د. محمد مدحت موسى-Dr. Mohamed M. Mousa

أستاذ مشارك بقسم الرياضيات-Associate Professor of Mathematics

نهاية الدالة

نهاية دالة


مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
x frac{sin x}{x}
1 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول "نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر." وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.

تعتبر نهاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن :

للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.

نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

التاريخ

انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفات

يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة |ε> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن Asubmathbb{R}, النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل delta>0 يوجد على الأقل نقطة واحدة xinmathbb{A} حيث. |x-y|<delta.

لتكن Asubmathbb{R}, و c نقطة تراكم لـ A ,للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد delta>0 بحيث إذا كانت xinmathbb{A} و 0<|x-c|<delta إذاً |f(z)-L|<epsilon.

العلاقة بالاتصال

خصائص

قاعدة التسلسل

lim_{y 	o d} f(y) = e, وlim_{x 	o c} g(x) = d Rightarrow lim_{x 	o c} f(g(x)) = e

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين : أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد delta>0 حيث إذا توفر 0<|x-c|<delta فإن |g(x)-d|>0).

قاعدة لوبيتال

الجمع والتكامل

[1][2]

نظرية

العدد Asubmathbb{R} هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة left(a_n
ight) في A بحيث lim_{n	oinfty}a_n=c و ,∀n∈N a_n 
e c
.

مثال:

الفترة المفتوحةA_1=left(0,1
ight) كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـA_1. النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ left(A_1
ight) لكنها لا تنتمي إلى

left(A_1
ight). كل النقاط في left(A_1
ight) هي نقاط تراكم ل left(A_1
ight) 
  1. المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
  2. المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة :

lim_{x	omathbf{c}}f(x)=L إذا أعطي epsilon جوار لـL

mathbf{V}_epsilonleft(L
ight) يوجدdelta جوار لـ c mathbf{V}_deltaleft(C
ight) بحيث x≠c هي أي نقطة في mathbf{V}_epsilonleft(C
ight)capmathbf{A} إذاًf(x)inmathbf{V}_epsilonleft(L
ight) 

أمثلة

1) lim_{x	omathbf{c}}b=b

الحل

أفترض f(x)=b,, لكلxinmathbb{R}, نريد إثبات أن lim_{x	omathbf{c}}f(x)=b ،وإذا كان epsilon>o,, نفترض delta=1.

(في الحقيقة في أي delta موجبة ستكون كافية للغرض" أي اي عدد موجب سيكون مقبول"),,

إذا 0<|x-c|<1 , ((الواحد تعويض عن delta)) لدينا |f(x)-b|=|b-b|=0<epsilon وبما أن epsilon>0أجراء تعسفي (إجباري) , نستنتج من تعريف النهاية أن lim_{x	omathbf{c}}f(x)=b

2) lim_{x	omathbf{c}}x=b

الحل :

لتكن g(x)=x ,لكل xinmathbb{R} , إذا كانepsilon>0 نختار delta_left(epsilon
ight)=epsilon إذاًو إذا كانت

0<|x-c|<delta_left(epsilon
ight), يكون لدينا |g(x)-c|=|x-c|<epsilon, بما أن epsilon>0, نستنتج أن lim_{x	omathbf{c}}g=c 

مما يعني أن lim_{x	omathbf{c}}x=c

معيار المتتابعات للنهايات

نظرية [معيار المتتابعة

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L

left(lim_{x	omathbf{c}}f=L
ight) 

2/ لكل متتابعة left(x_n
ight) في A تتقارب إلى c بحيث x_n
e c لكل ninmathbb{N} , المتتابعه

left(x_n
ight) تتقارب إلى L

معيار التباعد

لنفرض أن Asubmathbb{R} ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت linmathbb{R} ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة  x_n في A وx_n
e c
لكل ninmathbb{N} بحيث المتتابعة  x_n تتقارب إلى c لكن المتتابعة

left(fleft(x_n
ight)
ight) لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة  x_n في A و

x_n
e c لكل ninmathbb{N} بحيث المتتابعة  x_n تتقارب إلى c لكن المتتابعة.

left(fleft(x_n
ight)
ight) ليست تقاربية في R

أمثلة

1/ lim_{x
ightarrow 0 }left(frac{1}{x}
ight) غير موجودة

الحل

نفرض أن varphileft(x
ight)=frac{1}{x} إذا كانت x>0 سنعتبر c=0 إذا أخذنا المتتابعة لـleft(x_n
ight) حيث ninmathbb{N} , x_n=frac{1}{x} هذا سيؤدي إلى أن lim_{x
ightarrow 0 }x_n=0 لكن left(x_n
ight)=frac{1}{frac{1}{n}}=n وكما نعلم أن المتتابعة left(varphileft(x_n
ight)
ight)=n ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن lim_{x
ightarrow 0 }frac{1}{x} غير موجودة.

انظر أيضا

جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

التوقيت والتقويم





 








توقيت الصلاة بمدينة حوطة سدير


محرك بحث جوجل

للتواصل


  1. الهاتف : 0164044771

تحويلة: 4771


mm.mousa@mu.edu.sa

dr.eng.mmmm@gmail.com

(QR Code)

mailto:mm.mousa@mu.edu.sa


إعلانات

1- الاختبار الفصلى الثانى لمقرر التحليل العددى (يوم الاحد الموافق 3 / 7/ 1440 هـ)

2- الاختبار الفصلى الثانى لمقررحساب المتجهات (يوم الثلاثاء الموافق 5 / 7 / 1440 هـ)

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أخبار الجامعة والكلية

أخبار الجامعة

أخبار الكلية


اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

روابط مفيدة على موقع الجامعة












مواقع التواصل الإجتماعى

آلة حاسبة

التقويم الجامعى

التقويم الجامعى 1440/1439




بعض الجوائز والتكريمات





إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 258

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 61863