د. محمد مدحت موسى-Dr. Mohamed M. Mousa

أستاذ مشارك بقسم الرياضيات-Associate Professor of Mathematics

التكامل المتعدد

تكامل متعدد


مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
التكامل كمساحة بين منحنيين.
التكامل الثنائي كحجم تحت سطح z=x^2-y^2. منطقة المستطيل الواقع أسفل الجسم هو مجال التكامل بينما السطح هو بياني الدالة ذات متغيرين التي يتم تكاملها.

التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل f(x,y), أوf(x,y,z),

مقدمة

كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث f=(x,y),) والمستوى المحتوي لمجاله. (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي - تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة f(x,y,z)=1, فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد.

التكامل المتعدد لدالة f المعرفة في n متغير: f(x_1,x_2,ldots,x_n), على مجال D يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب(الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا)يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية:

int ldots mathbf{D}; f(x_1,x_2,ldots,x_n);mathbf{d}x_1!ldotsmathbf{d}x_n

وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.

التعريف الرياضي

افترض ان n عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في n بعداً(من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة للمستوى: n=2, والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي. T=(a_1,b_1)	imes (a_2,b_2)	imescdots 	imes (a_n,b_n)subset mathbb R^n

قم بتقسيم كل فترة (ai,bi) إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمز Ii.عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة: C=I_1 	imes I_2 	imes cdots 	imes I_n

هي جزئية من T بمعنى أن المستطيلات الجزئية C هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا T. بعد أي من المستطيلات الجزئية C هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على C، وكذلك فإن بعد اي مجموعة معطاة جزئية من T معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية.

افترض أن f:T →R هي دالة معرفة على المستطيل T. اعتبر التجزيئ التالي

 T=C_1cup C_2 cup cdots cup C_m

من T المعرفة آنفاً. حيث m هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة:

 sum_{k=1}^m f(P_k) m(C_k)

حيث، لكل k فان النقطة P_k تقع في النفطة C_k، و m(C_k) هو ناتج الأطوال من الفترات التي ناتجها الكارتيزي هو C_k

في هذه الحالة تسمى دالة f متكاملة ريمان إذا كانت النهاية

S=lim_{delta 	o 0} sum_{k=1}^m f(P_k) m(C_k)

معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات T ذات البعد delta. إذا امكن تكامل f بريمان فان S تسمى تكامل ريمان ل f على T ويكتب:

 int_T !f(x),dx.

تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات n بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد.

ما يلي تكامل ريمان في n بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا

الخصائص

التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد(الخطية، التجميع، الاطرادية، الخ). بالإضافة لذلك ،وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة DRn ودالة قابلة للتكامل f على D، القيمة المتوسطة ل f على مجالها يعطى بـ: ar{f} = frac{1}{m(D)} int_D f(x), dx,

حيث (m(D هو مقياس D

حالات خاصة

في حالة TR2، فإن تكامل : ell = iint_T f(x,y), dx, dy

هو تكامل ثنائي ل f على T. وإذا كانت TR3 فان تكامل:

ell = iiint_T f(x,y,z), dx, dy, dz

يكون تكامل ثلاثي ل f على T. لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)

طرق للتكامل

حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة.

الحل المباشر

أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل

الدوال الثابتة

في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة c. إذا كانت c=1 وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R2 فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R3

  • مثلاً:
D = { (x,y) in mathbb{R}^2  :  2 le x le 4  ;  3 le y le 6 } and f(x,y) = 2,!

لنكامل f على D بالنسبة ل x أولا:

int_3^6 int_2^4  2  dx, dy = mbox{area}(D) cdot 2 = (2 cdot 3) cdot 2 = 12.

الحل باستخدام التماثل

إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر).

من الكافي –في الدوال على Rn – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل.

  • مثال (1):
خذ f(xy) = 2 sin  x − 3y3 + 5

وT = x2 + y2 ≤ 1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر 1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط).

