء فوق قطرة ماء. ولكن هذا المفهوم للاعداد لا ينطبق مع فكرة الصفر. فاذا اضفنا الصفر الى نفسه عدد هائل من المرات فلن نحصل سوى على صفر جديد. واذا اضفنا الصفر الى عدد اخر فان قيمة هذا العدد الاخر لن تزيد. واذا طرحنا الصفر من عدد ما فان قيمته لن تتغير. وهذه خواص غريبة لا تتوافر في اي عدد اخر.

هذا كان بالنسبة للجمع والطرح . ولكن كل الصفات الغريبة اللتى رأيناها حتى الان لا تقارن بالصفات المرتبطة بعمليات الضرب والقسمة. فنحن نعلم ان عملية الضرب هي في النهاية عملية جمع. فمثلا ضرب 2 في 3 هو اننا نجمع 2 زائد نفسها 3 مرات او اننا نجمع 3 زائد نفسها مرتين
2 . 3 = 2 +2 +2 = 3 +3
لكن ماذا عن الضرب في الصفر. فاننا اذا ضربنا الصفر في 3 فاننا نجمع الصفر زائد نفسه 3 مرات. وكما رأينا سابقا ستكون النتيحة هي الصفر مرة اخري
0.3 = 0 + 0 +0

وهذا يتكرر مع ضرب الصفر في اي عدد فتكون النتيجة هي دائما الصفر. ولكن هذا شئ غريب فلا يوجد اي عدد اخر يفرض قيمته على باقى الاعداد في حالة الضرب كما يفعل الصفر. ولكن ليس هذا كل شئ. فنحن نعلم ان الضرب هو عكس عملية القسمة والقسمة هي عكس عملية الضرب. فاذا ضربنا عدد في 3 ثم قسمنا النتيجة على 3 فسنحصل على العدد الاصلى مرة اخرى.

(2.3)/3 = 2
(4.5)/4 = 5

فاذا حاولنا ان نكرر هذا بالنسبة للصفر فينبغى ان تكون النتيجة كالتالى

(2.0)/0 = 0/0 = 2
(4.0)/0 = 0/0 =4

وهذا شئ غريب فمرة قسمة صفر على صفر تعطى النتيجة 2 ومرة اخرى اعطت النتيجة 4. وبالمثل يمكن ان نكرر المثالين السابقين مع اعداد اخرى فتكون نتيجة قسمة صفر على صفر هى اي نتيجة ممكنة. ويقول الرياضيون اليوم ان نتيجة قسمة صفر على صفر هي كمية غير معينة.

وبالمثل فان الضرب هو عكس القسمة فاذا بدأنا بالفسمة اولا ثم الضرب كما في:

(4/2).2 = 2.2 =4
(15/3).3 = 5.3 = 15

فاذا حاولنا ان نصنع ذلك مع الصفر نجد:

(1/0).0 = 1
ولكننا نعلم مما سبق ان ضرب الصفر مع اى عدد لابد وان يعطى صفر. اذن معنى هذا ان قسمة 1 على صفر تعطى عددا من نوع جديد لم نعرفه حتى الان!!

واذا حاولنا ان نري كيف كان يحسب الاغريق تحديدا سنكتشف ان الاغريق كانوا يحسبون بطريقة عجيبة. فالاغريق كان الحساب عندهم يساوى الهندسة. ولم تكن ادواتهم في الحساب الورقة والقلم بل المسطرة والبرجل. فهم كانوا يتخيلون الاعداد على انها خيط مرن او زمبرك. فاذا تخيلنا زمبركا طوله 30 سم. فضرب عدد في 2 يعنى عندهم استطالة هذا الزمبرك حتى يصبح ضعف طوله الاصلى. فيصبح طوله الجديد 60 سم. والقسمة على 2 تعنى ضغط هذا الزمبرك حتى يصبح نصف طوله. ولكن الضرب في صفر كان يعنى ان الزمبرك سوف يختفى تماما. وسوف تقع كل نقاط هذا الزمبرك فوق نقطة واحدة. اما القسمة على صفر فهى تعنى تفجير هذا الزمبرك ليصبح طوله المالانهاية. وكانت كل هذه الاشياء تمثل بالنسبة للاغريق ادعاءات سخيفة لايمكن قبولها.

ولكن لم تكن الاسباب الرياضية هى المسئولة وحدها عن رفض الاغريق للصفر. بل ان هذه الاسباب الرياضية كانت تمثل قمة جبل الثلج. فالاسباب الفلسفية كانت اعمق. كما ان عمالقة الاغريق العظام فيثاغورث وزينون وارسطو رفضوا الصفر. فالصفر كان بالنسبة لهم عدد مأفون. ومن بعد هؤلاء استمر الغرب ينظر الى الصفر فى العصور الوسطى على انه عدد نازق يمثل الكفر والهرطقة. ولكن هذه هي قصة طويلة اخرى.

الاعداد عند البابليين

لاشك ان اكتشاف الكتابة يعد اهم الانجازات البشرية على الاطلاق. فهذه الخطوة هى اللتى سمحت بتراكم المعرفة والمعلومات عبر الاجيال مما مهد للبشرية الخروج من بدائيتها الاولى الى الثورة العلمية والحضارية اللتى نعيشها الان. ويذكر لنا التاريخ ان الكتابة ظهرت اول ماظهرت على ارض العراق في الالفية الرابعة قبل الميلاد. حيث استخدم السومريون ما يعرف بالخط المسماري لتدوين كتاباتهم على الواح  من الطين المجفف. والسومريون هم شعب من اصول غير سامية سكنوا جنوب العراق بينما عاش في شمال العراق شعب اخر يعرف بألاكاديين.

وبعد فترة طويلة من الزمن ظهر البابليون في وسط العراق وهم شعب ينحدر من اصول سامية تمكنوا من بسط سلطانهم  فوق ارض العراق. وانشأوا حضارة فاقت حضارة السوماريين . وقد كان لهذه الحضارة تأثير ضخم في العالم القديم. بل ان بعض ملامح هذه الحضارة مازالت تؤثر في حياتنا الى الان.

ويعد حمورابي سادس الملوك البابليين من ابرز الملوك اللذين حكموا بابل. وقد  وامر حمورابى بكتابة اول قانون وضعى عرفته البشرية لينظم الحياة والعلاقات بين طوائف المجتمع المختلفة في ذلك الوقت .كما ان في عهده تطورت وسائل الري والحرث بشكل كبير.

وبرع البابليون في الفلك بشكل ضخم ووضعوا جداول لرصد وتتبع  الاجرام السماوية. كما انهم اهتموا ايضا بالتنجيم وربطوا حركة النجوم باحداث المستقبل. ومن اجل اجراء كل هذه الاشياء قام البابليون بتطوير نظام للاعداد خاص بهم. ولكن كان هذا النظام يتسم بشئ من الغرابة.

وترجع غرابة هذا النظام اولا الى انه لم يكن نظاما خماسيا او عشريا بل انه لم يكن حتى نظاما عشرينيا. بل كان نظاما ستينيا. والامر الاكثر غرابة ان البابليين استخدموا رمزين فقط للتعبير عن هذا النظام: رمز يشبه الوتد الرأسي وهو يمثل العدد 1 ورمز على شكل الزاوية القائمة يمثل العدد 10. ولكن النقطة الاكثر غرابة من كل ما سبق ان الرمز الواحد كان من الممكن ان يعبر عن اكثر من قيمة في نفس الوقت. فمثلا رمز الوتد الرأسى قد يعنى 1 او قد يعنى 60 او قد يعنى 3600 او اي قيمة اخرى هي نتيجة حساب اس صحيح موجب  للاساس 60 !!

النظام البابلي للاعداد

ولكن من ناحية اخري فلقد كان لهذا النظام مميزات اخرى جعلته من اهم نظم الاعداد المعروفة في عصره. وتحديدا اثبتت امكانية تعبير الرمز الواحد عن اكثر من قيمة انها نعمة اكثر منها نقمة و جعلت هذا النظام عمليا للغاية. و بالمناسبة فان نظام اعدادنا الحالى يتمتع بنفس هذه الخاصية. فمثلا العدد 111 يحتوي ثلاث مرات على العدد واحد. ولكن قيمة الرقم الاول اقصى اليمين تساوي واحد فعلا لانه مكتوب في خانة الاحاد. اما الرقم واحد في المنتصف فقيمته 10 لانه مكتوب في خانة العشرات. والواحد اقصى اليسار قيمته 100 لانه مكتوب في خانة المئات.

ولذلك عندما كتب البابليون العدد 61 احتاجوا الى رمزين فقط. وهما وتدان بجوار بعضهما. فتكون قيمة الوتد الاول 1 وقيمة الوتد الثانى 60 وتصبح قيمة الرقم النهائية 61. واذا قارنا هذا النظام بالنظام المصري القديم للاعداد لوجدنا ان النظام المصري يحتاج الى 7 ارقام  لكتابة العدد 61  : ستة رموز للحدوة المقلوبة رمز العشرة ورمز الشرطة الرأسية رمز الواحد. ولكن على الجانب المقابل لايجب ان ننسى ان النظام البابلى للاعداد كان سيئا جدا لكتابة الاعداد اقل من 60 . فلكتابة العدد 59 مثلا احتاج الى 14 رمز:9 مرات للوتد رمز الواحد وخمس مرات للزاوية القائمة رمز العشرة.

الصفر البابلي

ولكن مع ذلك فان هناك مشكلة  خطيرة ظهرت للبابليين وهي كيفية كتابة العدد 60 تحديدا؟ فكما قلنا ان الوتد قد يعنى1 او 60 او 3600 او ارقام لانهائية اخري. فكيف يمكن للبابليين ان يميزوا بين هذه الحالات المختلفة؟ وهنا طرأ للبابليين فكرة فريدة من نوعها فقد ادخلوا رمزا جديدا هو عبارة عن وتدين مائلين. وهذا الرمز لا يحمل قيمة في حد ذاته ولكنه يشغل خانة  فقط. بمعنى اننا اذا وضعناه على يمين رمز الوتد مرة واحدة اصبحت قيمة رمز الوتد 60 واذا وضعناه مرتين اصبحت قيمة رمز الوتد 3600 . اما اذا لم نضعه على الاطلاق تبقى قيمة الوتد واحد كماهي!!

ونحن في نظامنا الحالى نستخدم نفس الاسلوب فصفر على يمين الواحد تجعل قيمة الواحد 10 وصفران على يمينه تجعلها مائة وهكذا. وبالمثل اذا وضع البابليون رمز الوتدين المائلين بين وتدين رأسيين تصبح القيمة الكلية 3601 . فهذا الرمز الجديد كان يمثل ميلاد الصفر اللذي نعرفه اليوم.

وكان لنظام الاعداد البابلى ميزة اخري  مكنته من التعبير عن الكسور بشكل اسهل من النظام المصري القديم. فاننا اذا وضعنا هذا الرمز اقصى اليسار اصبح يعبر عن كسر عشري. فمثلا لكتابة العدد ثلاث ارباع فقد كتبه المصريون القدماء هكذا:
1/2 + 1/4
اما البابليون فقد كتبوه هكذا 0.45 ويجب الاننسى ان نظامهم كان ستينيا. كما انه كان للاساس 60 ميزة اضافية بالمقارنة بالاساس 10 في حالة التعبير عن الكسور لان العدد عشرة لايقبل القسمة بدون باق سوي على العددين: 2 و 5 فقط .اما العدد 60 فيقبل القسمة بدون اى باق على الاعداد: 2 و3 و 4 و5 و 6 و 10 و 12 و 15 و 20 و30 .

كما ان هذا النظام كان عمليا جدا في حالة اجراء الحساب عن طريق استخدام العدادات  Abacus كتلك اللتى يلهو بها الاطفال فى عصرنا الحالى. ففكرة عمل النظام البابلى تشبه تماما فكرة عمل هذه العدادات. فالعداد القديم كان عبارة عن مجموعة من الاحجار مصفوفة في صفوف او اعمدة. ولكن قيمة تلك الصفوف او الاعمدة تختلف عن بعضها فالصف اوالعمود الاول يعبر عن خانة الاحاد واللذي يليه يعبر عن العشرات والتالى عن المئات وهكذا.  وعن طريق تحريك الاحجار بسرعة فوق هذه الصفوف تمكن البابليون من اجراء عمليات الجمع والطرح بسرعة البرق. والطريف ان اسم الالة الحاسبة اليوم هو calculator او اسم الحساب نفسه calculus مشتق من كلمة calcium او كالسيوم وهي تعنى حجرا باللغة اللاتينية. والشئ الطريف ايضا ان اليابانيين حتى الان مازالوا يستخدمون العدادات في المدارس لتعليم الاطفال الحساب كما انهم يقومون بعمل  العديد من المسابقات ذات الجوائز القيمة على مستوي الدولة لتحديد اسرع حاسب عن طريق هذه العدادات.

عداد روماني

ولكننا يجب ان نلاحظ شيئا هاما  وهو ان هذا الرمز اللذى ادخله البابليون لا يكافئ صفرنا الحالي تماما. فصفرنا المعاصر ليس فقط مجرد شغل خانة ولكنه عددا يحمل قيمة في حد ذاته ويمكننا رسمه على خط الاعداد على يسار الواحد. فهو يفصل بين الاعداد الموجبة والاعداد السالبة. ولكن الصفر البابلى لم يكن عددا في حد ذاته فهو لم يحمل قيمة ولم يكن بالامكان التعبير عنه على خط الاعداد.

ولم يستخدم البابليون هذا الصفر في العد . فاذا اراد البابلى القديم العد فانه يبدأ من العدد 1 وليس من الصفر. على العكس من ذلك شعب المايا اللذي عرف نظاما عشرينيا للاعداد. ولكنهم عرفوا الصفر وكان اول الاعداد عندهم واستخدموه في العد وترقيم الاشياء فكان اول يوم عندهم في الشهر هو اليوم صفر.

وفي الواقع فان النظام البابلى انتشر بسرعة فائقة. ومازال تأثير هذا النظام قائما في حياتنا الى اليوم. فمن هذا النظام نقسم الساعة الى 60 دقيقة والدقيقة الى60 ثانية. كما ان طريقة تقسيم الزوايا تنبع ايضا من هذا النظام. واذا نظرنا لللامر بحيادية سنجد ان طريقتنا فى التعامل مع العدد صفر في حياتنا اليومية تتطابق مع موقف البابليين. فنحن صحيح عرفنا الصفر كعدد ونعرف انه ليس مجرد شغل خانة ولكننا لم نتقبله تماما ونسئ استخدامه. وشعب المايا هو بلا شك احصف منا في هذه النقطة. فنحن نبدأ ترقيم الاشياء دائما من العدد واحد وليس من الصفر اللهم اللا بعض الرياضيين في كتبهم. فتجد ان الكتاب يبدأ بالفصل صفر وليس بالفصل واحد. كما ان معظم لغات البرمجة تبدأ العد من العدد صفر.

يقول الكاتب الامريكى شارل سايف اننا مازلنا في حياتنا المعاصرة غير مقتنعين ان الصفر عددا عاديا مثله مثل سائر الاعداد و يسبق العدد واحد في الترتيب على خط الاعداد. وخير دليل على ذلك انظروا اين يوجد الصفر فوق لوحة جهاز حاسبكم او فوق تليفونكم المحمول؟!!

الرياضيات عند قدماء المصريين

سنقوم اليوم بعمل قفزة 7000 سنة في الزمن الى الوراء لنتعرف على حضارة المصريين القدماء ونري كيف تعاملوا مع الرياضيات وهل عرفوا الصفر ام لا. في الحقيقة ان  حضارة المصريين القدماء كانت مثالا فريدا في التاريخ.  فقد كانت لهذه الحضارة ملامح اخلاقية وانسانية و دينية وعلمية اكثر من رائعة. وجاء اختراع الخط الهيروغليفى ليتوج هذه الحضارة ويخلدها بعد ذلك عبر التاريخ.

وهنا يبرز سؤال هل كتب قدماء المصريين الاعداد ؟ الاجابة هي نعم بكل تأكيد. بل ان واقع الحضارات الانسانية المختلفة يوضح ان الشعوب تكتب الاعداد اولا قبل ان تكتب الكلمات. بل ان بعض الشعوب كشعب الانكا لم يقرأ و لم يكتب. ولكنه مع ذلك قد كتب الاعداد.

فكيف كتب المصريون القدماء اعدادهم اذن؟ لقد  كتب المصريون القدماء اعدادهم باستخدام سبعة رموز فقط. فقد استخدم قدماء المصريين نظاما عشريا. ووضعوا سبعة  رموزا لاول سبعة عناصر من متوالية هندسية اول عدد فيها واحد ثم تتضاعف الاعداد بعد ذلك بالمعامل عشرة. اى تحديدا لقد وضعوا رموزا  للاعداد: 1 و 10 و100و 1000 و 10000 و 100000 و 1000000 كما في الجدول.

 

الاعداد الهيروغلوفية

و بالتالى كتبوا الرقم 305  بدلالة رمز الحلزونة اي رمز المائة  ثلاث مرات وبدلالة الشرطة الرأسية رمز الواحد خمس مرات .كما هو موضح في الشكل التالى.

 

العدد 305 بالهيروغلوفية

كما ان قدماء المصريين عرفوا الكسور وكتبوها على شكل شفاة تحتها قيمة المقام. وكان البسط  عند قدماء المصريين دائما العدد واحد. اي على الشكل 1/3 او 1/4 او 1/100 والاستثناء الوحيد لذلك كان العدد ثلثان.  وليس معنى ذلك ان قدماء المصرين لم يعرفوا كسورا اعتيادية اخرى قيمة بسطها لا تكون الواحد. بل لقد عرفوا تلك الكسور ولكنهم عبروا  عنها كمجموعة من الكسور السابق ذكرها اللتى تحتوي في بسطها على العدد واحد. مثال لذلك:

5/6 = 1/2 + 1/3

الكسور بالهيروغلوفية

واستطاع المصريون القدماء اجراء العمليات الحسابية الاساسية كالجمع والطرح والضرب والقسمة. وان كانوا قد اجرو ذلك بطريقة تختلف كلية عن الطريقة اللتى نجري بها حساباتنا اليوم. فلجمع عددين كرر المصريون القدماء الرموز المشتركة بين هذين العددين بحسب عدد مرات ظهورهما في العددين معا. واذا زاد عدد التكرارات عن عشرة فيتم استبدال 10 من تلك الرموز برمز ذو قيمة اعلى. اما بالنسبة لعملية الضرب فقد اجروها بطريقة معقدة مقارنة بطريقتنا اليوم. فلضرب عددين في بعضهما قام قدماء المصريين بمضاعفة احد العددين باستمرار مع تنصيف العدد الاخر باستمرار. واذا كان النصف يحتوي على كسر فيتم جبر العدد الى الاسفل. وهكذا حتى نصل الى العدد واحد. ثم نقوم باستبعاد الاسطر اللتى تحوي على انصاف زوجية ونبقى فقط الاسطر اللتى تحتوي على انصاف فردية ثم نقوم بجمع الارقام اللتى تمت مضاعفتها فنحصل في النهاية على النتيىجة المطلوبة. مثالا لذلك حاصل ضرب 13 في12 حيث النتيجة هي 156 . والان سنحاول ان نري كيف فعل ذلك قدماء المصريين عن طريق مضاعفة الرقم 12 وتنصيف العدد 13.

12  .   13
24       6  يتم استبعاد هذا الصف حيث 6 عدد زوجي
48       3
96        1
————
156

في الحقيقة ان اهم الانتقادات الموجهة الى قدماء المصريين انهم كانوا شعبا براجماتيا فهم قد اهتموا بالعلوم العملية فقط ولم يهتموا بالفلسفة فلم يظهر من وسطهم فلاسفة مرموقين كما كان الحال بالنسبة للاغريق. صحيح انه كان للمصريين القدماء اهتمام غير عادي بالدين وبالدار الاخرة  الاان التفلسف لم يكن من سيماهم. ومثالا يوضح براجماتية المصريين القدماء هو شغفهم بدراسة النجوم من اجل الاهتداء بها في تحديد الاتجاهات او فى تحديد الزمن. ولكنهم لم يهتموا بماهية هذه النجوم وكيف تشكلت ومن اى مادة تتكون.

وكان قدماء المصريين في معظمهم امييين وكانت الطبقة المتعلمة منهم قلية. وكان عامة المصريين ينظرون الى هذه الطبقة باحترام بالغ وكانت غاية الفلاح المصري ان يعلم ابنه اصول القراءة والكتابة حتى يمكنه من العمل كاتبا لدي الدولة. وكانت الاعداد بمثابة اشياء سحرية فلم يكن يتم التعامل معها كما نتعامل معها نحن اليوم. بل اعتقد المصريون القدماء ان خلف هذه الاعداد شيئا مقدسا. وفي فترة من الفترات اعتقد قدماء المصريين ان الدار الاخرة موجودة في مكان بعيد في السماء يفصلنا عنها بحر هائل. فعندما يموت الميت تاتى اليه  عبارة الموتى لتنقله الى الدار الاخرة. ولكن قبل ان يقله ربان العبارة   كان يطلب منه ان يتلو الاعداد من واحد الى خمسة فان عجز فانه لن يأخذه معه وستضيع روح المتوفى و يتنتهى نهاية مؤسفة. ولذلك كان المصريون القدماء حريصين على تلقين المحتضر هذه الاعداد. وكان للاغريق اعتقاد مشابه. لكن ربان العبارة في حالة الاغريق  كان يطلب مالا من الميت. ولذلك كان يحرص اهالى الميت الاغريقي على وضع قطعة من النقود تحت لسانه حتى يقدمها الى ربان عبارة نقل الموتى !.

واهتم المصريون القدماء بدراسة الفلك ودرسوا بعناية الشمس فهي كانت اهم معبوداتهم واقاموا المعابد خصيصا لها. كما انهم استخدمو الشمس في صناعة تقويم شمسي هو اساس تقويمنا اللذي نستخدمه اليوم. فقد كان المصريون القدماء مثلهم مثل سائر شعوب المنطقة يستخدمون تقويما قمريا. ولكن التقويم القمري لم يكن يناسب احتياجاتهم تماما. فالشهر القمري يتكون من 29 او 30 يوم. ولذلك فان السنة القمرية المكونة من 12 شهر هي اقصر من مثيلتها الشمسية ب 11 يوم. وينتج عن ذلك ان الشهور القمرية تتحرك عبر الفصول المختلفة على مر السنيين. فيأتى الشهر مرة في الصيف ثم يأتى نفس الشهر بعد مرور عدد من السنوات في الشتاء. وكان المصريون القدماء شعبا زراعيا ولذلك فهم احتاجوا الى مواقيت ثابتة  لكي يحددوا عن طريقها مواعيد زرعهم وحصدهم وحرثهم. وتوصل المصريون القدماء ان السنة الشمسية تتكون من 365 يوم. فقسموا السنة الى 12 شهر كل شهر يحتوي على 30 يوم تماما. ثم في نهاية السنة اضافوا 5 ايام مقدسة لاقامة الاعياد والاحتفالات.

ولم يعرف المصريون القدماء ان السنة الشمسية هي اكثر من 365 يوما وتحديدا فهي 365 يوم و 6 ساعات تقريبا. لذلك لم يعرف المصريون القدماء السنة الكبيسة اللتى كان اول من ادخلها يوليوس قيصر ولذلك يطلق على هذا التقويم التقويم اليولياني. وكان الشهر عند المصريين القدماء مقسم الى 3 اسابيع. كل اسبوع  مكون من 10 ايام. وهذا بالطبع منطقى لان المصريون القدماء استخدموا نظاما عشريا للاعداد. والطريف ان الفرنسيين ابان الثورة  الفرنسية عام 1789 اعادوا استخدام هذا التقويم مرة اخرى. فقد قامت الثورة الفرنسية ضد الملكية وضد الكنيسة في نفس الوقت واراد الثوار محو الاثار المسيحية من مظاهر الحياة في فرنسا فجعلوا الاسبوع 10 ايام حتى ينسى الناس مع الزمن يوم الاحد ولكن هذه التجربة لم يكتب لها النجاح.

كما برع المصريون القدماء في المساحة والهندسة. وهذا كان يرجع الى ضرورة فرضها عليهم فيضان نهر النيل كل عام. فالنيل كان يفيض كل عام على ارض مصر فيكسب تربتها خصوبة هائلة  عن طريق الطمى اللذي يجرفه معه عبر مساره عبر الاراضي المختلفة. فجعل النيل ارض الدلتا في مصر اكثر الاراضي خصوبة في العالم. ولكن من ناحية اخرى كان النيل يغرق الارض ويطمس ملامحها فكانت كل عام تظهر مشكلة ضخمة وهي كيف يحدد الفلاحون حدود اراضيهم مرة اخرى بعد ان ضاعت الحدود وتاهت المعالم. وهنا ظهر المساحون اللذين كانت مهمتهم اعادة ترسيم الحدود مرة اخرى على الوضع اللذي كانت عليه قبل حدوث الفيضان.

كما ان بناء الاهرام اكسب المصريون القدماء مهارات في حساب المساحات والحجوم وخصوصا حجم الهرم الكامل والناقص وتحديد كمية الاحجار الللازمة لبناء الهرم.

ولكن هل عرف المصريون القدماء الصفر؟ الاجابة هي لا. ففى كل المشاكل السابقة اللتى تعامل معها قدماء المصريون بكفاءة واقتدار لم تكن هناك حاجة الى الصفر. ولكن الصفر ظهرمن مكان اخر في بلد يقع ناحية الشرق اكثر. انها ارض الهلال الخصيب! انها بلاد بابل!!

 

رياضيات العصر الحجري

قد يبدو عنوان موضوع اليوم غريبا و مثيرا للابتسام. فما نعرفه عن الرياضيات واصولها لاينسجم مع صورة العصر الحجرى البدائية المحفورة في اذهاننا. بل وحتى اذا افترضنا ان  اهل العصرى الحجرى  قد توصلوا بالفعل الى اكتشافات رياضية ما فكيف يتسنى لنى ان ندرك هذا وهم لم يتركوا وراءهم اثرا مكتوبا حتى نستطيع ان نقف على ماوصلوا اليه من علم ومعرفة؟ فمثلا كتاب العناصر لاقليدس هو دليل تفوق الاغريق في الرياضيات عموما وفي الهندسة خصوصا. وقد اعطى لمحة عما وصلوا اليه من تقدم سواء في اثينا في اليونان أو في الاسكندرية في مصر.

في الحقيقة ان انسان العصر الحجري قد توصل لبعض المعلومات الرياضية البسيطة. فهو قد توصل الى معرفة الاعداد وقام بعمليات جمع بسيطة. ولكن الاعداد اللتى عرفها انسان العصر الحجري لا تتطابق مع نظام الاعداد الموجود اليوم. فانسان العصر الحجري لم يعرف من الاعداد في البداية سوى الواحد. فكان يعد ارنب او ارانب كثيرة ولايميز ان كانت هذه الارانب ثلاثة او عشرة. ثم بعد ذلك وفي مرحلة اكثر تقدما  تعرف انسان العصر الحجري على العدد اثنين. فكان يعد 1 او 2 او كمية كبيرة. ونظام الاعداد هذا نستطيع ان نطلق عليه نظام ثنائى. ثم توصل انسان العصر الحجري الى استخدام العدد ثلاثة وكان هذا النظام الثلاثي للاعداد. ثم ارتقى انسان العصر الحجري ووصل حتى العدد 5 وربما اكثر من ذلك.

ولكن ماهو الدليل على صدق هذه التصورات؟ وهل هذا محض تكهنات واستنتاجات ام ان هناك دليل مادي و قرائن تدعم هذه الادعاءات؟ في الحقيقة يستند العلماء في استنتاجاتهم الى دليلين: الدليل الاول هو الحفريات اللتى تم اكتشافها في العصر الحديث. ققد توصل علماء الاثار في تشيكوسلوفاكيا السابقة الى حفريات يرجع تاريخها الى 30 الف سنة لعظام ذئب استخدمها انسان العصرى الحجري كعداد او الة حاسبة. فقد وجدوا عظمة ذئب موضوع عليها 55 خدشة او  شرطة. وكانت هذا الشرطات منظمة في مجموعات تضم كل مجموعة خمس شرطات. كما ان خلف كل خمس  مجموعات اى خلف كل 25 شرطة كانت هناك شرطة طويلة مما يسهل عملية المراجعة والحساب. وهذا النظام من الاعداد نستطيع ان  نطلق عليه نظام خماسي

عظام ذئب استخدمت في الحساب

.

اما الدليل الثانى فهو يتمثل في دراسة الشعوب البدائية اللتى مازالت موجودة حتى الان في عصرنا الحديث ولم تتأثر بحضارتنا الحديثة. فشعب السيريونا Siriona في بوليفيا لايعرفون اعداد اعلى من 3 . فهم يعدون 1 و 2 و3 ثم كمية كبيرة. كما ان شعب البروروزBororos في البرازيل لا يعرف سوى العددين واحد واثنين فقط. ولكنهم استغلو خاصية ان الاعداد قابلة للجمع فعدوا بعد ذلك اثنين زائد واحد ثم اثنين زائد اثنين ثم اثنين زائد اثنين زائد واحد وهكذا.

وادخل شعب البروروز بعض الاسماء المميزة للأعداد المميزة  لتسهيل التعامل.  فاطلقوا على العدد 5 يد وعلى العدد 10 يدين وعلى العدد 20 يدين وقدمين. وعرف قدماء المصريين نظام اعداد عشرى ومنه انتشر عند الاغريق والرومان. وعرفت شعوب الغال نظاما عشرينيا للاعداد  مازالت اثاره باقية في اللغة الفرنسية حتى اليوم. فالعدد 99 باللغة الفرنسية يكتب هكذا quatre-vingt-dix-neuf اي اربع عشرينات وعشرة وتسعة. والبابليون كان نظامهم للاعداد ستيني.

ومن هنا نري ان انسان العصر الحجرى تعرف على الاعداد ولكنه لم يعرف الصفر فهو لم يكن بحاجة اليه. فانسان العصرى الحجري قد احتاج الى حساب ثروته من الخراف او الدجاج او ماشابه ذلك ولكنه لم يكن بالتاكيد معنى بعد مالايملكه وان يخترع له رمزا مخصوصا. ويقول الرياضى وايتهيد Whitehead ان الانسان لا يحتاج الى الصفر فى حياته اليومية العادية, فالانسان لايذهب الى السوق ليشترى صفرا من  الاسماك. ولكن الصفر هو عدد توصلنا اليه عن طريق التفكير العميق. واستخدام الصفر يدل على رقى في التفكير. فالصفر هو اكثر الاعداد تحضرا.

قصة الصفر

الطراد يورك تاون

لعب و يلعب العلم الدور الرئيس في تطور حضارتنا المعاصرة. فلولا العلم لما تحققت الرفاهية اللتى نتمتع بها اليوم مقارنة بالازمان السالفة ولولا العلم لما تطور الطب هذا التطور المذهل مما نتج عنه تحسن صحة الانسان وبالتالي زيادة رفاهيته مرة اخرى. فالصحة هي تاج على رؤوس الاصحاء  والشئ المؤكد ان العلم لم يكن ليتطور بهذه الدرجة بدون اكتشاف الاعداد وبدون تقدم علم الرياضيات اللذي يتعامل مع الاعداد ويصنع منها المعجزات ان جاز لنا التعبير.

ومن وسط كل هذه الاعداد و الارقام يبرز عدد غريب بخواصه وهو الصفر. ولم يكن اكتشاف الصفر حاصلا منذ البداية بل ولم تكن عملية ولادته متيسرة بل كانت متعسرة وقاسية للغاية. وسنحاول في المرات القادمة ان  شاء الله ان نتعرف على قصة هذا الميلاد. فميلاد الصفر ليس موضوعا رياضيا فحسب بل هو موضوع انسانى و تاريخى واجتماعى وفلسفى ودينى في نفس الوقت.

