د. محمد مدحت موسى

أستاذ الرياضيات المساعد

متسلسلة تايلور

متسلسلة تايلور وماكلورين

مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (بالإنكليزية: Taylor series) هو متسلسلة تمكن من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.

اخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور. وكان ذلك عام 1715.

متسلسلة تايلور المنتهية

إذا اعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة {x}_{0}! فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

 f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)!

حيث T_{n}(x)! يدعى بمتسلسلة تايلور وتساوي:

T_{n}(x)=sum^{n}_{k=0} frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

أو

T_{n}(x)=f(x_{0})+frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+cdots +frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

و يمكن اعتبار متعدد الحدود T_{n}(x), تقريبا للدالة f في النقطة x_{0}

متسلسلة تايلور اللامنتهية

إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضنا n بلانهاية فإننا نتحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء R_{n}(x)! يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x.

T_{n}(x)=sum^{infin}_{k=0} frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

أو

T_{n}(x)=f(x_{0})+frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+cdots

متسلسلة ماكلورين

إذا كانت x_{0} = 0, في متسلسلة تايلور, يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:

T_{n}(x)=sum^{n}_{k=0} frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}

أو

T_{n}(x)=f(0)+frac{f'(0)}{1!}x+frac{f''(0)}{2!}x^2+cdots +frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}

تطبيقات متسلسلة تايلور

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق كثير الحدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسي متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الاعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرؤ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.

بعض سلاسل ماكلورين لبعض الدوال المألوفة

الجزء الحقيقي من دالة جيب التمام في المستوى العقدي.
تقريب من الدرجة الثامنة لدالة جيب التمام في المستوى العقدي.

فيما يلي بعضاً من منشورات ماكلورين.[1] All these المتسلسلات مشروعة حتى في المستوى العقدي ل x.

الدالة الأسية:

e^{x} = sum^{infin}_{n=0} frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots	ext{ for all } x!

اللوغاريتم الطبيعي:

log(1-x) = -sum^{infin}_{n=1} frac{x^n}n	ext{ for } -1le x<1
log(1+x) = sum^{infin}_{n=1} (-1)^{n+1}frac{x^n}n	ext{ for }-1<xle1

متسلسلات هندسية محدودة:

frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = sum^{m}_{n=0} x^nquadmbox{ for } x 
ot= 1	ext{ and } minmathbb{N}_0!

متسلسلات هندسية لانهائية:

frac{1}{1-x} = sum^{infin}_{n=0} x^n	ext{ for }|x| <1!

متسلسلات هندسية لانهائية متنوعة:

frac{x^m}{1-x} = sum^{infin}_{n=m} x^nquadmbox{ for }|x| <1 	ext{ and } minmathbb{N}_0!
frac{x}{(1-x)^2} = sum^{infin}_{n=1}n x^nquad	ext{ for }|x| <1!
frac{1}{(1-x)^2} = sum^{infin}_{n=1}n x^{n-1}quad	ext{ for }|x| <1!

الجذر التربيعي:

sqrt{1+x} = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + 	extstyle frac{1}{2}x - frac{1}{8}x^2 + frac{1}{16} x^3 - frac{5}{128} x^4 + dots	ext{ for }|x|le1

متسلسلة كثيرة حدود (متصمنة الجذور التربيعية ذات α = 1/2 والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لـ α = −1):

(1+x)^alpha = sum_{n=0}^infty {alpha choose n} x^nquadmbox{ for all }|x| <1 	ext{ and all complex } alpha!
{alphachoose n} = prod_{k=1}^n frac{alpha-k+1}k = frac{alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)}{n!}

دوال مثلثية:

sin x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - cdots	ext{ for all } x!
cos x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - cdots	ext{ for all } x!
	an x = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + frac{x^3}{3} + frac{2 x^5}{15} + cdots	ext{ for }|x| <frac{pi}{2}!
حيث Bs هي أعداد بيرنولي.
sec x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}	ext{ for }|x| <frac{pi}{2}!
arcsin x = sum^{infin}_{n=0} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}	ext{ for }|x| le 1!
arccos x ={piover 2}-arcsin x={piover 2}- sum^{infin}_{n=0} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}	ext{ for }|x| le 1!
arctan x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}	ext{ for }|x| le 1!

دوال زائدية:

sinh x = sum^{infin}_{n=0} frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} + cdots	ext{ for all } x!
cosh x = sum^{infin}_{n=0} frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} + cdots	ext{ for all } x!
	anh x = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-frac{1}{3}x^3+frac{2}{15}x^5-frac{17}{315}x^7+cdots 	ext{ for }|x| <frac{pi}{2}!
mathrm{arsinh} (x) = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}	ext{ for }|x| le 1!
mathrm{artanh} (x) = sum^{infin}_{n=0} frac{x^{2n+1}}{2n+1} 	ext{ for }|x| <1!

مبرهنة تايلور

في التحليل الرياضي، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة.

المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :

 	extrm{e}^x approx 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots + frac{x^N}{N!}.

انظر أيضا

جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

المتواجدون الأن على الموقع

أضغط لمعرفة الموقع الجغرافى

محرك بحث جوجل

إستبيانات

الرجاء من الطلبة تعبئة الاستبيانات الخاصة بالمقرر وخبرة الطالب والبرنامج

1- استبانه تقويم المقرر (حساب التفاضل والتكامل (2)- S352)

2- استبانة تقويم خبرة الطالب S352

3- استبانه تقويم برنامج الرياضيات S352

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أرقام الاتصال


dr.eng.mmmm@gmail.com

mm.mousa@mu.edu.sa

اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

إعلانات

1- أختبار مقرر حساب التفاضل والتكامل 2 (يوم الثلاثاء الموافق 12 / 5 / 1436 هـ)

2- أختبار مقرر تحليل المتجهات (يوم الأربعاء الموافق 20 / 5 / 1436 هـ)

مواقع التواصل الإجتماعى

روابط مفيدة على موقع الجامعة




التقويم الهجرى والميلادى

	

أوقات الصلاة لمدينة الرياض

	

إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 128

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 60500