مستخدما خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء:

iint_T (2sin x - 3y^3 + 5) , dx , dy = iint_T 2 sin x , dx , dy - iint_T 3y^3 , dx , dy + iint_T 5 , dx , dy
2  sin  x' و 3y3 كلاهما دالتين فرديتين ومن الواضح كذلك ان قرص T متماثل حول محور x وكذلك محور y؛ لذلك فان القيمة الوحيدة التي سنحصل عليها في الإجابة النهائية لتكامل الدوال الثلاث هي حل الدالة الثابتة 5 لأن الدالتين الأخرتين تساوي صفرا.
  • مثال (2):

خد الدالة (f(xyz) = x exp(y2 + z2 ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور T = x2 + y2 + z2 ≤ 4. الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور x فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير x.

صيغ الاختزال

صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد(وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي).

المجالات البسيطة على R2

محور x

اذا كان D مجال مقيس عمودي على محور x و f: D longrightarrow mathbb{R} هي دالة مستمرة؛ فإن (α(x و(β(x (بالتعريف في الفترة [ab]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:

iint_T f(x,y) dx, dy = int_a^b dx int_{ alpha (x)}^{ eta (x)} f(x,y), dy.
محور y

اذا كان D مجال مقيس عمودي على محور y و f: D longrightarrow mathbb{R} هي دالة مستمرة؛ فإن(α(y و(β(y (بالتعريف في الفترة [ab]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:

iint_T f(x,y) dx, dy = int_a^b dy int_{ alpha (y)}^{ eta (y)} f(x,y), dx.
مثال
مثال: D هي منطقة التكامل بصيغ الاختزال

اعتبر أن المنطقة D = { (x,y)  :  x ge 0, y le 1, y ge x^2 }(انظر الشكل المقابل). احسب: iint_D (x+y) , dx , dy.

هذا المجال عمودي على كلا المحورين xو y. لتطبيق صيغ الاختزال عليك ان تجد الدوال التي تحدد المجال وفترة تعريفه.
في هذه الحالدة الدالتين هما:
alpha (x) = x^2	ext{ and }eta (x) = 1,!
بينما الفترة معطاة من تقاطع الدوال مع x = 0، عليه فان الفترة هي [ab] = [0, 1](جعلنا الوضع الأساسي باعتبار محور x لسهولة فهمها من الشكل المقابل). من الممكن الآن تطبيق الصيغة:
iint_D (x+y) , dx , dy = int_0^1 dx int_{x^2}^1 (x+y) , dy = int_0^1 dx  left[xy  +  frac{y^2}{2}  
ight]^1_{x^2}
(في البداية التكامل الثاني تم حسابه باعتبار ان x ثابت). كل ما يتبقى هو تطبيق عمليات تكاملية بسيطة
int_0^1 left[xy  +  frac{y^2}{2}  
ight]^1_{x^2} , dx = int_0^1 left(x + frac{1}{2} - x^3 - frac{x^4}{2} 
ight) dx = cdots = frac{13}{20}.
إذا أردنا جعل الوضع الأساسي باعتبار لمحور yنقوم بالآتي:
int_0^1 dy int_0^{sqrt{y}} (x+y) , dx.
وسنحصل على نفس النتيجة
مثال لمجال بسيط في R3 (مستوى-xy

المجالات البسيطة على R3

امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما: T هو مجال عمودي على المستوى xy باعتبار الدوال (α (x,y و(β(x,y، إذن:

iiint_T f(x,y,z)  dx, dy, dz = iint_D dx, dy int_{alpha (x,y)}^{eta (x,y)} f(x,y,z) , dz

تغيير المتغيرات

حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ"تغيير المتغيرات" لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة.

مثال (1-أ)
الدالة هي f(x, y) = (x-1)^2 +sqrt y;
إذا تبنينا هذا البديل x' = x-1,  y'= y , ! لذلك x = x' + 1,  y=y' ,!
نحصل على الدالة الجديدة f_2(x,y) = (x')^2 +sqrt y.
  • وبصورة مشابة للمجال لأنه لم يعد محدودا بالمتغيرات الاصلية التي تم تحويلها (x ,y في المثال).
  • التفاضلات(d(xو (d(y يتم تحويلها عبر محددة المصفوفة الجاكوبية

المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية).

توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R2 واثنان في R3)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية.

الإحداثيات القطبية

التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية

في R2 إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات "معينة" يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية(انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية(P(x,y في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية.

العلاقة الأساسية لعمل التحويل هي التالية:
f(x,y) 
ightarrow f(
ho  cos phi,
ho  sin phi).
مثال (2-أ):
الدالة هي f(x,y) = x + y,!
وبتطبيق التحويل نحصل على:
f(
ho, phi) = 
ho cos phi + 
ho sin phi = 
ho  (cos phi + sin phi).
مثال (2-ب):
الدالة هي f(x,y) = x^2 + y^2,!
في هذه الحالة لدينا:
f(
ho, phi) = 
ho^2 (cos^2 phi + sin^2 phi) = 
ho^2,!
باستخدام مبرهنة فيثاغورث يتم تحويل المجال بايجاد طول نصف القطر ومدى الزاوية المركزية لتعريف فترات ρو φ ابتداءً من x وy
مثال لتحويل مجال من ديكارتي إلى قطبي.
مثال (2-ج):
المجال هو D = x^2 + y^2 le 4,! وهو محيط ذو نصف قطر 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية دائرة, إذن φ تتراوح بين 0 و 2π, بينما يتراوح نصف القطر من 0 إلى 2
مثال (2-د):
المجال هو D = { x^2 + y^2 le 9,  x^2 + y^2 ge 4,  y ge 0 } وهو القوس الدائري الواقع في الجزء الموجب من محور y (أنظر الشكل)، لاحظ ان φ تصف زاوية مستوى، بينما ρ تتراوح بين 2 و3. لذلك التحويل الناتج يكون المستطيل التالي:
T = { 2 le 
ho le 3,  0 le phi le pi }. ,

المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي:

frac{partial (x,y)}{partial (
ho, phi)} =
egin{vmatrix}
cos phi & - 
ho sin phi \
sin phi & 
ho cos phi
end{vmatrix} = 
ho

والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل(x == ρ cos(φ و(y == ρ sin(φ في العمود الأول باعتبار ρ، وفي العمود الثاني باعتبار φ، لذا فإن التفاضلات dx dy في هذا التحويل تصبح ρ dρ dφ.

ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية

iint_D f(x,y)  dx, dy = iint_T f(
ho cos phi, 
ho sin phi) 
ho , d 
ho, d phi.

لاحظ أن φ صالحة في الفترة [0, 2π] بينما ρ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة.

مثال (2-هـ):

الدالة هي ƒ(xy) = x والمجال هو نفس مجال المثال (2-د).

من التحليل السابق ل D نعلم فترة ρ (بين 2 و 3) وفترة φ (بين 0 و 2π).إذن لنقم بتغيير الدالة:
f(x,y) = x longrightarrow f(
ho,phi) = 
ho  cos phi.,
أخيراً، لنطبق صيغ التكامل:
iint_D x , dx, dy = iint_T 
ho cos phi  
ho , d
ho, dphi.
بتعريف الفترة يصبح لدينا:
int_0^pi int_2^3 
ho^2 cos phi  d 
ho  d phi = int_0^pi cos phi  d phi left[ frac{
ho^3}{3} 
ight]_2^3 = left[ sin phi 
ight]_0^pi  left(9 - frac{8}{3} 
ight) = 0.

الإحداثيات الأسطوانية

الإحداثيات الأسطوانية.

في R3 التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في الإحداثيات الأسطوانية؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية:

f(x,y,z) 
ightarrow f(
ho  cos phi,
ho  sin phi, z)

يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية.