فميدان الصفر كان ساحة مواجهة ساخنة تواجهت فيه عناصر مختلفة متنافسة ومتناحرة. فاكتشاف الصفر كان ساحة تواجه فيها الشرق والغرب. فالصفر هو اختراع شرقى يحمل نكهة الشرق ولذلك تم رفضه بقوة من العالم الغربى اللذي كان يمثل له الصفر نبتا شيطانيا. وكان نشوء الصفر ساحة تواجهت فيها الفلسفة الاغريقية ضد الفلسفة الاسلامية والهندية. بل ان الصفر كان ساحة مواجهة تواجهت فيها الفلسفه ضد الدين و الرياضيات ضد الفيزياء.

وبعد انتصار الصفر الساحق لاحقا الا انه مازال يشكل ساحة مواجهة في القرن الواحد والعشرين. فالصفر مازال يسبب المشاكل في ميدان الفيزياء. والبعض يربط بين تعثر الفيزياء اليوم وعدم قدرتها على السير قدما بوجود الصفر. فالصفر من وجهة نظر هؤلاء ليس له وجود حقيقي وانما هو مجرد فكرة  او وسيلة مساعدة تعيش في المخ فقط. فاين يوجد الصفر في الطبيعة؟ وهنا تتقدم في ساحة الفيزياء نظرية الاوتار الفائقة اللتى لاتحتوى على الصفر اللذي يسبب مشاكل لاحل لها خصوصا عند دراسة الثقوب السوداء او لحظة الانفجار العظيم.

ومشكلة الصفر انه كان يمثل دائما الرعب والفزع في تصورات الحضارات المختلفة فهو يمثل العدمية. فهو كان دائما فكرة مخيفة ومدمرة. وهناك واقعة من الماضى القريب توضح جبروت هذا الرقم اللذى لايتأتى لعدد سواه. في 21 سبتمبر سنة 1997 كان الطراد الاميركي يورك تاون واللذي يملك قوة 80 الف حصان في مهمة بحرية. وقيمة هذا الطراد هو مليار دولار امريكى وتم تصميمه بحيت يستطيع ان يتحمل اصابة مباشرة لطوربيد مائى بدون مشاكل. لكن هذا الطراد ليس محصنا ضد جبروت الصفر. فقد ادخل احد ملاحي الطراد عن طريق الخطأ  صفر في قاعدة بيانات الطراد بشكل يدوي مباشر. فنتج عن ذلك انه في مكان ما في برنامج تشغيل الطراد حدث شئ محظور في الرياضيات واللذي ينبغى تجنبه بأي ثمن وهو القسمة على صفر. فقد حاول البرنامج ان يقسم على صفر فسقط نظام عمل الطراد فورا وتوقف الطراد في الحال واصيب بالشلل التام. وجرت محاولات عديدة لانقاذه و اصلاحه استغرقت ساعات واياما. وتم سحب الطراد لاقرب ميناء بحرى من اجل اجراء الاصلاحات اللازمة عليه.

ولكن الصفر لايحمل بالضرورة اخبارا سيئة او كما يقول المثل مصائب قوم عند قوم فوائد. فقد شكلت مشكلة اخرى متعلقة بالصفر  نعمة كبيرة بالنسبة لقطاع واسع من مبرمجى الكمبيوتر فى التسعينيات. ففى تسعينيات القرن الماضى ظهرت مشكلة مرتبطة بقدوم العام 2000. فقد كان من المتوقع انه بحلول هذا العام سوف تحدث مشاكل هائلة في كل اجهزة الكمبيوتر فى العالم. والسبب في ذلك هو خطأ اولي وساذج وقع فيه مصممو الاجيال الاولى من اجهزة الكمبيوتر. وكان نتيجة لذلك انه بعد العام 1999 سوف يأتى العام 00 . اي ان الصفر سوف يظهرمرة اخرى وسوف تصاب كل الاجهزة المرتبطة طريقة عملها بالكميبوتر بعطب بالغ وخصوصا الاقمار الصناعية في الفضاء. ونتيجة لهذه المخاوف و المخاطر تم خلق فرص عمل عديدة للمبرمجين اللذين مازال سوق عملهم رائجا الى هذه الايام مع ان واقع الحال انه قبل تسعينيات القرن الماضى كان المبرمجون يشكلون اكبر شرائح الاكاديميين العاطلين عن العمل!

الثورة الالمانية عام 1848

شهدت المانيا في العام 1846 ظروفا مناخية صعبة وادي ذلك الى فساد المحصول الزراعى في ذلك العام. وكانت هذه ضربة قاسية بالنسبة للفلاحين. وفى العام التالى ونتيجة لندرة المواد الغذائية فقد ارتفع سعرها بشكل ضخم مما اضعف القدرة الشرائية لدي المواطنين فكسدت بالتالى الصناعة وطردت المصانع الكثير من العمال اللذين اصبحوا بلا اي مصدر رزق. وكانت الحالة الاقتصادية بالنسبة للطبقة الفقيرة لاتحتمل. وكان الوضع الاقتصادي المتردي من العوامل المهمة اللتى ادت الى ثورة 1848 في المانيا.

ولكن لم يكن الفقر و الحالة الاقتصادية السيئة  وحدهما هما السببان الرئيسان لقيام ثورة 1848 . بل ان الطبقة الغنية ورجال الصناعة كانوا مستائين بدورهم من الوضع السياسي العام. فالمانيا كانت مقسمة الى امارات وممالك ودوقيات لكل منها حاكم. ولم تكن التجارة بين هذه الممالك ممكنة بدون دفع الضرائب والجمارك والمكوس. فكان رجال الصناعة يريدون دولة المانية موحدة تسقط فيها كل تلك الحواجز و الحدود. واذا راعينا عوامل اخرى كوحدة اللغة والعرق والتاريخ والجغرافيا فان كل هذه العوامل كانت تدعم وحدة المانيا و  توضح ان عدم وحدتها  هو ضرب من ضروب العبث.

وكان شكل الاتحاد المطلوب في ذلك الوقت هو الشكل الفيدرالى كما هو الوضع اليوم. فكل منطقة او اقليم ستبقى متمتعة بنظامها الداخلى الخاص ولكن مع ذلك فانه يجب ان يكون هناك سقف عام يغطي كل تلك الممالك بحيث تبدو للعالم الخارجي وكأنها دولة واحدة. وفي الحقيقة فان التجربة الفيدرالية متوغلة في تاريخ المانيا. واذا راعينا بجانب ذلك ان الالمان لا يتبعون نفس العقيدة المسيحية فجزء منهم كاثوليكي والجزء المتبقى  بروتستانتي وقد خاضوا فيما بينهم حروبا دينية ضارية ادت الى ادراكهم انهم في النهاية المان وانهم يجب ان يتعايشوا فيما بينهم بالرغم من اختلافاتهم العقائدية.

وفى ظل هذه الاجواء المتوترة قام الفرنسيون بعمل ثورتهم الثالثة في شهر فبراير عام  1848 واعلنوا قيام جمهوريتهم الثانية وكان لهذا الحدث تأثير بالغ على الالمان. فكانت البداية في 1 مارس سنة 1848 في مملكة بادن في الجزء الجنوبي الغربى من المانيا و اللتى تملك حدودا مشتركة مع فرنسا . وكانت هذه المملكة متطورة سياسيا ومتقدمة عن باقى الممالك الالمانية الاخرى في ميدان الحريات العامة. فثار الناس اولا في مدينة مانهايم وانتقلت الثورة سريعا الى مدينة هايدلبرج ثم مدينة كارلسروه عاصمة المملكة في ذلك الوقت. ومن ثم انتشرت المظاهرات في كافة الممالك الالمانية الاخري. وكان للمتظاهرين 4 مطالب رئيسة:

1 كتابة دستور المانى لاول مرة وتوحيد المانيا تحت هذا الدستور
2 تسليح الشعب حتى لايكون فريسة سهلة لجبروت الحكام اللذين يملكون القوة العسكرية ويحركون الجيوش
3 حرية الصحافة
4 نظام قضائى عادل. يتساوي فيه الجميع امام القضاء

وفي فترة وجيزة اقل من 3 اسابيع رضخ كل الملوك لطلبات الثوار ولم يستتطيعوا ان يصمدوا امام ارادة الشعب. وفي بعض الاماكن استجاب الحكام دون اندلاع اى احداث عنف كما كان الحال في مملكة بادن. ولكن في حالات اخرى لم يقبل الملوك الا بعد وقوع قتلى كما كان الحال في مملكة بروسيا وعاصمتها برلين وهناك اجبر الملك على الظهور امام جثث القتلى في الساحة الملكية وان يخلع قبعته احتراما للشهداء.

ويرجع انتصار الثورة السريع في البداية الى3 اسباب: اولا ان كل قوي الشعب كانت متوحدة خلف نفس المطالب والاهداف.و ثانيا الطابع الاوربي  لهذه الثورات. فهذه الثورة لم تكن ثورة المانية فحسب ولكنها اندلعت في اطار سلسلة ثورات شملت معظم الدول الاوروبية في نفس الوقت. ثالثا هو شعور الملوك والحكام ومن يقف بجوارهم بالضعف وقلة الحيلة امام هذه الثورات الخاطفة فلم يكن هناك بد سوى التسليم حتى ولو كان بدافع المناورة و كسب الوقت.

ولكن يلاحظ ان في كل تلك الثورات لم يكن مركز الملوك مهددا كما كان الحال في الثورة الفرنسية. بل ان الشعب كان يريد اصلاحا ثوريا سياسيا واجتماعيا تحت حكم هؤلاء الملوك. وكانت النتيجة المباشرة لهذه الثورات ان اقال الملوك حكوماتهم وعينوا حكومات جديدة تحت رئاسة الثوار ذوي الاتجاه الليبرالى. كما انه تم تشكيل برلمان مؤقت في مدينة فرانكفورت في كنيسة باول الشهيرة اللذي اتخذ العديد من القرارات. ومن اهم هذه القرارات الاعلان عن انتخابات لتشكيل برلمان نهائى يضع دستور للدولة الالمانية الموحدة. وبالفعل تشكل برلمان وطنى منتخب لاول مرة في تاريخ المانيا وكان يغلب عليه الاتجاه الليبرالى.

كان انتصار الثورة ساحقا وخصوصا انتصار الاتجاه الليبرالى اللذى صار اليه الحكم باغلبية مريحة. ولكن سرعان ما بدأت المشاكل. فقد ظهر الانقسام بين الليبراليين ومن هم سواهم من يساريين و جمهوريين. وكانت الخلافات تشمل تقريبا كل النقاط اللتى قامت من اجلها الثورة وخصوصا نقطة تسليح الشعب. فقد كان الجموريون واليساريون يريدون تسليح كل الشعب دون تمييز. اما الليبراليون فكانوا يريدون تسليح طبقة مميزة من الشعب فقط. اما بالنسبة للعدالة الاجتماعية كان الليبراليون يريدون تحرير الاقتصاد وتطبيق اقتصاديات السوق الحر ولا يدور بخلدهم اى افكار اشتراكية كاللتى ينادي بها الفريق الاخر. وحتى بالنسبة لنظام الانتخابات كان الجمهوريون واليساريون يريدون ان يكتسب كل الشعب حق الانتخاب دون تمييز. بينما كان الليبراليون يرون توسيع حق الانتخاب دون تعميمه. فالمواطن كامل الحقوق لابد و ان يكون نخبويا او على الاقل يمتلك حد ادنى من التعليم والثقافة والتمدن. كما انه لابد وان يملك دخلا محترما يضمن له العفاف. حتى على مستوية وحدة المانيا  فقد اختلف الالمان بين المانيا الكبرى اللتى تضم النمسا و المانيا الصغرى اللتى لاتكون النمسا جزئا منها.

ولم يكد يمر شهران حتى شعرت القوى الاشتراكية بانها لم تحقق اى شئ وان الثورة تسير على غير هواها. فحصلت اظطرابات ومظاهرات عديدة وظهرت دعوات لعمل ثورة ثانية. وحصل هجوم للعامة على مخزن اسلحة الملك في برلين من اجل الحصول على اسلحة لتسليح الشعب وتم اطلاق النار على الثوار وقتل عدد كبير منهم. حتى في مملكة بادن الالمانية مهد الثورة حصلت اضطرابات ومصادمات في شهر ابريل واطلق الليبراليون اللذين اصبحوا في الحكم النار على شركاء الاسابيع الماضية وسقط قتلى وجرحي.

وفي شهر يونيو تم قمع الثوار في فرنسا وكانت هذه رسالة قوية الى الملوك وقوى الثورة المضادة في المانيا بالتشجع وعدم الرضوخ مرة اخري والضرب بيد من حديد حتى تعود الامور الى سابق عهدها. وفي شهر سبتمبر حدث حادث جلل حيث هاجم الثوار البرلمان الالمانى. وسبب هذه القصة يرجع الى ثورة  سكان مملكتي شليزفيج و هولشتاين  الالمانيتين مطالبين بالاستقلال  في شهر ابريل. وكانت هاتان المملكتان متنازع عليهما بين الدنمارك والمانيا فارسل ملك الدنمارك جيشه على الفور لقمع تلك الثورة. وهنا تدخل ملك بروسيا على الجانب الاخر لحماية الثائرين الالمان. واستمرت الحرب بينهما حتى شهر اغسطس حيث توصل الطرفان الى معاهدة تقضى بوقف اطلاق النار. ولم يكن امام البرلمان  الالماني في فرانكفورت حيلة سوى ان يقر هذه المعاهدة فهو لم يكن يملك سلطانا على ملك بروسيا او على اى جيوش اخرى. وهنا ثارث ثائرة الثائرين و اعتبروا ان النواب  اللذين وافقوا على هذه المعاهدة قد خانوا الامة الالمانية وحاصروا مبنى البرلمان. وخشى المجتمعون في مبنى البرلمان على انفسهم فطلبوا سرا النجدة من ملكي بروسيا والنمسا اللذين ارسلا جيوشهما الى فرانكفورت. وهنا تفاجأ المتظاهرون بهذين الجيشين فاقتحموا البرلمان وقتلوا نائبين كانوا موجودين فيه. وكان هذا الموقف علامة واضحة بان الثورة الالمانية  تحتضر.

وهنا استشعر الجميع الخطر فعاد الجميع على اختلاف تياراتهم وتوحدوا وعملوا سويا من اجل عمل دستور يحقق الحد الادنى من تطلعات الجميع. وبالفعل نجح البرلمانيون بعد سنة من قيام الثورة  من الانتصار على انفسهم وانجاز اول دستور لالمانيا يقضي بانشاء دولة المانية موحدة تحت قيادة ملك بروسيا. وتقدم البرلمان بالدستور الى ملك بروسيا  في شهر ابريل سنة 1849 لكن المفاجأة ان ملك بروسيا رفض الدستور. فقد رفض ان يكون ملك بفضل من البرلمانيين و الدستور. وهو كانت له مشاريعه الخاصة بالنسبة لبروسيا وكان يريد ان يصبح قيصرا لالمانيا لكن على طريقته هو.

وهنا اصيبت الثورة بضربة قاتلة فالمشروع اللذي عمل القانونيون و البرلمانيون على انجازه رفضه ملك بروسيا بمنتهى السهولة. وحاول البعض اقناع ملك بروسيا على ان يعدل عن موقفه بينما حاول البعض الاخر اعمال الدستور بالقوة واعلان جمهوريات وممالك من جانب واحد . فقامت فى ولاية سكسونيا ثورة عارمة وتم اعلان جمهورية هناك الان ان ملك بروسيا توجه بجيشه وقضى على تلك الحركة. كما انه في شهر يوليو قامت في ولاية بادن حركة مشابهة وتم اعلان الجمهورية من مدينة راشتات الا ان ملك بروسيا توجه بجيشه ايضا واخمد تلك الحركة هناك. وكما بدأت الثورة من ولاية بادن فانها انتهت ايضا هناك.

ويرجع فشل الثورة الالمانية بصفة خاصة الى تشرزم الثوار بعد نجاحهم الابتدائى . فقد كان الليبراليون المعتدلون محاصرون بين قوى الثورة المضادة من ناحية وبين تطرف اليساريين و الثوار الجمهوريين الراديكاليين من ناحية اخرى. وليس معنى هذا ان الليبراليين المعتدلين كانوا ضحايا وانهم لا يتحملون قسطا من المسئولية. بل انهم يتحملون نصيبا ضخما بسبب عدم مرونتهم وعدم قدرتهم على التعامل مع الواقع القائم.

 

الثورة الفرنسية الثالثة عام 1848

نتعرف اليوم على الثورة الفرنسية الثالثة او تلك الثورة اللتى اندلعت عام 1848. وربما يكون من المفيد ان نشير اولا الى الثورتين الاوليتين لما لهما من تأثير بالغ على مسار الثورة الفرنسية الثالثة. بل ان البعض يقول ان الثورة الثالثة ما هي الا المرحلة الثانية من الثورة الثانية اللتى اندلعت عام1830 .

كانت الثورة الفرنسية الاولى عام 1789 تجربة تاريخية فريدة بالنسبة لفرنسا وللعالم كله. فهذه الثورة اللتى استمرت 10 سنوات تقريبا كانت حقل تجارب سياسية لنظم الحكم المختلفة. فلقد استفاد العالم كله من تجربة فرنسا في تلك الفترة في كيفية اعداد الدساتير وتقييم نظم الحكم المختلفة. فقد بدأت الثورة عندما كان نظام لويس السادس عشر قائما ونظام حكم لويس السادس عشر كان نظاما ملكيا مطلقا ينسب شرعيته الى ارادة الله.  فكل نظم الحكم الاوروبية في ذلك الوقت كانت تري ان انفرادها بالملك انما هو ارادة الله وقدره. ولو اراد الله غير ذلك لما جلسوا فوق عروشهم. وبالتالى فان اي خارج او ثائر عليهم انما هو رافض لقدر الله متحديا لارادته.فالنظام الملكي المطلق كان هو نظام الحكم الاول. وفي يوليو عام 1789 عندما ثار الفرنسيون على النظام لم يطيحوا بالملك ولكنهم ابقوا عليه في اطار نظام حكم جديد وهوالنظام الملكى الدستوري. اى ان الملك يبقى ملكا بارادة الشعب كما ان للشعب ارادة يسير بها اموره. وبعد فترة تم اتهام الملك بمعاداة الثورة وانه يدعو لغزو فرنسا من الخارج  من اجل ارجاع النظام الملكي القديم مرة اخرى. وتم اعدام الملك و اعلان الجمهورية الفرنسية الاولى. وكان هذا نظام حكم مختلف ثالث. لكن الجمهوية غرقت بعد ذلك في بحار من الدماء فقد كان الكل يخون الكل وتدحرجت عشرات الالاف من الرؤوس تحت سكين المقصلة و اثارت اللجان الشعبية اللتى ملأت الشوارع الذعر والهلع. واحس الناس بانعدام الامن والامان وكانوا يشتاقون الى من يعيد لهم الامن والطمأنينة. وهنا ظهر نابليون بونابرت على الساحة فحقق الامن. ولكنه كان ديكتاتورا انهى النظام الجمهوري  واعلن نفسه امبراطورا لفرنسا. وكان هذا  نظام حكم جديد مرة اخرى.

وحقق نابليون الامن وحفظ دماء الفرنسيين داخل فرنسا و لكنه اراقها  انهارا خارج حدود فرنسا. فقد كان نابليون ذا خطط و احلام استعمارية توسعية خاض وتسبب في حروب جمة وكان اسمه يثير الرعب و الفزع فى اوروبا. وفي النهاية فشل مشروع نابليون وتم اسقاطه ونفيه خارج فرنسا.

رأى الفرنسيون بعد ذلك ان النظام الملكى هو افضل نظم الحكم الممكنة. فكل الدول الاوربية الاخرى كانت ملكية. واي نظام اخر سوف يكسبهم عداوة باقى الدول الاوروبية. فتولى مقاليد الحكم لويس الثامن عشر وهو كان ينتمى الى اسرة البوربون و اعتبروا ان ملكه امتداد لحقبة لويس السادس عشر. ولكن الحقبة الملكية الدستورية. ولكن الملك الجديد كان من داخله يريد اعادة النظام الملكى المطلق مرة اخرى. وحاول بقدر الامكان ان يسير بفرنسا في هذا الاتجاه. ثم مات لويس الثامن عشر فخلفه في الحكم اخوه شارل العاشر اللذي كان ملكيا متطرفا يريد ان يرجع الامور الى سابق عهدها بشكل فج فاصدر عدة قرارات عام 1830 من اجل انهاء حرية الصحافة و الغاء مجلس النواب وتخفيض عدد الفرنسيين اللذين يحق لهم التصويت الى 25% من العدد الحالي. فلم يتحمل الشعب الفرنسى هذه العجرفة وهذه القرارات فخرج الشعب الى الشارع في مظاهرات حاشدة وهرب الملك الى خارج البلاد. وكانت هذه ثورة 1830. وهنا صنع الشعب الفرنسى شيئا عجيبا فقد قال مرة اخرى فليكن الحاكم ملكا. ولكن في هذه المرة نحن سوف ننصب واحدا عاديا من الشعب ولاينتمى لاى اسرة مالكة او نبيلة ملكا . فاختار الشعب لويس فيليب ملكا عليهم بعد ان كان مواطنا عاديا. واسمحوا لي بهذه المزحة كان لويس فيليب ملكا ورجل اعمال! لويس فيلييب كان اغنى انسان فرنسى في ذلك الزمن وهو كان ينتمى الى الطبقة البرجوازية. طبعا لايجب الخلط بين الطبقة البرجوازية وطبقة النبلاء. فطبقة البرجوازية كانت طبقة صاعدة في اوروبا تضم رجال الاعمال او بمعنى ادق هم اصحاب الاعمال اللذين لايكسبون قوتهم عن طريق عمل يدوي مباشر بل عن طريق امتلاكهم لوسائل الانتاج كرأس المال او المعدات او العمالة. وهذه الطبقة لم تكن بالضروة ثرية. فهي كانت تضم 3 فئات: البرجوازيون الصغار وتلك الفئة كانت تشمل اصحاب المقاهي و الحوانيت الصغيرة او ماشابه ذلك. والطبقة الثانية هي البرجوازية الصناعية اللتى كانت تضم رجال الاعمال المرتبطة طبيعة عملهم بالصناعة. ثم كانت هناك فئة البرجوازية المالية واللتى كانت تضم اصحاب البنوك و المضاربون في البورصة وملاك الاراضي.

وكان لويس فيليب يعتبر نفسه من ضمن البرجوازيين الصغار لكن كل قرارت عهده كانت تصب في صالح البرجوازيين الماليين ولم يأبه للبرجوازيين الصناعيين او اللبرجوازيين الصغار. فاللذين كان لهم حق التصويت في تلك الفترة وطبقا للدستور الفرنسى كانوا ملاك الاراضى فقط. وبالتالى كانت كل الحكومة منهم وكانت كل القرارات تصب في صالحهم. فكانت حكومة لويس فيليب هي حكومة رجال الاعمال او بمعنى ادق رجال المال. وازدادت ثروة هذه الطبقة بشكل ضخم حين سادث حالة من  الكساد في فرنسا في الاعوام 1846 و 1847 ولكي يستطيع البرجوازيون الصغار تسيير امورهم  فقد اقترضوا قروضا كبيرة من رجال المال اللذي ازدادت ثرواتهم بهذا مرة اخري. وكان المطلب الاساسى للشعب اللذي ينادي به معظم الناس هو حق التصويت وبالتالى يجلس نواب عنهم في البرلمان وتدخل عناصر منهم الى داخل الحكومة لتأخذ قرارات تتبنى مصالحهم. وكان الفرنسيون ينظرون بعيون تملؤها الحسد نحو الانجليز حيث لم تقم عندهم اى ثورة وبالرغم من ذلك فقد صدر قرار بمنح كل من يدفع ضرائب للدولة تزيد قيمتها عن 10 جنيهات سنويا حق الانتخاب. وكانت وسيلة الفرنسيين في التعبير عن هذا تظهر من خلال الموائد الشعبية حيث كانت المظاهرات السياسية و التجمهرات ممنوعة في ذلك الوقت. فكان الفرنسيون يجلسون على هذه الموائد العامة يعلون الصوت بمطالبهم ويهتفون للحرية و للمساواة وللأخوة. ثم حدث واصدرت الحكومة قانونا تمنع فيه تلك الموائد. فكان الحنق و الغضب عظيمين.ورشحت الانباء ان الصقليين قد قاموا بثورة ضد حكم اسرة البوربون و اعلنوا استقلالهم فكان هذا الخبر كالشرارة اللتى انطلقت في مناخ متوترفانفجر الموقف. فخرج الفرنسيون الى الشارع يهتفون باسقاط الحكومة وكان طوفان الباريسيين في الشوارع لانهاية له.فاضطر الملك الى اقالة رئيس حكومته بعد يوم واحد من اندلاع المظاهرات. وفرحت الجماهير بسماع الخبر وانطلقت الى مبنى البرلمان تحوطه واراد البعض اقتحامه. وبسبب خطا ارتكبه احد الظباط فقد اطلق الجنود الرصاص على الشعب. فراح ضحية هذه الحادثة 52 انسان. فخرجت كل الجماهير تهتف بسقوط الملك. اللذي هرب الى انجلترا.

واسس الثوار جمهوريتهم الثانية في 23 فبراير عام 1848 . وتولت حكومة مؤقتة السلطة. ودعت الى انتخابات عامة بعد شهر تقريبا لاختيارجمعية تأسيسية تضع دستورا جديدا وتشكل حكومة وتحضر للانتخابات الرئاسية. واصدرت الحكومة المؤقتة قرارين في غاية الخطورة. القرار الاول هو اعطاء حق الانتخاب لكل الفرنسيين الذكور. وكان معنى ذلك اضافة 9 مليون ناخب جديد الى من يحق لهم الانتخاب. وبقى محظورا على المرأة الانتخاب كما كان الحال في كل الدول الاوروبية. اما القرار الثاني فكان اقرار ان حق العمل حق اساسي للمواطن الفرنسي وقامت الدولة بانشاء ورش عمل وطنية لمنح المتعطلين عن العمل فرصة لكسب الرزق عن طريق تعبيد الطرق او زرع الاشجار. فحصل اقبال رهيب على ورش العمل هذه وتم توظيف مئات الالوف بهذه الطريقة.

لكن ازمة فرنسا الاقتصادية كانت مرعبة. فعندما فر لويس فيليب لم يفر وحده انما فر معه الاثرياء باموالهم فحدث نزوح رهيب للثروة الى خارج فرنسا. كانت ايرادات البلد متوقفة و الاضرابات و المظاهرات قد شلت حركة البلد. ثم ان مشروع ورش العمل الوطنية قد كبد خزانة الدولة تكاليف باهظة.فمن اين تأتى الحكومة بالاموال؟ قد قررت رفع الضرائب على الفلاحين وملاك الاراضى الزرعية.لكن الفلاحين رفضوا تنفيذ هذا القرار. وقالو ان الدولة تريد ان تحل مشكلة اهل المدن الكسالى على حساب الفلاحين المظلومين. فبالتالى كانت ورطة الحكومة المؤقتة ضخمة. وساد وسط الفرنسيين ذعر وقلق بشأن المستقبل وفي اثناء هذه الظروف وبعد شهر من انطلاق الثورة نظمت قوى المحافظين انفسهم وكان شعارهم عودة النظام وانهاء حالة الفوضى. واسسوا حزبا يحمل اسم النظام. وكان معنى النظام عندهم عودة الامور كسابق عهدها ايام لويس فيليب. وفي هذه الاجواء تم تنظيم الانتخابات. وللمفاجاءة لم يحصل الثوارسوي على مقعد واحد واحد  في داخل المجلس التاسيسي  وكانت حصة الاسد لصالح حزب النظام وللقوى المعتدلة.  فشعر الثوار بخيبة الامل. وكانت الثورات الاوربية في بلاد اخرى قد بدأت في الحدوث .فاخذ الثوار يضغطون على الحكومة من اجل دعم تلك الثورات وخصوصا ثورة بولندا.

وتغيرت خريطة الثوار فبعد ان كانت تضم طبقة العمال والطبقات البرجوازية الصغيرة و الصناعية. وكانت لهذه الطبقات دورا مهما في ثورة 1848 وخصوصا طبقة البرجوازيين الصغار. تغيرت هذه الخريطة واصبح البرجوازيون و العمال يقفون في صفين متضادين. فلقد رأى البرجوازيون ضرورة الاستقرار واهمية ان تدور عجلة الحياة مرة اخرى. وخصوصا البرجوازيون الصغار اللذين كانوا على وشك الافلاس او افسلوا بالفعل.

ثم اصدرت الحكومة في شهر يونيو قرارا بالغاء ورش العمل الوطنية فثارت ثائرة العمال فخرجوا الى الشوارع ونصبوا المتاريس وقطعوا الطرق. وقامت حرب شوارع بين الثوار وقوات الجيش اللذي وصل عدد قواته الى اكثر من 120 الف. ووقف البرجوازيون وخاصة الصغار كما قلنا على الجانب المقابل وتم القضاء على هذه الانتفاضة. وكانت هذه الحادثة اشارة الى ان الثورة قد انتهت. والمفاجاءة انه بعد ان هدأت الامور وبعد ان بذل البرجوازيون الصغار جهدا ضخما في القضاء على انتفاضة العمال وجد البرجوازيون الصغار انفسهم في مقابل دعاوى قضائية لرد الديون اللتى عليهم واللتى هي واجبة السداد الان. وكان معظم هولاء عاجزين عن دفع ايجار محالهم منذ بداية الاحداث من الشهر الثاني. وفشلت كل المحاولات لجدولة ديون هؤلاء البرجوازيين الصغار على اعتبار ان الاحداث الثورية كانت السبب الاساس خلف تعثر هؤلاء الافراد. وكان سبب هذا الفشل تعنت البرجوازيين الماليين ووجودهم القوي في المجلس التأسيسى والحكومة. فافلس هؤلاء البرجوازيون الصغار و اضطروا مرة اخرى الى العودة الى صفوف العمال من اجل البحث عن عمل مقابل اجر.

وهنا فقدت شريحة كبيرة من القوى اللتى قامت بالثورة مكانها. ثم اقيمت الانتخابات الرئاسية في شهر ديسمبر عام 1848 وكان هناك 4 مرشحين متنافسين اهمهم لويس بونابرت وهو كان ابن اخى نابليون بونابرت. وكان دكتاتورا متسلطا ولكن الناس رأت ان الامان مع دكتاتور قادر خير من عدم الامان مع الثورة. وحصلت الانتخابات وحصل بونابرت على4 اضعاف عدد الاصوات اللتى حصل عليها اقرب منافس له. وكان اسم عائلته بونابرت من عوامل نجاحه فلقد اختاره دعاة الملكية ومعظم افراد الجيش وكل الفلاحين. وتم انتخاب مجلس وطنى ذو سلطات مع نابليون. وبعد 3 سنوات حل لويس بونابرت هذا المجلس رغم ان سلطاته الدستورية لم تكن تسمح له بذلك واعلن نفسه امبراطوارا للبلاد واطلق على نفسه اسم نابليون الثالث.

 

ثورات الربيع الاوروبي 1848 – 1849

في عام 1848 اندلعت في قارة اوروبا ثورات شعبية هائلة. و اطلق المؤرخون على هذه الثورات اسم ثورات ربيع الشعوب. وقد كانت هذه الثورات  تحمل اهدافا نبيلة و قامت بها الشعوب الاوروبية لانها لم تكن راضية عن الوضع العام في ذلك الوقت. فقد اصابت الدول الاوروبية في تلك الفترة حالة من الجمود السياسى و الاجتماعى بينما مرحلة الثورة الصناعية كانت قد بدأت بالفعل. وقد شملت هذه الثورات 50 بلدا مختلفا دون تنسيق ما بينها. فقد انتشرت الثورات في هذه البلاد كما تنتشر النار في الهشيم من فرنسا الى المانيا الى المجر الى الدنمارك الى بولندا حتى ان روح هذه الثورة قد وصلت الى البرازيل في العالم الجديد.

