د. محمد مدحت موسى-Dr. Mohamed M. Mousa

أستاذ مشارك بقسم الرياضيات-Associate Professor of Mathematics

متسلسلة قوى

متسلسلة قوى

في الرياضيات، متسلسلة القوى (بالإنكليزية: Power series) (ذات المتغير الواحد) هي متسلسلة لامنتهية على الشكل

f(x)= sum_{n=0}^infty a_n left(x-c 
ight)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + cdots

حيث تمثل an معاملات المتسلسلة و c المركز وx تكون عادة عددا حقيقيا أو عقديا.

تتشكل هذه المتسلسلات عادة من توابع معروفة بطريقة مشابهة لمتسلسلات تايلور.

في العديد من الحالات، يكون المركز c مساويا للصفر، مثلا كما في حالة متسلسلة ماكلاورين. في هذه الحالات تأخذ متسلسلات القوى شكلا أبسط :


f(x) = sum_{n=0}^infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + cdots.

أمثلة

الدالة الأسية (باللون الأزرق), ومجموع الحدود n+1 الأولى لمتسلسلة القوى لماكلورين (باللون الأحمر).

يمكن كتابة كل متعددة حدود على شكل متسلسلة لانهائية. مثلا : f(x) = x^2 + 2x + 3 يمكن كتابته بالشكل التالي : ...+f(x)=3 + 2x + x2+0x3+0x4

المتسلسلة الهندسية :  frac{1}{1-x} = sum_{n=0}^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + cdots, حيث 1 >|x| .

  • معادلة الدالة الاسية :  e^x = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots,
  • معادلة الجيب :  sin(x) = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - frac{x^7}{7!}+cdots,

الاثنان الأخيران هما أيضا امثلة لمتسلسلات تايلور.

قطر ومجال التقارب

إذا تقاربت متسلسلة ما للقوى في النقطة x=alpha، فإن المتسلسلة تتقارب بالتأكيد لكل x يحقق |x|<|alpha|. مجال التقارب هو القطعة المفتوحة (-alpha,alpha).

لكل متسلسلة قوى يوجد عدد ليس سالبا R ،(0 le R < infty ) حيث لكل x يحقق |R > |x المتسلسلة تتقارب وإذا |R < |x، المتسلسلة لا تتقارب. إذا كان R مساويا للصفر، المتسلسلة تتقارب فقط في النقطة x=0. إذا R=∞; حينها المتسلسلة تتقارب لكل x. يسمى R قطر التقارب للمتسلسلة.

حسب مبرهنة كوشي-هادامار قطر التقارب للسلسلة f(x) = sum_{n=0}^infty a_n x^n هو :

R=lim_{n	o infty} frac{1}{sqrt[n]{|a_n|}}

العمليات على متسلسلات القوى

الجمع والطرح

عندما يُعبر عن دالتين اثنتين f و g بمتسلسلتي قوى حول نفس المركز c، فإنه يُحصل على متسلسلة القوى لمجموعها أو فرقهما بجمع أو طرح، على التوالي، حدود هاتين المتسلسلتين، حدا بِحد. أي أنه :

f(x) = sum_{n=0}^infty a_n (x-c)^n
g(x) = sum_{n=0}^infty b_n (x-c)^n

إذن

f(x)pm g(x) = sum_{n=0}^infty (a_n pm b_n) (x-c)^n.

الضرب والقسمة

التفاضل والتكامل


f^prime (x) = sum_{n=1}^infty a_n n left( x-c 
ight)^{n-1}= sum_{n=0}^infty a_{n+1} left(n+1 
ight) left( x-c 
ight)^{n}

int f(x),dx = sum_{n=0}^infty frac{a_n left( x-c 
ight)^{n+1}} {n+1} + k = sum_{n=1}^infty frac{a_{n-1} left( x-c 
ight)^{n}} {n} + k.

الدوال التحليلية

يُقال عن دالة f معرفة على مجموعة مفتوحة U من R أو من C أنها تحليلية إذا ساوت محليا متسلسلة قوى متقاربة.

انظر إلى جوار (رياضيات) وإلى دالة تامة الشكل.

متسلسلات القوى ذات العديد من المتغيرات

انظر أيضا

جامعة المجمعة

أهلاً ومرحباً بكم

كلية العلوم والدراسات الإنسانية

بحوطة سدير

قسم الرياضيات

التوقيت والتقويم





 








توقيت الصلاة بمدينة حوطة سدير


محرك بحث جوجل

للتواصل


  1. الهاتف : 0164044771

تحويلة: 4771


mm.mousa@mu.edu.sa

dr.eng.mmmm@gmail.com

(QR Code)

mailto:mm.mousa@mu.edu.sa


إعلانات

1- الاختبار الفصلى الثانى لمقرر التحليل العددى (يوم الاحد الموافق 3 / 7/ 1440 هـ)

2- الاختبار الفصلى الثانى لمقررحساب المتجهات (يوم الثلاثاء الموافق 5 / 7 / 1440 هـ)

الساعات المكتبية

الأثنين: 10 - 12

الثلاثاء: 8 - 10

الأربعاء: 8 - 10

أخبار الجامعة والكلية

أخبار الجامعة

أخبار الكلية


اللوائح الطلابية بجامعة المجمعة

روابط مفيدة على موقع الجامعة












مواقع التواصل الإجتماعى

آلة حاسبة

التقويم الجامعى

التقويم الجامعى 1440/1439




بعض الجوائز والتكريمات









إحصائية الموقع

عدد الصفحات: 258

البحوث والمحاضرات: 155

الزيارات: 64265