مثال(3-أ):

المنطقة هي D = { x^2 + y^2 le 9,  x^2 + y^2 ge 4,  0 le z le 5 } (وهي الأنبوب الذي قاعدته هي الدائرة في مثال (2-د) والتي ارتفاعها 5)؛ إذا طُبق التحويل نتحصل على المنطقة: T = { 2 le 
ho le 3,  0 le phi le pi,  0 le z le 5 } (وهو متوازي المستطيلات الذي قاعدته المستطيل في مثال (2-د) ذو الارتفاع 5).

ولأن العنصر z لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات dx dy dz تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون ρ dρ dφ dz.

أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية:

iiint_D f(x,y,z) , dx, dy, dz = iiint_T f(
ho cos phi, 
ho sin phi, z) 
ho , d
ho, dphi, dz.

هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة z، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة.

مثال(3-ب):

الدالة هي f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z,!، ومجال التكامل هو هذه الأسطوانة: D = { x^2 + y^2 le 9,  -5 le z le 5 }
تحويل D في إحداثيات أسطوانية هو الآتي:
T = { 0 le 
ho le 3,  0 le phi le 2 pi,  -5 le z le 5 }.
بينما تصبح الدالة
f(
ho  cos phi,
ho  sin phi, z) = 
ho^2 + z,!
أخيراً، نطبق صيغة التكامل
iiint_D (x^2 + y^2 +z) , dx, dy, dz = iiint_T (
ho^2 + z) 
ho , d
ho, dphi, dz;
بتعديل الصيغة نحصل على
int_{-5}^5 dz int_0^{2 pi} dphi int_0^3 (
ho^3 + 
ho z), d
ho = 2 pi int_{-5}^5 left[ frac{
ho^4}{4} + frac{
ho^2 z}{2} 
ight]_0^3 , dz
= 2 pi int_{-5}^5 left(frac{81}{4} + frac{9}{2} z
ight), dz = cdots = 405 pi.

الإحداثيات الكروية

الإحداثيات الكروية.

بعض المجالات في R3 لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستخدم التمرير في إحداثيات كروية ، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة:

f(x,y,z) longrightarrow f(
ho cos 	heta sin phi, 
ho sin 	heta sin phi, 
ho cos phi),!

لاحظ أن النقاط الموجودة على محور x لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح phi بين 0 وπ.

من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة.

مثال (4-أ): خذ المجال D = x^2 + y^2 + z^2 le 16 (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة: T = { 0 le 
ho le 4,  0 le phi le pi,  0 le 	heta le 2 pi }.

محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية:

frac{partial (x,y,z)}{partial (
ho, 	heta, phi)} =
egin{vmatrix}
cos 	heta sin phi & - 
ho sin 	heta sin phi & 
ho cos 	heta cos phi \
sin 	heta sin phi & 
ho cos 	heta sin phi & 
ho sin 	heta cos phi \
cos phi & 0 & - 
ho sin phi
end{vmatrix} = 
ho^2 sin phi
المشتقات dx dy dz تتحول إلى ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ.
أخيراً، نتحصل على صيغة التكامل النهائية:
iiint_D f(x,y,z) , dx, dy, dz = iiint_T f(
ho sin phi cos 	heta, 
ho sin phi sin 	heta, 
ho cos phi) 
ho^2 sin phi , d
ho, d	heta, dphi.
يُفضل استعمال هذه الطريقة في حالة المجالات الدائرية و كذلك في حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة -باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية الأولى - موسع في R3 (الرجاء انظر مثال (4-ب))؛ يفضل في بعض الحالات الأخرى استخدام الإحداثيات الإسطوانية (انظر مثال 4-جـ).

مثال (4-ب):