وحقق الثوار في بداية الامر نجاحات ساحقة واستطاعوا في معظم الاحوال الامساك بزمام الامور. ولكن لم يكد عام 1849 ان ينصرم الا وقد استعادت قوى النظام القديم والثورة المضادة سلطانها مرة اخرى وتمكنت من بسط نفوذها بالكامل على أرجاء البلاد وكأن امرا لم يكن.

واذا اردنا ان نستعرض تاريخ تلك الثورات فلابد ان تكون حكمتنا ابحث عن فرنسا! فهناك مثل اوروبي يقول اذا عطست فرنسا فان اوروبا تصاب بنزلة برد. فاول بلد قامت به ثورة شعبية في التاريخ كان فرنسا  وكانت دائما هي السباقة في صنع الثورات و الاحداث الجسام. والمفاجئ في ثورات 1848 ان شرارة البدء في هذه المرة لم تنطلق من فرنسا ولكنها انطلقت من بلد صغير جدا وهو جزيرة صقلية الايطالية حين استطاعت في يناير عام 1848 القيام بثورة على حكم اسرة البوربون واسست دولة استمرت 16 شهرا ووضعت خلالها دستورا رائعا. وكان لما فعله الصقليون تأثير بالغ على الفرنسيين اللذين شعروا بالحماسة و الغيرة من ان الصقليين سبقوهم فقام الفرنسيون بثورتهم الثالثة في فبراير عام 1848 و طبعا كان الفرنسيون قد قاموا بصنع ثورتين قبل ذلك في اعوام 1789 و 1830. وعندما سقط حجر الدومينو الفرنسى الثقيل تتابعت احجار الدومينو الاوربية في السقوط. واليوم سنتعرض باختصار للثورات الاوربية في عامى 1848 و 1849 وفي المرتين القادمتين سنحاول التعرف بشىئ من التفصيل على حالتى فرنسا و المانيا خصوصا.

وفي البداية احب ان استعرض الخريطة السياسية الاوروبية و الوضع العام في عام 1848  من وجهة نظر كل من الملوك والحكام الاوروبيين من طرف و الشعوب نفسها من الطرف الاخر. فمن ناحية الحكام والملوك نجد ان  حدوث الثورة الفرنسية الاولى في عام 1789 قد غير الكثير من الاوضاع القائمة. فالفرنسيون قد تمكنوا من انشاء جمهوريتهم الاولي بعد الاطاحة بملكهم واعدامه بعد ذلك . الا ان الثورة الفرنسية قد تخبطت في مسارها وانتهى بها الحال بعد 10 سنوات بان قام نابليون بونابرت بتنصيب نفسه امبراطورا على فرنسا فاصبح لفرنسا امبراطوارا بعد ان كان لديها ملك. ولكن مع ذلك اجبر الوضع الجديد الملوك الاوربيين على القيام ببعض الاصلاحات في ممالكهم خوفا من قيام ثورات مشابهة للثورة الفرنسية في بلادهم وعلى طريقة بيدي لا بيد عمرو. ولكن بعد مرور السنوات وهدوء الوضع قليلا حاول الملوك الاوربيون بشتى الطرق اعادة الوضع القديم مرة اخرى. ففى عام 1815 قام حكام روسيا و النمسا وبروسيا بانشاء ما يعرف باسم الحلف المقدس اللذي يهدف الى اعادة نظم الحكم الشمولية السلطوية اللتى كانت قائمة قبل الثورة الفرنسية مرة اخري و اتففوا على  ابراز ان حكم هؤلاء الملوك حقا الهيا لايمكن منازعته. وقد انضمت  فرنسا نفسها الى هذا التحالف  في عام 1818. وكان هؤلاء الملوك يهدفون من ضمن ما يهدفون اليه اعادة النظام الاقطاعى القديم وتقسيم المجتمع الى 3 طبقات غير متساوية في الحقوق مرة اخري. وكانت ابرز الاسر الحاكمة هي اسرة البوربون الحاكمة في اسبانيا واجزاء اخري من اوروبا كصقلية ثم كانت هناك اسرة الهابسبورج النمساوية اللتى كانت تحكم النمسا و المجر واجزاء من المانيا واوروبا الشرقية. ثم كانت هناك قوة عسكرية صاعدة لايستهان بها في برلين في مملكة بروسيا الالمانية. وهذه الاسر هي محور احداث موضوع اليوم. بالطبع كانت هناك في اوروبا قوي اخرى كروسيا و انجلترا و الدولة العثمانية لكن هذه الدول لم تتأثر بثورات 1848 ولذلك فهى لا تعنينا اليوم.

اما بالنسبة للشعوب فعلى اختلاف طبقاتها  فانها كانت رافضة للاوضاع القائمة في ذلك الزمان. فهذا العهد كان بداية  الثورة الصناعية. وظهرت طبقة من رجال الاعمال البرجوازيين اصحاب الثروات الضخمة اللذين لم يكونوا من النبلاء وضاقهم استئثار الطبقة السياسية الحاكمة بالامر دون اعطاء فرصة لسواهم في المشاركة في الامر. كما ان اقكار الكتاب التنويريين كانت منتشرة وكان من المستحيل اخلاقيا الدفاع عن النظام الاقطاعى البغيض  اللذي يقوم على أن سيد يملك فدادين واسعة من الاراضي  يعيش عليها فلاحون يقضون طوال حياتهم في دفع الاتاوات والضرائب لصاحب هذه الارض. كان ايقاع الثورة الصناعية سريعا بينما كانت هذه المجتمعات قد اصابها الجمود. كانت الشعوب تريد دستورا ينظم حياتها و لايجعل الحكام يستبدون بالامر. فلييقى هؤلاء الملوك ولكن على الاقل يجب انشاء ملكيات دستورية وانتاج  دستور ينظم العلاقات الحاكمة بين الاطراف المختلفة. كانت الشعوب تريد ان تشارك في الحياة السياسية و كانت تريد ان تحصل على حق الانتخاب و التصويت من اجل اختيار ممثلين عنهم يدافعون عن مصالحهم. كانت الافكار الاشتراكية وافكار العدالة الاجتماعية تداعب خيال الكثيرين. كما كانت الشعوب تريد حكما اكثر ليبرالية تكون فيه حرية الصحافة وحرية التعبير مكفولة. كانوا يريدون للرقابة ان تنتهى وكانوا يريدون تقليلا لسلطات الدولة و الكنيسة وتوسيعا لحريات الافراد. كما كانت هناك الكثير من القوميات و الشعوب اللتى تريد الوحدة او الاستقلال. فالالمان كانوا مبعثرين في ممالك متعددة وكانوا يريدون انشاء وطنا يجمعهم وكذلك كان الايطاليون اللذين كانوا محتلين من قبل النمسا وكذلك كانت المجر وبولندا ورومانيا والتشيك.

ونضيف الى ذلك ان الاعوام السابقة شهدث ازمة اقتصادية خانقة. فبسبب الظروف الجوية السيئة فسد المحصول وندرت المواد الغذائية واصبحت باهظة الثمن. وكان العامل يعمل 15 ساعة يوميا ويصرف نصف دخله على الغذاء اللذي كان عبارة عن خبز وبطاطس. وكانت نسبة المتعطلين عن العمل عالية. باختصار كان الوضع لا يحتمل والتذمر بلغ مداه.

وفي يناير في عام 1848 وكما قلنا من قبل استطاع الصقليون انتزاع استقلالهم و اعلان دولتهم. وفي الشهر التالى قام الفرنسيون بثورتهم و اعلنوا الجمهورية الفرنسية الثانية واختارو لويس بونابرت ابن اخو نابليون بونابرت حاكما للبلاد. ثم في الشهر اللذي يليه شهر مارس قام الالمان اللذين كانوا يريدون انشاء دولة تجمعهم بعمل ثورتهم فتجمعوا في البرلمان في فرانكفورت ليعلنوا عن مشروعهم لوحدة المانيا. وفي اسابيع قليلة عمت الثورة ارجاء البلاد ورضخ جميع الملوك فلم يكن هناك اي بديل اخر سوى قبول طلبات الشعوب. وفي مملكة بروسيا هرب قائد الجيش البروسى المتعجرف واللذي كان اخا لملك بروسيا خارج البلاد. واضطر ملك بروسيا لاعلان موافقته على طلبات الثوار اللذين كانوا يطالبون بعمل دستور ينظم الحياة في دولة ملكية دستورية. وكذلك كان الحال في النمسا فبعد ايام قليلة من اندلاع الثورة في فيينا هرب الملك من العاصمة فيينا كما هرب ميترنخ المستشار الحديدي الى خارج البلاد. فلم يكن هناك من سبيل لايقاف هذا الطوفان الشعبى الجارف وكذلك كان الحال في المجر وبولندا والدنمارك وبلاد التشيك. فقد كانت معظم بلاد قارة اوروبا في حالة ثورة نثتثني من ذلك انجلترا و روسيا واسبانيا وبلجيكا والدولة العثمانية.

ولكن هذا الانتصار الثوري لم يستمر طويلا. فالحقيقة ان الملوك عندما قبلوا بطلبات الثوار انما كان هذا لكسب الوقت وتنظيم الصفوف والتخطيط لفعل ما. فقد اخذوا في اثارة النعرات القومية عند الاقليات وخصوصا في البلاد اللتى تحتوي على اعراق مختلفة كما في حالة المجر. كما ان القوة العسكرية حافظت على ولائها للملوك ورفضت النظام الجديد. كما ان الثوار لم تكن عندهم قوة عسكرية يدافعون بها عن انفسهم خصوصا عندما يتعرضون لغزو خارجي. وهكذا انهار الحلم الالمانى عندما احتلت جيوش الدنمارك بعض الاراضى الالمانية ورفض ملك بروسيا التدخل لحماية هذه الاراضى. فادرك المثقفون والمفكرون والاساتذة المجتمعين في البرلمان في فرانكفورت انهم لاحول لهم ولا قوة. كما ان الثوار انفسهم يتحملون قسطا كبيرا من مسئولية فشل ثورتهم. فقد كانوا فى البداية متوحدين ومجتمعين على نفس الاهداف على الرغم من الاختلاف فيما بينهم في الايدولوجيات والرؤى. الاانهم عندما شعروا بانتصارهم في البداية اختلفوا وتناحروا وانقسموا الى ليبراليين ويساريين فخسروا جميعا. وادركوا ذلك فى النهاية فعادوا ووحدوا صفوفهم واتفقوا على نفس الاهداف لكن كان ذلك بعد فوات الاوان.

في عام 1849 استعادت اسرة البوربون الحكم في صقلية مرة اخرى. ثم قام لويس بونابرت بالانقلاب على الثورة واعلن نفسه امبراطورا جديدا لفرنسا. كما انهار الحلم الالمانى في توحيد المانيا في  دولة حديثة. ولكن تمت الوحدة بعد ذلك بعد فترة قصيرة ولكن ليس عن طريق افكار المفكرين و المثقفين ولكن عن طريق بسمارك مستشار مملكة بروسيا وبسياسة الحديد والنار. وانهارت القوات المجرية اخر معاقل الثورة الباقية امام القوات النمساوية.

وكانت نتيجة الثورات وقوع عدد كبير من القتلى والجرحى وقامت حروب اهلية في عدد من البلاد. بل حروب دولية بين دول وبعضها. وتم اعدام كثير من الثوار وفر عدد كبير منهم الى خارج البلاد وخصوصا الى الولايات المتحدة الامريكية. وكان يطلق على هذا الفوج الضخم من النازخين مهاجرين 48 . ومن اشهر الفارين كارل ماركس الالمانى مؤسس الشيوعية اللذي حصل على لجوء وعاش في انجلترا حتى مات هناك. ولكن على الجانب الاخر كانت لهذه الثورات انجازاتها. فهي كانت علامة فارقة في التاريخ الاوروبى. صحيح انها كانت معركة خاسرة الا انها لم تكن نهاية الحرب. فهي كانت رسالة واضحة ان التغيير قادم ولو بعد حين. ومن رمزيات تلك المرحلة ان العلم الالمانى الحالي بالوانه الاحمر و الاسود و الذهبي كان هو علم الثوار الالمان في تلك المرحلة.

الجمهورية لافلاطون

الجمهورية هي احد اهم اعمال افلاطون الفلسفية والادبية. وهذا العمل يقع في عشرة كتيبات. وكما  هو واضح من العنوان فان هذا العمل ينتمى الى ميدان الفلسفة السياسية. ولكنه ينتمى ايضا و بشكل اقوي الى ميدان فلسفة الاخلاق كما انه يحتوي على اهم الانجازات التاريخية في ميدان الميتافيزيقا حيث انه يحتوي على نظرية المعرفة لافلاطون. ولم تكن السياسة هي هدف افلاطون الرئيسي من وراء هذا العمل ولكنه اراد ان يوضح اهمية الاستقامة والعدالة على مستوى السلوك الفردي. فاختار افلاطون ان يوضح ذلك عن طريق الدولة. لان الدولة تعتبر تكبيرا ميكروسكوبيا للفرد. فاراد افلاطون ان يستخلص النتائج و العبر من دراسة الدولة واسقاط تلك النتائح والاحكام على الفرد.
كانت قصة حياة سقراط استاذ افلاطون و الصراعات اللتى خاضها مع السفسطائيين وهم فلاسفة اثينا العظماء في ذلك الوقت هي الدافع وراء كتابة افلاطون لهذا العمل. و في البداية علينا ان ننتبه الى ان اسم السفسطائيين كان يعنى سابقا الحكماء ولكنه قد تغير معناه اليوم واصبح سلبيا. فالسفسطائى اليوم هو الانسان اللذي يجادل من اجل الجدال مع ان اطروحاته فارغة او انه لايملك اطروحات اساسا. وكان سقراط انسانا محترما ذا مبادئ لا يتزحزح عنها. وكان ايضا متواضعا  ينادي بالاستقامة والتزام جادة الحق مادام الى ذلك سبيل. والتف حوله شباب اثينا الاثرياء واعجبوا باطروحاته وبعلمه وبفصاحته وكان افلاطون احد هؤلاء الشباب اللذين التفوا حول سقراط. ولكن السفسطائيون غاروا من سقراط وكادوا له و اتهموه بانه يفسد شباب اثينا وانه ملحد يزدري الالهة ويسئ اليهم. وتم الحكم عليه بالاعدام وتم تنفيذ الحكم عن طريق تجرع كأس السم وكانت هي وسيلة الاعدام المتبعة لاعدام المواطنين  الاثينيين في ذلك الوقت.
وكان السفسطائيون في ذلك الوقت يرون ان من الحصافة ان يكسر الانسان القانون بشرط الا يفتضح امره. فالقانون هو من صنع الاقوياء. والعدل هو  ما يحكم به القوي ولاعزاء للضعفاء. والعدالة و الاستقامة  قيم فارغة و الدليل على ذلك سقراط اللذي عاش مستقيما امينا ثم حكم عليه بالاعدام. و الافضل بلا شك ان يعيش الانسان حياة انتهازية فيتحصل على اقصى ما يمكن ان يصل اليه طالما امن العقاب. فلو استطاع الانسان ان يحصل على نصيب اكثر من حقه فليفعل ذلك وهو بالتأكيد سيكون اكثر سعادة مما لو اكتفى بنصيبه فقط و اذا تمكن الانسان من امتلاك خاتما سحريا يجعله يختفى عن الانظار وبهذا يستطيع ان يأتى بجميع الاثام دون ان يفتضح امره ويظل في نظر الناس انسانا مستقيما شريفا فعليه الا يتردد و ان يستغل هذه الخاتم اسوأ استغلال. لانه بالتأكيد سيكون اكثر سعادة عندما تتعاظم مكتسباته وسيكون اكثر حظا من التعيس سقراط اللذي زرع وردا وجنى شوكا.
واراد افلاطون ان يضحض هذا الرأي و ان يبين خطأه و اراد ان يبين ان العدالة شئ ثمين وانها قيمة غالية ليس فقط في ذاتها بل لانها تحقق للانسان اللذي يتمسك بها مكسبا مباشرا عظيما  وتعود عليه بالخير الكثير.

يقول افلاطون ان سكان جمهوريته او اي دولة ينتمون الى 3 طبقات: طبقة الحكام و طبقة الحراس وطبقة العمال اللتى تشمل اصحاب الحرف اليدوية و الفلاحين. ويضع افلاطون خطة لاعداد وتهيئة كل طبقة من الطبقات الثلاثة التهيئة المثلى. ولكن افلاطون اهتم في كتابه بتهيئة الحكام و الحراس اكثر من طبقة العمال ولذلك يرى الكثيرون ان افلاطون كان نخبويا.

ويبدأ الاعداد للدولة الفاضلة منذ ولادة الافراد وبطريقة غريبة لا شك في غرابتها.  فتبدأ رحلة الاعداد  بالتخلص من المواليد المرضى و الضعفاء و لا يتم الاحتفاظ سوي بالمواليد الاصحاء الاقوياء. ويتم انتزاع الاطفال من امهاتهم حيث ان المسئول عن تربية الاطفال هي الدولة و لا توجد عائلة او اسرة في جمهورية افلاطون حتى لاتنشأ عصبيات اسرية  او قبلية. فالاطفال لا يعرفون لهم عائلة سوي الدولة ويتم تنشئة كل الاطفال سويا. ويتم اعداد خطة لكل فريق من الأطفال على حسب المهارات اللتى يظهرونها وبعد معرفة لاي طبقة سوف ينتمى هؤلاء الاطفال. فبعضهم سوف ينتمى الى طبقة الحكام و بعضهم سيكون من طبقة الحراس و الباقى سيكون من طبقة العمال. وعندما يكبر الاطفال شيئا ما يتم اخبارهم بما يطلق عليه الخداع النبيل. وهو ان يتم اخبار الاطفال ان الله قد خلقهم جميعا من الارض ولكن اثناء خلقه اياهم اضاف لكل واحد منهم معدن ما من معادن الارض. فالبعض اضاف الله له ذهبا وهؤلاء سوف يصبحون حكاما و البعض الاخر اضاف لهم فضة وهؤلاء سيصبحون حراسا و البعض الاخر اضاف الله لهم برونزا فهؤلاء سوف يصبحون اصحاب حرف يدوية و البعض اضاف لهم حديدا فسيصبحون فلاحين وعمال بسيطين. ويتم اخبار الاطفال ان الذكريات اللتى قد يحملها بعضهم عن مرحلة الطفولة وعن نشأتهم الاولي ما هي الا اوهام و احلام سخيفة. وفائدة الخداع النبيل ان تجعل الاطفال يقبلون اقدارهم  فلا يطمع انسان الى  ان يخرج من طبقته وينتمى الى طبقة اعلى  لان هذا مستحيل ومرتبط بالمعدن الموجود بداخله كما تجعل الاطفال يرتبطون بالارض لانها امهم كما انهم يرتبطون بباقى الاطفال لانهم اخوتهم.

ويوضح افلاطون انه يجب اعداد الاطفال اللذين سوف يصبحون حراسا اعدادا يكسبهم الشجاعة و الحماسة والاقدام. اما الاطفال اللذي سوف يصبحون حكاما فيجب اعدادهم اعدادا فسلفيا سليما ويتم تدريبهم على اعمال العقل و الحكمة ويجب تدريبهم على اصدار القرارات اللتى تفيد الجماعة واللتى هي بعيدة كل البعد عن المصلحة الشخصية. ويوصى افلاطون بان يتم عمل اختبارات و اغواءات كثيرة ومتعددة لهؤلاء الاطفال اثناء فترة الاعداد ليتم غربلتهم بشكل جيد ولا يتبقى فعلا الا هؤلاء الاطفال اللذين يتمتعون بالحكمة و القدرة على اتخاذ القرارات المفيدة للصالح العام وللمجتمع.

وعندما يكبر الاطفال ويشبوا فلا يسمح لهم بالزواج و تكوين اسر. ولانجاب الاطفال يتم في الاعياد و المناسبات عمل قرعة بين الرجال و النساء  لممارسة الجنس و انجاب الاطفال. ولكن حتى هذه القرعة لن تكون نزيهة بل هي مزورة فنتيجة القرعة قد اعدها الحكام مسبقا للحفاظ على نقاء الطبقات ولكي يتم ضمان انجاب اذكى واصح واقوى  الاطفال. فالشاب الذكي يتم اختيار شابة ذكية له حتى ينجبوا اطفال اذكياء وكذلك بالنسبة للرجل القوي يتم اختيار امراة ذات صحة ممتازة حتى يتم ضمان جودة النسل. ولكن لا يتم اخبار الشعب بحقيقة الامر حتى لايصابوا بالاحباط و تجرح مشاعرهم بل يتم اخبارهم ان هذه هي نتيجة القرعة وما قرره الحظ.

ويقول افلاطون ان الحكام في الدولة الفاضلة ينبغى ان يكونوا من الفلاسفة ويتعلل بذلك بنظرية مملكة الافكار. وهذه النظرية هي اهم ما يميز افلاطون ويميز مدرسته الفلسفية وعندما نسمع بمصطلح الافلاطونيين فان المقصود يكون تحديدا من يؤمنون بنظرية مملكة الافكار او مايشابهها. ويمكن توضيح هذه النظرية كالتالى: اذا تخيلنا طاولة ما. فاننا نعلم ان للطاولات اشكال مختلفة بعضها مستدير والاخر مربع و الاخر مستطيل او غير ذلك من الاشكال.و بعضها يمتلك ثلات قوائم و البعض يمتلك اربع قوائم والبعض الاخر غير ذلك. لكن المهم انه عندما يشاهد اى انسان اى طاولة فانه يدرك فورا ان هذه طاولة. ولكن لماذا؟ هنا يقول افلاطون بان هناك طاولة مثالية وهي عبارة عن فكرة موجودة في العقل وكل الطاولات الموجودة في الحياة ماهى الا محاولات لتقليد الطاولة المثالية الموجودة في عالم الافكار. اذن ففكرة الطاولة موجودة وجودا حقيقيا وهذه الفكرة خالدة لا تزول و لاتتغير او تتبدل مع الزمن مع ان كل اشكال الطاولات في حياتنا تتغير وتتبدل لانها زائفة ومجرد تقليد. ومن الاشياء المهمة ايضا  فكرة الخير. فالخير فى حياة البشر منبثق من فكرة الخيرالمطلق وهي فكرة موجودة وجودا حقيقا في عالم الافكار وكل محاولات الفلاسفة لادراك الحقيقة وطلبها منبعثة من هذه الفكرة النبيلة الاساسية ولو لم يكن الخير المطلق موجودا لما دري الانسان شيئا عن عالم الافكار وبقى هائما على وجهه في دنيا الافكار المزيفة والتقليدات البائسة. وهنا يبرز دور الفلاسفة حيث انهم المحبون للحكمة الطالبون لها ولذلك هم اقرب الناس الى فتح ابواب عالم الافكار وفهم الاشياء على حقيقتها ولاينغروا بالزخرف الزائل في هذه الدنيا.

وفي هذا الجزء من العمل يكتب افلاطون العمل الرائع المعروف باسم كهف افلاطون اللذي يوضح عالم الافكار ونظرية المعرفة ويفصل دور الحكماء و الفلاسفة في اكتشاف الحقيقة وعجز من سواهم عن ذلك. وقد تعرضنا لكهف افلاطون في تدوينة سابقة. فمن يرغب في مراجعته مرة اخره فعلية مراجعة هذه التدوينة.

ولنفس السبب يرفض افلاطون الفن ويطرد الفنانين من دولته سواء كانوا رسامين او نحاتين او شعراء. ويعلل لذلك لسببين. .السبب الاول ان هؤلاء الفنانين يقلدون التقليد فيبعدون الناس عن ادراك الحقيقة اكثر واكثر. فعند افلاطون ان الله خلق فكرة الطاولة فى عالم الافكار ثم يأتى النجار فيحاول تقليد تلك الفكرة فينتج تقليدا مشوها وغير كاملا  ثم يأتى الفنان ويحاول ان يقلد التقليد مرة اخرى ولكنه  لن يستطيع ان يصنع ذلك بطريقة نستطيع ان نقول عنها انها كاملة فينتج مسخا يبعد الناس  اكثر و اكثر عن فهم الحقيقية. واما السبب الثانى فهو ان الفنانين يخاطبون غالبا الجانب النفسى غير الحكيم في النفس البشرية. فهم يلعبون دائما على وتر المشاعر والاحاسيس وهذا يؤثر بالتالى على سلامة اتخاذ القرار السليم. والطريف ان افلاطون نفسه كان من اقوي شعراء عصره.وكتب كل اعماله بصورة شعرية وادبية رائعة.

اما موقف افلاطون من المرأة فقد كان متطورا فقد قال ان المرأة يجب ان تحوز على جميع الحقوق كالرجل تماما وتشارك معه في نفس التدريبات بل وقال بأن المراة من الممكن ان تكون حاكمة وان كان قد استبعد ذلك. ولكنه مع ذلك ترك لها الباب مفتوحا لتأخذ فرصتها كاملة أن استطاعت. وكان هذا بالطبع موقفا ثوريا من جانب افلاطون حيث ان المرأة كانت في هذا الوقت اسيرة في بيتها محرومة من معظم الاشياء.

ونتيجة نظام الاعداد الذي تصوره افلاطون فان جمهوريته سوف تكون مثالية لانه سوف يتوفر فيها 4 خصال في غاية الاهمية. وهذه الاربع خصال هي: الحكمة وتأتى من طبقة الحكام اللذين تم اعدادهم كاحسن ما يكون. والخصلة الثانية هي البسالة وهذه الخصلة تأتى بصفة خاصة من طبقة الحراس اللذين تم اعدادهم بشكل مناسب. اما الخصلة الثالثة فهى التحكم في النفس وهي تاتى من الطبقة الثالثة و من السيطرة عليهم مما يعنى السيطرة على الغرائز و الشهوات وذلك يكون عن طريق قرارات الحكام الحكيمة والمتوازنة.  ويتم ضمان تنفيذ تلك القرارات عن طريق طبقة الحراس. اما الخصلة الرابعة وهي العدل. ومعنى العدل عند افلاطون هو التناغم بين طبقات الجمهورية وان كل طبقة تصنع ماهي مهيأة له. وهذا هو معنى  العدل عند افلاطون.

ثم يضرب افلاطون اربعة امثلة لنظم حكم سيئة ومريضة. وهذه النظم هي الدولة الدكتاتورية اللتى تسيطر فيها طبقة الحكام على باقى الطبقات والمثال الثاني السئ هو الدولة العسكرية وفيها تستبد طبقة الحراس بالسلطة ومثال لذلك دولة سبارطة العسكرية. والمثال الثالث هي دولة الاغنياء اللتى يسيطر فيها التجار واصحاب الثروات على السلطة. اما المثال الرابع فهو الدولة الديموقراطية اللتى كان افلاطون يراها نظاما سيئا!! لماذا؟ لانها تعنى سيطرة الاغلبية من طبقة العمال على السلطة. ومعنى ذلك ان الشهوات والغرائز ستكون عنوان هذه الدولة. حيث ان الحاكم سيحاول ان يتقرب الى شعبه عن طريق ارضاء شهواتهم ولكنه لن يتخذ القرارات السليمة. ثم ان الحاكم في النظام الديموقراطى صديق للشعب منافق لهم ولكنه لم يتم اعداده الاعداد اللازم لكي يشغل هذا المنصب.

ثم نصل الان الى مستوى الفرد فيري افلاطون ان الفرد هو نموذج مصغر للدولة. فالنفس البشرية تتكون من 3 اجزاء و العلاقة بين هذه الاجزاء تحدد السلوك العام للفرد. والجزء الاول في النفس البشرية هو الجزء الخاص بالحكمة والجزء الثانى خاص بالغضب والشجاعة و الاقدام والجزء الثالث خاص بالشهوات و الغرائز. وهذه الاجزاء الثلاثة تتنازع فيما بينها. فاحيانا يرغب الانسان في عمل اشياء مع انه يدري انها مضرة وفيها خسارة له. والفيلسوف هو من يجعل الجزء الخاص بالحكمة ينظم حياته ويرتبها فيعطى لكل جزء من نفسه نصيبا. والخصال الاربعة السابق ذكرها في الدول: الحكمة و الشجاعة و التحكم في النفس و العدل موجودة ايضا لدي الانسان. واهم هذه الخصال الخصلة الرابعة لانها تضمن تحقق الخصال الثلاثة الاولى وبصورة متناغمة. فكل جزء من اجزاء النفس البشرية مع تحقق العدالة يحصل على نصيبه كاملا.  وبلا شكل فان هذا الانسان المتحققة فيه صفة العدالة يكون في قمة السعادة ومنسجما مع نفسه. وهنا يصل افلاطون الى النتيجة اللتى كان يبتغيها . فلقد توصل الى ان العدالة لها قيمة في ذاتها ولكنها تحقق ايضا للفرد السعادة والتوازن و الانسجام.

كان هذا عرضا سريعا لجمهورية افلاطون. واما اهم الانتقادات اللتى و جهت الى هذا العمل انه غير انساني خاصة ما يتعلق بقتل الاطفال المرضى و الضعفاء. كما ان برنامج افلاطون مملوء بالغش والخداع خاصة ما يتعلق بالخداع والنبيل وتزوير قرعة التزاوج. كما انه بنى فكرته على عالم الافكار اللذى لايؤمن بها كل الناس. وبدون هذه الفكرة تسقط كثير من نتائج افلاطون كازدراء الفن و طرد الفنانين من الجمهورية. كما تسقط بذلك ايضا حتمية ان الفلاسفة هم وحدهم من يصلحون للحكم و انهم اجدر من يكونوا ملوكا.

المركز الاول: قانون اويلر

قانون اويلر

سيعلم الجمع من ضم مجلسنا
بأننى خير من تسعى به قدم
انا اللذي نظر الاعمى الى ادبي
واسمعت كلماتى من به صمم
الخيل والليل والبيداء تعرفنى
والسيف والرمح والقرطاس والقلم

على غرار هذه الابيات الرائعة للمتنبى اخال قانون اليوم يفاخر بنفسه مزهوا. فقانون اليوم هو ابيات شعر رياضية موزونة ومقفاة. ويشعر بجمال قانون اليوم كل من له نصيب في الاحساس بالجمال حتى وان كان المامه بالرياضيات يسير. فهو علاقة تجمع الثوابت الاساسية في الرياضيات في قانون واحد. ولم يكن المرء ليتخيل انه بالامكان جمع كل تلك الثوابت في علاقة واحدة بديعة كهذه. وقد كتبت كتب عديدة عن كل واحد من هذه الثوابت على حده فهي كالاحجار الكريمة و الآلئ اللتى اصطفت في تاج هو قانون اليوم الموضوع على قمة النظريات الرياضية الاكثر جمالا.

ومكتشف قانون اليوم هو السويسري اويلر Euler اللذي تعرفنا عليه في نظريتين من قبل. فقانونه اليوم هو ثالث قانون له في النظريات العشر الاكثر جمالا بل النظريات الخمس الاكثر جمالا على وجة الدقة. وفيما يلى نتعرف على الثوابت اللتى ظهرت في قانون اليوم بشئ من التفصيل:

اولا الصفر. وهو عدد ساحر وهو العدد المحايد الجمعى. فاذا جمعنا اي عدد على الصفر فتكون النتيجة هي العدد نفسه دون تغيير. والعدد صفر لا غنى عنه في الرياضيات وقد احتل مكانة بارزة لا يتزحزح عنها بعد ان كان عددا مرفوضا من قبل الفلاسفة اليونانيين لانه كان عددا عبثيا يثير الفوضي والخوف و الفزع. كما انه كان مرفوضا من قبل رجال الكنيسة الغربية في العصور الوسطى لانه كان من وجهة نظرهم هرطقة وكفر. ولكنه في النهاية تبوأ مكانته اللتى لا يضانيه فيها الا توأمه الاخر وللذي للاسف لم يظهر في علاقة اليوم: المالانهاية!

