د. محمد مدحت موسى-Dr. Mohamed M. Mousa

أستاذ مشارك بقسم الرياضيات-Associate Professor of Mathematics

الاشتقاق


مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

العدد المُشتَقّ في نقطة، على رسم بياني لدالة ذات متغيرات وقيم حقيقية، هو معامل المماس الموجِّهُ. يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية. وتعرف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة. نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية. ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

 frac{Delta y}{Delta x}

عندما Δx تقارب 0.

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

 frac{dy}{dx}

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

lim_{h 	o 0}frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق

رمز الاشتقاق

مشتقة الدالة f(x)=xcdotsin(x^2) + 1 عند كل نقطة, هو ميل المماس لمنحنى تلك الدالة, الخط دائما مماس للمنحنى الأزرق, وميله يمثل المشتقة. لاحظ تكون المشتقة موجبة عندما يظهر الخط باللون الأخضر, وسالبة عندما يظهر باللون الأحمر , وصفر عندما يظهر الخط باللون الأسود.

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، منها ما يلي :

f'left(x
ight) أو y'، و تُقرأ ((مشتقة y))
frac{{mathrm d} f}{{mathrm d} x} ،والتي تكافئ الصيغة frac{{mathrm d} left(f(x)
ight)}{{mathrm d} x}

و تُقرأ ((dfdx)) أو ((مشتقة f بدلالة x)) ، أما d(f(x))/dx فتُقرأ ((ddx للدالة f عند x)) أو ((مشتقة f عند x))

dy/dx

و تُقرأ ((dydx)) أو ((مشتقة y بدلالة x))

dot{x} = frac{{mathrm d} x}{{mathrm d} t} = x'(t) ،تستعمل خاصة في الفيزياء.
D_x f(x) ;

الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر. التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة
f(x) =,
المشتقة
f'(x) =,
شرط الاشتقاق
a,! 0,! x,inmathbb{R}
a x,! a,! x,inmathbb{R}
1 over x,! - {1 over x^2},! x,inmathbb{R}^*
sqrt{x},! {1 over 2sqrt{x}},!

x,inmathbb{R}_+^*

a x^n,! anx^{n-1},! n,in mathbb N^*quad x,inmathbb{R}
a x^n,! anx^{n-1},! n,in mathbb Z setminusmathbb Nquad x,inmathbb{R}^*
a x^c,! acx^{c-1},! c,in mathbb R setminusmathbb Zquad x,inmathbb{R}^{*+}
cos(x),! -sin(x),! x,inmathbb{R}
sin(x),! cos(x),! x,inmathbb{R}
	an(x),! 1 over cos^2(x) أو  1+	an^2(x),! x
eq {pi over 2} + kpi, k in mathbb{Z}
arccos(x),! - {1 over sqrt{1-x^2}},! x,in  ]-1;1[
arcsin(x),!  {1 over sqrt{1-x^2}},! x,in  ]-1;1[
sinh(x),! cosh(x),! x,inmathbb{R}
cosh(x),! sinh(x),! x,inmathbb{R}
arctan(x),!  {1 over 1+x^2},! x,inmathbb{R}
a^x,! a^x ln a,! a,inmathbb{R}_+^* quad x,inmathbb{R}
ln |x|,! 1 over x,! x,inmathbb{R}^*
exp{x},! exp{x},! x,inmathbb{R}

مثال 1

لنعتبر f(x)=5:

f'(x)=lim_{h
ightarrow 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h} = lim_{h
ightarrow 0} frac{5-5}{h} = 0

مثال 2

لنعتبر f(x)=2x-3:

f'(4),

=  lim_{h
ightarrow 0}frac{f(4+h)-f(4)}{h}

 =  lim_{h
ightarrow 0}frac{2(4+h)-3-(2cdot 4-3)}{h}

 =  lim_{h
ightarrow 0}frac{8+2h-3-8+3}{h}

 =  lim_{h
ightarrow 0}frac{2h}{h} = 2

مثال 3

لنعتبر  f(x) = x^2, :

 f'(x),

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{(x+h)^2 - x^2}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{2xh + h^2}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}(2x + h) = 2x

مثال 4

لنعتبر  f(x) = sqrt{x} :

 f'(x),

= lim_{h
ightarrow 0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{sqrt{x+h} - sqrt{x}}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{(sqrt{x+h} - sqrt{x})(sqrt{x+h} + sqrt{x})}{h(sqrt{x+h} + sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{x+h - x}{h(sqrt{x+h} + sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{1}{sqrt{x+h} + sqrt{x}}

 = frac{1}{2 sqrt{x}}

مثال 5

 f''(x), = lim_{h
ightarrow 0}frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{frac{1}{2 sqrt{x+h}}-frac{1}{2 sqrt{x}}}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{left(frac{1}{2 sqrt{x+h}}-frac{1}{2 sqrt{x}}
ight)(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}{h(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{frac{2 sqrt{x}}{2 sqrt{x+h}}-frac{2 sqrt{x+h}}{2 sqrt{x}}}{h(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{frac{x}{sqrt{x} sqrt{x+h}}-frac{x+h}{sqrt{x} sqrt{x+h}}}{h(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{frac{-h}{sqrt{x} sqrt{x+h}}}{h(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{-1}{sqrt{x} sqrt{x+h} (2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{-1}{2 sqrt{x} (x+h) + 2 x sqrt{x+h}}

 = frac{-1}{4 x sqrt{x}}

 = frac{1}{4 x sqrt{x}}

مثال 6

لنعتبر  f(x) = e^{xsin^2x}, :

 f'(x)=e^{xsin^2x} (xsin^2x)'=e^{xsin^2x} (sin^2x+2xsinxcosx),

مثال 7

لنعتبر  f(x)=arcsin frac {1+x}{1-x}, :

f'(x)= frac {1} {sqrt {1- (frac {1+x} {1-x}) ^2}} (frac {1+x} {1-x})' =frac {1} {(1-x)sqrt{-x}}

مثال 8

لنعتبر  f(x) = (x+sin {x}) :

 f'(x)=1+cos {x}


جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

التوقيت والتقويم





 








توقيت الصلاة بمدينة حوطة سدير


محرك بحث جوجل

للتواصل


  1. الهاتف : 0164044771

تحويلة: 4771


mm.mousa@mu.edu.sa

dr.eng.mmmm@gmail.com

(QR Code)

mailto:mm.mousa@mu.edu.sa


إعلانات

1- الاختبار الفصلى الثانى لمقرر التحليل العددى (يوم الاحد الموافق 3 / 7/ 1440 هـ)

2- الاختبار الفصلى الثانى لمقررحساب المتجهات (يوم الثلاثاء الموافق 5 / 7 / 1440 هـ)

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أخبار الجامعة والكلية

أخبار الجامعة

أخبار الكلية


اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

روابط مفيدة على موقع الجامعة












مواقع التواصل الإجتماعى

آلة حاسبة

التقويم الجامعى

التقويم الجامعى 1440/1439




بعض الجوائز والتكريمات









إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 258

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 63607