د. محمد مدحت موسى-Dr. Mohamed M. Mousa

أستاذ مشارك بقسم الرياضيات-Associate Professor of Mathematics

متسلسلة تايلور

متسلسلة تايلور وماكلورين

مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (بالإنكليزية: Taylor series) هو متسلسلة تمكن من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.

اخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور. وكان ذلك عام 1715.

متسلسلة تايلور المنتهية

إذا اعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة {x}_{0}! فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

 f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)!

حيث T_{n}(x)! يدعى بمتسلسلة تايلور وتساوي:

T_{n}(x)=sum^{n}_{k=0} frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

أو

T_{n}(x)=f(x_{0})+frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+cdots +frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

و يمكن اعتبار متعدد الحدود T_{n}(x), تقريبا للدالة f في النقطة x_{0}

متسلسلة تايلور اللامنتهية

إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضنا n بلانهاية فإننا نتحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء R_{n}(x)! يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x.

T_{n}(x)=sum^{infin}_{k=0} frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

أو

T_{n}(x)=f(x_{0})+frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+cdots

متسلسلة ماكلورين

إذا كانت x_{0} = 0, في متسلسلة تايلور, يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:

T_{n}(x)=sum^{n}_{k=0} frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}

أو

T_{n}(x)=f(0)+frac{f'(0)}{1!}x+frac{f''(0)}{2!}x^2+cdots +frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}

تطبيقات متسلسلة تايلور

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق كثير الحدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسي متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الاعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرؤ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.

بعض سلاسل ماكلورين لبعض الدوال المألوفة

الجزء الحقيقي من دالة جيب التمام في المستوى العقدي.
تقريب من الدرجة الثامنة لدالة جيب التمام في المستوى العقدي.

فيما يلي بعضاً من منشورات ماكلورين.[1] All these المتسلسلات مشروعة حتى في المستوى العقدي ل x.

الدالة الأسية:

e^{x} = sum^{infin}_{n=0} frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots	ext{ for all } x!

اللوغاريتم الطبيعي:

log(1-x) = -sum^{infin}_{n=1} frac{x^n}n	ext{ for } -1le x<1
log(1+x) = sum^{infin}_{n=1} (-1)^{n+1}frac{x^n}n	ext{ for }-1<xle1

متسلسلات هندسية محدودة:

frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = sum^{m}_{n=0} x^nquadmbox{ for } x 
ot= 1	ext{ and } minmathbb{N}_0!

متسلسلات هندسية لانهائية:

frac{1}{1-x} = sum^{infin}_{n=0} x^n	ext{ for }|x| <1!

متسلسلات هندسية لانهائية متنوعة:

frac{x^m}{1-x} = sum^{infin}_{n=m} x^nquadmbox{ for }|x| <1 	ext{ and } minmathbb{N}_0!
frac{x}{(1-x)^2} = sum^{infin}_{n=1}n x^nquad	ext{ for }|x| <1!
frac{1}{(1-x)^2} = sum^{infin}_{n=1}n x^{n-1}quad	ext{ for }|x| <1!

الجذر التربيعي:

sqrt{1+x} = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + 	extstyle frac{1}{2}x - frac{1}{8}x^2 + frac{1}{16} x^3 - frac{5}{128} x^4 + dots	ext{ for }|x|le1

متسلسلة كثيرة حدود (متصمنة الجذور التربيعية ذات α = 1/2 والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لـ α = −1):

(1+x)^alpha = sum_{n=0}^infty {alpha choose n} x^nquadmbox{ for all }|x| <1 	ext{ and all complex } alpha!
{alphachoose n} = prod_{k=1}^n frac{alpha-k+1}k = frac{alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)}{n!}

دوال مثلثية:

sin x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - cdots	ext{ for all } x!
cos x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - cdots	ext{ for all } x!
	an x = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + frac{x^3}{3} + frac{2 x^5}{15} + cdots	ext{ for }|x| <frac{pi}{2}!
حيث Bs هي أعداد بيرنولي.
sec x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}	ext{ for }|x| <frac{pi}{2}!
arcsin x = sum^{infin}_{n=0} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}	ext{ for }|x| le 1!
arccos x ={piover 2}-arcsin x={piover 2}- sum^{infin}_{n=0} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}	ext{ for }|x| le 1!
arctan x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}	ext{ for }|x| le 1!

دوال زائدية:

sinh x = sum^{infin}_{n=0} frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} + cdots	ext{ for all } x!
cosh x = sum^{infin}_{n=0} frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} + cdots	ext{ for all } x!
	anh x = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-frac{1}{3}x^3+frac{2}{15}x^5-frac{17}{315}x^7+cdots 	ext{ for }|x| <frac{pi}{2}!
mathrm{arsinh} (x) = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}	ext{ for }|x| le 1!
mathrm{artanh} (x) = sum^{infin}_{n=0} frac{x^{2n+1}}{2n+1} 	ext{ for }|x| <1!

مبرهنة تايلور

في التحليل الرياضي، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة.

المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :

 	extrm{e}^x approx 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots + frac{x^N}{N!}.

انظر أيضا

جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

التوقيت والتقويم





 








توقيت الصلاة بمدينة حوطة سدير


محرك بحث جوجل

للتواصل


  1. الهاتف : 0164044771

تحويلة: 4771


mm.mousa@mu.edu.sa

dr.eng.mmmm@gmail.com

(QR Code)

mailto:mm.mousa@mu.edu.sa


إعلانات

1- الاختبار الفصلى الثانى لمقرر التحليل العددى (يوم الاحد الموافق 3 / 7/ 1440 هـ)

2- الاختبار الفصلى الثانى لمقررحساب المتجهات (يوم الثلاثاء الموافق 5 / 7 / 1440 هـ)

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أخبار الجامعة والكلية

أخبار الجامعة

أخبار الكلية


اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

روابط مفيدة على موقع الجامعة












مواقع التواصل الإجتماعى

آلة حاسبة

التقويم الجامعى

التقويم الجامعى 1440/1439




بعض الجوائز والتكريمات









إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 258

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 67806