ثانيا العدد واحد. وهو المحايد الضربي بمعنى اننا اذا ضربنا اي عدد في واحد فسوف تكون النتيىجة العدد نفسه. والعدد واحد هو اول الاعداد الطبيعية كما انه العدد اللذي تقبل كل الاعداد الطبيعية الاخرى القسمة عليه بدون باق. بينما هو لايقبل القسمة سوي على نفسه فقط. وهو مع ذلك ليس عددا اوليا. و الرقمان صفر و واحد لاغنى عنهم في اي نظام رياضي بينما باقى الارقام الاخري من 2 الى 9 يمكن الاستغناء عنها. صحيح انها مفيدة ولكنها ليست ضرورية. وخير دليل على ذلك جهاز الحاسوب اللذي امامك فهو لا يعرف سوي رقمين فقط هما الصفر و الواحد وهو مع ذلك يقوم بكل العمليات الحسابية بمنتهي الدقة. وفائدة الاعداد من 2 الى 9 تأتى في انها تختصر الحيز اللازم للتعبير عن الاعداد. فمثلا العدد 9 يحتاج في النظام العشرى الى موضع واحد اما في النظام الثنائى فان العدد 9 يأخذ هذه الصورة 1001 اي انه يحتاج الى 4 مواضع ليعبر عن نفس القيمة.

ثالثا الثابت ط. وهو ثابت الدائرة ويعبر عن النسبة الثابتة بين محيط الدائرة وقطرها. وقد تعرضنا لهذا الثابت مرتين من قبل وعلمنا ان الثابت ط عدد متسامى وغير نسبي. ولن نتعرض للعدد ط مرة اخرى اليوم ونحيل من يرغب في المزيد من المعلومات عن العدد ط الى نظريتي المركزين الثامن و الخامس.

رابعا الثابت e وهو يساوي تقريبا 2.7 . وهذا العدد  هو ايضا عدد متسامى وغير نسبى كالثابت ط تماما. وبالتالى فان عدد ارقام الثابت e بعد العلامة العشرية هو مالانهاية. وقد تمكن الرياضيون حتى الان من تحديد اول تريليون رقم بعد العلامة العشرية. ومن هنا نري اهمية ان نرمز لهذا العدد بالحرف e لاننا من المستحيل ان نكتبه كاملا. ولانعرف على وجه التحديد سبب اختيار الحرف e كرمز لهذا العدد ولكن من الجائز انه يكون مأخوذ لأنه الحرف الاول في اسم Euler مكتشف هذا العدد ومكتشف قانون اليوم. وهذا العدد يعرف بانه اساس اللوغاريتمات الطبييعة ولكن تعريفه الرياضي الدقيق ينبع من قانون حساب الفائدة البنكية المركبة. فكيف ذلك؟ لو تخيلنا اننا اودعنا دولارا في بنك يعطى فائدة 50% اي 0.5 فاننا بعد عام ستصبح قيمة الدولار

1.5 = (1+0.5)*1

أي دولارا ونصف وبعد عامين اذا تركنا المبلغ برمته في البنك ولم نسحب منه شئ فسوف تصير القيمة:

2.25 = 2^(1+0.5)*1 =(1+0.5)*(1+0.5)*1

والان اذا افترضنا ان البنك يعطى فائدة 100% او 1. فاننا بعد سنة سوف نحصل على

2=(1+1)*1

واذا افترضنا الان ان البنك لا يوزع الفائدة مرة واحدة في نهاية العام 100% ولكنه يوزعها على مرتين كل مرة 50% فاننا نحصل في نهاية العام على القيمة التالية:
2.25 = 2^(1+1/2)*1

واذا افترضنا ان البنك يوزع الفائدة كل 12 شهر فان القيمة سوف تكون:

2.613 =12^(1+1/12)*1

واذا افترضنا ان البنك يوزع الفائدة يوميا فان القيمة سوف تكون:
2.715 = 365^(1+1/365)*1

وهكذا فاننا نقترب تدريجا من قيمة الثابت e واللتى سوف نصل اليها تماما عندما يوزع البنك فائدته لحظيا او ان

e=lim(1+1/n)^n
وذلك عندما تئول قيمة n الى مالانهاية.

خامسا العدد i وهو عدد تخيلي ويساوي جذر ناقص واحد بمعنى ان:

i^1= i  , i^2 = -1   , i^3=-i  , i^4=1
i^5=i    , i^6=-1   , i^7=-i  , i^8=1

وهكذا دواليك!

وقد يتسأل اللانسان عن هذه الاعداد التخيلية ومن اين اتت؟ الاجابة الاعداد التخيلية مثلها مثل باقى الاعداد تنبع من كونها  حلولا ممكنة  للمعادلات المختلفة.

فمثلا المعادلات:
x-1= 0
x+1=0
2x-1=0
x^2-2=0

حلولها هي كالتالى: حل المعادلة الاولي 1 وهو عدد طبيعى اما حل المعادلة الثانية فهو ناقص واحد وهو عدد صحيح اما حل المعادلة الثالتة فهو 1/2 وهو عدد نسبى اما حل المعادلة الرابعة فهو احد امكانيتين اما جذر 2 او سالب جذر 2 وهما عددان حقيقيان. لكن ماذا عن المعادلة التالية :

x^2 +1 = 0
?

نستطيع ان نكتب المعادلة السابقة على هذه الصورة:

x*x = -1
ومن هنا نري ان الحل لايمكن ان يكون عددا حقيقيا لان هناك 3 احتمالات لقيمة x اما قيمة موجبة او قيمة سالبة او صفر. لكن الصفر  ليس حلا لهذه المعادلة . كما ان x لايمكن ان يكون موجبا لان موجب ضرب موجب يعطي موجب. كما انه لايمكن ان يكون ايضا سالبا لان سالب ضرب سالب يعطي مرة اخرى موجب. اذن حل المعادلة المذكورة لا يمكن ان يكون عددا حقيقيا. ومن هنا جاء اختراع الاعداد التخيلية.

في البداية اعترض بعض الرياضيين و الفلاسفة على الاعداد التخيلية وقالوا انها مستحيلة او انها عبث لاطائل من ورائه. ولكن الاعداد التخيلية اثبتت لنا اليوم انها في غاية الاهمية ولايمكن الاستغناء عنها وهي تستخدم في الفيزياء بشكل اساسى خصوصا في ميادين الكهرباء و فيزياء الكم و النظرية النسبية. ولكن حتى في مجال الميكانيكا الكلاسيكية فالاعداد التخيلية موجودة بقوة فهي تظهر في قوانين الاهتزاز.

ومن هنا فكما ان مجموعة الاعداد الصحيحة تشمل مجموعة الاعداد الطبيعية وكما ان مجموعة الاعداد النسبية تشمل مجموعة الاعداد الصحيحة وكما  ان مجموعة الاعداد الحقيقية تشمل مجموعة الاعداد النسبية فاننا بامكاننا ان نقول ان هناك مجموعة اعم من مجموعة الاعداد الحقيقية وهي مجموعة الاعداد المركبة. وهي اعداد تتكون من جزأين او  عددين: عدد حقيقي و اخر تخيلي. ولكن ليست مجموعة الاعداد المركبة نهاية المطاف فهناك مجموعة  اعداد اعم وهي الكواترينيونات ولكن هذا موضوع اخر.

اما برهان هذا القانون فينبع من التعويض في القانون

e^ix = cosx + i sinx

بالقيمة PI  في x فنحصل على:

e^i*PI = -1
e^i*PI +1 = 0

ومن هنا نحصل على برهان القانون الرائع اللذي ابهر المتصوفين والفلاسفة والعلماء و الرياضيين  كل على حد سواء.

 

 

المركز الثانى:قانون اويلر للاجسام الفراغية

نتعرف اليوم على قانون المركز الثانى. و للمرة الثانية نتعرف على قانون ينتمى لميدان الهندسة الفراغية. وقد كانت المرة الاولى عندما تعرضنا لقانون المركز الرابع واللذي يفيد بأن عدد الاجسام الافلاطونية هو خمسة. كما ان هذا القانون هو ايضا ثانى مرة نتعرف فيها على قانون منسوب لأويلر حيث كانت المرة الاولى عندما تعرضنا لقانون المركز الخامس الخاص بالعدد ط. ومن قبيل المصادفة الطريفة ايضا ان قانون اليوم يحتوي على العدد 2 في الطرف الثانى من المعادلة. فقانون اليوم يقول ان:
V-E+F=2
حيث ان V هو عدد اركان الجسم الفراغى المحدب وهو مشتق من الكلمة الانجليزية vertex
و E هو عدد حواف الجسم الفراغى المحدب وهو مشتق من الكلمة الانجليزية edge
و F هو عدد اوجه الجسم الفراغى المحدب وهو مشتق من الكلمة الانجليزية face
وفيما يلى نتعرف على القانون بشئ من التفصيل.

في ميدان الهندسة المستوية من السهل علينا ملاحظة خواص الاشكال المختلفة فالمثلث له 3 اضلاع و 3 زوايا و المربع له 4 اضلاع و اربع زوايا وكذلك الحال بالنسبة الى المخمس فله 5 اضلاع و 5 زوايا الي اخره. ولكن اذا  انتقلنا الى ميدان الهندسة الفراغية فان الموضوع لن يكون بهذا الوضوح! نعلم ان الاجسام الفراغية لها عدة سطوح او اوجه. واذا تقاطع وجهان في خط فاننا نطلق على هذا الخط حافة. واذا تقاطعت ثلاثة اسطح على الاقل في نقطة فاننا نطلق على هذه النقطة ركن. اذن الاوجه و الحواف و الاركان هي كلها خواص وسمات واضحة للاجسام الفراغية فهل توجد علاقة بسيطة تربط كل هذه المكونات والصفات الرئيسة ببعضها؟ الاجابة هى نعم. وقانون اليوم يتعامل تحديدا مع هذا السؤال ويقول بانه بالنسبة لاي جسم فراغي محدب سواء كان منتظم ام لا فاننا اذا جمعنا عدد اركان هذا الجسم زائد عدد اوجهه ثم طرحنا من النتيجة عدد حوافه فان النتيجة تكون دائما 2! مثال لهذا المكعب: فالمكعب يحتوي على 8 اركان و 6 اوجه اذن فالمجموع هو 14 فاذا طرحنا عدد حواف المكعب وهو 12 تكون النتيجة 2. و اذا اردنا دراسة اجسام اكثر تعقيدا من المكعب كما الجسم في الرسم فان النتيجة سوف تكون هي نفسها.

عدد الاوجه 32 و الاركان 60 و الحواف 90

 

اول من توصل الى هذا القانون كان الفيلسوف و الرياضى و الفيزيائي الفرنسي ديكارت René Descartes في القرن السابع عشر. ولكنه لم يستطع ان يبرهن هذا القانون. ثم ذكر ليونيل اويلر هذا القانون في رسالة الى صديقه جولدباخ. ولكنه ذكر انه اكتشف هذا القانون بالنسبة لاي شبكة مسطحة متصلة من الخطوط. وفي الحقيقة فان هناك طريقة معينة نستطيع بواستطها ان نفرد اى جسم فراغى محدب الى شبكة مستوية متصلة بحيث يكون لها نفس عدد الاركان و الاوجه و الحواف. ومن هنا نري ان قانون اويلر للشبكات المتصلة ينطبق ايضا على الاجسام الفراغية المحدبة. و اليوم يوجد اكثر من 19 برهانا منفصلا لهذا القانون.

ومن الرائع ان نتفكر في امر التطور الفكري في ميدان الهندسة او الرياضيات عموما. فالهندسة المستوية لاشك انها بديعة و ساحرة. ولكن عندما ننتقل من الهندسة المستوية الى الهندسة الفراغية فان النقلة لن تكون سهلة. فالانسان يحتاج الى التعامل مع الهندسة الفراغية الى خيال اكثر وقدرة على التخيل اوسع منها في حالة الهندسة المستوية. وقد راينا في قانونين المرتين السابقتين كيف ان الخيال و العقل يتقابلان. ففى قانون الاجسام الافلاطونية الخمسة حسم العقل ان الخيال لن يمكنه ايجاد جسم افلاطوني سادس بينما فتح العقل للخيال الباب في ميدان الاعداد الاولية لتخيل اعداد اولية اكبر و اكبر. لكن في ميدان الهندسة فان هناك مفاجأة فالهندسة ليست مقصورة  على 3 ابعاد فقط.بل ان الهندسة تقول ان هناك فضاءات ذوات 4 او 10 او 100 بعد واكثر من ذلك بكثير. لكن كيف يمكن لنا ان نتخيل لنا اجسام تشغل ذلك العدد من الابعاد؟ في الحقيقة اننا لا يمكننا ذلك. فنحن لا يمكننا ان نتخيل اكثر من 3 ابعاد مكانية. اذن حيث يتوقف الخيال ويتعطل  تماما فان العقل مازال قادرا على اسقاط احكام قاطعة على هذه الاجسام ذوات الابعاد فوق الثلاثية   وبثقة رهيبة !!

ومن هنا نري ان التخيل هو اداة من ادوات العقل يستخدمها حينما يكون استخدامها مفيدا. وحين تبطل هذه الاداة او تعجز فان العقل يستخدم اداة او ادوات  اخرى للوصول الى هدفه. وقد تكون هذه الاداة الاخري هي اداة القياس او اداة التجريد حين يبحت العقل بشكل تصوفى حول الحقيقة المجردة خلف الاشياء: ماهو السطح المجرد او مامعنى حافة مجردة او معنى  مسافة او خط فعلا؟ والقدرة على التخيل هي نعمة رهيبة يمكن تشبيها بنعمة البصر. ولكن البصر ليست الوسيلة الوحيدة للادراك. لانه لو كان الامر كذلك لما كان من الممكن ان يصبح لطه حسين او لابي العلاء المعري اى شأن.

وفي النهاية نري ان قانون اليوم  بسيط وجميل حتى على مستوي صياغته. فاننا نري التناغم في بنائه فنرى ان الحد الاول له اشارة موجبة ثم الحد الثانى في المنتصف له اشارة سالبة ثم الحد الثالث و الاخير له اشارة موجبة مرة اخري.ولسهولة حفظ القانون نلاحظ ان الحد الاول وهوعدد الاركان. والركن هو نقطة اي ان عدد ابعاده صفر. ثم يأتى الحد الثانى اللذي يعبر عن الحواف .و الحواف هي خطوط لها بعد واحد.ثم يأتى الحد الاخير اللذي يعبر عن عدد  الاوجه. و الاوجه لها بعدان. لكن جمال القانون ليس مرتبط بشكله وصياغته فقط ولكنه كما نري له معنى عميق ويشى عن روح تصوفية في عالم الهندسة و الاشكال و الاجسام.

المركز الثالث: الاعداد الاولية لا نهاية لها

نظرية المركز الثالث تقول ان مجموعة الاعداد الاولية لانهائية. وقد برهن هذا القانون الرياضي الاغريقى الشهير اقليدس اللذي كان ينتمى الي مدرسة الاسكندرية المصرية وقد عاش في الفترة مابين 360 الى 280 قبل الميلاد. وقانون اليوم يتعرض للاعداد الاولية كما كان قانون المركز العاشر يتعرض للاعداد الاولية ايضا.

يتعلم التلاميذ في المدارس اول ما يتعلمون مجموعة الاعداد الطبيعية: 1 و 2 و3 و … الى اخره.  ومجموعة الاعداد الطبيعية هي مجموعة ساحرة. ففي الحقيقة فان الانسان  يبدو مفطورا عليها. فعندما تلقن طفلا صغيرا لم يبلغ مرحلة الدراسة بعد هذه الاعداد فانه يتقبلها فورا ولن يسألك ما معنى ثلاثة او خمسة  مع ان دأب الاطفال ان يسألوا عن كل شئ بماذا ولماذا. ولكن يبدو ان هذه الاعداد لها سر خاص. ولذلك يقول بعض الرياضيين السابقين وحتى الحاليين ان الاعداد الفعلية هي الاعداد الطبيعية بينما باقى الاعداد مصطنعة لا وجود لها فعلا لكنها مجرد وسائل مساعدة يستخدمها الانسان للوصول لهدف معين ثم يتخلص منها. اي انها مجرد وسيلة وليست هدف او حقيقة. ويقول كرون أيكر Kronecker الرياضى الالماني اللذي عاش في نهاية القرن التاسع عشر ومكتشف الدالة الشهيرة باسم دلتا: ان الله خلق الاعداد الصحيحة اما بقية الاعداد الاخري فهي من صنع الانسان.

وعندما يكبر التلاميذ شيئا ما ويبدأون في اجراء بعض العمليات الحسابية البسيطة كالجمع و الطرح ويحفظون جدول الضرب يعلمون ان هناك اعدادا اولية وهي عبارة عن مجموعة اعداد جزئية من  مجموعة الاعداد الطبيعية ولكنها لاتقبل القسمة سوي على نفسها فقط وعلى العدد واحد. وهذه الاعداد هي: 2 و 3 و5 و7 و 11 و 13و ….الى اخره. وبحكم التعريف فان 1 ليس عددا اوليا والاعداد الأولية تبدأ من 2 فيما فوق. وكذلك 4 ليس عددا اوليا لانه يقبل القسمة على عدد اخر بخلاف نفسه. فهو يقبل القسمة على 2.

ثم يبدأ التلاميذ الصغار ولكن في مرحلة اكثر تقدما  في ايجاد ما يعرف باسم القاسم المشترك الاعظم لعددين وتحليل الارقام الى حاصل ضرب اعداد اولية. فمثلا العددان 48 و 60 القاسم المشترك الاعظم بينهما هو 12 وهو حاصل ضرب 3 في 2 في 2 . كما ان العدد 48 يمكن تحليله الى ضرب 3 في 2 في 2 في 2 في 2 . كما ان العدد 60 يمكن تحليله الى ضرب 5 في 3 في 2 في 2.

اذن فكما ان الاعداد الطبيعية هي اسم على مسمي لان طبيعة الانسان مفطورة عليها نجد ايضا ان اسم الاعداد الاولية هو ايضا اسم على مسمى. فكل الاعداد الطبيعية يمكن تحليلها الى حاصل ضرب اعداد اولية. ويمكننا ان نعمم القول ونقول ان اي عدد طبيعى اكبر من واحد اما انه نفسه عدد اولى و اما انه حاصل ضرب مجموعة اعداد اولية في بعضها.

ولا يشترك اى رقم طبيعى مع رقم اخر في توليفة الاعداد الطبيعية اللتى يتكون منها هذا الرقم. ومن هنا تبدو توليفة الاعداد الاولية هذه وكأنها رقم قومي او بصمة جينية لا تتكرر و لا توجد الا في عدد واحد.

ومن هنا يمكننا ان نشبه الاعداد الاولية في الرياضيات بالعناصر الدورية في الكيمياء. فاي شئ نراه او نلمسه او نتذوقه. اى شئ في الكون. اي مادة في اي حالة كانت سائلة صلبة او غازية يمكننا ان نرده الى عدد محدود من العناصر الموجودة في الجدول الدوري . وهذا العدد المحدود من العناصر واللذي يقارب ال 120 عنصر يتكون منه كل شئ في حياتنا. كما ان 28 حرف اللذين يكونون حروف اللغة العربية نستطيع ان نكون منهم عدد هائل من الكلمات و الاصوات بغض النظر ان كان لهذه الكلمات او الاصوات معنى ام لا. وهنا يظهر سؤال : هل ايضا الاعداد الاولية محدودة كحروف اللغة او عناصر الجدول الدوري؟ اليس بديهيا انه كلما كبرت الاعداد كلما قبلت القسمة بالتاكيد على عدد ما اقل منها؟ هذه كلها اسئلة تبدو منطقية ومقبولة ولكن اجابة اقليدس كانت رائعة: لا. فالاعداد الاولية هي لانهائية وليست محدودة و لاتنتهي ابدا. ويمكننا تشبيه ذلك بالهواء فهو دائما موجود. ولكنه موجود في الاسفل بكثرة وكلما صعدنا الى اعلى يقل الهواء ويشح ولكنه لاينقطع ابدا فقط كثافته و تركيزه يقلان. وهكذا الاعداد الاولية فبعد كل عدد اولى يمكنك التأكد من انه يوجد عدد اولي اخر اكبر!!

والحقيقة فان نظرية الاعداد من المواضيع الشيقة في الرياضيات ولكن كثير من الدارسين يستخفون بها و لا يقدرونها حق قدرها ويظنون ان مواضيع اخري كالتفاضل او حساب الموترات اهم شأنا وأعلى قيمة. ولكن هذا غير صحيح. فهناك العديد من الاسرار اللتى مازالت غامضة في هذا الميدان وهناك العديد من الحدسيات العالقة اللتى بالرغم من مضى القرون الطوال عليها الا انه لم يتمكن احد من اثباتها الى الان. وكثير من هذه القضايا العالقة تتعلق بالأعداد الاولية. مثال على ذلك هناك مقولة تقول انه بين كل عددين مربعين اكبر من الواحد  يوجد عدد اولي واحد على الاقل. فمثلا بين 4 و 9 تقع الاعداد الاولية 5و 7 وبين العددين المربعين 9 و 16 تقع الاعداد 11و 13 وهكذا. ولكن تبقى هذه المقولة غير مبرهنة حتى الان وتحتاج الى رياضى يثبتها او ينفيها. وان كانت التجربة حتى الان توضح ان هذه مقولة صحيحة.
اما برهان قانون اليوم واللذي توصل اليه اقليدس فهو كالتالى: افترض اقليدس اولا ان الاعداد الاولية منتهية. وان اكبر عدد اولي موجود هو p . الان نكون رقما جديدا عن طريق ضرب p مع جميع الارقام الاقل منه ثم نضيف واحد الى النتيجة النهائية فنحصل علي رقم كبير جديد هو :

1+px….3x2x1
وهناك الان احتمالان لهذا الرقم الجديد: اما ان يكون اولى ولكن هذا يتعارض مع الفرض بان p هو  اكبر عدد اولى موجود. و الاحتمال الاخر ان يكون هذا العدد غير اولى اذن فلابد وان يقبل هذا الرقم القسمة على عدد ما بخلاف نفسه و الواحد. ولكننا نري ان هذا القاسم لايمكن ان يكون العدد 2 او 3 او 4 او 5 او … او حتى p لان في النهاية يتبقى العدد واحد. اذن وحيث ان هذا العدد غير اولى فلابد انه يقبل القسمة على اعداد غير اولية هي كلها اكبر من p . ولكن هذا يتعارض مرة اخرى مع ان p هو اكبر عدد اولي موجود. ومن هنا نري خطأ الفرضية الابتدائية بان الاعداد الاولية منتهية وان p هو اكبر عدد اولي موجود فيها.

وفي النهاية اود ان اشير الى جمال قانون اليوم فهو قصير وواضح بشكل مذهل وينطبق عليه المثل العربي اوجز فانجز. كما ان نتيجة هذا القانون تحمل مفاجأة لطيفة وهي ليست بالضرورة النتيجة اللتى قد يتوقعها معظم الناس لانه كما سبق وذكرنا عاليه فانه قد يعتقد البعض بانه كلما كبر الرقم كلما قبل القسمة بالتأكيد على عدد ما اصغر منه. ومرة اخري نري كما في نظرية المرة الماضية كيف ان العقل و الخيال يتقابلان. ولكن في هذه المرة العقل اعطى الضوء الاخضر للخيال في الانطلاق و البحث عن اعداد اولية اكبر و اكبر.

المركز الرابع: الاجسام الافلاطونية الخمسة

نصل اليوم  الى نظرية المركز الرابع وهي نظرية تنتمي الى ميدان الهندسة الفراغية وتقول ان عدد الاجسام الافلاطونية خمسة. وقد برهن هذه النظرية الاغريقي الاثيني ثياتيتوس Theaetetus اللذي عاش في الفترة مابين 417 الى 369 قبل الميلاد.

والسؤال الاول اللذي قد يطرح نفسه ما هي هذه الاجسام الافلاطونية؟ ولأجابة هذا السؤال لابد ان نستدعى في مخيلتنا المضلعات المنتظمة كالمثلث المتساوي الاضلاع او المربع او الخماسي المنتظم او السداسى المنتظم الى اخر هذه الاشكال المنتظمة اللانهائية حتى نصل في نهاية الأمر الى الدائرة اللتى تعتبر مضلعا منتظما ذا عدد لانهائي من الاضلاع . وما يميز كل هذه المضلعات المنتظمة أن كل اضلاعها متساوية في الطول كما ان زواياها متساوية ايضا. كما ان بامكاننا ان نرسم دائرة تحتوي على هذه الاشكال وبحيث يمر محيطها  باركان هذا المضلعات المنتظمة.  وكما سبق وذكرنا ضمنيا فان هناك عدد لانهائى من تلك المضلعات المنتظمة. ولذلك فأن بامكاننا ان نرسم مضلع منتظم ذا مليون او حتى مليار ضلع ولاتوجد اي مشكلة في ذلك.

والان ننتقل من حالة المستوي او الفضاء ذي البعدين الى الفضاء ذي الثلاثة ابعاد. فهل توجد اجسام فراغية منتظمة في الفضاء الثلاثى الابعاد كما توجد مضلعات منتظمة في الفضاء الثنائى الابعاد؟واجابة السؤال هي نعم وهذه الاجسام الفراغية المنتظمة في الفضاء الثلاثى الابعاد واللتى تمتلك عددا محدودا من الاضلاع هي الاجسام الافلاطونية. وربما يقفز الى مخيلتنا فورا اشكال مشهورة كالكرة أو المكعب فهي بالتاكيد اجسام منتظمة في الفضاء الثلاثى الابعاد.

لكن في البداية اود ان ابين ان الكرة ليست جسما افلاطونيا. صحيح انها جسم منتظم و لكن عدد اضلاعها  يعتبر لانهائي. و الاجسام الافلاطونية هي اجسام منتظمة ذات عدد محدود من الاضلاع.اذن يتبقى لنا المكعب. فهل يوجد بجوار المكعب اجسام افلاطونية اخري؟

الاجابة هي  مرة اخرى نعم. وهذه الاجسام معروفة مند عهد الاغريق. فالاغريق كانوا امة  هندسية بامتياز فقد اهتموا اهتماما عجيبا بعلم الهندسة وبحثوا فيه بشكل ضخم واولوا عناية كبيرة بالاجسام الافلاطونية . وقد درس فيثاغورث 4 اجسام افلاطونية بشكل مستفيض. وهذه الاجسام هي:

رباعى الاوجه

1 رباعى الاسطح المنتظم Tetrahedron وهو عبارة عن هرم ذي اربعة اسطح هي كلها مثلثات مثساوية الاضلاع.

مكعب

2  المكعب hexahedron او cube وهو جسم له 6 اسطح هي عبارة عن مربعات متساوية

ثمانى الاوجه

3  ثمانى الاسطح المنتظم Octahedron وهو جسم له 8 اسطح عبارة عن مثلثات متساوية الاضلاع وهو عبارة عن هرمين ملتصقين عند قاعدتهما المربعة

والاشكال الثلاثة الاولي هي اشكال تهم الكيميائيين بشكل خاص. لان كل  البلورات المعروفة تصطف ذراتها على اركان احد هذه الاشكال الثلاثة السابقة نظرا لما تمتاز به هذه الاشكال  من صفات هندسية مميزة وتناسق وثبات في الابعاد.

اثنا عشرى الاوجه

4 الاثنى عشرى الاسطح المنتظم Dodecahedron وهو عبارة عن جسم له اثنا عشر سطح هي كلها عبارة عن مخمسات منتظمة

وهناك شكل خامس لم يعرفه فيثاغورث ولكن ثياتيتوس صاحب نظرية اليوم هو اللذي اكتشفه. وهذا الشكل الخامس هو:

عشرونى الاوجه

5 العشرينى الاسطح المنتظم Icosahedron وهو عبارة عن جسم له 20 وجها هي كلها عبارة عن مثلثات متساوية الاضلاع.

كرة القدم هي عشرون وجهي مشطوف

و الجسمين الافلاطونيين الرابع و الخامس يهمون بصفة خاصة عشاق لعبة كرة القدم. لانهما اوحيا بتصميم شكل  كرة القدم الرسمية الحالي. وهو شكل يعرف تحديدا بعشرينى الوجوه المشطوف

وقد استغل الفنانون والرسامون ايام عصر النهضة امثال دافنشى هذه الاجسام الافلاطونية الخمسة لما فيها من انسجام وتناغم في رسم لوحاتهم. كما ان هذه الاشكال تهم صناع النرود حيث ان الارقام المطبوعةعلى اوجه حجر نرد على شكل جسم افلاطوني تحمل كلها نفس احتمالات الظهور. ويقال على النرد في هذه الحالة انه سليم او عادل.

ولكن لماذا وصفت هذه الاجسام بالافلاطونية مع ان افلاطون ليس مكتشف هذه الاجسام؟ الاجابة لان افلاطون اهتم جدا بهذه الاجسام وعنى بها ضمن فلسفته ليس فقط بسبب صفاتها الهندسية البديعة بل لانه اعتبرها ترمز الى العناصر الاولية: النار و الماء و الارض و الهواء. فرباعى الاوجه Tetrahedron يشبه باركانه المدببة النار بينما يشبه العشرينى الاوجه Icosahedron بحوافه الملساء الماء ويشبه المكعب الارض بينما يشبه ذو الثمانى اوجه Octahedron الهواء.ولم يهتم افلاطون بذي الاوجه الاثنى عشر Dodecahedron ولكن في العصور الوسطى تم اعتباره يرمز الى المادة اللتى تتكون منها الاجرام السماوية!!

وحيت ان اجواء اليوم اغريقية بامتياز. نضيف ان الكلمات   tetra و hexa و octa و dodeca و icosa تعنى بالاغريقية الاعداد 4 و6و 8 و 12 و 20 .

نعود مرة اخري الى نظرية اليوم فقد اثبت ثياتيتس انه لاتوجد أي اجسام افلاطونية اخرى بخلاف الاجسام الخمسة المذكورة. ثم احب ان اوضح ماهي الاسس و الشروط الرياضية اللتى يجب ان تتوفر في جسم فراغى حتى نقول انه جسم منتظم . في الحقيقة ان الجسم يكون منتظما عندما تتوافر فيه الشروط الثلاثة التالية:

شكل محدب

1 ان يكون الجسم محدبا . والجسم المحدب هو الجسم اللذي يقع اي خط بصل بين نقطتين فيه في داخل هذا الجسم بالكامل

2 ان تكون جميع اسطح هذا الجسم مضلعات منتظمة ولها نفس عدد الاضلاع. فمثلا اوجه المكعب كلها مربعات اي عدد الاضلاع فيها 4 واوجه الرباعى الاوجه Tetrahedron كلها مثلثات متساوية الاضلاع و عدد اضلاعها ثلاثة بينما اوجه الاثنى عشرى الوجوه Dodecahedron كلها مخمسات منتظمة و عدد اضلعها 5

3 تتقاطع عند اركان هذه الاشكال نفس العدد من من الحواف. ففى حالة المكعب يلتقى عند كل ركن 3 حواف. بينما بالنسبة للثمانى الوجوه يلتقى عند كل ركن 4 حواف.

