د. محمد مدحت موسى-Dr. Mohamed M. Mousa

أستاذ مشارك بقسم الرياضيات-Associate Professor of Mathematics

توزيع طبيعى

توزيع احتمالي طبيعي


التوزيع الطبيعي
دالة الكثافة الاحتمالية
دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي
الخط الأخضر يمثل التوزيع الاحتمالي الطبيعي الموسّط المختزل
دالة التوزيع التراكمي
دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الاحتمالي الطبيعي
المؤشرات mu موقع (عدد حقيقي)
sigma^2>0 مقياس تربيعي (عدد حقيقي)
الدعم x in ]-infty;+infty[ !
د۔ك۔ح۔ frac1{sigmasqrt{2pi}}; expleft(-frac{left(x-mu
ight)^2}{2sigma^2} 
ight) !
د۔ت۔ت frac12 left(1 + mathrm{erf},frac{x-mu}{sigmasqrt2}
ight) !
المتوسط الحسابي mu
الوسيط الحسابي mu
المنوال mu
التباين sigma^2
التجانف 0
التفرطح 3 (حالة توزيع طبيعي)

0 (في حالة توزيع طبيعي موسّط ومختزل)

الاعتلاج lnleft(sigmasqrt{2,pi,e}
ight)!
د۔م۔ع M_X(t)= expleft(mu,t+sigma^2 frac{t^2}{2}
ight)
الدالة المميزة phi_X(t)=expleft(mu,i,t-frac{sigma^2 t^2}{2}
ight)
معلومات فيشر {{{معلومات فيشر}}}

في نظرية الاحتمالات، التوزيع الطبيعي (بالإنكليزية: Normal distribution) (أو الغاوسي) هو توزيع احتمالي مستمر كثير الانتشار والاستعمال، يستخدم غالباً تقريبا أوليا لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة وحيدة. لمخطط تابع كثافة الاحتمال المقابل لهذا التوزيع شكل الجرس، ويعرف بالدالة الغاوسية أو منحني الجرس.


    f(x) = 	frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}; e^{ -frac{(x-mu)^2}{2sigma^2} },

حيث μ هو القيمة المتوقعة (مكان الذروة)، وσ 2 هو التباين (قياس عرض التوزيع). عندما تكون قيم وسيطي التوزيع μ = 0 وσ 2 = 1 فإنه يسمى التوزيع الطبيعي المعياري.

يعد التوزيع الطبيعي التوزيع الاحتمالي المستمر الأساسي، نظراً لدوره في مبرهنة النهاية المركزية، كما أنه من أول التوزيعات المستمرة التي تدرس في مقررات الإحصاء الابتدائية. فوفقاً لمبرهنة النهاية المركزية، وتحت شروط معينة، فإن مجموع عدد من المتغيرات العشوائية بعدد منته من المتوسطات والتباينات يقارب توزيعاً طبيعياً بازدياد عدد تلك المتغيرات. ولهذا السبب، فإنه كثيراً ما يشاهد هذا التوزيع في الممارسة العملية، وهو يستخدم في الإحصاء والعلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية [1] نموذجا بسيطا للتعامل مع ظواهر معقدة. على سبيل المثال، خطأ الملاحظة في تجربة ما، غالباً ما يتبع توزيعاً طبيعياً. كما يحسب انتشار اللايقين باستخدام هذا الافتراض أيضاً.

انظر إلى توزيع ستيودنت الاحتمالي وإلى توزيع كوشي وإلى التوزيع اللوجستي.

لاحظ أن لمتغير ذي توزع طبيعي توزيعاً متناظراً حول متوسطه. ولهذا فإن القيم التي تنمو بشكل أسي (كالأسعار والدخل وعدد السكان) تكون ملتوية نحو اليمين (skewness)، وبالتالي يمكن التعبير عنها بشكل أفضل باستخدام توزيعات أخرى، كالتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي وتوزيع باريتو.

تعريف

التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل

تُعرف أبسط حالة من التوزيع الطبيعي باسم التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل. إنه حالة خاصة حيث μ=0 و σ=1. نسمي التوزيع الطبيعي (أو غاوسي) موسّط مختزل التوزيع المعرّف بدالة الكثافة varphi.

الرسم البياني لهذه الكثافة يمثل شكل جرس.

الدالّة varphi : R 	o R^+ بحيث varphi(t)=frac{1}{sqrt{2;pi}}, mathrm{e}^{-frac{t^2}{2}}

هي دالة كثافة احتمالية : هي متواصلة وتكاملها على  R يساوي 1.

