دالة الكثافة الاحتمالية

في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.ك.ا) (بالإنكليزية: probability density function) أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج(أي Histogram) الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي دالة كثافة احتمالية ، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير قيمًا في الفترة مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير ، يتحقق:

وكذلك، فإنّ:

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة , عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي هو .

دوال كثافة احتمالية مهمة

• التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغير العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة ، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة ، أي:

• بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:

هذا في حالة كون المتغير العشوائي تابع لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقّعة مساوية لـ- والتباين مساويًا لـ- تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:

استعمالات

• حساب القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:

أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

أنظر أيضًا

• لائحة التوزيعات الاحتمالية
• دالة توزيع تراكمي
• دالة الإمكان
• دالة مولدة عزم