في النهاية نري انه من الطبيعى ان يكون لنظرية اليوم مكانا بين النظريات الاكثر جمالا. فاولا  هي تتعلق باجسام اعتبرها

شكل غير محدب

الفنانون و الفلاسفة السابقون و الحالون رموزا للجمال. وثانيا فان هذه النظرية تحمل مفاجأة لطيفة فربما كان الاقرب للتوقع ان عدد الاجسام الافلاطونية يتخطى الخسمة اجسام. وثالثا فاننا نعلم ان الخيال البشري هائل ولاحدود و لا نهاية له ولكن نظرية اليوم تضع حدودا وقيودا لهذا الخيال وتنص على انه مهما حاول الانسان ان يتخيل اجساما منتظمة بخلاف الخمسة المذكورة عاليه فانه سيفشل. فهنا العقل البشري يضع حدودا للخيال للبشري.

المركز الخامس: الثابت ط و النظام بداخل الفوضى

نصل اليوم الى النصف الاعلى من المسابقة  ونتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز الخامس وهي نظرية تتعلق مرة  اخرى بالثابت ط  وقد تعرفنا منذ عدة ايام على نظرية المركز الثامن و اللتى تقول ان الثابت ط عدد متسامي. اما نظرية اليوم فتقول ان سدس مربع قيمة ط يمكن التعبير عنه في صورة متسلسلة لانهائية هي عبارة عن ناتج جمع مقلوب مربع واحد زائد مقلوب مربع 2 زائد مقلوب مربع 3 وهكذا. وقد توصل لهذا القانون السويسرى ليونهارد اويلر اللذي عاش في الفترة بين 1707 حتى 1783 .

ثابت ط طبقا لاويلر

وكما علمنا من نظرية المركز الثامن بان ط هوعدد متسامي وبالتالى فهو عدد غير نسبى.  وبالتالى نعلم ايضا ان عدد الارقام بعد الفاصلة العشرية هو عدد لا نهائى  و انه لا يوجد نمط معين يتكرر بداخل هذه الارقام والا كان ط عدد دوري وليس عدد غير نسبي. ويتسابق الرياضيون اليوم فيما بينهم من اجل تحديد اكبر عدد ممكن من الارقام بعد العلامة العشرية. وتاريخيا نجد ان عملية تحديد قيمة الثابت ط مرت بمراحل عديدة نشير الي بعضها فيما يلى:

1 قبل 4 الاف سنة افترض البابليون القيمة 1/8 3 ل ط بينما افترض المصريون القدماء القيمة 256/81  أو  3.1605

2 في القرن الثالث قبل الميلاد توصل ارشميدس عن طريق انشاء شكل منتظم متعدد الاضلاع عدد اضلاعه 96 ان قيمة ط تنحصر بين 10/71 3   و 1/7 3

3 تمكن غياث الدين الكاشى عام 1436 من تحديد 16 رقما من ط بعد الفاصلة العشرية

4 في عام 1593 توصف فيته  François Viète  لصيغة ل ط تتكون من عدد لانهائى من الحدود مضروبة في بعضها

5 في الفترة ما بين القرن السادس عشر و التاسع عشر حاول الكثيرون من اهم الاسماء في ميدان الرياضيات تعيين قيمة ط بدقة اعلى ومن ضمن هذه الاسماء نيوتن وهيجنز ولايبنز واويلر واخرون

اما في عصرنا اليوم وبعد تقدم الحاسبات الالكترونية فقد تمكن اليابانيون عام 1997 من تحديد 51 مليار رقم بعد العلامة العشرية.  وفي عام 2010 وصل هذا الرقم الى 2.7 تريليون رقم بعد العلامة العشرية. وبعدها بفترة وجيزة تم تحطيم هذا الرقم ليكون 5 تريليون رقم بعد العلامة العشرية. وبما ان اجهزة الكمبيوتر تتطور يوما بعد يوم فلاشك في ان الارقام القياسية سوف تواصل انهيارها الواحدة بعد الاخرى. ويدخل الرياضيون والمبرمجون فيما بينهم سباقا محموما لتعيين اكبر عدد ممكن من هذه الارقام. وهذا السباق يمكن تشبيهه بسباق التسلح بين الولايات المتحدة الامريكية و الاتحاد السوفيتى السابق ايام الحرب الباردة. وفيما يلى قيمة ط بدلالة 1000 رقم منها بعد العلامة العشرية:

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

 

ولكن هنا قد يظهر سؤال حول ما هيى الفائدة الفيزيائية لتعيين اعداد اكترمن الثابت ط. فقد توصل عالمان كنديان الى ان 39 رقما بعد العلامة العشرية كافية لحساب محيط كوننا المعلوم بنسبة خطأ لا تزيد عن قطر ذرة هيدروجين واحدة!! كما ان 62 رقم بعد العلامة كافية ليكون الخطأ اقل من طول بلانك!!

وقد يود البعض ولو حتى  من دافع الفضول من ان يعرفوا كيف يتمكن الرياضيون يوما بعد يوم من زيادة رصيدهم من ارقام الثابت ط. وقانون اليوم هو احد الاجابات الممكنة لهذا السؤال فهو يوضح كيف يتمكن الانسان عن طريق متسلسلة لانهائية من ان يحدد قيمة الثابت ط. فصحيح ان الانسان او الحاسوب لن يستطيع ان ينجز كل تلك الخطوات اللانهائية ولكنه على كل الاحوال كلما انجز خطوة جديدة منها كلما اقترب من تحديد قيمة الثابت ط.

ولادراك جمال نظرية اليوم نستدعى في ذاكرتنا ماقاله الفيزيائى والرياضي بنروز فقد قال ان جمال الرياضيات يكمن في بساطتها وخصوصا عندما لايتوقع احد هذه البساطة. وقانون اليوم هو خير تمثيل لهذه المقولة. فكما نعرف ان الثابت ط هو عدد غير نسبى وتأتى الارقام بعد الفاصلة العشرية بصورة عشوائية. بل يتوقع الرياضيون ان الثابت ط يحتوي على اي رقم في العالم يمكن تخيله. وهناك العديد من المقارنات تمت بين ارقام الثابت ط بعد الفاصلة وبين الارقام الناتجة من محركات توليد الارقام العشوائية لمعرفة هل الثابت ط اكثر عشوائية ام ان هذه المحركات هي الاكثر عشوائية. والجمال في قانون اليوم انه وسط هذه اللخبطة ومن رحم هذه الفوضى يولد لنا نظاما بديعا. فهذه الفوضى العجيبة في ارقام الثابت ط يحصل عليها الانسان عندما يجمع مقلوب مربع واحد زائد مقلوب مربع 2 زائد مقلوب مربع ثلاثة وهكذا. فيحصل الانسان في النهاية على مربع قيمة ط مقسومة على 6. انه فعلا اختراق ساحر للفوضى وللعشوائية.

وقد يرغب البعض في التعرف الى الطريقة اللتى تم بها برهنة هذا القانون. وهناك في الحقيقة اكثر من برهان لهذا القانون ولكنها تعتمد في معظمها على طريقة تكوين المتسلسلات لتايلور اللذي استطاع بطريقة بديعة ايجاد طريقة من شأنها تحويل الدوال رياضية الى شكل متسلسلة. وباستخدام الدوال الهندسية نعلم التالي:
tan(PI/4) =1
ومنها
tan-1(1) =PI/4
ونعلم ايضا من متسلسلات تايلور ان:
tan-1(x) = x -x^3/3 + x^5/5 -x^7/7 + … etc
اذن بالتعويض في x بواحد ومما سبق نحصل على:
PI/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -1/7 + … etc

وهذا ليس قانون اليوم ولكنه شبيه له اما قانون اليوم فقد برهنه الفرنسى لوفيك William J. LeVeque عام 1956 .

المركز السادس: قانون النقطة الثابتة

نتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز السادس وهي نظرية تنتمى للمواضيع المتقدمة واللتى غالبا لا تدرس الا في الجامعات وبداخل التخصصات الرياضية فقط. وبالرغم من عدم شيوع صيت هذه النظرية بين عموم الدارسين والطلاب الا انها مع ذلك تحمل اهمية رياضية قصوي.

و الصياغة البسيطة والأشهر لهذه النظرية  تقول:أي دالة مستمرة تربط نقاط قرص مستدير مركزه نقطة الاصل ونصف قطره الوحدة بنقاط القرص نفسها لابد وان تقدم على الاقل نقطة ثابتة واحدة. ومعنى نقطة ثابتة هي نقطة على القرص يتطابق اصلها مع صورتها. والصياغة الاوسع و الاعم لهذه النظرية لا تحتوي على كلمة قرص ولكنها تقول: كل دالة مستمرة تربط نقاط  فضاء  أقليدي جزئي  مضغوط بنفسها تقدم نقطة ثابتة واحدة على الاقل. اي ان هذه النظرية ليست مرتبطة بالفضاء الثنائى الابعاد فقط ولكنها صالحة لاي فضاء ذي اى عدد من الابعاد.

وأود ان اضيف ان نظرية اليوم ليست نظرية وحيدة ولكنها تنتمى الى عائلة كبيرة من نظريات النقاط الثابتة واللتى تتعلق بميادين رياضية مختلفة وسنتعرض لهذا لاحقا.

وتنسب هذه النظرية الى الهولندي براور  L. E. J. Brouwer اللذي عاش في الفترة من 1881 حتى عام  1966 . وتقول القصة انه كان ذات يوم يشرب فنجانا من القهوة واراد تذويب قطعة من السكر في فنجان القهوة فقام بتحريك القهوة بواسطة الملعقة. ولكنه لاحظ بداخل فنجان القهوة تبدو بعض النقاط وكأنها ثابتة ولاتبارح مكانها. ولا يعنى هذا ان نفس النقاط تبقى ثابتة على الدوام. ولكن هذا يعنى انه في كل لحظة توجد نقطة او مجموعة نقاط تبدو وكأنها لا تبارح مكانها بالرغم من التحريك بالملعقة وبالرغم من أن معظم النقاط الباقية قد غيرت من مواضعها.

دعونا الان نحاول ان نتعرف على هذه النظرية بامثلة سهلة وكلمات بسيطة  ولكنها مع ذلك مازالت تحافظ على روح النظرية  فدعونا نتخيل المثال التالى:

انت وزملاؤك تحتفلون بمناسبة ما فقررتم ان تهدوا لانفسكم شيئا بمناسبة  هذه المناسبة فقام كل واحد منكم بشراء هدية معينة وقام بتغليفها ووضعها في مخلاة كبيرة. ثم يأتى يوم الاحتفال وتوزيع الهدايا فيأتى كل شخص ويسحب من هذه المخلاة هدية من دون ان يراها. فما هي حتمية ان يسحب اى منكم نفس الهدية اللتى قد قام هو بشراؤها من قبل؟ أن نظرية النقاط الثابتة تتعامل مع هذه  الحتمية وتحدد متى يكون هذا الشئ امرا حتميا. وبالطبع في المثال السابق فان الحتمية ليست موجودة . بل بالامكان توزيع الهدايا بحيث يحصل كل شخص على هدية لم يقم بشراؤها بنفسه. واماكنية لهذا التوزيع ان يصطف جميع المشاركين في حلقة ويحمل كل انسان الهدية اللتى قام بشراؤها ثم يعطيها للشخص الواقف على يمينه. وبهذا التوزيع يحصل كل انسان على هدية لم يقم بشرائها.

نقطة اخير لازالة اي سوء للفهم قد ينشأ. فقد يعترض انسان ويقول ولكن امكانية ان يقوم شخص بسحب هدية قام بشراؤها مازالت موجودة بل قد يسحب كل الاشخاص نفس الهدايا اللتى قاموا بشرائها من قبل. ولكن ما احب ان اوضحه أن نظرية النقاط الثابتة لا تتعامل مع امكانية سحب نفس الهدايا اللتى قام الانسان بشراؤها بنفسه من قبل ولكنها تتحدث عن حتمية ذلك.ومتى يكون هذا الامر حتميا لامناص عنه وهذا هو احد اسباب جمال هذه النظرية!

المثال السابق كان مثالا سلبيا ويبين انه بالرغم من تطابق مجموعة المعطيات الداخلة مع مجموعة النتائج حيث ان كلا المجموعتين هي الهدايا نفسها فلا توجد نقاط ثابتة.لكننا الان نريد ان نري مثالا ايجابيا يوضح فكرة التوزيع ذي النقاط ثابتة. والمثال التالى يوضح هذا الامر كما انه يحتوي على لمسة جمالية بشأن هذه النظرية.

تخيل انك موجود في مدينة ما وانك تملك خريطة لهذه المدينة. قم الان بوضع هذه الخريطة مفرودة على الارض. وهنا ينبغى ان نلاحظ شيئين:

أولا ان اى نقطة موجودة بداخل مدينتك تطابق نقطة موجودة بداخل الخريطة

ثانيا ومن ناحية اخرى فاي نقطة على الخريطة حيثا انها مفرودة على الارض فهي ايضا جزء من ارض المدينة

وهنا انتبهوا معى تأتى النتيجة الجميلة و المفاجئة لهذه النظرية اللتى تقول ان هناك نقطة  ما على الخريطة تتناسب مع نقطة ما في المدينة تقع تحتها مباشرة.

ويمكننا تصور ذلك كالتالى حيث ان الخريطة مرسومة بمقياس رسم مصغر مثلا واحد الى الف فنجد ان الاطوال على الخريطة اقل منها في الحقيقة بالف مرة. فاذا حددنا الشارع اللذي نحن موجودين فيه فسنجده على الخريطة طوله 5 سم مثلا. ولكن هذه ال 5 سم تنتمى بدورها الى المدينة وصورتها في الخريطة يكون طولها 0.05 مم. ولكن هذه الصورة هي في نفس الوقت نقاط حقيقية داخل المدينة ولها صورة ايضا على الخريطة ونستطيع ان نكرر ذلك حتى نصل الى نقطة تنطبق على نفسها!

المثال السابق كان مرتبطا بفضاء ثنائى الابعاد وهو فضاء ارض المدينة ولكن المثال التالى يوضح نتائج النظرية بالنسبة لفضاء احادي الابعاد:

نتخيل ان هناك زنبرك حر وهذا هو الوضع الابتدائي ونقاط الزنبرك في البداية تعبر عن  مجموعات المدخلات. ثم نقوم بضغط هذا الزنبرك فتشكل النقاط الجديدة للزنبرك وهي مجموعة جزئية من المجموعة الابتدائية مجموعة النتائج. وتقول نظرية اليوم ان هناك حتما نقطة ثابتة من مجموعة المدخلات لم تتحرك ولم تفارق موضعها بالرغم من الضغط ومن تحرك باقى النقاط.

تقاطع منحنى الدالة مع الخط الاخضر يعطي نقطة ثابتة حيث y=x

اذن بهدوء فنظرية اليوم تتعرض للشروط اللتى تجعل من النقاط الثابتة امرا حتميا. وهذه الشروط و الاشتراطات هي مفاهيم رياضية متقدمة ربما لايتسع المكان هنا لتفسيرها ولكنى اعرضها سريعا:

1 مجموعة النتائج مجموعة جزئية من مجموعة المدخلات اوتتطابق معها

2 ان تكون الدالة مستمرة

3 ان تكون مجموعة المدخلات مضغوطة وهذا تعبير رياضى يعنى انها محصورة وتحتوي على حدودها

4 ان تكون مجموعة المدخلات محدبة. بمعنى ان اي خط يصل بين نقطتين في الفضاء يقع بالكامل في داخل الفضاء

اما اهمية هذه النظرية فهي كبيرة جدا فكما قلنا من قبل ان نظرية اليوم تنتمي الى عائلة كبيرة من نظريات النقاط الثابتة اللتى تنتمى لميادين الرياضيات المختلفة. ويبلغ عدد هذه النظريات حوالى العشر نظريات. ويمكننا تشبييه تواجد نظريات النقاط الثابتة في ميادين الرياضيات المختلفة بتواجد حزب الخضر او جماعة الاخوان المسلمين  في كثيرمن دول العالم. ومن اشهر قرينات نظرية اليوم نظرية النقطة الثابتة لبناخ  ولها تطبيقات هائلة في ميدان التحليل الجبري. ولتوضيح قيمة نظرية اليوم نذكر ان  نظرية اليوم تنتمى لميدان التوبولوجي وتعتبر من النظريات الرئيسة فيه. كما انها تستخدم بشكل حيوي في ميدان حل المعادلات التفاضلية  كما انها تستخدم بشكل مميز في حل المعادلات العادية وطريقة نيوتن الرقمية لحل المعادلات مرتبطة بنظرية اليوم. كما ان نظرية اليوم ترتبط بنظرية اللعب game theory اللتى تستخدم في اتخاذ القرارات. كما ان لها استخداماتها في الاقتصاد واستخدمت في توضيح ان هناك نقطة اتزان ممكنة في الاسواق الاقتصادية المختلفة.

 

المركز السابع: جذر 2 عدد غيرنسبى

نتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز السابع و اللتى تقول بكل بساطة ان جذر 2 هو عدد غير نسبي. وقد برهن هذه النظرية الرياضى الشهير اقليدس اللذي عاش في الفترة ما بين 360 الى 280 قبل الميلاد في عهد الدولة البطلمية في مدينة الاسكندرية المصرية.

دعونا نتعرف اولا على ماهي الاعداد الغير نسبية. في البداية احب ان اشير الى اعجابى الشديد بالترجمة العربية لهذه الكلمة. فالكلمة باللغة الانجليزية هي irrational numbers والترجمة الحرفية لهذه الكلمة هي الاعداد البلهاء او الغبية!! لكن المعرب هنا لم يلتزم بحرفية اللفظ ولكنه اهتم بالمعنى والمقصد من وراء هذه الاعداد ولم يهتم بسبها وقذفها. ولكن ما هي هذه الاعداد؟ ولماذا وصفت بانها بلهاء؟ ولماذا هذا الذم والقدح فيها؟

عرف الانسان اول ماعرف مجموعة الاعداد الطبيعية وهي تشمل الاعداد: 1 2 3 …. الى اخره. وهذه الاعداد عرفها الانسان البدائي. و الاثار الموجودة منذ العصر الحجرى تدل على ان الانسان عرف هذه الاعداد واستخدمها ربما لعد الدجاج او قطعان الشاة او لاي سبب اخر. وهذه المجموعة لا تشتمل على العدد صفر لان الصفر تم اكتشافه متأخرا. ولكن بعض الرياضيين المعاصرين يضمون الصفر الى هذه المجموعة باعتبار انه يتناسب وظيفيا مع هذه المجموعة بينما البعض الاخر يرفض هذا الضم و يتعلل بالاسباب التاريخية وانها لم تكون معروفة منذ البداية. و الخلاف بين هذين الفريقين من الرياضيين عميق و النزاع بينهما اشبه بالحروب العقائدية فكل فريق متمسك بفكرته ويرفض الفكرة الاخرى رفضا قاطعا. وانا من وجهة نظري الشخصية المتواضعة واللتى لا تعنى شيئا اميل الى ضم الصفر الى مجموعة الاعداد الطبيعية.

نتخطى الان عصر الانسان البدائى ونأتى لعصر الاغريق. نجد ان الاغريق تعاملوا مع الاعداد بمنطق يختلف عن تعاملنا معها اليوم. فالاغريق قاموا بتوأمة الاعداد مع الهندسة. وكانت الاعداد تعنى بالنسبة لهم اشكال هندسية كما ان العمليات الرياضية كانت عمليات هندسية صرفة. فاذا تحدث الاغريقي عن العدد 3 فانه يتخيل خطا طوله 3 متر. واذا تحدث عن العدد 5 فانه يتخيل خطا طوله 5 متر. فاذا تحدث عن جمع 3 زائد 5 فانه يتخيل اضافة خط طوله 3 متر الى خط طوله 5 متر فيكون الناتج خط طوله 8 متر او العدد 8.

ومن هنا عرف الاغريق الاعداد النسبية. فالنسبة بين الخطين في المثال السابق هي 3/5 لان الخط الاول اذا قسناه بقضيب عياري طوله 1 متر  فان هذا القضيب سينطبق على الخط الاول 3 مرات وسينطبق على الخط الثانى 5 مرات ومن هنا تأتى النسبة 3/5 . وكان الاغريق يعتقدون انهم بامكانهم تكرار هذه العملية بالنسبة لكافة الاطوال مهما كانت. فمثلا اذا تخيلنا خطا طوله ربع متر ثم وضعنا علامة على بعد 6 سم من بداية هذا الخط فقسمت العلامة هذا الخط الى قسمين غير متساويين فان نسبة هذين القسمين بعضهما الى بعض ستكون 6/19 . لاننا باستخدام قضيب قياس عياري طوله ا سم فان هذا القضيب سينطبق على القسم الاول من الخط 6 مرات بينما سينطبق على القسم الثانى 19 مرة. وهكذا ظن الاغريق انهم بالنسبة لاي طول موجود فانهم سيستطيعون تخيل قضبان قياس عيارية قصيرة بحيث تنطبق هذه القضبان على الاطوال الموجودة عدد صحيح من المرات. ولايهم ان كان طول هذا القضيب العياري ا متر او 1 سم او ا مم او ا نانو متر او اقل من ذلك. فالمهم هو المبدأ و الاعداد الطبيعية هى الاعداد الوحيدة المنطقية في هذا الكون والاعداد النسبية هى نسبة بين هذه الاعداد الطبيعية.

وزاد اتباع مدرسة فيثاغورث عن ذلك واعتقدوا ان سر الكون يكمن في الاعداد و ان الاعداد النسبية لها معنى عميق. فهناك نسبة معينة تعبر عن الجمال في هذا الكون وهي نسبة المقطع الذهبي ونسبة اخر تعبر عن القبح وهكذا. كما ان كل قوانين الكون تعبر عنها اعداد نسبية فهناك نسبة تربط بين طول قطر اي مربع وطول ضلعه وهكذا. اذن فهذه الارقام تنظم الكون و لها مغزي وحكمة وهدف فهى اعداد حكيمة ولذلك تسمى rational و لا يمكن ان توجد اعداد خلاف ذلك والا فهي بلهاء لامعنى لها وكوننا حكيم لايسمح بوجود اعداد بلهاء فيه.

ولكن الفيثاغورثيين كانوا مخطئين فالنسبة بين طول قطر المربع وطول ضلعه هي عدد غير نسبي او عدد ابله كما كان يطلق عليه الفيثاغورثيون. بل ان المصيبة ان عدد المقطع الذهبى اللذي يعبر عن الجمال ورمز الفيتاغورثيين انفسهم هو ايضا عدد غير نسبى. وقد ادرك الفيثاغورثيون انفسهم هذه الفاجعة ولكنهم تكتموا الامر حتى يجدوا مخرجا لهذه المشكلة. لكن احد الاتباع خان الامانة وفشى السر فقرروا اعدامه جزاءا لخيانته واختلفت القصص فى طريقة اعدامه فبعض القصص تقول انه تم حمله في قارب ثم القى به في البحر و بعض الروايات الاخرى تقول انه تم اعدامه عند الشاطئ وهناك روايات اخرى تقول نهايات مختلفة.

دعونا الان نتأمل بعمق في معنى الاعداد الغير نسبية. و ماذا تعنى العلاقة بين  طول قطر مربع وطول ضلعه؟ حيث ان العلاقة هي عدد غير نسبي فان معنى هذا اننا لن نستطيع ان نجد اي قضيب قياس مهما كان قصيرا حتى لو كان اقصر من قطر ذرة الهيدروجين بحيث ينطبق هذا القضيب على قطر المربع و على الضلع عدد صحيح من المرات. او كما يقول التعبير الرياضى ان العدد الغير النسبى a لايمكن التعبير عنه في الصورة p/q حيث p , q عددان صحيحان او طبيعيان حيث ان الاغريق لم يعرفوا الاعداد السالبة.

و استطاع اقليدس ان يبرهن ان العدد جذر 2 هو عدد غير نسبى. اذن فطبقا لنظرية فيثاعورث فان وتر مثلت قائم طولا ضلعى قائمته ا متر هو عدد غير نسبى ويساوي جذر 2 رغم انف فيثاغورث نفسه. ولكن كيف توصل اقليدس لهذا البرهان؟

برهن اقليدس هذا القانون بما يعرف بانه برهان بالتناقض اي انه يفترض شئ في البداية ثم يصل في النهاية الى عكس الافتراض مما يعنى ان الافتراض خاطئ ولا يجوز.

اذن فاقليدس ابتدأ برهانه و  قال اننا يمكننا ان نعبر عن العدد جذر 2 في صورة رقم نسبى مختصر p/q حيث p و q رقمان طبييعان  ليس بينهما قاسم مشترك بخلاف العدد 1 .

اذن فالعددان p و q ليسا عددان زوجيان. لانهما لو كانا عددين زوجيين لتمكنا من اختصارهما كما اننا نختصر 6/4 الى 3/2 وهذا يتنافى مع الفرض ان العددان هما مختصران لاقصى درجات الاختصار الممكنة.

بتربيع العدد نحصل على .

 p^2/q^2 = 2

ومنها
1  ********     p^2 = 2 q^2

معنى ذلك ان p^2 هو عدد زوجي لاننا كما نري هو ضعف العدد q^2

نتستنتج من ذلك ان p نفسه عدد زوجى لان حاصل ضرب عدد فردي في نفسه هو عدد فردي ايضا لانه الارقام الاولية الداخلة في تركيب العدد و تربيعه لا تتغير

من هنا يمكننا ان نفترض ان :

p = 2k

حيث k  عدد طبيعى ما. بالتعويض في المعادلة 1  نحصل على

 4k^2 = 2 q^2

ومنها

 

 2k^2 = q^2

اذن q^2 عدد زوجي ومنها ان q هو عدد زوجي هو الاخر وهذا يخالف الفرض الابتدائى ان العددان لايملكان اى قاسم مشترك بخلاف الواحد. ومن هنا استنتج اقليدس ان جذر 2  هو عدد غير نسبى!!

المركز الثامن: الثابت ط هو عدد متسامي

نصل اليوم الى نظرية المركز الثامن. وقد احتل هذا المركز قانون ذو منطوق قصير ينص على ان الثابت ط هو عدد متسامى. وقد اكتشف هذا القانون الالمانى فيردناد فون ليندمان Ferdinand von Lindemann عام 1882.وقانون اليوم يتكون من جزئين فدعونا نتعرف عليهما:

الجزء الاول يتعلق بالثابت ط. و الثابت ط يعرفه تلاميذ المدارس بصورته التقريبية وهي 22/7 او 3.14 . ويجب ان نراعى ان هذه قيم تقريبية لان الثابت ط هو عدد غير نسبى وبالتالى فلا يمكن حصره في صورة رقم نسبي او رقم عشرى عدد الارقام فيه بعد العلامة العشرية اثنان. بل اننا نعلم ان عدد الارقام في الثابت ط بعد العلامة العشرية يبلغ المالانهاية من الارقام. اما معنى الثابت ط ووظيفته فهو يعبر عن النسبة بين محيط الدائرة و قطرها وقد عرفه قدماء المصريين و البابليون منذ قديم الزمان.

ونظرا لاهمية هذا الثابت الرياضي وشهرته فقد كتبت عنه العديد من المؤلفات تعنى به فقط. ومن امثال هذه الكتب كتاب “متعة الثابت ط” او  “joy of PI” للمؤلف David Blatner . ولكن شهرة الثابت ط لا ترجع لاسباب رياضية فقط بل لاسباب اخرى قد تكون اكثر غرابة واثارة. وهنا نعدد بعض هذه الاسباب:

1 مجموع اول 144 رقم من ط بعد الفاصلة العشرية يعطى الناتج 666. وهذا الرقم يمثل الجحيم في السحر الاسود.

2 كما ان القيمة 144 نحصل عليها من الحساب (6+6).(6+6) .

3 نتيجة جمع جميع الاعداد في لعبة الروليت يعطى ايضا 666

4 تنطق كلمة ط في اللغة الانجليزية ك pie مع انها تكتب pi وكلمة pie تعنى تورتة. ولذلك يتم الاحتفال بالثابت ط في يوم  14 من الشهر الثالث في تمام  الساعة الواحدة و 59 دقيقة. وهذا لان الارقام الاولي من الثابت ط تكتب كالتالي 3.14159 . مع ملاحظة ان التاريخ الامريكي يكتب فيه الشهر قبل اليوم. بمعنى ان 14 مارس تكتب فى الولايات المتحدة على الشكل التالى 03.14 بينما في انجلترا وكل دول العالم تكتب على هذا الشكل 14.03 . اما كيفية الاحتفال في هذا اليوم فتكون عن طريق الدوران حول طبق محفور فى قلبه قيمة ط مقربة لاول 100 رقم بعد الفاصلة العشرية وطبعا تقدم التورتة في هذا الاحتفال

5 الاعداد بعد الفاصلة العشرية تأخذ توزيع عشوائي ولذلك فهي تحتوي تقريبا على اى رقم رقم يمكن تخيله. فالثابت ط يحتوي على تاريخ ميلادك.و لمعرفة اين يأتى تاريخ ميلادك في الثابت ط  يمكنك استخدام هذه الصفحة. فاذا فرضنا ان تاريخ ميلادك هو 01.01.1980 فادخل الرقم 010180 في هذه الصفحة وستجد ان هذه التاريخ يظهر بعد 1787531 مركز بعد الفاصلة العشرية.

نأتى للان للجزء الثانى في القانون هو يشمل عبارة عدد متسامى. فما معنى عدد متسامى؟ اولا احب ان اشير الى ان الكلمة  الانجليزية هي Transcendental ومعناها غيبي او روحانى. وهذا يضيف المزيد للاجواء السحرية و الغامضة للثابت ط. لكن دعونا الان من كل تلك الاسقاطات الميتافيزيقية  فماذا  تعنى لفظة عدد متسامى رياضيا؟

نعلم ان الاعداد في الرياضيات يتم تصنيفها كالتالى:
1 هناك مجموعة الاعداد الطبيعية : 1   2  3  ..

2 مجموعة الاعداد الصحيحة وتشمل الاعداد الطبيعية بالاضافة للصفر و الاعداد السالبة : -1  0  1  …

3 مجموعة الاعداد النسبية وتشمل الأعداد على هيئة نسبة  موجبة كانت او سالبة :  1/2 او 1/3

4 مجموعة الاعداد الحقيقية وتشمل الاعداد النسبية والغير نسبية كجذر 2 مثلا.

ولكن هناك تقسيم اخر للاعداد الحقيقية الى اعداد جبرية واعداد متسامية. فما هي هذه الاعداد؟ الاعداد الجبرية هي الاعداد اللتى يمكن ان تكون حلا لمعادلة حدية. فما هي المعادلات الحدية؟ المعادلات الحدية هي معادلات تحمل الصورة التالية:

حيث n رقم صحيح اكبر من 1 بينما a عبارة عن ارقام نسبية.

فعلى سبييل المثال العدد جذر 2 هو عبارة عن عدد جبري وليس عدد متسامي لانه حل للمعادلة:

x^2 -2=0

اما بالنسبة للاعداد المتسامية فاننا لايمكننا ان نجد اي معادلة حدية مهما حاولنا بحيث تكون الاعداد المتسامية حلولا لها. و قد تم اكتشاف مفهوم الاعداد المتسامية لاول مرة في عام 1844 بينما كان الثابت ط كما علمنا معروفا من قبل ذلك بكثير وكان يظهر في كثير من القوانين الرياضية. لكن قانون فون ليندمان قد اوضح على عكس المتوقع اننا لايمكن ان نجد اي معادلة حدية بحيث تكون ط حلا لها. وبالتالى ط هو عدد متسامي. وكنتيجة جانبية فقد حل هذا القانون معضلة كانت قائمة وقتذاك وكانت هذه المعضلة تعرف بمشكلة بتربيع الدائرة. وهذه المشكلة كانت تبحث في الطريقة اللتى يمكننا بها ان نحول دائرة الى مربع له نفس مساحة الدائرة. ولكن قانون فون ليندمان قد وضح ان تربيع الدائرة امر غير ممكن ابدا بسبب ان ط عدد متساميى.