D هي نفس المنطقة في مثال (4-أ) وf(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2,! هي الدالة التي نرغب في مكاملتها.
تحويلها سهل جدا:
f(
ho sin phi cos 	heta, 
ho sin phi sin 	heta, 
ho cos phi) = 
ho^2,,
بينمانعرف فترة المنطقة T الناتجة عن تحويل D:
(0 le 
ho le 4,  0 le phi le  pi,  0 le 	heta le 2 pi).,
نبدأ إذن بتطبيق صيغة التكامل:
iiint_D (x^2 + y^2 +z^2) , dx, dy, dz = iiint_T 
ho^2  
ho^2 sin 	heta , d
ho, d	heta, dphi,
وبالتبسيط نحصل على:
iiint_T 
ho^4 sin 	heta , d
ho, d	heta, dphi = int_0^{pi} sin phi ,dphi int_0^4 
ho^4 d 
ho int_0^{2 pi} d	heta = 2 pi int_0^{pi} sin phi left[ frac{
ho^5}{5} 
ight]_0^4 , d phi
= 2 pi left[ frac{
ho^5}{5} 
ight]_0^4 left[- cos phi 
ight]_0^{pi} = 4 pi cdot frac{1024}{5} = frac{4096 pi}{5}.

مثال (4-جـ):

المجال هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3a (D = x^2 + y^2 + z^2 le 9a^2 ,!) وf(x,y,z) = x^2 + y^2,! هي دالة المراد مكاملتها.
بالنظر للمجال يبدو أنه من المناسب القيام بالتمرير إلى إحداثيات كروية، في الحقيقة، من الواضح أن فترات المتغيرات التي تحدد المنطقة الجديدة T هي:
0 le 
ho le 3a,  0 le phi le 2 pi,  0 le 	heta le pi.,
ولكن، بتطبيق التحويل نحصل على:
f(x,y,z) = x^2 + y^2 longrightarrow 
ho^2 sin^2 	heta cos^2 phi + 
ho^2 sin^2 	heta sin^2 phi = 
ho^2 sin^2 	heta.
بتطبيق صيغة التكامل نحصل على:
iiint_T 
ho^2 sin^2 	heta 
ho^2 sin 	heta , d
ho, d	heta, dphi = iiint_T 
ho^4 sin^3 	heta , d
ho, d	heta, dphi
والذي يصعب حله، هذه المسألة يتم حلها بالتمرير إلى احداثيات أسطوانية ،و تصبح فترات T الجديدة هي:
0 le 
ho le 3a,  0 le phi le 2 pi,  - sqrt{9a^2 - 
ho^2} le z le sqrt{9a^2 - 
ho^2};
تم التحصل على الفترة z بشق الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة في صيغة D (وبعدها مباشرة تحويل x2 + y2 إلى ρ2). الدالة الجديدة تصبح أذن ρ2. بتطبيق صيغة التكامل:
iiint_T 
ho^2 
ho  d 
ho d phi dz.
نحصل بعدها على:
int_0^{2 pi} dphi int_0^{3a} 
ho^3 d
ho int_{- sqrt{9a^2 - 
ho^2} }^{sqrt{9 a^2 - 
ho^2} }, dz = 2 pi int_0^{3a} 2 
ho^3 sqrt{9 a^2 - 
ho^2} , d
ho.
الآن نطبق التحويل:
9 a^2 - 
ho^2 = t,! longrightarrow dt = -2 
ho, d
ho longrightarrow d
ho = frac{d t}{- 2 
ho},!
(الفترات الجديدة تصبح 0, 3a longrightarrow 9 a^2, 0). نحصل على:
- 2 pi int_{9 a^2}^{0} 
ho^2 sqrt{t}, dt
ولأن 
ho^2 = 9 a^2 - t,!، نحصل على:
-2 pi int_{9 a^2}^0 (9 a^2 - t) sqrt{t}, dt,
بعد قلب حدود التكامل وضرب الأطراف داخل القوسين، يمكن تفكيك التكامل إلى جزئين يُحلان مباشرة.
2 pi left[ int 0^{9 a^2} 9 a^2 sqrt{t} , dt - int 0^{9 a^2} t sqrt{t} , dt
ight] = 2 pi left[9 a^2 frac{2}{3} t^{ frac{3}{2} } - frac{2}{5} t^{ frac{5}{2}} 
ight]_0^{9 a^2}
= 2 cdot 27 pi a^5 (6 - frac{2}{5}) = 54 pi frac{28}{5} a^5 = frac{1512 pi}{5} a^5.
الفضل في إمكانية اختزال التكامل الثلاثي لآخر أسهل في متغير واحد يعود لطريقة التمرير إلى إحداثيات أسطوانية

أمثلة

التكامل الثنائي

لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات f خلال منطقة A :

A = { (x,y) in mathbb{R}^2  :  11 le x le 14  ;  7 le y le 10 } وf(x,y) = x^2 + 4y,!

لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي

int_7^{10} int_{11}^{14}  (x^2 + 4y)  dx, dy

يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار x، يجب اجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة لy. لاحظ أننا في البدء نعتبر y ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل.


egin{align}
 int_{11}^{14}  (x^2  +  4y)  dx  & = left (frac{1}{3}x^3  +  4yx 
ight)Big |_{x=11}^{x=14} \
                                                                  & = frac{1}{3}(14)^3  +  4y(14)  -  frac{1}{3}(11)^3  -  4y(11) \
                                                                  &= 471  +  12y \
end{align}

بعد ذلك نكامل بالنسبة ل y


egin{align}
 int_{7}^{10}  (471  +  12y)  dy  & = (471y +  6y^2)ig |_{y=7}^{y=10} \
                                                                  & = 471(10)  +  6(10)^2  -  471(7)  -  6(7)^2 \
                                                                  &= 1719 \
end{align}

الحجوم

حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين:

  • التكامل الثنائي
iint_D 5  dx, dy
للدالة 5=(f(x,y محسوبة في المنطقة D من مستوى xy الذي يمثل قاعدة متوازي المستطيلات
iiint_mathrm{parallelepiped} 1 , dx, dy, dz
  • التكامل الثلاثي
iiint_mathrm{parallelepiped} 1 , dx, dy, dz
للدالة الثابتة 1 محسوبةً على متوازي المستطيلات نفسه.

حساب الحجوم

بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام:

  • الأسطوانة: اعتبر أن المجال هو القاعدة الدائرية ذات نصف قطر R، والدالة ثابتة بالارتفاع h. يمكن كتابة ذلك في إحداثيات قطبية كالآتي:
mathrm{Volume} = int_0^{2 pi } d phi int_0^R h 
ho  d 
ho = h 2 pi left[frac{
ho^2}{2 }
ight]_0^R = pi R^2 h
التحقق: الحجم = مساحة القاعدة* الارتفاع= pi R^2 cdot h
  • الكرة: وهو توضيح جاهز لتطبيق التمرير في احداثيات كروية للدالة الثابتة المُكامَلة 1 في الكرة ذات نفس نصف القطر R:
mathrm{Volume} = int_0^{2 pi }, d phi int_0^{ pi } sin 	heta, d 	heta int_0^R 
ho^2, d 
ho = 2 pi int_0^{ pi } sin 	heta frac{R^3}{3 }, d 	heta = frac{2}{3 } pi R^3 [- cos 	heta]_0^{ pi } = frac{4}{3 } pi R^3.
  • رباعي السطوح(هرم مثلثي ذو 4 وجوه):حجم رباعي سطوح ذو رأس عند نقطة الأصل يمكن حسابهعن طريق صيغ الاختزال آخذين بالاعتبار ،كمثال، ال normality على المستوى xy ولمحور x ومثل الدالة الثابتة 1.
mathrm{Volume} = int_0^ell dx int_0^{ell-x }, dy int_0^{ell-x-y }, dz = int_0^ell dx int_0^{ell-x } (ell - x - y), dy
= int_0^ell (ell^2 - 2ell x + x^2 - frac{ (ell-x)^2 }{2 }), dx = ell^3 - ell ell^2 + frac{ell^3}{3 } - left[frac{ell^2}{2 } - ell x + frac{x^2}{2 }
ight]_0^ell =
 = frac{ell^3}{3 } - frac{ell^3}{6 } = frac{ell^3}{6}
التحقق: الحجم = مساحة القاعدة * الارتفاع /3 = frac{ell^2}{2 } cdot ell/3 = frac{ell^3}{6}.
مثال لمجال معتل.

التكامل المعتل المتعدد

في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.

