دالة الكثافة

دالة الكثافة الاحتمالية

في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.ك.ا) (بالإنكليزية: probability density function) أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

int_{-infty}^{+infty} fleft(x ight) dx = 1

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج(أي Histogram) الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

محتويات

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي $X$ دالة كثافة احتمالية $f left(X ight)$ ، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

P left[ a le X le b ight] = int_{a}^{b} f left(x ight) dx

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير $X$ قيمًا في الفترة $left[ a, b ight]$ مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت $F$ هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير $X$ ، يتحقق:

,F left(x ight) = int_{-infty}^{x} f left(u ight) du

وكذلك، فإنّ:

f left(x ight) = frac{d}{dx} F left(x ight)

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة $fleft(x ight)$ , عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي $left[x, x+dx ight]$ هو $f left(x ight) dx$ .

دوال كثافة احتمالية مهمة

التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغير العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة $left[ a, b ight]$ إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة $left[ a, b ight]$ مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة $left[ a, b ight]$ ، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة $left[ a, b ight]$ ، أي:

f left ( x ight) = egin{cases} frac{1}{b-a} quad a le x le b \ 0 quad quad x < a, x > b end{cases}

بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:

f left ( x ight ) = frac{1}{sqrt{2 pi}} e^{-frac{x^2}{2}}

هذا في حالة كون المتغير العشوائي تابع لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقّعة مساوية لـ-

mu

والتباين مساويًا لـ-

sigma^2

تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:

f left( x ight) = frac{1}{sqrt{2 pi sigma^2}} e^{- frac{ left( x - mu ight)^2}{2 sigma^2}}

استعمالات

حساب القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:

E left [ X ight ] = int_{-infty}^{+infty} x f left ( x ight ) dx

أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

أنظر أيضًا

جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

التوقيت والتقويم

توقيت الصلاة بمدينة حوطة سدير

محرك بحث جوجل

للتواصل

الهاتف : 0164044771

تحويلة: 4771

mm.mousa@mu.edu.sa

dr.eng.mmmm@gmail.com

(QR Code)

mailto:mm.mousa@mu.edu.sa

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أخبار الجامعة والكلية

أخبار الجامعة

أخبار الكلية

اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

روابط مفيدة على موقع الجامعة

بعض الخدمات الإلكترونية لعمادة تقنية المعلومات

النماذج الإلكترونية بالجامعة

مواقع التواصل الإجتماعى

مكتبات

مكتبة الملك عبد العزيز

مكتبة الملك فهد

مكتبة الأمير سلمان

مكتبة جامعة المجمعة

مكتبة الكونجرس

المكتبة البريطانية

المكتبة الأسترالية

المكتبة الرقمية العالمية

إتحاد المكتبات الرقمية

مواقع الجامعات السعودية

الجامعة الاسلامية بالمدينة	جامعة ام القرى بالسعودية
جامعة الامام محمد بن سعود	جامعة الملك سعود بالسعودية
مدينة الملك عبدالعزيز للعلوم والتقنية	جامعة الملك عبدالعزيز
جامعة الملك فيصل	جامعة الملك فهد للبترول
الجامعة العربية المفتوحة	جامعة الملك خالد
جامعة نايف العربية للعلوم الامنية	جامعة الأمير سلطان
جامعة المدينة العالمية	جامعة طيبة
جامعة الطائف	جامعة الجوف
جامعة جازان	جامعة حائل
جامعة المعرفة العالمية	جامعة القصيم
جامعة نجران	جامعة تبوك
جامعة الباحة	جامعة الحدود الشمالية
الجامعة السعودية الالكترونية	جامعة المجمعة
جامعة الدمام