 

المركز التاسع: نظرية الألوان الاربعة

مثال لخريطة يتم تلوينها باربعة الوان فقط

نتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز التاسع في مسابقة اجمل النظريات الرياضية على مدي التاريخ. ومنطوق هذه النظرية يقول اننا باستخدام 4 الوان كحد اقصى نستطيع ان نلون اي خريطة حقيقية كانت ام افتراضية بحيث تأخذ كل منطقة لون يخالف اللون اللذي تأخذه منطقة مجاورة لها حدود مشتركة معها. ومبدئيا فان هذه النظرية من النظريات الرياضيات القليلة اللتى يمكن للقارئ ان يتخلها في وعيه في شكل صورة بصرية واضحة. ومع ذلك فان اثباتها رياضيا عسير جدا.

وقصة هذه النظرية ترجع الى الفرنسي جوتري Francis Guthrie وهو كان رياضى فرنسي شاب انهى دراسته الجامعية. وفي عام 1852 طلب منه ان يلون خريطة خاصة بالاراضى الاقطاعية الانجليزية بحيث تحصل كل قطعة ارض على لون مخالف لجارتها اللتى تمتلك معها حدود مشتركة. واكتشف جوتري ان 4 الوان كافية لتحقيق هذه المهمة ولكنه عجز عن تفسير هذا رياضيا فارسل خطابا الى اخيه الاصغر اللذي كان ما زال يدرس بالجامعة تحت اشراف الاستاذ المشهور في ذلك الوقت دي مورجان Augustus de Morgan  اللذي حار بدوره في هذه المسألة ومن هنا اكتسبت هذه المسألة شهرة كبيرة وحاول كثيرون من هواة و محترفين حل هذه المسألة ولكن دون جدوي. و بعد مرور 124 سنة في عام 1976 تمكن فريق رياضي امريكي من برهنة هذه النظرية.

وبرهان هذه النظرية مر بالعديد من المراحل وربما يكون من المفيد التعرض الى ذكرها. اولا استطاع جوتري ودي مورجان من اثبات اننا لا يمكننا ان نضع اي 5 مناطق بجوار بعضها على لوحة او خريطة بحيث تصبح لكل منطقة حدود مشتركة مع باقى القطع الاخري. وفي عام 1890 برهن الامريكي هيوود Percy John Heawood اننا باستخدام 5 الوان نستطيع ان نلون أي خريطة بهذه الطريقة المطلوبة. لكن برهان ان هذا ممكن ايضا باستخدام 4 الوان بقى امرا عصيا. وفي عام 1922 تم اثبات انه اذا كانت عدد قطع الارض في الخريطة 25 او اقل فان بالفعل 4 الوان تكون كافية للتلوين. وفي عام 1926 تم اثبات هذا بالنسبة ل 27 قطعة. ثم في عام 1938 تم اثبات هذا بالنسبة ل 31 قطعة وفي عام 1940 تم اثبات هذا بالنسبة ل 35 قطعة . ثم في عام 1970 تم اثبات هذا بالنسبة ل 40 قطعة . ثم ارتفع هذا العدد الى 96 قطعة قبيل اكتشاف البرهان النهائى عام 1976.

و لاترجع اهمية هذه النظرية الى مضمونها المباشر. بل ان اهميتها ترجع بصفة اساسية الي انه في الطريق الى برهنة هذه النظرية وعبر اكثر من مائة وعشرين سنة تم اكتشاف العديد من النظريات الرياضية اللتى تلعب دورا كبيرا في حياتنا اليوم. فنظرية الشبكات network theory ونظرية المخططات graph theory هي امثلة لتلك النظريات اللتى تم اكتشافها في الطريق الى برهان نظرية اليوم.

ولكن برهان هذه النظرية كان يحمل في طياته صدمة مروعة. ولايزال البعض يرفض هذا البرهان الى اليوم. لماذا؟ لان البرهان اللذي وجده الفريق الامريكى المكون من باحثين هما ابل Kenneth Appel الامريكي و هاكن Wolfgang Haken ذي الاصول الالمانية كان يعتمد في الجزء الاهم منه على الكمبيوتر وليس على الورقة و القلم . فمن اجل هذا البرهان قام الرياضيان بكتابة برنامج كمبيوتر وظل هذا البرنامج يعمل لمدة 1200 ساعة متصلة حتى وصل الى هذا البرهان. وهذا شئ مروع في نظر فريق من الرياضيين. فكيف يتسنى لنا ان نتحقق من ان الكمبيوتر كان يعمل طوال الوقت بالطريقة اللتى ينبغى عليه ان يعمل بها؟ ففي الواقع لا يوجد اي ضمان لذلك. بل الادهي ان هذا البرنامج اعتمد على معطيات رقمية كانت هي من انتاج البرنامج نفسه.

وهذة الطريقة في البراهين تعتبر في نظر البعض  فيلم رعب. فهل هذه بداية لأن يحل الكمبيوتر محل الانسان في ميدان الرياضيات؟ ثم ما هو الضامن ان هذا البرهان صحيحا اذا لم يكن بمقدور اي بشري ان يتحقق بنفسه من سلامة البرهان؟

لكن على الجانب الاخر يقول المؤيدون لهذه الطريقة ان الباحثين قد سلموا خوارزميات برنامجهم وهنا يستطيع فريق بحثى اخر ان يصنع برنامج اخر بلغة برمجة اخري بناء على هذه الخوارزميات ويختبر ان كان سيصل لنفس النتيجة ام لا. وهذا في حد ذاته يعتبر برهان رياضي.

وبعد مرور 20 سنة من اكتشاف هذا البرهان تمكن فريق امريكي اخر من اكتشفاف برهان جديد لهذه النظرية. ولكن كان هذا البرهان الجديد بدوره يعتمد على الكمبيوتر وان كانت عدد ساعات الحساب اقل بكثير. فالبرهان الجديد أحتاج الى 12 ساعة حساب من الكمبيوتر فقط. ويتنبأ البعض انه بعد مرور 50 الى مائة سنة من اليوم سوف تصبح البراهين عن طريق استخدام الكمبيوتر شيئا عاديا. بل قد تصبح هى القاعدة وماعدا ذلك هو الاستثناء.

 

المركز العاشر: الاعداد الأولية اللتى تحمل صورة 4n+1 تساوي مجموع عددين مربعين

نتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز العاشر. وهو قانون وضعه الفرنسي  فيرمات Pierre de Fermat . ولم يكن فيرمات اللذي عاش فى الفترة بين 1607 , 1665 رياضيا محترفا متخصصا ولكنه كان هاويا. فيرمات كان رجل قانون ولكنه عشق الرياضيات وتعلمها بنفسه واكتشف العديد من القوانين المشهورة ولذلك يستنكف بعض المؤرخين الرياضيين تصنيفه من ضمن الهواة ويعدوه  من ضمن المحترفين.

وموضوع اليوم مرتبط بالاعداد الاولية و الأعداد المربعة. السؤال الان ماهي الاعداد الاولية وما هي الاعداد المربعة؟ الاعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية اللتى لاتقبل القسمة سوي على العدد واحد وعلى نفسها. وواحد ليس عددا اوليا بالاصطلاح و الاتفاق ولذلك فان الاعداد الاولية تبدأ من 2 . للتوضيح:

العدد 1 ليس اولى وهذا بحكم التعريف

العدد 2 عدد اولى لانه يقبل القسمة على 2 و 1 فقط

العدد 3 اولى لانه لايقبل القسمة سوي على 3 و ا فقط

العدد 4 ليس اولى لانه يقبل القسمة على2

العدد 5 عدد اولى لانه لايقبل القسمة سوى على 5 و 1

وهكذا.

اما الاعداد المربعة فهي الاعداد الطبيعية اللتى لها جذر تربيعي عبارة عن عدد طبيعي مثل 1و4و9و 16و25و… حيث ان الجذور التربيعية لهذه الاعداد هي 1و2و3و4و5.

وتأتى تلك الصفة تربيعي كما هو جلي من شكل المربع حيث ان مربع طولا ضلعاه 3 سم تكون مساحته 9 سم مربع . وهذه التسمية ترجع الى عهد الاغريق اللذن ارتبطت الاعداد عندهم بالاشكال الهندسية.

اما قانون اليوم فيفيد بان الاعداد الاولية اللتى تحمل الصورة 4n+1 تساوي مجموع عددين مربعين. ونوضح ذلك بالامثلة:

5=4×1+1=4+1

13=4×3+1=4+9

17=4×4+1=1+16

29=4×7+1=4+25

اما اول من برهن هذا القانون فقانة اويلر Euler .

مسابقة جمال لاختيار اجمل 10 نظريات رياضية

قامت مجلة رياضية متخصصة وهي مجلة  “The Mathematical Intelligencer” بتنظيم مسابقة هي الاولي من نوعها لاختيار اجمل 10 نظريات رياضية. ولذلك قامت المجلة عام 1988 باقتراح اسم 24 نظرية رياضية لدخول المسابقة. وكان على القراء التصويت على هذه الاقتراحات لتحديد ماهي اجمل 10 نظريات رياضية. واستمرت فترة التصويت حتى عام 1990 وهو عام اعلان نتائج التصويت.

ولكن ربما السؤال اللذي يطرح نفسه ما هو الشئ الجميل في الرياضيات من الاساس حتى يتم تنظيم مسابقة لاختيار اجمل النظريات الرياضية؟ فالرأي الشائع عن الرياضيات انها جافة وقبيحة وجامدة. فاي حلاوة توجد في الرياضيات؟ يقول الفيلسوف الالمانى ارثر شوبنهاور : حينما يبدأ الحساب ينتهى الفهم!! بل زاد الفيلسوف الالماني عن هذا وقال  ان الرياضيات قوامها براهين تفتقد للوضوح بصورة مزعجة. كما انه انتقد ان هذه البراهين تحتاج في كثيرمن الاحول الى خطوات عمل مساعدة كما هو الحال في  برهان نظرية فيثاغورث. ولكن خطوط العمل هذه تبدو وكانها هبطت فجأة من السماء. و لايستطيع الانسان ان يفهم بسهولة لماذا قمنا تحديدا بانشاء ذلك الخط المساعد ولم ننشئ خطا اخر. فبالنسبة لشوبنهاور صحيح ان هذه البراهين سليمة رياضيا ولكنها لاتحتوي على تفسيرعميق وشافى لماذا تكون هذه النتيجة على هذه الصورة.

وبالفعل فان احد اسباب مشاكل تقبل الرياضيات لدي عامة الناس تكمن في خطوات العمل المساعدة اللتى يقوم بها الرياضيون بينما يتسأل القارئ العادي لماذا فعل الرياضي هذه الخطوة تحديدا ولم يقم باتخاذ خطوة اخرى. ولتشبيه ذلك بمثال يمكننا تخيل الاهرامات المصرية في الجيزة. فلبناء هذه الاهرامات قام عمال البناء بانشاء بعض الانشاءات المؤقتة  وبعد اكتمال بناء الاهرامات قام البناءون بازالة تلك المنشئات. ونحن الان نشاهد اعجوبة الاهرامات و نتسأل ونتعجب كيف بنى هؤلاء العمال الاهرامات واي وسائل مساعدة استخدموها حيث انه ليس بامكاننا اليوم ان ندرك ماهية تلك الوسائل المساعدة.

من ناحية اخرى يري افلاطون ان الرياضيات شيئ رائع وراق  بل هي تكاد ان تكون وحي الهي. بل هي عمل فنى مثل الشعر والادب وهي متعة للعقل وللبصيرة. ويقول الرياضي والفيزيائى الانجليزي بنروز ان الحلاوة في الرياضيات تكمن في بساطتها حينما لا يتوقع احد تلك البساطة.

نعود الان لموضوعنا فبالفعل اختار القراء 10 نظريات رياضية واعتبروها الاجمل على الاطلاق. ومعايير الاختيار لدى القراء كما بينت المجلة لا ينبغى ان تكون لها علاقة ببرهان او اهمية تلك النظرية او استخداماتها. ففقط ما يهم هو انطباع القارئ حول النظرية وحول شكلها وقوامها. و الغريب ان معظم النظريات اللتى تفوقت في الترشيحات لا يتم تدريسها في المدارس او الجامعات. وسنحاول ان نتعرف في المرات القادمة على هذه النظريات الرياضية.

كهف افلاطون

قصة كهف افلاطون هي من اشهر الاعمال الفلسفية على مدي التاريخ و لها قيمتها الادبية والفلسفية العالية. وكما هو واضح من الاسم فان صاحب هذا العمل هو افلاطون. وهذه القصة تتعرض لمصير الحكماء والانبياء و المثقفين وانهم لاكرامة لهم في اوطانهم. فهؤلاء بالرغم من انهم اصحاب رؤى مستنيرة وامال مبشرة الا ان العامة قد لاتقبلهم وقد تلفظهم الاغلبية بالرغم من اخلاصهم ونبل مقاصدهم وحسن نواياهم.

وكان افلاطون متأثرا بقصة سقراط ونهايته المأساوية. فسقراط كان رجلا صالحا يدافع عن القيم و الاخلاق و الحق. لكن قومه كرهوه واتهموه بانه يتعرض لالهتهم بسوء وتم الحكم عليه بالاعدام. ومات سقراط نتيجة لهذا الحكم الظالم ولم يهرب بالرغم من ان الفرصة قد واتته لعمل ذلك ولكنه فضل الموت على ان يكسر القانون اللذي عاش طوال عمره لينادي باحترامه.

وتتكون القصة من 5 اجزاء:

1 مجموعة من المساجين محبوسون منذ نعومة اظافرهم في كهف تحت الارض. وهم يجلسون بحيث تكون ظهورهم موجهة لمدخل هذا الكهف. وهم مكبلون من اعناقهم وارجلهم بحيث انهم لا يستطيعون القيام أو الالتفات الى الخلف. ويوجد خلف هؤلاء المساجين مسرح عالى لايرونه كمسرح العرائس المتحركة. وتوجد فوق هذا المسرح نار خافتة هي مصدر الاضاءة الوحيد في هذا الكهف. ويمر امام هذه النار حراس وهم يحملون تماثيل ونماذج للاشياء المختلفة كالحيوانات و النباتات الى اخره. فيري المساجين ظلال هذه التماثيل و النماذج على الجدار القائم امامهم. واحيانا يصدر الحراس اصواتا  فيعتقد المساجين ان هذه الاصوات تصدر من الظلال امامهم. ويكون شاغل المساجين الشاغل هو تفسير هذه الظلال. وقد يتبارون فيما بينهم في تفسير ما يرونه ومن منهم صاحب افضل تفسير.

2 يتقدم احد الحراس نحو سقراط القابع وسط هؤلاء المحبوسين ويجبره ان يدير عنقه الى الخلف ليرى النار ويري الاشياء المحمولة في الخلف. فهل ستكون هذه العملية سهلة؟ بالتأكيد لا. فهذه عملية مؤلمة. وسوف يقاوم ادارة رقبته. كما ان ضياء النور المباشر قد يضايق عينيه. و اذا اخبره احد الحراس ان هذه الاشياء هى اقرب للواقع من الظلال اللتى يراها على الجدار فهل سيؤمن بذلك؟ بالتأكيد لا. بل سيعتقد ان الظلال اللتى كان يراها والفها طوال عمره هي الحقيقة وان هذه النماذج و التماثيل هي شئ مصطنع و ليس اصلى.

3 الان يجبر الحراس سقراط على النهوض والخروج خارج الكهف الي ضوء النهار. بالطبع ستكون هذه العملية في غاية القسوة. فشدة الضوء سوف تعمي عينه عن الرؤية و سوف يصاب بالذعر والحيرة. ولكن بعد فترة سيتعلم ان يتأقلم على الوضع الجديد. فسوف ينظر اولا الى ظلال الاشياء على الارض  وبعد فترة سينظر الى انعاكاساتها فوق سطح الماء وبعد فترة سينظر الى الاشياء مباشرة . وسيدرك العلاقة بين هذه الاشياء  و الظلال اللتى كان يراها سابقا في الكهف. ثم بعد ذلك سينظر الى السماء ليري الضياء و النجوم و القمر.

4 الان سوف ينظر سقراط الى الشمس نفسها ويدرك انها مصدر الضياء في الكون بل انها مصدر النار اللتى كانت في الكهف. وسيدرك الحقيقة كاملة وسيرثى على حاله سابقا وحال زملائه في الكهف الان. حيث انهم قابعون في اوهام ولا يدركون عن الواقع شيئا.

5 الان ينزل سقراط مرة اخرة الى الكهف حيث يوجد رفاقه السابقون. ولكن سقراط قد طرأ عليه تغيير فهو لم يعد سقراط القديم وعيناه لم تعد معتادتين على الظلام كما كانتا في السابق. وسيعتقد زملاؤه ان رحلته للخارج قد اتلفت عينيه وسيحاول ان يخبرهم بالحقيقة ولكنهم لن يصدقوه وسيفشل في اى تحدي يخوضه معهم فعيناه لم تعد تدرك ما كانت تدركاه سابقا.وسيسخر منه زملاؤه وسيقولون ان عقله قد تلف ايضا. واذا حاول ان ينهضهم بالقوة ويحملهم على الخروج الى الخارج فسوف يثورون عليه وقد يقتلوه.

كانت هذه قصة كهف افلاطون. ومن خلال هذه القصة يلمح افلاطون الى النقاط التالية:

1 المرحلة الاولى تعبر عن الواقع القائم. فالناس عبيد لحواسهم المباشرة. ومايدركونه من صور واصوات ليس الا زيف وخداع واشياء زائلة و لاتعكس الحقيقة الاصيلة الاصلية.

2 الجزء الثانى من القصة يمثل اول مراحل الادراك. وهذه العملية مؤلمة وفيها يدرك الانسان حقائق اعمق ويضحي بالصور المباشرة اللتى تقدمها لها حواسه مقابل تفسير اعمق واشمل. وهذه المرحلة تمثل مرحلة اكتساب العلوم الطبيعية التجريبية

3 الجزء الثالث. وهو يمثل ثانى مراحل الادراك وفيها يتعرف الانسان على اصل الاشياء وعلى الافكار الحقيقية الصحيحة خلف المظاهر المختلفة. وهذا يمثل علم الرياضيات والفنون

4 الجزء الرابع وهو يمثل المرحلة النهائية للأدراك البشري وفيها يدرك الانسان الحقيقة الاساسية اللتى هي وراء كل الحقائق الاخرى

5 الجزء الخامس وهو يمثل الالتزام الاخلاقى لسقراط او للفيلسوف عموما بتوعية اهله وتنويرهم حتى وان كان ذلك يمثل خطورة عليه وان ارادوا قتله.

وهنا نكون انتهينا من عرض موضوع قصة الكهف لافلاطون. وهي قصة قد تبدو  مثيرة  ومسلية. بل يمكن ان تكون اكثر من ذلك فقد تكون باعثا على التأمل والتدبر فيما وراءها. لكن لموضوع هذه القصة  ولعالم الافكار الميتافيزيقى الافلاطوني محاولات للاستخدام في مجالات تطبيقات الكمبيوتر. فموضوع البحث فيما وراء الاشياء  وعلم الوجود او الانتولوجي  امر يهم محركات البحث كجوجل. فعندما يدخل انسان انه يبحث عن مكان للنوم مقابل اجر فعلى ماكينة البحث ان تدرك انه يبحث في حقيقة الامر عن فندق.

السفر الى الماضي ومفارقة الجد و الحفيد

السفر الي المستقبل او الماضي يعد من القضايا المثيرة اللتى تشغل عقل الانسان المعاصر. وقد تمت صياغة العديد من الافلام السينمائية الناجحة حول هذا الموضوع. والنظرية النسبية الخاصة تقول بان السفر للمستقبل امر ممكن وطبيعى. ومفارقة التوأم هي مفارقة متعلقة بالسفر للمستقبل وقد عالجنا هذا الموضوع من قبل ووجدنا ان مفارقة التوأم ليست مفارقة حقيقية بل يمكن حل تناقضها  في ضوء النظرية النسبية الخاصة.

اما النظرية النسبية العامة فهي تتعرض للنوع الاخر من السفر وهو السفر الى الماضي. وينشأ عن السفر الى الماضى مفارقة تعرف باسم مفارقة الجد و الحفيد. وهي تدور حول شخص يسافر الى الماضي لكي يقابل جده وهو مازال في مرحلة الطفولة ثم يقوم بقتله. وهنا تنشأ المفارقة فكيف اذن يتسنى للجد ان ينجب الاب اللذي بدوره ينجب الحفيد اللذي يقوم برحلة في الزمن الى الماضي ليقتل جده؟!!

كان اول من نبه الى امكانية السفر الى الماضى في اطار النظرية النسبية العامة الرياضى الشهير جودل اللذي زامل اينشتاين فترة في الولايات المتحدة الامريكية وارتبط معه بعلاقة صداقة مميزة. وجودل يعتبر من اذكي العقول البشرية اللتى ظهرت على مدار التاريخ البشري ان لم يكن اذكاها على الاطللاق. و قال جودل ان كون دوار يسمح بالسفر الى الماضى. وصعق اينشتاين عند سماعه هذا الخبر فهو كان يعتقد ان نظريته لا تسمح بالسفر الى الماضي. والطريف ان هذا الخبر كانت هدية جودل لاينشتاين في يوم عيد ميلاده فبدل من ان يفرحه اصابه بالذعر. لكن هاهو العبقري الرياضي جودل يثبت بطريقة لاتدع مجالا الى الشك ان السفر الى الماضي ممكن  في اطار النظرية النسبية العامة. ولكن مع ذلك بقى هذا الاكتشاف غير مؤثر حيث اننا نعلم ان كوننا لايدور.اذن فالشروط اللتى وضعها جودل للسفر الى الماضي لاتتطابق مع واقعنا. لكن استطاع العلماء بعد ذلك ان يجدوا شروطا اخرى تمكن من السفر الى الماضي.

وجد العلماء ان الانحناء الزمكانى الناشئ نتيجة لدوران ثقب اسود اسود حول نفسه يسمح بالسفر الى الماضي. كما ان وجود وترين كونيين عظيمين يتحركات بسرعة عالية في اتجاهين متقابلين يخلقان ايضا زمكان يسمح بالسفر الى الماضي. وربما كانت هذه الاوتار موجودة في مرحلة مبكرة  من كوننا.

الثقب الدودي

واكتشف اينشتاين وروزن مايعرف بالثقب الدودي. وهذا الثقب يسمح بالانتقال من منطقة الى اخري في الزمكان بطريقة مختصرة. وقد يكون هذا الامر مفيدا في حالة السفر مسافات شاسعة بين المجرات المختلفة . فهذا الثقب قد يجعل الرحلة  اللتى كانت تستغرق ملايين السنوات تستغرق الان زمنا معقولا. وقد يستخدم هذا الثقب الدودي في السفر الى الماضي. فالزمان منسوج مع المكان في النظرية النسبية. ويمكننا تشبيه امر الثقب الدودي بورقة. ونحن نريد ان نصل من نقطة في اعلى الورقة الى نقطة في اسفلها. ولكي نفعل ذلك فان علينا ان نحرك اصبعنا مسافة اكثر من 20 سم. ولكن حيث ان النظرية النسبية العامة هي نظرية انحناء الزمكان فأننا اذا طوينا هذه الورقة فستصبح هاتان النقطتان قريبتين جدا من بعضهما. وقد تصبحان على مسافة مليمترات قليلة فقط من بعضها. وهذا هو الحال بالنسبة للثقوب الدودية. وكان اينشتاين يقول ان هذه الثقوب هي جسور تربط بين النقاط المختلفة في الزمكان. ولكنه اوضح ان عمر هذه الجسور قصير جدا ولا يسمح لسفينة فضاء بعبورها . لكن مع تقدم ميكانيكا الكم توصل العلماء الى انه من الممكن على الاقل نظريا ابقاء هذه الجسور مفتوحة لفترة طويلة تمكننا من عبور هذه الجسور بسفننا الفضائية.

ولكن كيف يمكننا حل هذا التناقض المرتبط بمفارقة الجد و الحفيد؟في الحقيقة فان هناك اقتراحان لحل هذه المفارقة.  يقول الاقتراح الاول انه اذا تمكن الانسان من السفر الى الماضي فانه لن يستطيع ان يقوم بعمل اي احداث من شأنها ان تغير مصير المستقبل. اي ان الحفيد عندما يرجع الى الماضى فلن يستطيع ان يقتل جده ابدا. وهذا الاقتراح يعنى ضمنيا ان الانسان ليست له ارادة حرة و ان الانسان مجبر وليس مخير ولايستطيع ان يصنع ما يحلو له.كما ان الحفيد سيستطيع التنبؤ بكل افعال جده لانها ماضي بالنسبة له.

اما الاقتراح الثانى فهو مرتبط بنظرية الاكوان المتوازية.فالحفيد سيعود في الزمان ولكنه سوف يعود الى كون موازي اخر يموت الجد فيه صغيرا و لاينجب اي اولاد.
في الحقيقة اشعر اليوم بسعادة بالغة اذ وفقنى الله ان احقق ثاني اهدافى. فبعد النظرية النسبية الخاصة كانت اليوم اخر تدوينة في موضوع النظرية النسبية العامة.

 

الثقوب السوداء وشاندراشكهار اصاب التلميذ و اخطأ الاستاذ

سابرامينين شاندراشكهار كان طالبا هنديا في التاسعة عشرة من عمره عندما حصل على منحة دراسية للدراسة بجامة كامبريدج في انجلترا. وكان استاذه اللذي سوف يتتلمذ على يديه هو السير ارثر ادنجتون ذلك العالم الفيزيائى المرموق و الفلكى الشهير اللذي اثبت صحة نظرية اينشتاين اثناء رحلته الاستكشافية الشهيرة لدراسة كسوف الشمس في غرب افريقيا. وفي هذه البعثة الاستكشافية استطاع ادنجتون ان يسجل ان الضوء ينحنى عندما يمر في مجال جاذبية قوي. وكان ادنجتون شديد الثقة في نفسه وفي علمه.  وتروي رواية ان احد الصحفيين قد سأله ذات مرة ان النظرية النسبية العامة لايفهما في العالم كله الا ثلاثة اشخاص. فما رأيه في ذلك وهل هذا صحيح؟ فاطرق ادنجتون في التفكير لفترة ثم اجاب انى كنت افكر من هو ياتري ذلك الشخص الثالث!!

وكان شاندراشكهار سعيدا وفخورا بمغامرته الدراسية اللتى سوف يبدأها في انجلترا. وفي الطريق وفي عرض البحر في الرحلة اللتى استغرقت 18 يوما من مدينة مدراس الهندية الى ساوثهامبتون الانجليزية توصل ابن التاسعة عشرة  الى استنتاجات ثورية كان لها ابلغ الاثر في تطور علم الفلك الفيزيائي. فلقد كان من اوائل من تدبر في امر النجوم النيترونية اللتى هي مرحلة سابقة للثقوب السوداء.

وقبل ان اتطرق الى امر الثقوب السوداء اود ان اشير الى ان الثقوب السوداء هي مفصلة محورية بين النظريتين الرئيستين في الفيزياء الحديثة اليوم: النظرية النسبية ونظرية الكم. فكل نظرية على حدة لاتستطيع ان تفسر امر الثقوب السوداء تفسيرا مرضيا ولكنها  تستطيع فقط ان تغطي جانبا مختلفا من أمر الثقوب السوداء.

وفي الحقيقة فان فكرة الثقوب السوداء فكرة قديمة وترجع لاكثر من قرنين من الزمان. وكان في تلك الفترة الاضطراب سائدا حول طبيعة الضوء اهي موجية ام مادية. وكانت الفكرة كالتالى اذا كانت للضوء طبيعة موجية فانه لن يتأثر بقوة الجاذبية.اما اذا كانت للضوء طبيعة مادية فانه سوف يتأثر بقوة الجاذبية كما تتأثر قذائف المدفع بجاذبية الارض. ولن يستطيع الضوء ان يهرب من قوة الجاذبية الا في حالة واحدة فقط وهي ان تكون للضوء سرعة انتشار لانهائية. وكانت تجربة رومر قد اثبتت ان للضوء سرعة انتشار محدودة وليست لا نهائية.

واول من كتب في هذا الموضوع كان جون ميتشل في عام 1783.  وقد كتب انه اذا كان النجم ذا كتلة كبيرة فان الضوء نفسه لن يستطيع ان يفلت من جاذبية النجم الهائلة وسيبدو هذا النجم اسود لانه لا ينبعث منه اي ضوء. ولكننا مع ذلك يمكننا ان نستدل على هذا النجم عن طريق تأثير جاذبيته اللتى تبقى موجودة. وكتب ميتشل بان الكون ملئ بهذه النجوم السوداء المختفية ولكننا لا نستطيع ان نستدل عليها بواسطة التليسكوبات. كما ان العالم الفرنسي الشهير لابلاس قد ذكر في كتابه عرض لنظم العالم في طبعتيه الاولى و الثانية تلك النجوم السوداء ولكنه حذفها من الطبعة الثالثة لانه يبدو قد تراجع عن رأيه فيما بعد. وكانت تلك هي الفترة اللتى تم الانتصار فيها لفكرة ان الضوء ذو طبيعة موجية.

نعود مرة اخرى الى شاندراشكهار على سطح السفينة. فهو اخذ يفكر في امر النجوم وماذا يحدث لها عندما تموت. والمعلوم ان النجوم عبارة عن كتلة هائلة من غاز الهيدروجين اللذي يتحول تحت ضغط الجاذبية الى غاز الهيليوم فيما يشبه مفاعل نووي هائل او قنبلة هيدروجينية بطيئة. ويتولد نتيجة لهذه العملية طاقة هائلة ولكن هذه العملية لا تستمر الى مالانهاية فبعد فترة ينضب مخزون النجم من الهيدروجين ويعنى هذا موت النجم وفي هذه الحالة يكون النجم واقعا تحت تأثير قوة جاذبيته فقط. و النجم الصحيح الفتى يعيش كل عمره تحت تأثير قوتين: قوة الجاذبية اللتى تجمع اجزاؤه وتجذبها بأتجاه المركز وتحاول باستمرار هذه القوة تقليص حجم النجم وتقليل قطره. والقوة الثانية تصنع العكس تماما فهي قوة طاردة للخارج وتنشأ بسبب التفاعلات النووية والتمدد الحادث نتيجة للحرارة الهائلة اللتى تصدر عن هذا التفاعل النووي الرهيب في قلب النجم. وفي النهاية يحافظ النجم على حجمه وشكله تحت تأثير هاتين القوتين مالم تطغي احدى هذه  القوتين على الاخرى. لكن ماذا يحدث عندما ينضب الوقود النووي؟ في هذه الحالة يكون النجم واقعا تحت رحمة قوة الجاذبية فقط وسينكمش النجم الى حد صغير جدا. ويتوقع العلماء ان تكون نهاية شمسنا بعد 5 مليارات سنة  حيث تكون قد استنفذت كل وقودها النووي. وستنكمش الشمس حتى تصبح في حجم الارض تقريبا ولكن ستكون كثافة المادة فيها عالية جدا وتبلغ مئات الاطنان للسنتيمتر المكعب. وستتحول الشمس الى قزم ابيض.

وعلى ظهر السفينة فكر شاندراشكهار في ماذا اللذي  يعيق النجم عن الانكماش اكثر وان يتعدي مرحلة القزم الابيض في الانكماش. ووجد ان السبب يرجع الى الالكترونات الموجودة في مدارات الذرات. فاننا كما نعلم ان الالكترونات تتنافر  ولا نستطيع ان نقرب الكترونين من بعضهما من دون بذل قوة عالية. وهذه الظاهرة يفسرها  قانون باولى. وهو قانون في نظرية الكم ويوضح انه لايمكن ان يوجد الكترونان لهما نفس الحالة تماما في نفس المكان. ومعنى هذا انه اذا تواجد الكترونان في نفس المكان فلابد وان تختلف سرعاتهما عن بعض. ولكن شاندراشكهار قد نبه ان هذا الاختلاف  لايمكن ان يزيد عن مقدارسرعة الضوء وهذا طبقا لما تقوله  النظرية النسبية.

