د. محمد مدحت موسى-Dr. Mohamed M. Mousa

أستاذ مشارك بقسم الرياضيات-Associate Professor of Mathematics

دالة الكثافة

دالة الكثافة الاحتمالية


في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.ك.ا) (بالإنكليزية: probability density function) أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

int_{-infty}^{+infty} fleft(x
ight) dx = 1

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج(أي Histogram) الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي X دالة كثافة احتمالية f left(X
ight)، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

P left[ a le X le b 
ight] = int_{a}^{b} f left(x 
ight) dx

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير X قيمًا في الفترة left[ a, b 
ight] مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت F هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير X، يتحقق:

,F left(x 
ight) = int_{-infty}^{x} f left(u
ight) du

وكذلك، فإنّ:

f left(x 
ight) = frac{d}{dx} F left(x 
ight)

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة fleft(x
ight), عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي left[x, x+dx 
ight] هو f left(x 
ight) dx.


دوال كثافة احتمالية مهمة

  • التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغير العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة left[ a, b 
ight] إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة left[ a, b 
ight] مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة left[ a, b 
ight]، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة left[ a, b 
ight]، أي:
f left ( x 
ight) =
egin{cases}
frac{1}{b-a} quad a le x le b \
0    quad  quad x < a, x > b
end{cases}
f left ( x 
ight ) = frac{1}{sqrt{2 pi}} e^{-frac{x^2}{2}}
هذا في حالة كون المتغير العشوائي تابع لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقّعة مساوية لـ-mu والتباين مساويًا لـ-sigma^2 تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:
f left( x 
ight) = frac{1}{sqrt{2 pi sigma^2}} e^{- frac{ left( x - mu 
ight)^2}{2 sigma^2}}


استعمالات

E left [ X 
ight ] = int_{-infty}^{+infty} x f left ( x 
ight ) dx
أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.


أنظر أيضًا

جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

التوقيت والتقويم





 








توقيت الصلاة بمدينة حوطة سدير


محرك بحث جوجل

للتواصل


  1. الهاتف : 0164044771

تحويلة: 4771


mm.mousa@mu.edu.sa

dr.eng.mmmm@gmail.com

(QR Code)

mailto:mm.mousa@mu.edu.sa


إعلانات

1- الاختبار الفصلى الثانى لمقرر التحليل العددى (يوم الاحد الموافق 3 / 7/ 1440 هـ)

2- الاختبار الفصلى الثانى لمقررحساب المتجهات (يوم الثلاثاء الموافق 5 / 7 / 1440 هـ)

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أخبار الجامعة والكلية

أخبار الجامعة

أخبار الكلية


اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

روابط مفيدة على موقع الجامعة












مواقع التواصل الإجتماعى

آلة حاسبة

التقويم الجامعى

التقويم الجامعى 1440/1439




بعض الجوائز والتكريمات









إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 258

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 70672