نعلم أن  int_{-infty}^{+infty}mathrm{e}^{-frac{t^2}{2}} dt = sqrt{2, pi} تكامل غاوسي.

ونبين أن (انظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقا من دالة الكثافة هذه له قيمة متوقعة تساوى 0 وتباينا يساوي 0.

التوزيع الطبيعي في شكله العام

خصائص

التناظر والاشتقاق

لتوزيع طبيعي (f(x متوسطه μ وانحرافه σ الخصائص التالية:

  • الكثافة varphi متناظرة حول النقطة x=μ والتي تمثل في نفس الوقت، منوال التوزيع ووسيطه وقيمته المتوقعة.
  • أحادي المنوال.
  • يمكن اشتقاق هذه الدالة عددا لا متناهيا من المرّات وتحقق مهما كان  t in R المعادلة التالية varphi'(t) = - t, varphi(t).
  • القيم الأكثر تكراراً تقع في مركز التوزيع
  • كل من المتوسط، الوسيط، والمنوال يقع في مركز التوزيع
  • القيم البعيدة عن المتوسط ذات تكرار أقل
  • مجموع تكرارات القيم التي هي أكبر من المتوسط يساوي مجموع تكرارات القيم التي تحته
  • توجد علاقة معروفة بين نسبة المشاهدات (p) التي تقع ضمن مجال يبعد عن المتوسط بمقدار (z) من الانحرافات المعيارية

تحويل فورييه والدالة المميزة

تحويل فورييه لتوزيع طبيعي متوسطه μ وانحرافه σ يعطي بالصيغة التالية:


    hatphi(t) = int_{-infty}^infty! f(x)e^{itx} dx = e^{imu t} e^{- frac12 (sigma t)^2}

حيث i هو الوحدة التخيلية.

دالة التوزيع التراكمي

لتكن Phi دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الموسّط المختزل. تحدد لكل عدد حقيقي x ب:

 Phi(x) = int_{-infty}^x varphi(t), dt = int_{-infty}^xfrac{1}{sqrt{2,pi}},mathrm{e}^{-frac{t^2}{2}}, dt .

وهي تكامل varphi ونهايتها في -infty تساوي 0، ولا يمكن كتابتها باستعمال الدالات المعروفة (أس، جيب..) ولكن تصبح هي بنفسها دالة مستعملة بكثرة ومهمّة لكلّ من يمارس حساب الاحتمالات والإحصاء.

خاصيات الدالة Phi :

  • قابلة للاشتقاق بعدد غير متناهي من المرّات وPhi' = varphi.
  • نامية حصريا وتنتهي إلى 0 في -infty وإلى 1 في +infty.

مبرهنة النهاية المركزية

كلما كبر عدد الأحداث المتقطعة، كلما زادت الدالة شبها للتوزيع الطبيعي
Comparison of probability density functions, p(k) for the sum of n fair 6-sided dice to show their convergence to a توزيع طبيعي with increasing n, in accordance to the central limit theorem. In the bottom-right graph, smoothed profiles of the previous graphs are rescaled, superimposed and compared with a normal distribution (black curve).
 Z = sqrt{n}left(frac{1}{n}sum_{i=1}^n X_i
ight)

التايخ

التطور

كارل فريدريش غاوس اكتشف التوزيع الطبيعي في عام 1809 أثناء عمله على طريقة المربعات الدنيا.

الاسم

مراجع

انظر أيضاً

الملفات المرفقة

جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

التوقيت والتقويم





 








توقيت الصلاة بمدينة حوطة سدير


محرك بحث جوجل

للتواصل


  1. الهاتف : 0164044771

تحويلة: 4771


mm.mousa@mu.edu.sa

dr.eng.mmmm@gmail.com

(QR Code)

mailto:mm.mousa@mu.edu.sa


إعلانات

1- الاختبار الفصلى الثانى لمقرر التحليل العددى (يوم الاحد الموافق 3 / 7/ 1440 هـ)

2- الاختبار الفصلى الثانى لمقررحساب المتجهات (يوم الثلاثاء الموافق 5 / 7 / 1440 هـ)

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أخبار الجامعة والكلية

أخبار الجامعة

أخبار الكلية


اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

روابط مفيدة على موقع الجامعة












مواقع التواصل الإجتماعى

آلة حاسبة

التقويم الجامعى

التقويم الجامعى 1440/1439




بعض الجوائز والتكريمات









إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 258

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 70502