وتوصل شاندراشكهار بانه اذا كانت للنجم كتلة تساوي 1.4 من كتلة الشمس فان قوة الجاذبية سوف تتغلب على مقاومة الالكترونات طبقا لقانون باولى وسيواصل النجم انهياره. وستتساقط الالكترونات من مداراتها الى داخل النواة حيث تلتحم مع البروتونات الموجودة هناك ويتحول الاثنان الى نيترونات. ونحصل في هذه الحالة على نجم نيتروني. ويبلغ قطر النجم النيتروني 30 كيلومتر وتبلغ كثافته مئات ملايين الاطنان للسنتيمتر المكعب.

وعندما عرض شاندراشكهار افكاره رفضها ادنجتون رفضا قاطعا وقال ان هذا امر سخيف ولايمكن تصوره. ولا يمكن ان ينكمش نجم لهذا الحد. وتسأل ادنجتون معترضا وماذا سوف يحدث اذا زادت الكتلة بحيث ان النترونات نفسها وطبقا لقانون باولي مرة اخرى لا تستطيع ان تتحمل قوة الجاذبية فهل ستستمر النجوم فى الانهيار؟وكتب البرت اينشتاين مقالا يعارض فيه فكرة الثقوب السوداء ويقول انه ادعاء سخيف ان يصير حجم النجم صفر.  وتحت تاثير هذه المعارضة القوية توقف شاندراشكهار عن الخوض في هذا الموضوع. الا ان محاربة ادنجتون له لم تتوقف بل واستمرت حتى على المستوي الشخصى مما اظطر شاندراشكهار الى الرحيل الى جامعة شيكاغو حيث عاش هناك حتى مات.

الثقب الاسود هو ثقب في الزمكان

ولكن العلماء قد وجدوا بعد ذلك ان ماقاله شاندراشكهار هو المعقول والمنطقى بل وقال اوبنهايمر ابو القنبلة الذرية اكثر من ذلك وقال انه بالفعل اذا زادت كتلة النجم عن ذلك فانه يتحول الى ثقب اسود حتى ان الضوء لن يستطيع ان يفلت منه. وفي ضوء النظرية النسبية العامة اللتى تكون الجاذبية فيها ليست الا انحناء وتشوه للزمكان يمكننا تشبيه ذلك بمفرش مفرود ومشدود وموضوع فيه كتلة هي اللتى تسبب انحناء المفرش اللذي يمثل الزمكان. وفي حالة الثقب الاسود فان هذه الكتلة تسبب خرقا او ثقبا في المفرش. وفي هذا الثقب يتوقف الزمن تماما. ومن هنا نري ايحاء اخر لمعنى كلمة الثقب الاسود تللك الكلمة اللتى اطلقها جون هويلر لاول مرة في عام 1967.

و استطاع العلماء اثبات وجود النجوم النيترونية فلكيا عندما تقدمت الوسائل التكنولوجية وحاز شاندراشكهار في عام 1983 على جائزة نوبل في الفيزياء.

 

 

 

مراجعة سريعة للنظرية النسبية العامة

في الفيزياء توجد كميات قياسية اساسية كالكتلة ووحدة قياسها الكيلوجرام و المسافة ووحدة قياسها المتر و الزمن ووحدة قياسه الثانية. ومن هذه الكميات الاساسية يتم اشتقاق باقى الكميات الاخرى الاكثر تعقيدا كالسرعة والعجلة والقوة الى اخره. وقد اثبت اينشتاين ان هذه الكميات ليست قيما مطلقة ولكنها قيم نسبية تتوقف قيمتها على الاطار اللذي يتم من خلاله رصد هذه الكميات. فالفارق بين 1 كج في اطار و 1 كج في اطار اخر كالفارق بين الدولار الامريكي و الدولار الاسترالي في كل من الولايات المتحدة الامريكية و استراليا. فكل واحد كيلوجرام يساوي واحد في اطار دولته. ولكن عندما ينظر اليه من خارج اطار دولته تكون له قيمة اخرى.

واستطاع اينشتاين ان يتوصل الى هذه النتيجة في ضوء النظرية النسبية الخاصة اللتى تقوم على مبدأين لايتطرق الشك الى صحتهما. وقد تم تأكيدهما عن طريق العديد من التجارب و المشاهدات المختلفة. المبدأ الاول ينص على تكافؤ جميع الاطر القصورية في رصد القوانين الفيزيائية السليمة و تكون لهذه القوانين نفس الصيغة الرياضية. و المبدأ الثانى ينص على ثبوت سرعة الضوء بالنسبة للأطر القصورية المختلفة. وبناء على تعميم هذين المبدأين تم التوصل الى نتائج مثيرة منها نسبية الكميات القياسية الاساسية كالكيلوجرام و المتر والثانية كما سبق ذكره عاليه. بالاضافة الى هذه النتيجة وجب افتراض ان سرعة جسم ما لاينبغى ان تتعدى سرعة الضوء وان سرعة الضوء هي سقف السرعات الممكنة. لأنه اذا كانت سرعة جسم او سرعة انتشار اشارة او قوة ما لانهائية لاخل هذا بمبدأ نسبية الانية ولتمكنا من صناعة ساعات تعطي الزمن المطلق وتستطيع خلق التزامن بين الساعات المختلفة. اما اذا افترضنا ان السرعة ليست لانهائية ولكنها فقط اعلى من سرعة الضوء لاخل هذا بقدسية قانون السببية اللذي يوضح ان لكل نتيجة سبب ما يسبقها ويسبب حدوثها. فلو كانت السرعات الاعلى من سرعة الضوء ممكنة لكان معنى ذلك انه بالنسبة لبعض اطر الرصد من الممكن ان تسبق النتيجة سببها. وهذا شئ عجيب لا يمكن تقبله بسهولة.

واصطدمت النظرية النسبية الخاصة بقانون الجاذبية لنيوتن لان قوة الجاذبية النتيوتونية كانت قوة تنشر بسرعة لانهائية وتؤثر لحظيا وهذا كان كما سبق ووضحنا لايمكن قبوله فقرر اينشتاين ان يضع نظرية جديدة تفسر قوة الجاذبية في ضوء النظرية النسبية. وكانت النتيجة هي النظرية النسبية العامة. ومن اجل ذلك افترض اينشاين مبدأين : المبدأ الاول وهو مبدأ التكافؤ وهو يفيد ان الظواهر المرتبطة بالتسارع تكافئ في كل شئ الظواهر المرتبطة بالجاذبية كما ان الظواهرالمرتبطة بالجاذبية يمكن يمكن اعتبارها على انها ظواهر يتم رصدها عن طريق اطار متسارع. وقد اوضح اينشتاين ذلك عن طريق تجربة ذهنية تدور حول مختبر موجود فوق سطح الارض ومختبر اخر يتم تعجيله في الفضاء بعجلة مقدارها 10 متر في الثانية المربعة. وقد اوضح اينشتاين انه لا يمكن الجزم اي من المختبرين هو الموجود فوق سطح الارض وايهما هو اللذي يتم تعجيله في الفضاء. ويمكنكم مراجعة مبدأ التكافؤ بالتفصيل عن طريق هذا الرابط. اما المبدأ الثاني فهو يوضح انه يمكن وصف جميع القوانين الفيزيائية السليمة من خلال اي اطار مهما كانت حالته من الحركة وسيأخذ دائما نفس الصورة الرياضية. وهذا المبدأ هو التجسيد الحقيقى لفكرة النسبية.

انحناء الزمكان

وتوصل اينشتاين الى انه لا توجد قوة خاصة بالجاذبية ولكن ما نصفه بالجاذبية هو نتيجة لتشوه الزمكان اللذي يعتبر مسرح كل الحوادث. ويمكن تشبيه هذه الفكرة بان الزمكان يبدو وكأنه مفرش مشدود وممتد. فاذا وضعنا في وسط هذا المفرش كتلة كبيرة ما فان هذا المفرش لن يبقى مفرودا وممتدا بل انه سينحنى بصورة ما وخصوصا بالقرب من موضع هذه الكتلة. واذا تخيلنا وجود كرة صغيرة في حجم حبة الذرة فوق هذا المفرش فانها لن تبقى ثابتة ولكنها ستتحرك وفقا للانحناءات والنتوءات الموجودة فوق سطح المفرش.

وكانت هذه نتيجة عجيبة وتسلب العقل وتشبه عالم الخيالات. ولكن النظرية النسبية ليست شطحات فلسفية لا علاقة لها بالواقع والتجربة. بل ان هناك العديد من التجارب العملية اللتى تدعم نتائج النظرية النسبية العامة. ونحن الان سنحاول ان نتعرف على اشهر التجارب اللتى دعمت نتائج النظرية النسبية العامة.

مسار كوكب عطارد

البرهان الاول ياتى من حساب مسار كوكب عطارد اللذي هو اقرب الكواكب الى الشمس. فمسار كوكب عطارد يأخذ مسارا بيضاويا ولكنه ليس مسارا مغلقا بل ان هذا المسار البيضاوي يدور ويغير موضعه مع الزمن. وكانت قوانين نيوتن لاتستطيع ان تفسر هذا المسار الغريب ولكن النظرية النسبية العامة استطاعت ان تصف المسار الفعلى لكوكب عطارد بدقة رهيبة. وكان هذا دعم هام للنظرية النسبية العامة.

البرهان الثانى تتعلق بانحراف شعاع الضوء عن الخط المستقيم عند مروره في مجال جاذبية قوي. وهذا الشئ قد بينه ادنجتون في بعثة استكشافية شهيرة. لمزيد من المعلومات حول رحلة ادنجتون يمكنكم مطالعة هذا الرابط.

البرهان الثالت يتعلق بانحراف طيف ضوء الشمس او طيف النجوم عموما نحو اللون الاحمر. وهذا مرتبط بتباطؤ الزمن تحت تأثير الجاذبية وهذا الامر تم رصده و التحقق منه ايضا عمليا. ولمزيد من المعلومات حول ازاحة طيف الشمس باتجاه اللون الاحمر يمكنكم مطالعة هذا الرابط.

البرهان الرابع وهو مرتبط بتباطؤ الزمن في مجال جاذبية ما. وتم التحقق من ذلك عن طريق ساعات ذرية موجودة في اعلى و اسفل برج عالى. وتم بالفعل اثبات ان الساعة الموجودة في اسفل البرج تسري بشكل ابطأ من الساعة الموجودة في اعلى البرج. ولمزيد من المعلومات حول تجربة تباطؤ الساعات في مجال جاذبية قوي يمكنكم مطالعة هذا الرابط.

الطريق الرياضى للنظرية النسبية العامة

اذا احببنا ان نتعرف كيف ينبغى ان يبدو قانون نيوتن الاول في في ضوء النظريات الفيزيائية المختلفة سنجد النتيجة التالية. في ضوء القوانين النيوتونية الكلاسيكية سيحافظ القانون بالطبع على صورته الاصلية وهي كالتالى: تحافظ الاجسام على حالتها من حيث السكون او الحركة في خط مستقيم بسرعة منتظمة مالم تؤثر عليها قوة خارجية تغير من حالتها. واذا اردنا ان نري كيف يكون شكل هذا القانون في ضوء النظرية النسبية الخاصة وفضاء مينكوفسكى رباعى الابعاد فسنجد ان صورته ستكون كالتالى ان خط الحياة لجميع الاجسام اللتى لاتؤثر عليها قوة خارجية هو خط مستقيم. ولمزيد من المعلومات حول خطوط الحياة يمكنكم مطالعة هذا الرابط. واذا اردنا ان نتعرف على شكل هذا القانون في ضوء النظرية النسبية العامة وحيث اننا نعلم ان شعاع الضوء المار في مجال جاذبية ما لا ياخذ خطا مستقيما ولكنه يأخذ مسارا منحنيا واذا راعينا انه لايمكن لاي شئ ان يأخذ مسارا اكثر استقامة من الضوء لتمكنا من صياغة قانون نيوتن الاول في ضوء النظرية النسبية العامة على النحو التالى: تأخذ جميع الاجسام اللتى لا تؤثر عليها قوة خارجية اكثر المسارات استقامة. ومعنى اكثر المسارات استقامة هو المسار اللي يعطي اقصر مسافة بين نقطتين في فضاء منحني. او بتعبير اخر تأخذ الاجسام في هذه الحالة نفس المسار اللذي يأخذه شعاع ضوء يمر عبر هذه النقطة. ففي النظرية النسبية العامة كل الخطوط المستقيمة منحنية وحتى خطوط محاور الاسناد x و y هي منحنية.

ننتقل الان الى نقطة ثانية وهي تتعلق بكيفية حساب المسافة بين نقطتين فسنجد انه فى الفضاء الاقليدي العادي تحسب المسافة بين نقطتين وفقا لهذه العلاقة اللتى هي مشتقة من نظرية فيثاغورث:

ds^2 =dx^2 + dy^2

ونحن يمكننا ان نعمم صورة المعادلة السابقة بحيث تأخذ الصورة التالية:
ds^2 = 1dx^2+ 0dxdy + 1dy^2 + 0dydx

ولكن لماذا فعلنا ذلك؟ لاننا بهذه الطريقة سنتعرف على موتر حساب المسافة. فهو في الفضاء الاقليدي ثنائى الابعاد عبارة عن مصفوفة من صفين وعمودين قيمها القطرية تساوي واحد اما قيمها الاخرى تساوي صفر. او بالتفصيل:
g11=g22=1
g12=g21=0
واحب ان انبه الى ان g ترمز الى عناصر هذا الموتر والرقم الاول بعد g يعبر عن الصف بينما الرقم الثاني يعبر عن العمود. فمثلا g12 تعنى العنصر في الصف الاول والعمود الثاني.

والصورة العامة لحساب المسافة باستخدام موتر حساب المسافات هي كالتالى:
ds^2=g11dx^2+g12dxdy+g21dydx +g22dy^2

وفي فضاء مينكوفسكى رباعى الابعاد حيث ندخل الزمن بعدا رابعا تكون الصورة كالتالى:

ds^2 =dx^2 + dy^2+dz^2-c^2t^2

او ان
g11=g22=g33=1
g44=-1
وباقي قيم المصفوفة عبارة عن صفر.

والان نأتى لفضاء ريمان اللذي يتعامل مع فضاء عام محاور الاسناد فيه منحنية وفي هذا الفضاء يكون موتر حساب المسافة عبارة عن مصفوفة ذات 4 صفوف و 4 أعمدة ولكن قيم هذه المصفوفة هي ارقام ليست بالصفر و تختلف قيم هذه المصفوفة حسب الموضع في المكان و الزمان وهذا هو بالظبط مفهوم فكرة المجال فهي قيم ما تتوزع في المكان . و الشئ المميز حول ارقام موتر حساب المسافات في ضوء النظرية النسبية العامة انها متماثلة حول القطر بمعنى ان:
g12=g21, g13=g31,g14=g41
g23=g32,g24=g42
g14=g41
وبالاضافة الى هذه الارقام الستة المستقلة والغير معتمدة على بعضها تاتى الارقام القطرية الاربعة:
g11,g22,g33,g44

اي بالرغم من ان الموتر يحتوي على 4 صفوف و 4 اعمدة اي انه يتكون من 16 رقما. الا ان 10 ارقام فقط هى اللتى نحتاجها لانها مستقلة عن بعضها و الارقام الستة الباقية هي نسخة من الارقام الغير القطرية الاخرى.

اذن كان على اينشتاين ان يجد 10 دوال او 10 معادلات تعبر عن قيم هذه المجالات اللتى تعبر عن انحناء المكان وهنا قد يبرز احتجاج جمالى ليس في محله. وهو ان اينشتاين العاشق للجمال و لتبسيط النظريات العلمية قد استعاض عن مجال واحد هو مجال الجاذبية الموجود في قانون نيوتن الاصلى بعشر مجالات . او انه اضاف 9 مجالات اضافية وهذا شئ مستهجن من انسان فلسفته التبسيط و التسهيل. ولكن اذا دققنا في الامر سنجد ان الموضوع ليس كذلك وان اينشتانين لم يضف 9 مجالات جديدة ولكنه في حقيقة الامر قد حذف مجالا كان موجود وهو مجال الجاذبية النيوتونى. وعزى كل ظواهر الجاذبية الى انحناء المكان اللذي لم يخلقه اينتشتاين ولكنه كان ذاك او ذاك موجود في كافة الاحوال. واينشتاين نبه الى وجوده فقط.

ولعلنا نلاحظ ان العدد 10 يساوي الرقم السحرى عند الفيثاغورثيين. وكما يقول المثل مات الملك يحيا الملك فان الفيثاغورثيين لو قيض لهم ان يطلعوا على نتائج اينشتاين لهتفوا من اعماق قلوبهم بعداسقاط نظرية فيثاغورث مات فيثاغورث يحيا فيثاغورث. ولكن كيف يمكن لاينشتاين ان يجد هذه المعادلات العشرة اللتى تعبر عن قيم موتر حساب المسافات بصورة رياضية؟

اراد اينشتاين ان يستخدم المعادلات التفاضلية اللتى هي في الحقيقة لغة الفيزياء ويضع معادلاته في صورة تشابه الصورة اللتى وضع فيها العظماء نيوتن وماكسويل معادلاتهم:اي معادلات تفاضلية لموتر حساب المكان بدلالة قيمة فيزيائية اخرى موجودة في الواقع. ولكن المشكلة كانت تكمن في الاتي ان تفاضل قيمة ما او معدل تغيرها يعتمد على عنصرين: العنصر الاول هو تغير القيمة نفسها تغيرا حقيقيا و العنصر الثانى هو نتيجة لتغير محاور الاسناد اللتى ينسب القياس اليها. وبالنسبة لنظرية فيزيائية فان ما يعنينا هو التغير المطلق الخالى من تأثير تغير محاور الاسناد. ولذلك فانه يوجد نوع من التفاضل يسمى بالتفاضل المطلق اى انه التفاضل الحقيقى بعد استبعاد التأثير الناتج من تغير محاور الاسناد. وقبل ان استطرد احب ان انبه ان هذا التفاضل المطلق تم تغيير اسمه باسم اخر اقل وضوحا من وجهة نظري. فالتغير المطلق هو الاسم القديم اما الاسم الجديد فهو التغير المصاحب. ولكن المشكلة ان التغير المصاحب لموتر حساب المسافة الخالي من تأثير تغير محاور الاسناد هو دائما صفر. وهذا شئ طبيعى ويتناسب مع تعريف موتر حساب المسافة نفسه.

ولكن اينشتان استطاع ان يجد الحل لهذه المشكلة عن طريق استخدام موتر رياضى اخر قد اكتشفه جاوس ويعرف باسم موتر الانحناء وقيم هذا الموتر تعتمد على قيم موتر حساب المسافة بالاضافة الى تفاضله العادي.وكان من الممكن لاينشتاين ان يجد معادلات تفاضلية تربط هذا الموتر اي موتر الانحناء باشتراطات ثبات الطاقة و الزخم اللتى هي الاعمدة الاساسية في الفيزياء. ومع مراعاة ان الكتلة والطاقة هما وجهان لعملة واحدة فقد استطاع اينشتاين ان يربط انحناء المكان بالكتلة و الطاقة الموجودة فيه. وهذا الانحناء هو سبب الظاهرة اللتى نقول عنها انها الجاذبية. ففي الحقيقة لا يوجد شئ اسمه قوة الجاذبية ولكنها الكتل والطاقات اللتى تسبب انحناء الزمكان واي خط مستقيم موجود في هذا الزمكان هو خط منحنى وكل الاجسام الموجودة في الزمكان تأخذ اقرب المسارت اللتى تنطبق مع هذه الخطوط المنحنية اللتى تتناسب مع هندسة الكون.

الموتر (Tensor)

الهدف من موضوع اليوم هو القاء بعض الضوء على موضوع التنسور او الموتر كما هى الترجمة العربية. وليس الهدف ان يصبح القارئ خبيرا في هذا الميدان فهنا ليس المكان لذلك. ولكنى فقط احب ان اشير الى انه يوجد شئ في الرياضيات اسمه حساب التنسور واحب ان اجنب القارئ موقف مشابه لموقف مر بي عندما سمعت بهذا المصطلح لاول مرة.فبالرغم من اننى كنت قد انهيت دراستى في الهندسة المدنية في مصر فاني قد صعقت عندما سمعت بهذا المصطلح لاول مرة في حياتى في المانيا . فهذا موقف احب ان اجنبكم اياه في المستقبل لمن لم يسمع عن التنسور او الموتر من قبل.

موضوع الموترات هو موضوع فيزيائى ورياضى ولكنه ظهر في ميدان الفيزياء اولا ثم التقطه الرياضيون بعد ذلك وهذبوه ونقوه من التناقضات وصار بعد ذلك موضوعا رياضيا. وكان لالبرت اينشتاين دورا كبيرا في شهرة حساب الموترات لانه استخدم هذا الحساب في نظريته النسبية العامة.

وفي الفيزياء توجد انواع عديدة من الكميات فهناك كميات قياسية وكميات متجهة ثم كميات موترة او تنسورية.فما هو الفارق بين هذه الكميات؟ الكميات القياسية يعبر عنها برقم واحد بالاضافة الى وحدة للقياس. فمثلا عندما نقول عن كتلة شئ انها 3 كجم فان مانحتاجه هو رقم واحد وهو الرقم ثلاثة بالاضافة الى وحدة القياس وهي الكيلوجرام. اي ان كتلة الشئ اللذي امامى هي ثلاثة اضعاف كتلة جسم قياسى يستخدم لقياس الكتل. وكذلك الحال بالنسبة للطول 3 متر او للزمن 3 ثوانى. ففي كل هذه الحالات احتاج لرقم واحد من اجل تعيين الكمية تعيينا كاملا. ثم تأتى بعد ذلك الكميات المتجهة. وكلمة متجه او vector تعنى باللغة اللاتينية سائق او انه يوجه في اتجاه معين. وهذا النوع من الكميات لا يمكننى ان اصفه عن طريق رقم واحد. ولكنى احتاج لاكثر من رقم لاصف الكمية اللتى امامى.مثال على ذلك هي الازاحة: فاننى اذا طلبت منك ان تزيح كوبا من الماء موضوع فوق منضدة فارغة مسافة 50 سم فانت سوف تسألنى في اى اتجاه ينبغى ان تزيحه للامام؟ للخلف؟ لليمين؟ لليسار؟ فالازاحة تحتاج بجانب مقدار المسافة وهو 50 سم رقم اخر يعبر عن الاتجاه. وقد يكون هذا الرقم مثلا عبارة عن الزاوية اللتى يصنعها الاتجاه المقصود مع اتجاه الشمال الجغرافى مقاسة في اتجاه دوران عقرب الساعة. فعندما اقول مثلا ان عليك ان تحرك الكوب مسافة 50 سم بالزاوية 90 درجة فانني اعنى بذلك ان تحرك الكوب 50 سم في اتجاه الشرق. ولكن عموما فان المتجهات يتم التعبير عنها في الاحداثيات الكارتيزية بمجموعة ارقام يساوي عددها عدد الابعاد في الفضاء الموجود. ويعبر عن المتجه رياضيا بصورة مصفوفة ذات عمود واحد. مثال اخر قد يبدو غريبا للمتجه هو قياس البنطلون الجينز.حيث يعبرعن المقاس برقمين مثلا 36 : 34 فرقم يعبر عن الطول ورقم يعبر عن مقاس الوسط. اذن فقياس البنطلون الجينز كمية متجهة

ثم نأتى بعد ذلك للموترات او التنسورات. وهي كلمة مشتقة من الكلمة Tesnion بمعنى شد او توتر ولذلك تأتى الترجمة العربية اللتى قد تبدو غريبة بعض الشئ الموترات. و الموترات هي عبارة عن متجهات فائقة. بمعنى كما ان المتجه عبارة عن مجموعة من الارقام او الكميات القياسية فان الموتر هو عبارة عن مجموعة من المتجهات. مثال : عندما اطلب منك ان تزيح عصا طويلة موجودة فوق الطاولة في اتجاه ما. فان متجه واحد لن يكفى لوصف هذه العملية. لماذا؟ لان كوب الماء في المثال السابق يمكننا تخيله كنقطة واحدة.اما في حالة العصا فانها قد لا تحافظ بالضروة بعد ازاحتها على نفس الاتجاه اللتى كانت تاخذه قبل الازاحة. فمثلا قد تكون العصا تشغل في البداية اتجاه الشمال _ الجنوب ولكنها بعد الازاحة ينبغى ان تأخذ اتجاه الشرق _ الغرب. ومن هنا فاننا نري ان متجه واحد لايكفي لوصف هذه العملية بل نحن في حاجة الى مجموعة من المتجهات. ويعبر عن عن الموترات بصورة مصفوفة ذات صفوف و اعمدة.

الموترات الفائقة يمكن تصورها كمصفوفات في ثلاثة ابعاد

ثم ان هناك درجة اعلى من الموترات وهي الموترات الفائقة وهي بدورها عبارة عن مجموعة من الموترات لوصف عملية ما.مثال لذلك اذا طلبت منك ازاحة عصا طويلة موضوعة على منضدة مسافة ما. وكما راينا ان هذه العملية تحتاج لموتر كما سبق ووضحنا. فاذا اضفت ان العصا بعد ازاحتها لن تحافظ على استقامتها بل انها ستأخذ شكلا مقوسا ما فاننا نري ان موترواحد لن يكفي لوصف هذه العملية بل اننا نحتاج الي مجموعة من الموترات او موتر فائق.

وهكذا فاننا نري انه لا توجد نهاية لهذه العملية و استطيع ان اعرف موترات فوق الفائقة وهكذا الى مالانهاية. وفي بعض الكتب نجد ان الكميات القياسية يتم توصيفها بانها موترات من الدرجة صفر اما المتجهات فهي موترات من الدرجة الاولى ثم ان الموترات العادية هي من الدرجة الثانية اما الموترات الفائقة فهي من الدرجة الثالثة وهكذا.

وهناك نقطة احب ان اشير اليها وهي ان الموتر في الفيزياء هو عبارة عن كمية فيزيائية حقيقية وبالتالى فهى تحافظ على قيمتها بغض النظر عن محاور الاسناد اللتى استخدمها لتوصيف هذه الكمية. ولهذه النقطة دور مهم في النظرية النسبية العامة. حيت ان جميع القوانين الفزيائية تحافظ على صورتها بغض النظر عن محاور الاسناد.

نقطة اخرى احب ان اشير اليها وهي انطباع شخصي وقد يكون خاطئا.انطباعى اوملاحظتى انه في الدول المختلفة يتم التعامل مع الرياضيات بروح مختلفة بعض الشىئ . فمثلا في مصر يتم التركيز بشكل كبير على الهندسة و الهندسة الفراغية وينبغى على الطالب ان ينمى قدرته على التخيل الفراغي وان يستطيع ان يتخيل شكل خطوط مساعدة غير موجودة في المسألة من اجل الوصول لحل مسألة ما. وهذا امر قد يبدو طبيعيا في بلد اقليدس واضع الهندسة الاقليدية.ولكن في بلد اخر مثل المانيا يتم التركيز على الرياضيات من جهة الجبر اكثر. فالمتغيرات والمعادلات تلعب الدور الاكبر وهذا طبيعيى في بلد هلبرت اللذي دعا الى تجريد الهندسة من الرسوم والصور. وملاحظتى ان التركيز في المدارس الالمانية لايكون على الهندسة الفراغية ولكن يتم التعامل معها بسطحية شديدة ولكن التركيز يكون بصورة اكبر على الهندسة التحليلية او الهندسة الجبرية اللتى يتم فيها تحويل المفاهيم الهندسية كنقطة وخط ومستوى الى معادلات جبرية متجهة. اي ان المتجهات تلعب هنا الدور الاكبر في وصف الهندسة. ثم تأتي بعد ذلك الهندسة التفاضلية اللتى تعبر عن هندسات اعقد من الهندسة الاقليدية كهندسة ريمان. وهنا يلعب التنسور او الموتر دورا كبيرا. وفي هذا الميدان يحتاج الانسان الى معلومات متطورة في حساب المتجهات وحساب الموترات والتفاضل والدوال بدلالة اكثر من متغير وتفاضل هذه الدوال تفاضل جزئي او تفاضل كامل.

في النهاية اضيف نقطة اخيرة وهي ان للموترات دورا هائلا في الفيزياءالحديثة. فاي كمية او اي قانون فيزيائى سليم يجب ان ياخذ صورة معادلات تنسورية بشكل او باخر. وقد يكون الموتر في هذه الحالة من الدرجة صفر او او واحد او اثنين او ثلاثة او اعلى من ذلك.

الهندسات اللااقليدية وهندسة ريمان

اقليدس هو رياضى شهير عاش في مدينة الاسكندرية في عهد الدولة البطلمية في القرن الثالث قبل الميلاد. وكان اقليدس ينتمى فكريا الى مدرسة افلاطون تلك المدرسة اللتى كانت تؤمن بمملكة الافكار وقد كتب كتابه الاشهر العناصر وفقا لرؤية هذه المدرسة .فكان كتابه مثالا رائعا للنظرية العلمية وكيف ينبغى ان تكون.

وقد بنى اقليدس هندسته على مسلمات قليلة العدد ولكنها بديهية للغاية ولا يخالج اى انسان شكوك في صحتها. وكانت الهندسة الاقليدية محل اعجاب الجميع بلا استثناء من الاقدمين الاولين حتى عصرنا هذا. فالهندسة الاقليدية هي مانتعلمه في مدارسنا حتى ننهى تعليمنا. ولكن مع ذلك فان المسلمة الخامسة من مسلمات اقليدس كانت مثيرة للجدل. وقد اعتبرها الاقدمون انها الشئ الوحيد في هندسة اقليدس اللذي يشين هذه الهندسة و يقلل الى حد ما من بهائها وروعتها. لماذا؟ وماذا كانت تقول المسلمة الخامسة؟

المسلمة الخامسة في صياغتها الحديثة تقول اننا يمكن ان نرسم من اي نقطة تقع خارج خط مستقيم خط مستقيم اخر يوازي الخط الاول و يقع معه في نفس المستوي. ولكن هذه الصياغة ليست هي الصياغة الاصلية للمسلمة. بل أن الصياغة الاصلية تقول انه اذا تقاطع خطان مستقيمان في نقطة ما فان مجموع الزاويتين الداخلتين اللتين يصنعهما هذان الخطان مع خط ثالث يقطعهما اقل من قائمتين او من 180 درجة. وكان السابقون يرون ان هذه المسلمة تختلف في شكلها وبنائها عن باقى المسلمات الاخرى وان اقليدس قد احتاج للكثير من الكلمات لوصف هذه المسلمة بينما ما كان يميز باقى المسلمات الاخرى هي انها قصيرة ونافذه وواضحة. وتشكك البعض في ان كانت هذه مسلمة ام هي نظرية ينبغى برهانها بدلالة المسلمات الاخرى.

وحاول الكثيرون برهان المسلمة الخامسىة بدلالة المسلمات الاخرى ومن امثال هؤلاء ارشميدس و بطليموس و من بعدهم ثابت بن قرة و الطوسي وغيرهم الكثيرين. ولكن كل محاولات هؤلاء قدباءت بالفشل وكان الرياضى الالمانى جاوس هو اول من ادرك ان هذه الفرضية لا يمكن اثباتها بدلالة المسلمات الاخرى بل ينبغى فرضها فرضا. ومن الممكن فرض فرضيات مخالفة للمسلمة الخامسة لنحصل في كل مرة على هندسة جديدة تتناسب مع المسلمة اللتي تم فرضها.

