دالة الكثافة
دالة الكثافة الاحتمالية
في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.ك.ا) (بالإنكليزية: probability density function) أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:
يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج(أي Histogram) الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.
توزيعات مستمرة بمتغير واحد
تكون للمتغير العشوائي دالة كثافة احتمالية
، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :
أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير قيمًا في الفترة
مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت
هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير
، يتحقق:
وكذلك، فإنّ:
من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة , عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي
هو
.
دوال كثافة احتمالية مهمة
-
التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغير العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة
إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة
مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة
، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة
، أي:
- بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:
-
هذا في حالة كون المتغير العشوائي تابع لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقّعة مساوية لـ-
والتباين مساويًا لـ-
تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:
استعمالات
- حساب القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:
- أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.