التكامل المعتل المتعدد والتكامل المتتابع

حسب نظرية فوبيني Fubini's theorm :

int_{A	imes B} |f(x,y)|,d(x,y)<infty,

هذا يعني أنه إذا كان التكامل محدد مطلقاً فان نفس النتيجة التي نحصل عليها بالتكامل المتعدد يمكن الحصول عليها بالتكامل المتتابع،

int_{A	imes B} f(x,y),d(x,y)=int_Aleft(int_B f(x,y),dy
ight),dx=int_Bleft(int_A f(x,y),dx
ight),dy.

يحدث ذلك تحديدا عندما تكون |(f(x,y| دالة محددة، وA وB مجموعتان محددتان. إذا لم يكن التكامل متقارب مطلقاً يجب العناية وعدم خلط مبادئ التكامل المتعدد والتكامل المتتابع، خاصة أن كلاهما يكتب بنفس الرموز. الرمز:

int_0^1int_0^1 f(x,y),dy,dx

يعني في بعض الحالات تكاملاً متتابعاً وليس تكاملاً ثنائياً حقيقياً. التكامل الخارجي في التكامل المتتابع

int_0^1 cdots , dx

هو تكامل باعتبار x لدالة x التالية

g(x)=int_0^1 f(x,y),dy.

من ناحية أخرى، التكامل الثنائي يعرف باعتبار المساحة في المستوى xy. إذا وُجد تكامل ثنائي فانه يكون مساوياً لكل من التكاملين المتتابعين على حدا (إما "dy dx" أو"dx dy") ويتم حسابه عادة بحساب أحد التكاملين المتتابعين. ولكن أحياناً يوجد التكاملين المتتابعين إذا وفقط إذا لم يكن هناك تكامل ثنائي، ويكونان في هذه الجالة ذوي قيم متغايرة عن بعضهما كما في المثال:

int_0^1int_0^1 f(x,y),dy,dx 
eq int_0^1int_0^1 f(x,y),dx,dy.

وهو اعادة ترتيب افتراضي للتكامل المتقارب شرطياً. نكتب

int_{[0,1]	imes[0,1]} f(x,y),dx,dy

الذي يمكن استعماله للتأكد من أننا حسبنا التكامل المتعدد وليس المتتابع

بعض التطبيقات العملية

تستخدم هذه التكاملات في العديد من التطبيقات الفيزيائية

في الميكانيكا، يحسب عزم القصور الذاتي كتكامل حجم (تكامل ثلاثي) للكثافة الموزونة مع مربع المسافة من المحور:

I_z = iiint_V 
ho r^2, dV.

في الكهرومغناطيسية، يمكن كتابة معادلات ماكسويل في صورة تكامل ثلاثي لحساب المجالات الكهربية والمغناطيسية الكلية

فس المثال التالي حصلنا على المجال الكهربي بتوزيع للشحنات تم الحصول عليه عن طريق تكامل ثلاثي لدالة متجهة

vec E = frac {1}{4 pi epsilon_0} iiint frac {vec r - vec r'}{left | vec r - vec r' 
ight |^3} 
ho (vec r'), operatorname{d}^3 r'.

انظر أيضاً

جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

التوقيت والتقويم





 








توقيت الصلاة بمدينة حوطة سدير


محرك بحث جوجل

للتواصل


  1. الهاتف : 0164044771

تحويلة: 4771


mm.mousa@mu.edu.sa

dr.eng.mmmm@gmail.com

(QR Code)

mailto:mm.mousa@mu.edu.sa


إعلانات

1- الاختبار الفصلى الثانى لمقرر التحليل العددى (يوم الاحد الموافق 3 / 7/ 1440 هـ)

2- الاختبار الفصلى الثانى لمقررحساب المتجهات (يوم الثلاثاء الموافق 5 / 7 / 1440 هـ)

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أخبار الجامعة والكلية

أخبار الجامعة

أخبار الكلية


اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

روابط مفيدة على موقع الجامعة












مواقع التواصل الإجتماعى

آلة حاسبة

التقويم الجامعى

التقويم الجامعى 1440/1439




بعض الجوائز والتكريمات









إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 258

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 70572