واول من توصل لهندسات جديدة بخلاف هندسة اقليدس كان كلا من الروسي لوباتشيفسكي و المجري بولياي. وتوصل كل منهما لنفس الهندسة بصورة مستقلة وبمعزل عن الاخر. وقد فرض كل منهما اننا يمكننا رسم اكثر من موازي واحد لخط من خلال نقطة تفع خارج هذا الخط. وكانت الهندسات الجديدة تسمح باستنباط نظريات هندسية جديدة بصورة منطقية.

هندسة ريمان للاسطح الكروية

ثم قام ريمان الالماني بفرض افتراض اخر مفاده اننا لا يمكننا ان نرسم اي موازي لاي خط من نقطة تقع خارجه. ويمكننا تخيل هذه الفرضية بسطح الكرة الارضية. فخطوط الطول الموجودة فوق سطح هذه الكرة تمثل الخطوط المستقيمة لاننا لايمكننا ان نجد خطوط اكثر استقامة من خطوط الطول الموجودة على سطح الكرة المقعر. كما اننا لانستطيع من اى نقطة رسم خط طول يوازي خط طول اخر. لان خطوط الطول على سطح الكرة الارضية تتقاطع كلها عند القطبين. اى ان خطوط الطول كلها ليست متوازية.

ومن سمات هندسة ريمان الخاصة بالاسطح الكروية ان مجموع زوايا المثلث الداخلية اكبر من 180 درجة. فمثلا اذا نظرنا الى مثلث كروي. اي انه موجود فوق سطح كرة و ضلعاه هما خطى طول ما فوق سطح الكرة الارضية بينما ضلعه الثالث يقع فوق خط الاستواء. فنجد ان كل زاوية بين خطى الطول وخط الاستواء على حدة تساوي 90 درجة اي ان مجموعهما هما الاثنين فقط يعطي 180 درجة. اى ان مجموع زوايا المثلت الداخلة الثلاثة اكبر من 180 درجة.

كما ان من سمات هندسة ريمان بالنسبة للاسطح الكروية ان نظرية فيثاعورث لاتسرى لحساب المسافة بين نقطتين الا في حالة النقاط القريبة جدا من بعضها وبصورة تقريبية. اي ان نظرية فيثاغورث لحساب المسافة بين النقطتين تسري فقط بصورة موضعية.

ولكنى في البداية احب ان اوضح النقطة التاليةوهي ان سطح كرة هو سطح ثنائي الابعاد بالرغم من ان الكرة تشغل حيز مكانى ثلاثى الابعاد. فالسطح ثنائى الابعاد يحتاج لرقمين او بعدين فقط لتحديد اى نقطة تقع عليه. فمثلا اذا اردنا تعيين موضع مدينة بيروت على سطح الكرة الارضية فاننا نفعل ذلك عن طريق قيمة خطوط الطول و العرض. اي ان رقمان كافيان لتحديد موضع اى نقطة فوق سطح الارض. كما انى احب ان اوضح ان هناك اكثر من نظام للاحداثيات بخلاف الاحداثيات الكارتيزية مثل الاحداثات الاسطوانية و الاحداثات الكروية. وتحديدا فان الاحداثيات الكروية تلعب دورا كبيرا في النظرية النسبية العامة.

وكان العبقري جاوس قد وجد خواص مثيرة للاسطح الكروية. ومن ضمن هذه الخواص المثيرة اننا عن طريق قياسات داخلية على السطح نستطيع ان نحصل على معلومات حول البعد الثالث. فمثلا اذا درسنا جسم على هيئة اسطوانة فاننا اذا قسنا محيط هذه الاسطوانة فاننا نستطيع ان نحسب طول قطرها اللذي يقع في بعد اخر حيث ان محيط الاسطوانة يساوى حاصل ضرب القطر في الثابت ط. والمثل بالنسبة للسطح الكروي فان مساحة مثلث على سطح كرة يساوي مربع نصف قطر الكرة مضروبا في فارق مجموع زوايا المثلث الداخلة عن 180 درجة. وكانت هذه الحقائق تبهر ريمان. فعكف على تطوير هندسته ودرس اسطح ثلاثية الابعاد مقعرة وكذلك الحال بالنسبة لاسطح رباعية الابعاد مقعرة وهكذا. وما يهمنا هو الاسطح الرباعية الابعاد المقعرة لان الزمكان في النظرية النسبية هو رباعى الابعاد. وبالطبع لايمكننا ان نتخيل كيف تبدو اسطح رباعية الابعاد مقعرة. اي انها تشغل في الاحداثيات الكارتيزية 5 ابعاد لاننا لايمكننا ان نتخيل اكثر من 3 ابعاد مكانية في نفس الوقت.

وقد شعر اينشتاين ان هندسة ريمان هى ضالته المنشودة. فاينشتاين كان هدفه الوصول الى قانون يحسب المسافة بين الاحداث في الزمكان الرباعى الابعاد. وحساب هذه المسافة ينبغي ان يكون على غرار قوانين مينكوفسكي اللتى هي في الحقيقة تطوير لنظرية فيثاغورث. وكما راينا سابقا فان قانون فيثاغورث يعمل بصورة محلية بين النقاط القريبة في هندسة ريمان. و كان هذا ما يحتاجه اينشتاين تماما. فلحساب المسافة بين حدثين بعيدين عن بعضهما في الزمكان نستطيع ان نقسم المسافة بين هذين الحدثين البعيدين الى مسافات صغيرة على طول المسافة بين الحدثين. ثم نحسب كل مسافة صغيرة على حدة ثم نجمع هذه المسافات لنحصل في النهاية على النتيجة النهائية. او اذا احببنا ان نوصف تلك العملية بصورة اكثر رياضية فاننا نقول اننا نجري عملية تكامل.

وبناء عليه كان على اينشتاين ان يصف كوننا او الزمكان بدلالة هندسة ريمان و ان يحدد تقعر الزمكان وسوف تكون الجائزة انه سوف يحصل على العلاقات الحقيقية اللتى تفسر كل قوانين الميكانيكا و الجاذبية في كوننا.

الطريق الى الصورة النهائية للنظرية النسبية العامة لا يمر عبر هندسة اقليدس

سقراط وافلاطون و ارسطو اسماء عملاقة ظهرت في التاريخ البشري وساهمت في ازدهار الفلسفة و العلوم بشكل هائل. وكان سقراط استاذ افلاطون كما كان افلاطون استاذ ارسطو ولكن مع ذلك فقد كان لكل منهم اتجاهه الخاص اللذي خالف فيه استاذه. فسقراط كان مجادلا ومحاورا بارعا ولكنه لم يترك كتابا مكتوبا يحوي اراؤه. وكل ماوصلنا عنه كان عن طريق تلميذه افلاطون اللذي مجد شخص سقراط وجعله بطلا لكل قصصه وحواراته. اما افلاطون وهو اللذي كان يدعو الى مملكة الافكار ويقدس دور العقل ويعتبر ان العلم مكانه المخ وليس المختبر. فعند افلاطون اذا اكتملت الفكرة واختمرت في عقل انسان رشيد اصبحت حقيقة مؤكدة ولا يضيرها مخالفة تجربة عملية لها.فالتجارب والواقع ليست اشياء مثالية.اما المنطق و العقل ومنتجاتهما فهي اشياء في قمة المثالية و كاملة ومكتملة. اما ارسطو فقد تبنى فلسفة مغايرة تماما. فهو كان يرى ان العلم هو ماأكدته التجربة. أما الاجتهادات الذهنية اللتى لايدعمها الواقع و التجرية فهي جهد مهدور لاطائل من ورائه.

وتأثر العلماء المسلمون بأراء ارسطو و افلاطون ولاسيما ارسطو اشد التأثر. وتمت ترجمة كل اعمال ارسطو الى العربية عن طريق ابن رشد واللذي عن طريقه وصلت كل افكار ارسطو المعربة الى الغرب ليبدأ نهضته العلمية في عصر النهضة.

وما يعنينا اليوم هي اراء افلاطون اللتى كانت تري ان العلم هو ثمرة الافكار المجردة. وانجح مثال يدعم هذا الرأي هي الهندسة الاقليدية ذلك الانجاز البشري الهائل اللذى لابد ان يشعر الانسان امامه بالاعجاب و التقدير. فالهندسة الاقليدية مبرهنة بشكل رياضى قاطع و لاتحتمل انصاف الحلول. وان اثبتنا خطئا صغيرا في هذه النظرية فقد اسقطنا الهندسة الاقليدية كلها. وتنتهى البراهين في الهندسة الاقليدية الى مسلمات بديهية مقطوع بصحتها ولكن لايمكن اثباتها. انما يتم الاعتقاد بذلك لان هذه المسلمات بديهية للغاية ولا توجد نقاط ابسط منها يمكن ان نردها اليها. وتقوم على هذه المسلمات النظريات المعقدة و النتائج الهندسية البديعة.

وبعد اكثر من الفي سنة من حياة اقليدس في الاسكندرية ظهر الالماني اينشتاين على الساحة العلمية وهو كان شديد الاعجاب بالهندسة الاقليدية. ويلاحظ ان بناء النظرية النسبية يشبه الى حد كبير بناء الهندسة الاقليدية. فاينتشاتين فرض مبادئ اساسية. ومن هذه المبادئ استنبط اينشتاين قوانينه بشكل رياضي. وكان اينشتاين يعشق التجارب الذهنية وكان يستخدمها بديلا عن التجارب المعملية تماما كما كان ينادي افلاطون. لكن المفاجأة تكمن في ان اينشتاين هو اول من دعى الي ابعاد الهندسة الاقليدية عن ميادين الفيزياء لان قوانينها لا تصف كوننا بشكل صحيح.

صحيح ان بناء النظرية النسبية يتشابه مع بناء الهندسة الاقليدية الا ان النظرية النسبية قائمة على المبادئ والهندسة الاقليدية قائمة على المسلمات. ولكن ماهو الفارق بين المسلمات و المبادئ؟ المسلمات هي بديهيات يقر الانسان بصحتها دون القدرة على برهانها او ردها الى مسلمات اخرى اقل منها. اما المبادئ فهي ايضا اشياء يقر الانسان بصحتها دون برهانها ولكن ليس بناء على بداهتها ولكن بسبب ان التجربة والواقع يشهدون لها بشكل لاريب فيه. فمن مبادئ النسبية وصل اينشتاين الى نتائج شيقة تخالف البديهيات اللتى كنا نعتقدها. اى ان يننشتاين انطلق من الواقع والتجربة كما ارسطو ولكن طريقه كان عبر التجارب الذهنية كما كان طريق افلاطون ليصل الى نتيجة سقراط: انا اعرف اني لا اعرف. فالحواس خادعة و ما تصوره لنا حواسنا قد يكون مغلوطا.

الحقيقة اننا نعيش اليوم مايبدو انه مفارقة غريبة فالبديهيات اوصلت العلم الحديث مبالغ عظيمة. لكننا بعد ان وصلنا الى هذه المبالغ ندرك انه ممن الممكن ان تكون تلك البديهيات صاحبة الفضل في تلك النجاحات في حقيقة الامر خاطئة. ويمكن تخيل هذا الامر اننا نعيش في عالم محدود رغم اتساعه و البديهيات تبلغنا حتى حدود عالمنا لنري عالما جديدا يبزع امامنا. ولكن ليس بالضرورة ان تسري في هذا العالم الجديد بديهياتنا القديمة. فهذه البديهيات ليست مقدسات لا يمكن كسرها. او تشبيه اخر للبديهيات بانها كالأب الذي يرعى طفلا حتى يشب هذا الطفل عن الطوق ويدخل الطفل مرحلة الشباب وربما يدرك الشاب ان كل تقاليد وافكار الاب ليست صحيحة.

نعود الان الى موضوعنا الاساسى لماذا اضطر اينشتاين للتخلي عن الهندسة الاقليدية؟ نعلم ان اينشتاين قد ادرك انه بحاجة الى نظرية جديدة و ان ترقيع النظريات الموجودة حتى النظرية النسبية الخاصة لن يجدي بشئ. اذن كان عليه ان يصنع كل شئ من جديد ولكنه فكر مالذي يمكنه ان يأخذه معه من الحقائق القائمة لتوفير الجهد وعدم اختراع العجلة مرتين. كان اينشتاين متأثرا بفضاء مينكوفسكي وبفكرة ان الزمن بعد رابع. وكان متأثرا بقانون حساب المسافات بين نقتطين او حدثين في فضاء مينكوفسكي:

s^2 = x^2 + y^2 +z^2 – c^2t^2

وكان يريد قانونا مشابها في نظريته الجديدة . قانون على نفس النسق يمكن بواسطته حساب الابعاد في الزمكان بين الاحداث المختلفة. ولكن المشكله ان القانون اللذي استخدمه مينكوفسكي كان مبنيا على نظرية فيثاعورث. وقانون شبيه يعنى في حقيقة الامر قانون اخر. اى ان حساب المسافات بين نقطتين فى الزمكان الجديد لن يخضع لنظرية فيثاغورث. وكانت هذه مفاجاءة

نقطة اخري توضح ان هندسة اقليدس ليست الهندسة المناسبة لتوصيف الزمكان الاينشتاينى الجديد هي التجربة الذهنية الاتية : لو تخيلنا ان هناك قرصا دوارا يدور بسرعة عالية. ونعلم انه عند حافة القرص تصير السرعة اعلى مايمكن. لكن ازدياد السرعة يعنى نقص طول المحيط كما توضح تحويلات لورنتر. ولكن نصف قطر القرص لن يقل لانه في اتجاه عمودي على اتجاه الحركة. ونعلم من الهندسة الاقليدية ان محيط القرص يحسب عن طريق المعادلة التالية:

U= 2 x 3.14 x r
حيث U المحيط و r نصف القطر

ولكننا هنا نري ان المحيط اقصر من تلك العلاقة المحسوبة.اذن فهندسة اقليدس لاتسري على قرص دوار !. وبالطبع كانت ثقة اينشتاين في نفسه وفي نظريته عالية فلم يتردد في التخلى عن هندسة اقليدس وقرر ان يستعيض عنها بهندسة ريمان.وكان اختياره لهندسة ريمان اختيارا ناجحا واستطاع عن طريق هندسة ريمان ان يجد معادلاته المنشودة.

في النهاية احب ان اعلق بنقطتين: النقطة الاولى انه من المنطقى ان لا تنسجم الهندسة الاقليدية مع النظرية النسبية.فالهندسة الاقليدية تقوم على بديهيات عالمنا الكلاسيكي القديم. اما نظرية النسبية فقد قامت على مبادئ ظهرت في المرحلة اللتى شب فيها الطفل عن طوق ابيه.

النقطة الثانية اللتى احب ان اؤكد عليها هى اني ارجو الايفهم من كلامي ان هندسة اقليدس خاطئة. فهي بالطبع صحيحة لانها مبرهنة برهان رياضى سليم. ولكن ما قاله اينشتاين انها ليست انسب الهندسات لوصف كوننا الكبير اللذي نعيش فيه!!

نسبية الحركات المعقدة

تقوم فلسفة وفكرة النظرية النسبية بشقيها الخاص و العام على تصور ان الحركة امر نسبي وان انسان يتحرك بسرعة ما قد لا يدري بالضرورة انه يتحرك وقد يعتقد في قرارة نفسه صارما جازما بانه ثابت في مكانه. ولا يمكن لاحد ان يثبت عكس هذا فيزيائيا مهما حاول ومهما استخدم من اجهزة وعمل من قياسات. ولكن الانسان يتصور حركته بحكم العقل و المنطق وليس بالضرورة ان يدعم هذا الحكم الشعور والاحساس. فالكرة الارضية تدور حول الشمس ونحن معها ولكننا لانشعر بهذه الحركة. ومعرفتنا بامر هذه الحركة كان استنتاجا عقليا وليس شعورا محسوسا.و عندما يبدأ قطار نستقله في الحركة من محطة القطار فاننا لا ندري انحن المتحركون ام هو القطار على الرصيف المقابل. ولابد لكي ندرك حالتنا من الحركة ان ننظر الى شئ نعتقد انه ثابت ونقارن انفسنا بالنسبة اليه كعمود انارة او شجرة او شئ مشابه. وهكذا فاننا نري اننا لا نشعر بالحركة ولكننانسقط هذا الحكم بعقلنا.

وهذه كانت فكرة اينشتاين الاساسية. فكل الاجسام تعتقد في نفسها الثبات ولها كل الحق في ذلك. لان هناك ما يثبت هذا الاحساس ويدعمه وهو ان صيغة وصورة جميع القوانين الفيزيائية بالنسبة لجميع الاطر و محاور الاسناد المتحركة هي ثابتة او ينبغي ان تكون كذلك.

وكانت هذه فكرة ثورية. فهي تسقط ما قاله نيوتن اللذي كانت تحويلاته تجعل صور القوانين الفيزيائية ماعدا قوانين الحركة تختلف طبقا للاطار اللذي يتم فيه رصد هذه القوانين. كما انها تتخطى تحويلات لورنتر اللتى كانت قاصرة على ميادين الديناميكا الكهربائية وتختص بحالة واحدة من الحركة وهي الحركة بسرعة منتظمة في خط مستقيم.

ونسبية الحركة بسرعة منتظمة في خط مستقيم هو امر بين ندركه جميعا. وشعورنا بالثبات عند حركتنا ضمن هذه الاطر هو امر من السهل افتراضه وقد بينا ذلك انفا. ولكن اثبات نسبية الحركة بعجلة منتظمة لم يكن هينا كأمر السرعة المنتظمة. لكن اينشتاين استطاع عن طريق تجربة ذهنية ان يوضح ان الحركة بتسارع منتظم لايمكن تفريقها عن الوجود في مجال جاذبي منتظم. وقد استطاع اينشتاين توضيح ذلك عن طريق افتراض مختبر فضائي يتم تعجيله الى اعلى بتسارع 10 متر في الثانية المربعة و مختبر اخر مستقر فوق سطح الارض.وبداخل كل مختبر يوجد راصد. واوضح انه لا سبيل لاي من الراصدين لادراك لاي مختبر ينتميان مهما عملا من محاولات.

ولكننا الان لاستكمال الصورة نحتاج الى عمل تعديل على هذه التجربة الذهنية.فالمختبران ينبغى ان يكونا صغيرين. لانه لو كان المختبران كبيرين لفطن الراصدان لاي مختبر ينتميان. لماذا؟ لان في حالة المختبر الفضائي يتم التعجيل دائما رأسيا الى اعلى بغض النظر عن مكان وجود الراصد بداخل المختبر. اما اذا كان المختبر على الارض وافترضنا ان طول المختبر 5000 كيلومتر مثلا فان اتجاه قوة الجاذبية لايكون ثابتا. فأننا اذا راعينا كروية الارض فسنجد ان قوة الجاذبية تشير دائما باتجاه نصف القطر نحو مركز الارض.اى ان اتجاه القوة ليس ثابتا. ولكن في حالة المختبر الصغير فهذا الاعتراض غير موجود ولا يمكن لراصد ان يفطن لحالته بصورة قطعية.

لكن ماذا عن باقى الحركات الاكثر تعقيدا من الحركة بسرعة منتظمة او الحركة بعجلة منتظمة؟هل هي نسبيية ايضا؟ هل طائرة تطير في الجو وتتعرض لمطبات هوائية يمكن ان تتصور انها ثابتة وان حركتها نسبية؟ وان شعور ركاب الطائرة يمكن تفسيره على نحو اخر؟ الاجابة هي نعم. فالنسبية تقول اننا يمكن ان نفسر لراكب طائرة يتعرض لمطبات هوائية انه الان يقع تحت رحمة مجال جاذبية متغير القيمة ولكنه ثابت الاتجاه وفي اتجاه رأسي. ولكن هل يمكن في الطبيعة خلق او ايجاد مجال جاذبية متغير كهذا المجال اللذي نحاول ان نقدمه؟ نظريا نعم. ولكن عمليا فان علينا ان نحرك الكرة الارضية او كواكب اخري بحركة تسارعية حتى نخلق هذا المجال. اذن فوجود مجال جاذبية مثل هذا ممكن على الاقل من الناحية النظرية.

كانت هذه خطوة هامة. فالحركات المعقدة يمكن تفسيرها الآن على انها الوقوع تحت تأثير مجال جاذبية متغير. ولكن في المثال السابق كان اتجاه التسارع ثابتا والقيمة كانت هي المتغيرة. لكن ماذا الان لو تغيرت قيمة التسارع و اتجاهه في نفس الوقت؟ اي ان الحركة اصبحت في قمة التعقيد فهل مازال من الممكن تفسير هذه الحركة على انها تأثير مجال جاذبية متغير ايضا؟ وهل يمكننا صنع او ايجاد مجال جاذبية مشابه في كوننا؟

ان تغيير اتجاه التسارع يشبه الحركة الدورانية. فقرص يدور حول مركز ما يشعر انسان موجود فوقه بقوة الطرد المركزية اللتى تدفعه دائما بعيدا عن هذا المركز. وهي قوة متغيرة الاتجاه و القيمة. فهذه القوة تكون صفرا عند محور الدوران وتزداد قيمتها كلما ابتعد الانسان عن المركز باتجاه الحواف. كما ان اتجاه هذه القوة متغير ايضا وهي يشير دائما الى عكس مركز الدوران في اتجاه نصف قطري يعتمد على مكان وجود الانسان فوق القرص.

ولكن هل يمكن تفسير القوة الطاردة المركزية على انها تأثير مجال جاذبية متغير الاتجاه و المقدار؟ واين يمكن ان يوجد مثل هذا المجال في الكون؟ قوانين نيوتن تقول ان مجال جاذبية كهذا مستحيل ومهما اتينا باجسام وكتل وحركناها او سارعناها فاننا لن نستطيع ان نخلق مجالا كهذا.اما نظرية اينشتاين للجاذبية فتقول صحيح ان مثل هكذا مجال غير موجود في الطبيعة ولكنه ليس مستحيلا نظريا.

اذن فقد اطمأن اينشتاين الى سلامة فكرته الاساسية و هي ان اي حركة نسبية بغض النظر عن نوع هذه الحركة. ولكن بقى عليه الان ان يجد القالب الرياضى اللذي يصوغ فيه هذه الفكرة. فكان عليه ان يجد تحويلات تشبه تحويلات لورنتر او قوانين مينكوفسكي. ولكن عند اجراء التحويلات الفيزيائية بدلالة هذه المعادلات الرياضية فينبغى ان تبقى صورة القوانين الفيزيائية في الاطر المختلفة كما هي كما هي بدون اي تغيير.

ادنجتون:شهادة الحق رغم الحرب الدائرة

من يقرأ تاريخ قصة النظرية النسبية العامة فسوف ينبهر بالدور اللذي لعبه ارثر ادنجتون في اثبات النظرية النسبية العامة ودعمه لالبرت اينشتاين. فالبرت اينشتاين كان فيزيائيا نظريا عملاقا ولكنه لم يجري تجربة عملية واحدة في حياته من اجل اثبات نظرياته. بالرغم من ذلك كان اينشتاين شديد الثقة في صحة افكاره ونظرياته. وكان لايخالجه ادنى شك في ان التجارب العملية لابد وان تدعم مايطرحه من افكار وتصورات. ومن ملامح تمكن اينشتاين وثقته بنفسه انه كان دائما يفكر في تجارب عملية من الممكن عملها من قبل الفيزيائيين التجريبيين من اجل التحقق من صحة نظرياته او عدمها.

انحراف موضع نجم عن موضعه الحقيقة وقت الكسوف

ومن ضمن الافكار اللتى طرحها اينشتاين للتحقق من صحة نظريته النسبية العامة كانت تجربة للتحقق من انحناء الضوء عند مروره بالقرب من قرص الشمس. وكانت فكرة اينشتاين انه يمكن استغلال فترة كسوف الشمس لرصد نجم مجاور للشمس بشرط ان يكون مكان هذا النجم معروفا في وقت اخر لايكون فيه هذا النجم بجوار الشمس. فعندما يكون النجم بجوار الشمس فان الشمس سوف تحرف الضوء الصادر منه بحيث يبدو النجم وكانه موجود في مكان اخر غير المكان اللذي ينبغى ان يكون فيه طبقا للأرصاد السابقة.

وفي تلك الفترة اللتى كان فيها اينشتاين يبحث في النظرية النسبية العامة كانت الحرب العالمية الاولى مازالت قائمة وبالرغم من ذلك فان اينشتاين كان يطرح نتائج ابحاثه على الاكاديمية البروسية للعلوم. ومن هناك كانت تصل النتائج الي هولندا المحايدة. ومن هولندا كانت النتائج تصل الى انجلترا حيث يعمل الفيزيائى والفلكي ارثر ادنجتون. وكان ادنجتون من اشد المعجبين بالنظرية النسبية العامة. وفي 29 مايو عام 1919 كان من المتوقع ان يحدث كسوف كلى للشمس فقرر ادنجتون ان يستغل هذا الحدث من اجل التحقق من النظرية النسبية العامة كما اقترح البرت اينشتاين. وكان ادنجتون يود في قرارة نفسه ان تكون نتيجة قياساته ايجابية وان يثبت النظرية النسبية ويؤكدها و لا يدحضها وينفيها.

وهذا الشئ يثير العجب و الاعجاب خصوصا اذا تنبهنا الى ان ادنجتون كان انجليزي بينما اينشتان كان المانيا.اي انه  ينتمي للدولة اللتى كانت انجلترا تخوض حربا ضروسا ضدها. ويتقرر ارسال بعثتين علميتين الاولى الى البرازيل بقيادة فرانك ديسون والثانية الى غرب افريقيا برئاسة ادنجتون.وكانت فترة الكسوف ستستمر لمدة دقائق قليلة. وبالفعل حرص ادنجتون على عمل القياسات اللازمة لنجم بجوار الشمس ساعة الكسوف وكان ادنجتون يعلم مكان هذا النجم من قبل.وكانت النتائج الاولية مبشرة.ثم عاد ادنجتون الى لندن مرة اخرى لعمل الحسابات النهائية ولتقييم بيانات بعثة البرازيل ايضا. وكانت النتيجة النهائية لارصاد البعثتين تؤكد ان النظرية النسبية على حق وانها تنبأت بالموقع المزيف للنجم بمنتهى الدقة. وتم اعلان ذلك في جلسة مشتركة للجمعية الملكية الانجليزية مع الجمعية الملكية الفلكية الانجليزية. وبعد مراسم انجليزية تقليدية اعلنت الهيئتان ان البرت اينشتاين كان محقا فيماذهب اليه. وفي صبيحة اليوم التالى أصبح البرت اينشتاين اشهر رجل فوق سطح الكرة الارضية.

ومما يثير التأمل في هذه القصة ان ادنجتون شهد لصالح اينشتاين ولم يمنعه عن ذلك كره للالمان  لان الالمان والانجليز كانوا اعداء لدودين في تلك الفترة. كما لم يمنعه عن تلك الشهادة تحيزه الى ابن بلده الانجليزي العملاق اسحق نيوتن اللذي كان قبل 200 عاما رئيسا للجمعية الملكية الانجليزية وبالرغم من ان نظرية اينشتاين اسقطت قوانين نيوتن بالضربة القاضية.

انحناء الضوء تحت تأثير الجاذبية

نستعرض اليوم نتيجة تعتبر من اهم وأشهر النتائج اللتى توصلت اليها النظرية النسبية العامة وهي تقول بان الضوء ينحنى عند مروره في مجال جاذبية قوي كمجال جاذبية الشمس مثلا.

ولدراسة تأثير الجاذبية على شعاع ضوء فعلينا دراسة كيف يبدو هذا الشعاع بالنسبة لراصد يتحرك بتسارع ما. كان هذا مااكتشفه اينشتاين عن  طريق تجاربه الذهنية حول نسبية التسارع وعلاقة التسارع بالجاذبية. وموضوع نسبية التسارع قد تعرضنا له في مدونة سابقة ومن يرغب في مطالعته فعليه بمراجعتها.

اذن فلو تخيلنا ان لدينا مختبر فضائي موجود في الفراغ ويتم تعجيله الى اعلى بتسارع معين ثم اطلقنا بداخل هذا المختبر

انحناء شعاع ضوء افقى بالنسبة لراصد موجود بداخل مختبر يتحرك بتسارع

شعاع ضوء افقي فكيف يبدو هذا الشعاع بالنسبة لراصد موجود بداخل المختبر المتسارع؟ الاجابة حيث ان ارضية المختبر تتسارع الى اعلى فان شعاع الضوء سيبدو منحنيا الى اسفل. اذن فعند مرور شعاع ضوء في مجال جاذبية قوي فانه سوف ينحنى تحت تأثير هذا المجال.

اذن فقد توصل اينشتاين الى نتيجة اخرى جديدة ومثيرة عن طريق تجاربه الذهنية وقبل ان يتوصل للقانون النهائى للنظرية النسبية العامة. نعم كان هذا صحيح ولكن انجاز اينشتاين هذه المرة كان طعمه مرا جدا بالنسبة لاينشتاين نفسه. لماذا؟ لان انحناء الضوء الى اسفل يعنى ان سرعة الضوء ليست ثابتة بل ان سرعة الضوء في الاجزاء العليا اعلى منها في الاجزاء السفلى وهذا يتعارض صراحة مع المبدأ الثاني للنظرية النسبية الخاصة واللذي ينص على ثبوت سرعة الضوء. وها هو اينشتاين نفسه ينقض غزله بيده ويقول الان ان سرعة الضوء ليست قيمة ثابتة. وكانت فرحة خصوم اينشتاين غامرة. فهاهو اينشتاين يتراجع عن ادعائاته ويسحب ماكان ينادي به.

حاول اينشتاين ان يستعيد رباطة جأشه بل وحتى ان يستغل هذا الاكتشاف لصالحه. فدعى الى اعتبار سرعة الضوء عند نقطة معينة في المكان مقياس لقيمة مجال الجاذبية عند هذه النقطة. ولكن هذه الفكرة لم تؤت ثمارها. لكن اينشتاين قد ادرك ان عليه ان يبحث عن نظرية جديدة اعم واشمل و الا يبقى اسيرا للنظرية النسبية الخاصة.

وبالفعل تمكن اينشتاين من بعد جهد شاق من وضع النظرية النسبية العامة واللتى تحتوي على كل النتائج اللتى توصل اليها عن طريق تجاربه الذهنية كما انها تحتوي ايضا على نتائج النظرية النسبية الخاصة. ولكن تبقى هناك نقطة احب ان انوه اليها حول العلاقة بين النظريتين العامة  والخاصة. فالحقيقة ان النظرية النسبية الخاصة لم تسقط تماما. فهي قائمة على مبدائين اساسيين.فان تحقق هذان المبدئان تحققت النظرية وان لم يتحققا تعطلت.اذن فالنظرية النسبية الخاصة تعتبر صحيحة عندما تكون سرعة الضوء ثابتة وهذا يكون قائما عندما ينعدم اى تأثير للجاذبية.اما اذا وجد هذا التأثير فيجب ان تنتهى صلاحية النظرية النسبية الخاصة ووجب استخدام النظرية النسبية العامة. اذن فالنظرية النسبية الخاصة كما هو اسمها حالة خاصة وتقريبية من النظرية النسبية العامة.

النقطة الاخيرة اللتى احب ان اشير اليها هى ان اينشتاين عندما اكتشف قانونه النهائى وحسب انحراف شعاع ضوء يمر مماسا لقرص الشمس وجد ان زاوية الانحراف تبلغ ضعف القيمة اللتى حسبها اولا عن طريق تجاربه الذهنية وقد تم بالفعل التأكد عمليا من هذه القيمة واثباتها بالقياس المباشر عن طريق الفلكي و الفيزيائي الانجليزي ادنجتون.