د. محمد مدحت موسى

أستاذ الرياضيات المساعد

الاشتقاق


مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

العدد المُشتَقّ في نقطة، على رسم بياني لدالة ذات متغيرات وقيم حقيقية، هو معامل المماس الموجِّهُ. يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية. وتعرف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة. نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية. ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

 frac{Delta y}{Delta x}

عندما Δx تقارب 0.

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

 frac{dy}{dx}

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

lim_{h 	o 0}frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق

رمز الاشتقاق

مشتقة الدالة f(x)=xcdotsin(x^2) + 1 عند كل نقطة, هو ميل المماس لمنحنى تلك الدالة, الخط دائما مماس للمنحنى الأزرق, وميله يمثل المشتقة. لاحظ تكون المشتقة موجبة عندما يظهر الخط باللون الأخضر, وسالبة عندما يظهر باللون الأحمر , وصفر عندما يظهر الخط باللون الأسود.

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، منها ما يلي :

f'left(x
ight) أو y'، و تُقرأ ((مشتقة y))
frac{{mathrm d} f}{{mathrm d} x} ،والتي تكافئ الصيغة frac{{mathrm d} left(f(x)
ight)}{{mathrm d} x}

و تُقرأ ((dfdx)) أو ((مشتقة f بدلالة x)) ، أما d(f(x))/dx فتُقرأ ((ddx للدالة f عند x)) أو ((مشتقة f عند x))

dy/dx

و تُقرأ ((dydx)) أو ((مشتقة y بدلالة x))

dot{x} = frac{{mathrm d} x}{{mathrm d} t} = x'(t) ،تستعمل خاصة في الفيزياء.
D_x f(x) ;

الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر. التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة
f(x) =,
المشتقة
f'(x) =,
شرط الاشتقاق
a,! 0,! x,inmathbb{R}
a x,! a,! x,inmathbb{R}
1 over x,! - {1 over x^2},! x,inmathbb{R}^*
sqrt{x},! {1 over 2sqrt{x}},!

x,inmathbb{R}_+^*

a x^n,! anx^{n-1},! n,in mathbb N^*quad x,inmathbb{R}
a x^n,! anx^{n-1},! n,in mathbb Z setminusmathbb Nquad x,inmathbb{R}^*
a x^c,! acx^{c-1},! c,in mathbb R setminusmathbb Zquad x,inmathbb{R}^{*+}
cos(x),! -sin(x),! x,inmathbb{R}
sin(x),! cos(x),! x,inmathbb{R}
	an(x),! 1 over cos^2(x) أو  1+	an^2(x),! x
eq {pi over 2} + kpi, k in mathbb{Z}
arccos(x),! - {1 over sqrt{1-x^2}},! x,in  ]-1;1[
arcsin(x),!  {1 over sqrt{1-x^2}},! x,in  ]-1;1[
sinh(x),! cosh(x),! x,inmathbb{R}
cosh(x),! sinh(x),! x,inmathbb{R}
arctan(x),!  {1 over 1+x^2},! x,inmathbb{R}
a^x,! a^x ln a,! a,inmathbb{R}_+^* quad x,inmathbb{R}
ln |x|,! 1 over x,! x,inmathbb{R}^*
exp{x},! exp{x},! x,inmathbb{R}

مثال 1

لنعتبر f(x)=5:

f'(x)=lim_{h
ightarrow 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h} = lim_{h
ightarrow 0} frac{5-5}{h} = 0

مثال 2

لنعتبر f(x)=2x-3:

f'(4),

=  lim_{h
ightarrow 0}frac{f(4+h)-f(4)}{h}

 =  lim_{h
ightarrow 0}frac{2(4+h)-3-(2cdot 4-3)}{h}

 =  lim_{h
ightarrow 0}frac{8+2h-3-8+3}{h}

 =  lim_{h
ightarrow 0}frac{2h}{h} = 2

مثال 3

لنعتبر  f(x) = x^2, :

 f'(x),

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{(x+h)^2 - x^2}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{2xh + h^2}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}(2x + h) = 2x

مثال 4

لنعتبر  f(x) = sqrt{x} :

 f'(x),

= lim_{h
ightarrow 0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{sqrt{x+h} - sqrt{x}}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{(sqrt{x+h} - sqrt{x})(sqrt{x+h} + sqrt{x})}{h(sqrt{x+h} + sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{x+h - x}{h(sqrt{x+h} + sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0}frac{1}{sqrt{x+h} + sqrt{x}}

 = frac{1}{2 sqrt{x}}

مثال 5

 f''(x), = lim_{h
ightarrow 0}frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{frac{1}{2 sqrt{x+h}}-frac{1}{2 sqrt{x}}}{h}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{left(frac{1}{2 sqrt{x+h}}-frac{1}{2 sqrt{x}}
ight)(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}{h(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{frac{2 sqrt{x}}{2 sqrt{x+h}}-frac{2 sqrt{x+h}}{2 sqrt{x}}}{h(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{frac{x}{sqrt{x} sqrt{x+h}}-frac{x+h}{sqrt{x} sqrt{x+h}}}{h(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{frac{-h}{sqrt{x} sqrt{x+h}}}{h(2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{-1}{sqrt{x} sqrt{x+h} (2 sqrt{x+h}+2 sqrt{x})}

 = lim_{h
ightarrow 0} frac{-1}{2 sqrt{x} (x+h) + 2 x sqrt{x+h}}

 = frac{-1}{4 x sqrt{x}}

 = frac{1}{4 x sqrt{x}}

مثال 6

لنعتبر  f(x) = e^{xsin^2x}, :

 f'(x)=e^{xsin^2x} (xsin^2x)'=e^{xsin^2x} (sin^2x+2xsinxcosx),

مثال 7

لنعتبر  f(x)=arcsin frac {1+x}{1-x}, :

f'(x)= frac {1} {sqrt {1- (frac {1+x} {1-x}) ^2}} (frac {1+x} {1-x})' =frac {1} {(1-x)sqrt{-x}}

مثال 8

لنعتبر  f(x) = (x+sin {x}) :

 f'(x)=1+cos {x}


جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

المتواجدون الأن على الموقع

أضغط لمعرفة الموقع الجغرافى

محرك بحث جوجل

إستبيانات

الرجاء من الطلبة تعبئة الاستبيانات الخاصة بالمقرر وخبرة الطالب والبرنامج

1- استبانه تقويم المقرر (حساب التفاضل والتكامل (2)- S352)

2- استبانة تقويم خبرة الطالب S352

3- استبانه تقويم برنامج الرياضيات S352

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أرقام الاتصال


dr.eng.mmmm@gmail.com

mm.mousa@mu.edu.sa

اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

إعلانات

1- أختبار مقرر حساب التفاضل والتكامل 2 (يوم الثلاثاء الموافق 12 / 5 / 1436 هـ)

2- أختبار مقرر تحليل المتجهات (يوم الأربعاء الموافق 20 / 5 / 1436 هـ)

مواقع التواصل الإجتماعى

روابط مفيدة على موقع الجامعة




التقويم الهجرى والميلادى

	

أوقات الصلاة لمدينة الرياض

	

إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 128

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 60322