د. محمد مدحت موسى

أستاذ الرياضيات المساعد

دالة الكثافة

دالة الكثافة الاحتمالية


في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.ك.ا) (بالإنكليزية: probability density function) أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

int_{-infty}^{+infty} fleft(x
ight) dx = 1

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج(أي Histogram) الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي X دالة كثافة احتمالية f left(X
ight)، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

P left[ a le X le b 
ight] = int_{a}^{b} f left(x 
ight) dx

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير X قيمًا في الفترة left[ a, b 
ight] مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت F هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير X، يتحقق:

,F left(x 
ight) = int_{-infty}^{x} f left(u
ight) du

وكذلك، فإنّ:

f left(x 
ight) = frac{d}{dx} F left(x 
ight)

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة fleft(x
ight), عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي left[x, x+dx 
ight] هو f left(x 
ight) dx.


دوال كثافة احتمالية مهمة

  • التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغير العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة left[ a, b 
ight] إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة left[ a, b 
ight] مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة left[ a, b 
ight]، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة left[ a, b 
ight]، أي:
f left ( x 
ight) =
egin{cases}
frac{1}{b-a} quad a le x le b \
0    quad  quad x < a, x > b
end{cases}
f left ( x 
ight ) = frac{1}{sqrt{2 pi}} e^{-frac{x^2}{2}}
هذا في حالة كون المتغير العشوائي تابع لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقّعة مساوية لـ-mu والتباين مساويًا لـ-sigma^2 تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:
f left( x 
ight) = frac{1}{sqrt{2 pi sigma^2}} e^{- frac{ left( x - mu 
ight)^2}{2 sigma^2}}


استعمالات

E left [ X 
ight ] = int_{-infty}^{+infty} x f left ( x 
ight ) dx
أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.


أنظر أيضًا

جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

المتواجدون الأن على الموقع

أضغط لمعرفة الموقع الجغرافى

محرك بحث جوجل

إستبيانات

الرجاء من الطلبة تعبئة الاستبيانات الخاصة بالمقرر وخبرة الطالب والبرنامج

1- استبانه تقويم المقرر (حساب التفاضل والتكامل (2)- S352)

2- استبانة تقويم خبرة الطالب S352

3- استبانه تقويم برنامج الرياضيات S352

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أرقام الاتصال


dr.eng.mmmm@gmail.com

mm.mousa@mu.edu.sa

اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

إعلانات

1- أختبار مقرر حساب التفاضل والتكامل 2 (يوم الثلاثاء الموافق 12 / 5 / 1436 هـ)

2- أختبار مقرر تحليل المتجهات (يوم الأربعاء الموافق 20 / 5 / 1436 هـ)

مواقع التواصل الإجتماعى

روابط مفيدة على موقع الجامعة




التقويم الهجرى والميلادى

	

أوقات الصلاة لمدينة الرياض

	

إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 128

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 60420