## الدوال النسبية

هذه قائمة بتكاملات الدوال النسبية:

 $int (ax + b)^n dx$ $= frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} qquadmbox{(for } n eq -1mbox{)},!$ $intfrac{c}{ax + b} dx$ $= frac{c}{a}lnleft|ax + b ight|$ $int x(ax + b)^n dx$ $= frac{a(n + 1)x - b}{a^2(n + 1)(n + 2)} (ax + b)^{n+1} qquadmbox{(for }n otin {-1, -2}mbox{)}$
 $intfrac{x}{ax + b} dx$ $= frac{x}{a} - frac{b}{a^2}lnleft|ax + b ight|$ $intfrac{x}{(ax + b)^2} dx$ $= frac{b}{a^2(ax + b)} + frac{1}{a^2}lnleft|ax + b ight|$ $intfrac{x}{(ax + b)^n} dx$ $= frac{a(1 - n)x - b}{a^2(n - 1)(n - 2)(ax + b)^{n-1}} qquadmbox{(for } n otin {1, 2}mbox{)}$
 $intfrac{x^2}{ax + b} dx$ $= frac{1}{a^3}left(frac{(ax + b)^2}{2} - 2b(ax + b) + b^2lnleft|ax + b ight| ight)$ $intfrac{x^2}{(ax + b)^2} dx$ $= frac{1}{a^3}left(ax + b - 2blnleft|ax + b ight| - frac{b^2}{ax + b} ight)$ $intfrac{x^2}{(ax + b)^3} dx$ $= frac{1}{a^3}left(lnleft|ax + b ight| + frac{2b}{ax + b} - frac{b^2}{2(ax + b)^2} ight)$ $intfrac{x^2}{(ax + b)^n} dx$ $= frac{1}{a^3}left(-frac{(ax + b)^{3-n}}{(n-3)} + frac{2b (a + b)^{2-n}}{(n-2)} - frac{b^2 (ax + b)^{1-n}}{(n - 1)} ight) qquadmbox{(for } n otin {1, 2, 3}mbox{)}$
 $intfrac{1}{x(ax + b)} dx$ $= -frac{1}{b}lnleft|frac{ax+b}{x} ight|$ $intfrac{1}{x^2(ax+b)} dx$ $= -frac{1}{bx} + frac{a}{b^2}lnleft|frac{ax+b}{x} ight|$ $intfrac{1}{x^2(ax+b)^2} dx$ $= -aleft(frac{1}{b^2(ax+b)} + frac{1}{ab^2x} - frac{2}{b^3}lnleft|frac{ax+b}{x} ight| ight)$ $intfrac{1}{x^2+a^2} dx$ $= frac{1}{a}arctanfrac{x}{a},!$ $intfrac{1}{x^2-a^2} dx =$ $-frac{1}{a},mathrm{arctanh}frac{x}{a} = frac{1}{2a}lnfrac{a-x}{a+x} qquadmbox{(for }|x| < |a|mbox{)},!$ $-frac{1}{a},mathrm{arccoth}frac{x}{a} = frac{1}{2a}lnfrac{x-a}{x+a} qquadmbox{(for }|x| > |a|mbox{)},!$

for $a eq 0:$

 $intfrac{1}{ax^2+bx+c} dx =$ $frac{2}{sqrt{4ac-b^2}}arctanfrac{2ax+b}{sqrt{4ac-b^2}} qquadmbox{(for }4ac-b^2>0mbox{)}$ $-frac{2}{sqrt{b^2-4ac}},mathrm{arctanh}frac{2ax+b}{sqrt{b^2-4ac}} = frac{1}{sqrt{b^2-4ac}}lnleft|frac{2ax+b-sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+sqrt{b^2-4ac}} ight| qquadmbox{(for }4ac-b^2<0mbox{)}$ $-frac{2}{2ax+b}qquadmbox{(for }4ac-b^2=0mbox{)}$ $intfrac{x}{ax^2+bx+c} dx$ $= frac{1}{2a}lnleft|ax^2+bx+c ight|-frac{b}{2a}intfrac{dx}{ax^2+bx+c}$
 $intfrac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx =$ $frac{m}{2a}lnleft|ax^2+bx+c ight|+frac{2an-bm}{asqrt{4ac-b^2}}arctanfrac{2ax+b}{sqrt{4ac-b^2}} qquadmbox{(for }4ac-b^2>0mbox{)}$ $frac{m}{2a}lnleft|ax^2+bx+c ight|-frac{2an-bm}{asqrt{b^2-4ac}},mathrm{arctanh}frac{2ax+b}{sqrt{b^2-4ac}} qquadmbox{(for }4ac-b^2<0mbox{)}$ $frac{m}{2a}lnleft|ax^2+bx+c ight|-frac{2an-bm}{a(2ax+b)} ,,,,,,,,,, qquadmbox{(for }4ac-b^2=0mbox{)}$
$intfrac{1}{(ax^2+bx+c)^n} dx= frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)}intfrac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}} dx,!$
$intfrac{x}{(ax^2+bx+c)^n} dx= frac{bx+2c}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-frac{b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}intfrac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}} dx,!$
$intfrac{1}{x(ax^2+bx+c)} dx= frac{1}{2c}lnleft|frac{x^2}{ax^2+bx+c} ight|-frac{b}{2c}intfrac{1}{ax^2+bx+c} dx$
$int frac{dx}{x^{2^n} + 1} = sum_{k=1}^{2^{n-1}} left { frac{1}{2^{n-1}} left [ sin(frac{(2k -1) pi}{2^n}) arctan[left(x - cos(frac{(2k -1) pi}{2^n}) ight ) csc(frac{(2k -1) pi}{2^n}) ] ight] - frac{1}{2^n} left [ cos(frac{(2k -1) pi}{2^n}) ln left | x^2 - 2 x cos(frac{(2k -1) pi}{2^n}) + 1 ight | ight ] ight }$

## قسم الرياضيات

### التوقيت والتقويم

```

_time.start(["thetimenow"]);
```

```
```

```

```

```

```

### للتواصل

1. الهاتف : 0164044771

تحويلة: 4771

(QR Code)

mailto:mm.mousa@mu.edu.sa

### إعلانات

1- الاختبار الفصلى الثانى لمقرر التحليل العددى (يوم الاحد الموافق 3 / 7/ 1440 هـ)

2- الاختبار الفصلى الثانى لمقررحساب المتجهات (يوم الثلاثاء الموافق 5 / 7 / 1440 هـ)

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

### آلة حاسبة

```

```

### إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 258

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 101558